陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考理科数学试题(wd无答案)

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陕西省安康市数学高三下学期理数第三次教学质量检查试卷

陕西省安康市数学高三下学期理数第三次教学质量检查试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图为函数的图象，其中为常数，则下列结论正确（）A .B .C .D .2. （2分）已知正项等比数列中,,,则A . 2B .C .D .3. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知等差数列中，前n项和满足，则的值是（）A . 3B . 6C . 7D . 94. （2分）(2020·蚌埠模拟) 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（）A . 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B . 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C . 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D . 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知向量，的夹角为，，，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·蚌埠模拟) 劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课”，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。

高一年级有6个班，李阿姨每周一到周五只有下午第2节课的时间可以给同学们上课，所以必须安排有两个班合班上课，高一年级6个班“缝纫体验课”的不同上课顺序有（）A . 600种B . 3600种C . 1200种D . 1800种8. （2分）(2020·蚌埠模拟) 函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度后得到，则下列是函数的图象的对称轴方程的为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·蚌埠模拟) 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② ；③ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 .其中正确的是（）A . ②④B . ①②③C . ③④D . ②③④12. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·泰安月考) 已知正实数满足，则的最小值为________．14. （1分）设A，B为两个非空数集，定义：A+B={a+b|a∈A，b∈B}，若A={0，2，5}，B={1，2，6}，则A+B 子集的个数是________．15. （1分） (2020高二下·北京期中) 口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X，若，则的值为________ .16. （1分）(2020·蚌埠模拟) 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中的第一个直角是等腰三角形，且，则，，现将沿翻折成，则当四面体体积最大时，它的表面有________个直角三角形；当时，四面体外接球的体积为________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2020高二下·柳州模拟) 以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.18. （15分）(2017·鞍山模拟) 某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为x（x≥0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为y（y≥0）千万元．（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ．（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．19. （10分）(2020·蚌埠模拟) 如图四棱柱中，，，，M为的中点.（1）证明：平面；（2）若四边形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.20. （10分）(2020·蚌埠模拟) 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则 .（1）求抛物线C的方程；（2）分别过点A，B作抛物线C的切线、，若，分别交x轴于点M，N，求四边形面积的最小值.21. （10分）(2020·蚌埠模拟) 已知函数 .（1）分析函数的单调性；（2）证明：， .22. （10分）(2020·蚌埠模拟) 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）.在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 .设直线l与曲线C相交于A，B两点.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）已知点，求的最大值.23. （10分）(2020·蚌埠模拟) 已知函数， .（1）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围；（2）若（1）中实数m的最大值为t，且（a，b，c均为正实数）.证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析

2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=．故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。

陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学试卷及其答案

初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第 1 页共 14 页陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1．全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B ⋂=ð（） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 2．已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则a b -=（）A ．5B． CD ．4 4．已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．128B ．127C ．64D ．635．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A ．2800B ．3000C ．3200D ．34006．已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b +的最小值为（） A ．6 B ．4 C ．3D ．2 7．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a bB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥。

2020届陕西高三第三次模拟考试卷理科数学解析

（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知，，，．
（1）求的轨迹；
（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，，设直线，，的斜率分别是，，，试问在三个斜率都存在且不为的条件下，时候是定值，请说明理由，并加以证明．
2．答案:】C
解:对复数进行化简：，
所以．
3．答案:】D
解:标准化，通径．
4．答案:】D
解:设年该校参加高考的人数为，则年该校参加高考的人数为．
对于选项A，年一本达线人数为，年一本达线人数为，
可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项B，年二本达线人数为，年二本达线人数为，
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，，使得？并说明理由．
答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．答案:】A
解:由可知集合中一定有元素，
所以符合要求的集合有，，，共种情况．
（2）在中，，∴ ，ຫໍສະໝຸດ ，，∴ 的周长，
又∵ ，∴ ，
当，即时，取得最大值．
18．答案:】（1）证明见解析；（2）存在，为线段的中点．
解:（1）证明：∵ ，为的中点，∴ ，
又平面，平面，∴ ，
∵ ，∴ 平面，
∵ 平面，∴平面平面．
（2）如图，由（1）知，，，点，分别为，的中点，

2020年陕西高三三模数学试卷(理科)

因为平面
平面，
，
为中点，所以
平面
，
，
．
，
11
，
设球的半径为，则有
，
.
，
即
，解得
，
故表面积为
．
17.（ 1 ）
．
（ 2 ）（人）．
（ 3 ）（分）．
解析:
（ 1 ）由
，解得
．
（ 2 ）成绩在
之间的频率为，故可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为
（人）．
（ 3 ）平均分的估计值为：
（分）．
18.（ 1 ）．（2）．
，
执行循环体，
，
不满足条件，执行循环体，
，
不满足条件，执行循环体，
，
不满足条件，执行循环体，
，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为，
故答案为．
14. 或解析:
10
由题意：①
，二次函数
开口向上，对称轴为
，
，解得
；
②
，二次函数开口向下，对称轴为
，
即
，解得
；
故答案为：或．
，即，
15. 或
4. D
解析:
因为正态曲线关于直线
对称，所以可得
．
又因为的值反映的是这组数据的集中情况，其值越小图像越瘦长，越大图像越矮胖，
所以可得
，
故选．
5. A 解析: 由表中数据可知，
满足回归方程则解得：．故选．
，，
，，
6. C
解析:
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数
在点
处取得最小值为

陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题含答案解析

2020届安康中学高三第三次模拟考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()A B =R I ð（） A ．[4,2]-B ．[4,2)-C ．(4,2)-D ．(0,2)2．已知,a b ∈R ，若i a +与3i b -互为共轭复数，则2(i)a b -=（） A ．86i +B ．86i -C ．86i --D ．86i -+3．若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（）A ．1B ．13C ．2D ．3 4．若π1cos()36α+=-，且π2π63α<<，则7πsin()12α+=（） A ．70212+B ．70212-C ．27012-D ．70212+-5．在ABC Rt △中，90A =︒，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“104AD a >”发生的概率为（） A ．34B ．23C ．12D ．136．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6+，则x 等于（）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅u u u r u u u r的最小值为（） A ．14-B ．12-C ．1-D ．18．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（） A ．8B ．9C ．10D ．129．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称； ③函数()g x 的图象关于直线2π3x =对称；④函数()g x 在π[,π]3上单调递增． A ．①②③④B ．①②C ．②③④D ．①③10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(16231662～)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第37项是（）A ．153B ．171C ．190D ．21011．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．5C ．2D ．31+12．设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f +'>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则20()20f =－________． 14．已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++L ，则2a =________．15．已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N 为抛物线上的一点，且满足6||2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为___________．16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2()2cos cos sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等差数列{}n a 中，46a =-，且235a a a ，，成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，1π3CBB ∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E ．（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值．19．（12分）“互联网+”是“智慧城市”的重要内士，A 市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ．为了解免费WiFi 在h 市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关；（2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D x ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点．（1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值．21．（12分）已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：()f x 的极大值不小于1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x ty bt =⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且4AB =，求b 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()321||||(0)f x x m x m -=+->．（1）若1m =，解不等式()4f x ≥；（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为203，求m 的值．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】依题意，[4,2]A =-R ð，(0,2)B =，则()(0,2)A B =R I ð． 2．【答案】B【解析】因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-． 3．【答案】A【解析】由题意，得2m=，解得1m =（1m =-舍去）． 4．【答案】B 【解析】因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>，所以πsin()3α+==所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++16== 5．【答案】C【解析】设事件事件“AD >”为M ，设BC 的中点为P ，则4AD a ==>，解得4DP a >，所以2()1()2a a P M -==．6．【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成，所以体积为：21111π3333π64332V x x =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，解得4x =． 7．【答案】A【解析】因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-u u u r ，2(1,2)PF m m =--u u u r ，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-u u u r u u u r ．8．【答案】B【解析】第一类：含有两个数字0、两个数字2的四位数的个数为23C 3=，第二类：含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为24C 6=，由分类加法计数原理，得满足题意的个数为369+=． 9．【答案】B【解析】由题意知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则2π2πω==，所以π()sin(2)6f x x =+．将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数ππ5πsin[2()]sin(2)366y x x =++=+的图象，即5π()sin(2)6g x x =+，则()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①正确；令5π2π()6x k k +=∈Z ，解得π5π()212k x k =-∈Z ，令2k =，得函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称，故②正确；令5ππ2π()62x k k +=+∈Z ，解得ππ()26k x k =-∈Z ．令1,2k =，得函数()g x 的图象关于直线π3x =，5π6x =对称，故③错误；令π5ππ2π22π()262k x k k -≤+≤+∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ，所以函数()g x 在π5π[,]36上单调递增，故④错误． 10．【答案】C【解析】考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++，归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-L ，在该数列中，第37项为第21行第3个数，所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==L ． 11．【答案】B【解析】设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ，所以222291612525c c a b-=，所以224222216925991625251e e e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=12．【答案】A【解析】令3()()xg x e f x =，则333()()()xxe f x e f x g x '=+'，因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0xxe f x e f x '+>，所以()0g x '>，所以函数3()()xg x e f x =在R 上单调递增，而3()xf x e>－可化为3()1xe f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式3()xf x e >－的解集是(0,)+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1-【解析】3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-L －－．14．【答案】84-【解析】52527C 2(1)84a =⨯⨯-=-．15．【答案【解析】由抛物线29y x =，可得9||2MF =，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，|2||NF MN =，由题意得||cos||||d NF NMF MN MN ∠===，所以sin NMF ∠==，所以点F 到直线MN 的距离为9||sin 2MF NMF ∠==16．【答案【解析】由2()2cos cos sin sin A C b c B C -=及正弦定理，得222cos cos sin sin si (n )A C B B C -=．显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=．所以222cos sin cos 1A C C =+=，所以1cos 2A =．又(0,π)A ∈，所以sin A =，所以2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号，所以ABC △的面积：11sin 2224S bc A bc bc ==⨯=≤故ABC △．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）见解析；（2）129988nn n n T -=-+-．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为235a a a ，，成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以2(6)(62)(6)d d d --=---+，即3(2)0d d +=，解得0d =或2d =-．当0d =时，6n a =-；当2d =-时，4(4)6(4)(2)22n a a n d n n -=-+--=-=+．（2）若数列{}n a 的公差不为0，由（1）知，22n a n =-，则22223nn b n -=-+，所以1211[1()](022)999128819n n nn n n T n -⨯-+-=+=-+--．18．【答案】（1）证明见解析；（2）217-．【解析】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以3CE =，因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形．（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，3,0,0)C ．平面1EB C 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ，由1303CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=u u u r n ，由110B A y z ⊥⇒+=u u u u r n ，令13x y =⇒=，3z =-，即(1,3,3)=-n ，所以321cos ,717-<>==-⨯m n ，所以二面角11E B C A --的余弦值是21-． 19．【答案】（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =．【解析】（1）由列联表可知22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关．（2）由题意可知2(3,)5X B :，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033327(0)C ()5125P X ===，1232354(1)C ()()55125P X ==⨯=， 2232336(2)C ()55125P X ==⨯=，33328(3)C ()5125P X ===．所以X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）3616．【解析】（1）依题意，得1b =，将22x =-代入222(2)240a y a +-+-=，由22324(2)(4)0Δa a =-+-=，22a =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）由（1）可得左焦点(1,0)F -，由题设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠，代入椭圆方程，得22(2)210m y my +--=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m -=+，所以121224()22x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222(,)22m Q m m -++，设点0(,0)P x ，则202(2)PQ m k m m x -==-++，解得0212x m -=+，故121||||2ABP S PF y y =⋅-==△，令1)t t =>，则221m t =-，且3ABP S t t t==++△，设321()(1)f x t t t t=++>，则224423(1)()1t t t f t t t t ++'=--=，所以ABP S ≤=△ABP △的面积的最大值为16． 21．【答案】（1）(22ln 2,)-+∞；（2）证明见解析．【解析】（1）()2x f x e x k '=--，由()02x f x e x k '=⇒-=，记()2x g x e x =-，()2x g x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞； ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞．（2）解法一：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20t e ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减；0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1．解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111x e x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1．22．【答案】（1）22x y =；（2）b =【解析】（1）因为22sin cos 0θρθ-=，所以222sin cos 0ρθρθ-=，代入sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，得220y x -=，即22x y =．（2）由1x t y bt=⎧⎨=-+⎩，得1y bx =-+，联立212y bx x y=-+⎧⎨=⎩，消去y ，得2220x bx -+=， 2(2)420Δb =--⨯>，解得b >b <设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x b +=，122x x ⋅=．又||4AB ===，解得b = 23．【答案】（1）(][),71,-∞-+∞U ；（2）2m =．【解析】（1）若1m =，()31||2||2f x x x -=+-，当13x <-时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x -++-≥，解得7x ≤-；当113x -≤<时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x ++-≥，解得1x ≥，无解；当1x ≥时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x +--≥，解得1x ≥，综上，不等式()4f x ≥的解集是(][),71,-∞-+∞U ．（2）因为()3|||2|1f x x m x -=+-，又因为0m >，所以2()3()52(1)32(1)m x m x m f x x m x x m x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤<⎨⎪++≥⎪⎪⎩，因为2()2033m m f -=--<，(1)30f m =+>，所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC △的三个顶点的坐标为(2,0)A m --，2(,0)5m B -，2(,2)33m m C ---，所以214(3)20||||2153ABC C m S AB y +=⋅==△，解得2m =或8m =-（舍去）．。

陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测理科数学试题(wd无答案)

陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知全集，集合, ，则（）A．B．C．D．(★) 2. 若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则的虚部为（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i(★) 3. 已知向量，向量，则的值为（）A．17B．5C．D．25(★★) 4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是A．众数B．平均数C．中位数D．标准差(★) 5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用 a n表示解下 n（n≤9，n∈ N*）个圆环所需的移动最少次数，若 a 1＝1．且 a n＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．7B．13C．16D．22(★★★) 6. 已知，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．(★★) 7. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★) 8. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．(★) 9. 在圆锥 PO中，已知高 PO＝2，底面圆的半径为4， M为母线 PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以 M为原点． MO为 x轴，过 M点与 MO垂直的直线为 y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A．5B．C．3D．(★★) 11. 已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．(★★) 12. 定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(★★) 13. 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______．(★★) 14. 设等差数列的前项和为，若，则_____．(★) 15. 已知函数，的最小正周期是___________.(★★★) 16. 如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为 h．则 h等于_____．三、解答题(★★) 17. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；（2）求高一参赛学生的平均成绩．(★★★) 18. 在△ ABC中角 A， B， C所对的边分别为 a、 b、 c，满足．（1）求的值；（2）设△ ABC外接圆半径为 R，且，求 b的取值范围．(★★★) 19. 如图，菱形中，，为中点，将沿折起使得平面平面，与相交于点，是棱上的一点且满足.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.(★★★★) 20. 已知函数．（1）证明；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 21. 已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．（1）求椭圆的方程；（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线 l的方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为：．（1）写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的参数方程；（2）设直线 l与曲线 C相交于 P， Q两点，设 M（2，0），若| MP|+| MQ|＝4 ，求直线 l的斜率．(★★★) 23. 已知函数，，且．（1）若函数的最小值为，试证明点在定直线上；（2）若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．。

陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题含解析

14. 的展开式中的常数项的值是______.（用数字作答）
【答案】－40
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出二项式的展开式的通项公式,令的指数为零，求得的值，然后代入二项式的展开式的通项公式即可求解。
【详解】由题意知,二项式的展开式的通项公式为
，
令 ,解得，
所以二项式的展开式的常数项为
【答案】（1)。（2）。
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字,由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.
【详解】由题中条件可得， , ，，， , ， , ，，……,
由此可得,从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；
12. 已知椭圆：与双曲线：（， )有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）。设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（）
A。 B.
C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作 ,利用椭圆和双曲线定义可表示出，由 ,可得点的横坐标为，利用勾股定理可得 ,即 ,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时的值.
8. 在中,若，则下列等式中一定成立的是（）
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式得到，展开得到 ,得到
【详解】∵ ,
∴ 。
∵ .
故选A。
【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
9. “ ”是“ ”的( ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C。充要条件D。既不充分也不必要条件

精品解析：2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)

陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1.全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B =I ð（）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】【分析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ，再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥，{}2U B y y =<ð，(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>， ()()1,2U A B ⋂=ð．故选：A ．【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题. 2.已知复数51iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，求得复数23z i =+，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，则在复平面内z 所对应的点为()2,3，在第一象限. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.3.已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且//a b r r，则a b -=r r （）A. 5B.C.D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值，求得a b -r r的坐标后，求得a b -r r .【详解】由题得260x +=.3x ∴=-，()4,2a b ∴-=-r r，a b ∴-==r r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.4.已知二项式()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C 【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ，求得n 的值，利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意，二项式()1nx +展开式的通项为1r n rr n T C x -+=，令1=-r n ，可得1n n n T C x -=，即16n nC -=.解得6n =.令1x =，则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==. 故选:C【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式以及展开式系数和的求法，属于基础题.5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400【答案】D 【解析】【分析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数. 【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=，高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=．故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b+的最小值为（） A. 6 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得12a b+的最小值. 【详解】由题意知24a b +=，所以()(121121412224242444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选:D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A. 若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C. 若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.8.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（）A. 4B. 5C.4+ D. 5+【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为求PA PF +的最小值，根据抛物线的定义可知PF PD =，即求PA PD+的最小值，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD +最小，由()()min1314A PA PDx +=--=+=即可求解.【详解】由抛物线为24y x =可得焦点坐标()1,0F ，准线方程为1x =-．由题可知求PAF △周长的最小值．即求PA PF +的最小值．设点p 在准线上射影为点D ．则根据抛物线的定义．可知PF PD =．因此求PA PF +的最小值即求PA PD+的最小值．根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小．所以()()min1314A PA PDx +=--=+=．又因为AF ==所以PAF △周长的最小值为4+ 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 9.若关于x 的不等式21cos 2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（） A. 13- B. 13C. 23D. 1【答案】B 【解析】令cos [1,1]x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[1,1]-上恒成立，即435011435033a a a +-≤⎧⇒-≤≤⎨--≤⎩，应选答案B ． 10.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是（）A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数232y x x m '=++，由单调性只需2320x x m +≥+恒成立，根据二次函数的图像与性质只需0∆≤即可求解.【详解】232y x x m '=++，由题意2320x x m +≥+恒成立．4120m ∴=-≤△，13m ≥．故选：C ．【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.11.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. y =C. 3y x =±D. y =【答案】D 【解析】【分析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，配方可得()2124PF PF -=，从而利用双曲线的定义可求出1a =，进而利用222b c a =-求出b ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.【详解】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，()2124PF PF -=，可得1222PF PF a -==，可得1a =，b ==，可得渐近线方程为y =．故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.12.已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（）A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD. c ＞b ＞a【答案】D 【解析】【详解】由偶函数的性质可得：()()()122log 4log 422f f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，结合偶函数的性质可得函数f(x)在区间()0,∞+是单调递增，且：0.32122log 5<<<，故()()()0.3222log 5f f f <<，即()()()0.322log 5log 52,f f f c b a >>>>.本题选择D 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．二、填空题13.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.【答案】600 【解析】【分析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可．【详解】,,,2+a b c b a c ∴∴=，又由频率分布直方图可得1[1(0.0020.006)50]0.01250a b c ++=-+⨯=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +⨯=，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为20000.3600⨯=，故答案为600.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．14.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________．【答案】6 【解析】【分析】令()()8g x f x =-，可证得()g x 为奇函数；利用()()22g g =--求得()2g ，进而求得()2f . 【详解】令()()538g x f x ax bx cx =-=++ ()()53g x ax bx cx g x ∴-=---=-()g x ∴为奇函数 ()()()22282g g f ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦又()()228g f =- ()26f ∴= 本题正确结果：6【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.15.甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km . 【答案】939【解析】【分析】根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值. 【详解】假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ，如图所示，可知64BC x =-，3BD x =，120CBD ∠=︒，()()22222212cos 64926431330362CD BC BD BC BD CBD x x x x x x =+-⨯⨯∠=-++-⨯=-+．当1513x =小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为939km 13．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________．【答案】3225+ 【解析】【分析】根据线面垂直的条件先确定平面α，再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC ⊥，BD CM ⊥，∴BD ⊥面ACM ，∴BD AM ⊥，取1BB 的中点N ，11A B 的中点E ，连接MN ，AN ，BE ，易知BE AN ⊥，由MN ⊥面11ABB A 可得MN BE ⊥，∴BE ⊥面AMN ，∴BE AM ⊥，∴AM ⊥面BDE ，取11A D 的中点F ，由//EF BD 可知点F 在面BDE 上， ∴平面α截正方体所得截面为BDFE ，由正方体棱长为2易得截面周长为225253225+++=+. 故答案为：3225+.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.三、解答题（一）必考题17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前9项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）27.【解析】【分析】(1)本题首先可根据点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上得出22n S n n =+，然后根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)首先可根据数列{}n a 的通项公式得出112123n b n n =-++，然后根据裂项相消法求和即可得出结果．【详解】(1)由题意知22n S n n =+. 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+；当1n =时，113a S ==，适合上式. 所以21n a n =+. (2)()()1221121232123n n n b a a n n n n +===-++++. 则129111111116235571921321217b b b ++鬃?=-+-+鬃?-=-==．【点睛】本题考查根据数列{}n a 的前n 项和为n S 求数列{}n a 的通项公式，考查裂项相消法求和，n a 与n S 满足1n n n a S S -=-以及11a S =，考查计算能力，是中档题．18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题： ①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5Si x y==∑，21190Si x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大. 【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.如图所示，平面BCD ⊥平面ABD ，BCD V 为直角三角形，BD 的中点为E ，AB 中点为F ，5AB AD ==，2BD =，BC CD =.（1）求证：AC BD ⊥；（2）求直线AC 与平面CDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2485【解析】【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得BD AE ⊥、BD CE ⊥，由此证得BD ⊥平面ACE ，从而证得AC BD ⊥. （2）建立空间直角坐标系，根据直线AC 的方向向量和平面CDF 的法向量，计算线面角的正弦值. 【详解】（1）BD Q 的中点为E ，AB AD =，BC CD =，BD AE ∴⊥，BD CE ⊥，又AE CE E =I ，BD ∴⊥平面ACE ，而AC ⊂平面ACE ，AC BD ∴⊥.（2）Q 平面BCD ⊥平面ABD ，BD CE ⊥，平面BCD I 平面ABD BD =，CE ∴⊥平面ABD ，又AE ⊂平面ABD ，CE AE ∴⊥，分别以EA ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，CE BD ⊥Q .BE DE =，BCD V 是直角三角形，CB CD =.112CE BD ∴==，2AE =， ()0,0,0E ∴，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1C .F 是AB 中点， 11,,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()2,0,1AC =-u u ur ，31,,02DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,1DC =u u u r ，设平面DCF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n DF x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，令2y =，则3x =-，2z =-，()3,2,2n =--r，cos n <r，n AC AC n AC ⋅>=⋅r u u u ru u u r r u u u r ()()()22222322021322201-⨯-+⨯+-⨯=-++-⋅-++485=∴直线AC 与平面CDF 485.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()1ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a >时，极小值a ；当0a =时，无极值；当0a <时，极大值a ；（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况进行分类讨论 ()f x 的极值. （2）构造函数()()2ln 2h x f x x x =-++，通过()h x 的导函数()'h x 研究()h x 的零点，对a 分成1110,,0,222a a a a ≥=--<<<-进行分类讨论，结合()h x 有三个零点，求得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值a ，当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值a . （2）设()()2ln 2h x f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()22121a ah x x x-'=-+ ()22212x a x ax +--=()()()2120x x a x x-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()0h x '≥（仅()10h '=）.()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立.由()10h <，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h >，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2ea <-， 322ea ∴-<<-.并且，当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-，()()()2222242242h e e a e e e e ---=++-<+--4150e <+-<，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()h x 有三个零点的a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =(是椭圆C 上一点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）是定值，0【解析】【分析】（1）根据题意可知2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可求出a 、b ，即可求解.（2）设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，可得点()11,E x y --，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.【详解】（1）由题意知b =又离心率e =a =，于是有2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=．由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t =-->△，整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++-- ()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.（二）选考题22.已知直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线()6πθρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.【答案】（1）C :22x y x +=;l:cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）2. 【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6πθ=分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）y -=．∴直线l cos sin θρθ-=（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ=∴A 点的极坐标为π6⎫⎪⎭．将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得3122ρρ-=ρ=∴B 点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|2||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[1,3]-；（2）(7),-∞. 【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得25a x x <-+，对于[1,2]x ∈恒成立，设2()5g x x x =-+，只需max ()a g x <即可得解.【详解】（1）()6f x ≤可化为2|2||1|6x x -++≤，∴2336x x >⎧⎨-≤⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1336x x <-⎧⎨-+≤⎩，分别解得23x <≤或12x -≤≤或无解. 所以不等式的解集为[1,3]-.（2）由题意：22()5f x x a a x x >-+⇔<-+，[1,2]x ∈.设2()5g x x x =-+，要想[1,2]x ∃∈，2()f x x a >-+成立，只需max ()a g x <，∵2119()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴max ()(2)7g x g ==， ∴7a <，∴a 的取值范围为(7),-∞.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。

陕西省2020届高三数学第三次教学质量检测试题理(含解析)

2020年高三第三次教学质量检测理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i i z +=-1)1(，则复数z =（） A. 2i + B. 2i -C. iD. i -【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数i i z +=-1)1(，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设集合{|12,}A x x x N =-≤≤∈，集合{2,3}B =，则B A Y 等于（） A. {1,0,1,2,3}- B. {0,1,2,3}C. }3,2,1{D. {2}【答案】B 【解析】【分析】求得集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=，根据集合的并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=，又由集合{2,3}B =，所以0,1,3}2,{A B =U ，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则=x （）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=rrr，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 13- B.13C. -3D. 3【答案】A 【解析】【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A .【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 125【答案】B 【解析】【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行，令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和n 2，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=，令(1)152n n +=，解得5n =，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=，即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为（） A. 223+ B. 32+C. 222+D. 3【答案】A 【解析】【分析】由11112()(2)3n m m n m n m n m n+=+⋅+=++，利用基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+，当且仅当2n mm n =，即2n m =时等号成立，所以11m n+的最小值为223+，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填（）A. 5i ≤B. 4≤iC. 6i <D. 5i >【答案】B 【解析】【分析】由题意结合程序的输出值模拟程序的运行过程可知4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可. 【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据，0,1S i ==，第一次循环，执行1ln 10ln 2ln 2S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，12i i =+=，此时不应跳出循环；第二次循环，执行13ln 1ln 2lnln 32S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，13i i =+=，此时不应跳出循环；第三次循环，执行14ln 1ln 3lnln 43S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，14i i =+=，此时不应跳出循环；第四次循环，执行15ln 1ln 4lnln 54S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，15i i =+=，此时应跳出循环； 4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，故在判断框内应填4?i ≤. 故选B .【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.已知在三棱锥ABC P -中，1PA PB BC ===，2=AB ，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）B.3C. 2πD. 3π【答案】D 【解析】【分析】求出P 到平面ABC 的距离为2，AC 为截面圆的直径, AC22222312222R d d 骣骣骣琪琪琪=+=+-琪琪琪桫桫桫求出R ，即可求出球的表面积。

陕西省2020届高三第三次教学质量检测数学(理)答案

转换为直角坐标方程为：ｘ２＋ｙ２＝２ｘ＋２槡３ｙ，所以：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２槡３ｙ＝０．４分
{ （２）将线ｌ的参数方程为：ｘｙ＝＝１１＋＋ｔｔｃｓｉｏｎｓφφ（ｔ为参数），
代入ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２槡３ｙ＝０．所以ｔ２－２（槡３－１）ｓｉｎφ·ｔ－２槡３＝０设点Ａ、Ｂ所对应的参数为ｔ１和ｔ２，
解法２：当 λ＝１３，即Ａ→Ｇ＝１３Ｇ→Ｅ，ＦＧ／／面ＡＢＣ．
第１８题图（１）
过Ｇ作ＧＬ／／ＢＥ，交ＡＢ于点Ｌ．连结ＬＣ．
ＧＬ／／ＢＥ，ＧＬ＝１４ＢＥ，ＣＦ／／ＢＥ，ＧＬ＝１４ＣＤ＝１４ＢＥ，
ＧＬ／／ＣＦ四边形ＣＦＧＬ为平行四边形，ＦＧ／／ＣＬ，又ＦＧ面ＡＢＣ，ＦＧ／／面ＡＢＣ．＝
由定义得，ｘ－１＋ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－１＝（ｘ－１＋ｘ）＋（ｙ＋１＋ｙ－１）≥ （ｘ－１）－ｘ＋
（ｙ＋１）－（ｙ－１）＝１＋２＝３
（当且仅当０≤ｘ≤１且－１≤ｙ≤１时取等号）８分即ｔ２－２ｔ≤３ｔ２－２ｔ－３≤０，∴ｔ∈[ －１，３]．１０分
（一）必考题：共６０分．
１７．（１２分）【解】（１）∵Ｓｎ－１＝４３（ａｎ－１－１）（ｎ≥２），Ｓｎ－１＝４３（ａｎ－１－１）（ｎ≥２），
∴ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝４３（ａｎ－ａｎ－１），所以ａｎ＝４ａｎ－１．２分
又ａ１＝Ｓ１＝４３（ａ１－１），∴ａ１＝４．
{ ｙｘ２＝＋ｋ４ｘｙ＋２２－４＝０（１＋４ｋ２）ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０
Δ≥０，（１）
ｘ１
＋ｘ２
＝１－＋１４６ｋｋ２，
则
ｘ１ｘ２

＝１＋１２４ｋ２，
（２）６分
（３）

2020届陕西省安康中学高三第三次模拟考试理科数学试题(word无答案)

2020届陕西省安康中学高三第三次模拟考试理科数学试题一、单选题(★) 1 . 己知全集为实数集 R，集合 A={ x| x 2 +2 x-8>0}， B={ x| log 2 x<1}，则等于（）A．[4,2]B．[4,2)C．(4,2)D．(0,2)(★) 2 . 已知，若与互为共轭复数，则（）A．B．C．D．(★★) 3 . 若双曲线的离心率为2，则实数的值为（）A．1B．C．2D．3(★★) 4 . 若，且，则（）A．B．C．D．(★★) 5 . 在中，，，在边上随机取一点，则事件“ ”发生的概率为（）A．B．C．D．(★★) 6 . 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则等于（）A．4B．5C．6D．7(★) 7 . 已知抛物线 y 2= 4 x的焦点为 F，抛物线上任意一点 P，且 PQ⊥ y轴交 y轴于点 Q，则的最小值为（）A．B．C．l D．1(★)8 . “2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（）A．8B．9C．10D．12(★★) 9 . 已知函数的两个零点之差的绝对值的最小值为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（）①函数的最小正周期为；②函数的图象关于点( )对称；③函数的图象关于直线对称；④函数在上单调递增.A．①②③④B．①②C．②③④D．①③(★) 10 . 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )A．153B．171C．190D．210(★★) 11 . 已知双曲线 C：=1( a>0， b>0)的右焦点为 F，过原点 O作斜率为的直线交 C的右支于点 A，若| OA|=| OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．+1(★★) 12 . 设函数的定义域为，是其导函数，若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 已知函数，则________．(★) 14 . 已知(2 x-1) 7= a o+ a 1 x+ a 2 x 2+…+ a 7 x 7，则 a 2=____.(★★) 15 . 已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为________.(★★) 16 . 在中，角，，的对边分别为，，，且，，则的面积的最大值是________．三、解答题(★) 17 . 在等差数列中，，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，三棱柱 ABC- A 1 B 1 C 1中，侧面 BCC 1 B 1是菱形， AC= BC=2，∠ CBB 1= ，点 A在平面 BCC 1 B 1上的投影为棱 BB 1的中点 E．（1）求证：四边形 ACC 1 A 1为矩形；（2）求二面角 E- B 1 C- A 1的平面角的余弦值．(★)19 . “互联网”是“智慧城市”的重要内士，市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费．为了解免费在市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：经常使用免费WiFi偶尔或不用免费WiFi合计45岁及以下703010045岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为市使用免费的情况与年龄有关；（2）将频率视为概率，现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次．记被抽取的人中“偶尔或不用免费 ”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024(★★★★) 20 . 已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆 O 在 C 的内部，且与 C 有且仅有两个公共点，直线与 C 只有一个公共点.（1）求 C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F ，直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，且弦 AB 的中垂线交 x 轴于点 P ，试求的面积的最大值.(★★) 21 . 已知函数 f( x)= e x - x 2 -kx （其中 e 为自然对数的底， k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数 k 的取值范围；（2）证明： f( x)的极大值不小于1．(★★) 22 . 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（1）若，解不等式；（2）若函数的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值.。

2020届陕西省安康市高三下学期第三次联考数学(理)试题(解析版)

【详解】
如图，直线，直线，，
此时与异面，故充分性不成立，
如图，直线，直线，若，则，
因为，过做一平面，且，则，
所以，所以，故必要性成立，
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断，考查线面关系的判断，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若，则线段AB的中点到y轴的距离为（）
二、填空题
13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为______.
【答案】
【解析】先根据约束条件画出可行域，再根据图形找到最优解，即可解得结果.
【详解】
不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，当直线经过点时， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了利用线性规划求最值，属于基础题.
14．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.
当时，所得图象的一条对称轴方程为，
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.
6．已知，是两个不重合的平面，直线，直线，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用线面的位置关系即可判断出结论.
【详解】
解：（1）设，，
可得，，两式相减得，
将，代入上式，
即，，
又，即有，，
则椭圆E的方程为；
（2）直线AC的方程为，
联立，解得或，

陕西省安康市2023届高三第三次质量联考理科数学答案

理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABACCBCCADA1.D解析：由题意得2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故{(0,0),(1,1)}A B = .2.A 解析：()()()()()i 2i 22i i 2i 2i 2i 2i 5a b a b b a z a b +-++-+===+++-为纯虚数，∴20,20a b b a +=⎧⎨-≠⎩∴2ba =-.3.B 解析：S 6＝6（a 1＋a 6）2＝6（a 3＋a 4）2＝12.4.A解析：由题意可得2a －b ＝(3，2－x )，，∴3x ＝2－x ，解得x ＝12，∴|b |＝1＋14＝52.5.C 解析：由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将58x =代入上式， 6.45870.8442y =⨯+=.6.C 解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋6，由相似得163x x =+，即x ＝3，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为332π12π⋅=.7.B解析：展开式所有项的二项式系数和为27＝128，故A 错误；展开式共有8项，∴第4项和第5项二项式系数最大，故B 正确；令x ＝1得所有项的系数和为(2－1)7＝1，故C 错误；T r ＋1＝C r 7·(－1)r ·27－r ·x 2r －7，∴T 2，T 4，T 6均小于0，T 1＝128x －7，T 3＝672x －3，T 5＝280x ，T 7＝14x 5，∴第3项的系数最大，故D 错误．8.C解析：设方程()()2227270x mx x nx -+-+=的四个根由小到大依次为1a ，2a ，3a ，4a .不妨设2270x mx -+=的一根为1，则另一根为27，12728m ∴=+=.由等比数列的性质可知1423a a a a =，411,27a a ∴==，∴等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为4313a q a ==，2133a ∴=⨯=，23139a =⨯=，由韦达定理得3912n =+=，∴281216m n -=-=.9.C 解析：如图，设点Q 为ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，π3,33PAQ AQ PQ ∴∠=∴==，.球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则OA OP r ==，3OQ r =-，在Rt OAQ △中，2r =22(3)(3)r +-，解得2r =，∴球O 的表面积为24π16πr =.10.A 解析：如图，由题意得23F M =，1260F PF ∠=︒，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得212112,PF PF PM MF PF a MF a +=++=∴=，在Rt 12MF F ∆中，由勾股定理得22243a c a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，可得c e a ==11.D解析：∵()()2=f x f x -，∴()f x 关于1x =对称.∵()21f x +-为奇函数，∴由平移可得()f x 关于()2,1对称，且()21f =，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.()()()13222f f f +==，()()241f f ==，∴()()()()12344f f f f +++=，∴()2023120244420234()k f k f ==⨯-==∑.12.A1e 1.011bc ===-可得21.0112a -=，ln1.01b =，11 1.01c =-，比较a 和b ，构造函数()21ln 2x f x x -=-，当1x >，()10f x x x =->'，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()1.0110f f >=，即a b >.同理比较b 和c ，构造函数()1ln 1g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x >，()210x g x x -'=>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()1.0110g g >=，即b c >.综上，a b c >>.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.91615.1或3或5或7(写出其中一个即可)16.313.1解析：作出可行域，易得目标函数z x y =-在点A （4，3）处取得最大值1.14.916解析：f (2log 3)＝f (2log 3－1)＝f (23log 2)＝f (23log 2-1)＝f (23log 4)＝2233log 2log 4494216==.15.1或3或5或7(写出其中一个即可)解析：由已知可得cos(ω·π2)＝0，∴ω·π2＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋2k ，k ∈Z .∵f (x )在区间[0，π8]上单调，∴ωx ∈[0，π8ω]，∴结合y ＝cos u 的图象可得π8ω≤π，∴0<ω≤8，∴ω＝1或3或5或7.16.3解析：由题意知渐近线方程为y ＝±b a x ，右焦点为F (c ，0)，∴d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .＝1＝b ax 得x ＝ab ；由1－y 2b 2＝1（x >0）得x ＝a2（1＋1b 2）＝a b 2＋1b ，∴截面面积为π(a 2（b 2＋1）b 2－a 2b 2)＝πa 2，阴影部分绕y 轴旋转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴V ＝2πa 2＝63dc π＝63bc π，即6a 2＝bc ，∴6a 4＝b 2c 2＝(c 2－a 2)c 2，即6a 4＝c 4－a 2c 2，∴e 4－e 2－6＝0，解得e 2＝3，∴e ＝ 3.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，（或3131sin cos (cos sin )(cos sin )362π22π2A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭）∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴ππ7π2333A <+<，∴π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，∵a c <，∴π2A <，∴π6A =．（6分）（2）由（1）知6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理得224312a c b +==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，即223123232c c c -=+-⋅，整理得22390c c --=，由0c >得3c =，∴11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．（12分）18.解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为117030C C ，∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1170302100C C 14C 33P A ==，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为1433．（4分）（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值350.00610450.01210550.01810650.03410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.01610850.00810950.0061064+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（8分）（3）由题意所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()264,14N ．∵78μσ+=，∴()10.6827780.158652P X ->≈=．故参赛学生中成绩超过78分的学生数为0.15865100001587⨯≈．（12分）19．解析：(1)取DM 中点O ，连接A ′O ，CO ，则由已知可得DM ⊥A ′O ，DM ⊥CO ，∵A ′O ∩CO ＝O ，∴DM ⊥平面A ′CO ，∴DM ⊥A ′C ，∵DC ＝DA ′＝4，∴DN ⊥A ′C ，∵DN ∩DM ＝D ，∴A ′C ⊥平面DMN ，∵A ′C ⊂平面A ′BC ，∴平面A ′BC ⊥平面DMN .(5分)(2)由已知可求得OC ＝OA ′＝23，∴OC 2＋OA ′2＝A ′C 2，∴OC ⊥OA ′，∵A ′O ⊥OD ，CO ⊥OD ，∴以O 为坐标原点，分别以OD ，OC ，OA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则D (2，0，0)，M (－2，0，0)，C (0，23，0)，A ′(0，0，23)．设A ′N →＝λA ′C →(0≤λ≤1)，则A ′N →＝(0，23λ，－23λ)，∴N (0，23λ，23－23λ)，∴DN →＝(－2，23λ，23－23λ)，MD →＝(4，0，0)．设平面DMN 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )·n 1＝4x ＝0·n 1＝－2x ＋23λy ＋（23－23λ）z ＝0，令y ＝λ－1，则n 1＝(0，λ－1，λ)．易得平面CDM 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)．设二面角C-DM-N 的平面角为θ，由图可得θ为锐角，∴cos θ＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝|λ（λ－1）2＋λ2|＝55，解得λ＝13或－1(舍去)．∴A ′N NC ＝12.(12分)(几何法：连接A ′O ，CO ，NO ，则二面角C-DM-N 的平面角为∠CON ，过点N 作NH ⊥CO ，则NH ∥A ′O ，NH ＝CH ＝2HO ，∴OH HC ＝A ′N NC ＝12)20.解析：（1）当m=0时，()ln 21x f x x-=+，其定义域为()0,∞+，()23ln xf x x -'=，∴当()30,e x ∈时，()0f x ¢>；当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x \在()30,e 单调递增，在()3e ,+∞单调递减，()f x \的极大值为()331e 1ef =+，无极小值.（4分）（2）由()0f x <得ln 2e 10xx m x -++<，2ln exx xm x --∴<在()0,∞+上恒成立.令()2ln e xx x h x x --=，则()()()()()22112ln 113ln e e x xx x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==，令()3ln x x x ϕ=-+，易知()x ϕ在()0,∞+单调递增，∵()2ln 210ϕ=-<，()3ln 30ϕ=>，()02,3x ∴∃∈，使得()00x ϕ=，即00ln 3x x =-，∴当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==.由00ln 3x x =-得()0000ln ln e ln e 3x x x x +==，030e e x x ∴=，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-，31em ∴<-，∴m 的取值范围是31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（12分）（由()0f x <得ln 2e 10xx m x -++<，ln 2ln 2ln e e x x xx x x xm x +----∴<=在()0,∞+上恒成立，令ln ,t x x =+易得R,t ∈2e t t m -∴<恒成立，min321()e e t t m -∴<=-）21.解析：（1）由已知可得12p=，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（3分）（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，若AB x ⊥轴，由MF AB ⊥得(0,0)M ，(1,2)A ，(1,2)B -或(1,2)A -，(1,2)B ，此时不满足AM BM ⊥，∴不满足题意；设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，直线MF 的方程为11(0)x y m m=-+≠，将1x my =+代入抛物线方程得2440y my --=，216(1)0m ∆=+>，∴124y y m +=，124y y =-．将11x y m=-+代入抛物线方程得2440y y m +-=，∴233440y y m +-=①．直线AM 的斜率为313122313131444y y y y y y x x y y --==-+-，同理直线BM 的斜率为324y y +．∵AM ⊥BM ，∴3132441y y y y ⋅=-++，∴()231231216y y y y y y +++=-，即2334120y my ++=②．由①②解得3241m y m=-，将其代入①可得()()222244110m m m +---=，解得3m y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩当3m y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩AB的方程为1x =+，(3,M -，||4MF =．∵1y ，2y满足240y --=，∴12y y +=124y y =-．∴12||216AB y =-=，∴11||||1643222ABM S AB MF =⨯⨯=⨯⨯=△.同理可得，当3m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB 的方程为1x =+，(3,M ，||4MF =，∵1y ，2y 满足240y -=+，∴12y y +=-124y y =-．∴12||216AB y =-=，∴11||||1643222ABM S AB MF =⨯⨯=⨯⨯=△，∴ABM 的面积为32．（12分）22.解析：（1）由(2x t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2(x y=-，即20x y -+.故直线l的普通方程是20x y -+.由()2213sin 4ρθ+=得2223sin 4ρρθ+=，代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得22234x y y ++=，∴2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程是2214x y +=.（4分）（2）方法一：由θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥），得sin β=cos 5β=-.将射线(0)θβρ=≥代入曲线C的极坐标方程，可得222513sin 123544M ρβ===+⎫+⨯⎪⎝⎭，∴2Mρ=.直线l的极坐标方程为cos 2sin 0ρθρθ-+=，将(0)θβρ=≥代入直线l的极坐标方程可得cos 2sin 0ρβρβ-+=，∴N ρ=，∴22N M MN ρρ=-=.（10分）方法二：由题可得射线θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥）的直角坐标方程为1(0)2y x x =-≤.联立()2214102x y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.联立()20102x y y x x ⎧-+⎪⎨=-≤⎪⎩解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(N -.∴MN .（10分）23.解析：（1）()223f x x x =++-=31,15,1331,3x x x x x x -+≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，∴不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（5分）（2）∵22min R,3(),3()x a a f x a a f x ∀∈-≤∴-≤，由（1）知()f x 在(,1)-∞-递减，[1,3)-递增，[3,)+∞递增，min ()(1)4f x f ∴=-=，2234,434a a a a ∴-≤∴-≤-≤，解得14a -≤≤（10分）。

2020年陕西安康高三三模数学试卷(理科)

．
（ 2 ）建立如图所示空间直角坐标系
，设
，
则 ∴ 设平面则
，
，
，
的法向量为
，
，，，
令
，则
，
同理可求得平面
的法向量
，
∴
，
由图可得二面角
为钝角，
12
∴余弦值为．故答案为：．
20.（ 1 ）
．
（2）．
解析:
（ 1 ）设
、
，
则
，
相减整理得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴椭圆的方程为
（ 2 ）由（）知
5. A 解析: ．横坐标伸长到原来的倍后得到函数
由故选．
得对称轴方程为
的图象，
，
．
6. B
解析:
当
，且，
则可得与可能平行，也可能相交或异面，
当
时，由
，则或
，
又，则可得，
所以“ ”是“
”的必要不充分条件．
6
故选．
7. B
解析:
设
，
，
由抛物线的定义得
，
∴
，
∴中点的横坐标为，
∴线段的中点到轴的距离为．
，
∴直线的方程为
．，
联立
，
解得
或
，
∴
．
由题意知过
、
设为，则方程为
两点的直线斜率存在，，
联立：
，整理得
，
则
．
∴ 四边形
13
．
令
，则

陕西省安康市2023届高三三模理科数学试题及参考答案

陕西省安康市2023届高三三模（第三次质量联考）理科数学试题及参考答案一.选择题1.已知集合(){}2,x y y x A ==，(){}x y y x B ==,，则=B A （）A.{}1,0 B.(){}0,0 C.(){}1,1 D.()(){}1,10,0，2.若复数()R b a bi a z ∈+=,满足i z +2为纯虚数，则=ab （）A.2- B.21-C.21 D.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，443=+a a ，则=6S （）A.6B.12C.18D.244.已知向量()1,2=a，()x b ,1= ，若b a -2与b 共线，则=b （）A.25 B.45 C.5 D.55.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1日至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为a x y+=4.6ˆ.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）A.440B.441C.442D.4436.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成的圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）A.3π B.2π C.32π D.π7.在72⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，下列说法正确的是（）A.所有项的二项式系数和为1B.第4项和第5项的二项式系数最大C.所有项的系数和为128D.第4项的系数最大8.已知方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根组成以1为首项的等比数列，则=-n m （）A.8B.12C.16D.209.已知正三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为3π，且32=P A ，则球O 的表面积为（）A.π8 B.π12 C.π16 D.π1810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上一点，︒=∠6021PF F ，点2F 到直线1PF 的距离为a 33，则椭圆C 的离心率为（）A.33B.22 C.36 D.32211.定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =-2，且()12-+x f 为奇函数，则()∑==20231k k f （）A.2023-B.2022- C.2022 D.202312.若01.11121=-==+ce a b，则（）A.cb a >> B.ca b >> C.ba c >> D.ab c >>二、填空题13.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->7220y x y x x ，则y x z -=的最大值是.14.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤=0,10,4x x f x x f x ，则()=3log 2f .15.已知函数()()0cos >=ωωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，π对称，且在区间⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，则ω的一个取值是.16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，的右焦点到渐近线的距离记为d ，双曲线C 的两条渐近线与直线1=y ，1-=y 以及双曲线C 的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为πdc 36（其中222b a c +=），则双曲线C 的离心率为.三、解答题17.已知ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且c a <，416cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ.（1）求A ；（2）若3=b ，B Cc A a sin 34sin sin =+,求ABC ∆的面积.18.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100)内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率；（2）估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()2,σμN ，其中14≈σ，μ为样本平均数的估计值，试估参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则()6827.0≈+≤≤-σμσμX P ,()9545.022≈+≤≤-σμσμX P ，()9973.033≈+≤≤-σμσμX P .19.如图1，四边形ABCD 是梯形，CD AB ∥，421====AB CB DC AD ，M 是AB 的中点，将ADM ∆沿DM 折起至DM A '∆，如图2，点N 在线段C A '上.（1）若N 是C A '的中点.证明：平面⊥DMN 平面BC A '；（2）若62='C A ，二面角N DM C --的余弦值为55，求NCN A '的值.20.已知函数()12ln +-+=xx me x f x.（1）若0=m ，求函数()x f 的极值；（2）若()0<x f 恒成立，求m 的取值范围.21.已知抛物线C ：px y 22=的焦点为()01，F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，M 为抛物线C 上的点，且BM AM ⊥，AB MF ⊥，求ABM ∆的面积.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()⎩⎨⎧=-=ty t x 222（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()4sin 3122=+θρ.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)与曲线C 在x 轴上方交于点M ，与直线l 交于点N ，求MN .23.已知函数()322-++=x x x f .（1）求不等式()5≤x f 的解集；（2）若R x ∈∀，()x f a a ≤-32，求a 的取值范围.参考答案一.选择题1.D 解析：由题意得⎩⎨⎧==xy x y 2，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，故=B A ()(){}1,10,0，.2.A解析：()()()()()52222222ia b b a i i i bi a i bi a i z -++=-+-+=++=+为纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+0202a b b a ，∴2-=a b.3.B解析：()()12262643616=+=+=a a a a S .4.A 解析：由题意得()xb a -=-2,32 ，∴x x -=23，解得21=x ，∴25411=+=b .5.C解析：由题意，3554321=++++=x ，90510098938475=++++=y ，将()90,3代入a x y+=4.6ˆ，可得a +⨯=34.690，解得8.70=a ，线性回归直线方程为8.704.6ˆ+=x y，将58=x 代入上式，4428.70584.6ˆ=+⨯=y.6.C解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为6+x ，由相似得316=+x x ，解得3=x .∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为32312ππ=⋅.7.B解析：展开式所有项的二项式系数和为12827=，故A 错误；展开式共有8项，∴第4项和第5项二项式系数最大，故B 正确；令1=x 得所有项的系数和为()1127=-，故C 错误；()7277121--+⋅⋅-⋅=r r rr r x C T ，∴642,,T T T 均小于0，3371672,128--==x T x T ，57514280x T x T ==，，∴第3项的系数最大，故D 错误.8.C解析：设方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根由小到大依次为4321,,,a a a a 不妨设0272=+-mx x 的一个根为1，则另一根为27，∴28271=+=m .由等比数列的性质可知3241a a a a =，∴27141==a a ，，∴等比数列4321,,,a a a a 的公比为3314==a a q ，∴931331232=⨯==⨯=a a ，，由韦达定理得1293=+=n ，∴161228=-=-n m .9.C解析：如图，设点Q 为ABC ∆的中心，则⊥PQ 平面ABC ，∴3π=∠P AQ ，∴3=AQ ，3=PQ .球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则r OQ r OP OA -===3，，在OAQ Rt ∆中，()()22233r r -+=，解得2=r ，∴球O 的表面积为ππ1642=r .10.A 解析：如图，由题意得a M F 332=，︒=∠6021PF F ，∴a PF a PM 32312==，，由椭圆定义可得a PF MF PM PF PF 22121=++=+，∴a MF =1.在21F MF Rt ∆中，由勾股定理得222433c a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得33==a c e .11.D 解析：∵()()x f x f =-2，∴()x f 关于1=x 对称，∵()12-+x f 为奇函数，∴由平移可得()x f 关于()1,2对称，且()12=f ，∴函数()x f 是以4为周期的周期函数.()()()()()12422231====+f f f f f ，，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()2023442024420231=-⨯=∑=f k f k.12.A 解析：由01.11121=-==+c e a b得01.11101.1ln 2101.12-==-=c b a ，，，比较a 和b ，构造函数()x x x f ln 212--=，当1>x ，()01>-='x x x f ，()x f 在()∞+，1上单调递增，故()()0101.1=>f f ，即b a >.同理比较b 和c ，构造函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x g 11ln ，当1>x ，()012>-='xx x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递增，∴()()0101.1=>g g ，即c b >.综上：c b a >>.二、填空题13.1解析：作出可行域，易得目标函数y x z -=在点()3,4A 处取得最大值1.14.169解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=43log 123log 23log 13log 3log 22222f f f f f 1692443log 243log 22===.15.1或3或5或7（写出其中一个即可）解析：由已知可得02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πω，∴Z k k ∈+=⋅,22πππω，∴Z k k ∈+=,21ω.∵()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ωπω8,0x ，∴结合x y cos =的图象可得πωπ≤8，∴80≤<ω，∴=ω1或3或5或7.16.3解析：由题意知渐近线方程为x a by ±=，右焦点为()0,c F ，∴b ba bc d =+=22由⎪⎩⎪⎨⎧±==x a b y y 1得b a x =；由()⎪⎩⎪⎨⎧>=-=0112222x b y a x y 得b b a b a x 111222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，∴截面面积为()2222221a b a b b a ππ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴πππbc dc a V 363622===，即bc a =26，∴()2222246c a c c b a -==，即22446c a c a -=，∴0624=--e e ，解得32=e ，∴3=e .三、解答题17.解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-A A A A A 6cos 6cos 32cos 6cos 3sin 2ππππππ412123cos =+⎪⎭⎫⎝⎛+=A π，∴2123cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+A π，∵π<<A 0，∴37233πππ<+<A ，∴3223ππ=+A 或3423ππ=+A ，解得6π=A 或2π=A ，∵c a <，∴2π<A ，∴6π=A .（2）由（1）知6π=A ，B C c A a sin 34sin sin =+，由正弦定理得123422==+b c a 由余弦定理得A bc c b a cos 2222⋅-+=，即233231222⋅-+=-c c c ，整理得09322=--c c ，由0>c 得3=c ，∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .18.解：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为130170C C ，∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()33142100130170==C C C A P ,即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为3314.（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值10034.06510018.05510012.04510006.035⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=x 6410006.09510008.08510016.075=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+.（3）由题意所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()21464，N .∵78=+σμ，∴()15865.026827.0178=-≈>X P .故参赛学生中成绩超过78分的学生数为15871000015865.0≈⨯.19.解：（1）取DM 中点O ，连接CO O A ，'，则由已知可得CO DM O A DM ⊥'⊥，，∵O CO O A =' ，∴⊥DM 平面CO A '，∴C A DM '⊥，∵4='=A D DC ，∴C A DN '⊥，∵D DM DN = ，∴⊥'C A 平面DMN ，∵⊂'C A 平面BC A '，∴平面⊥DMN 平面BCA '（2）由已知可求得32='=A O OC ，∴222C A A O OC '='+，∴A O OC '⊥，∵OD CO OD O A ⊥⊥'，，∴以O 为坐标原点，分别以A O OC OD '，，所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -.则()()()()32000,320002002，，，，，，，，，，A C M D '-.设()10≤≤'='λλC A N A ，则()λλ32,320-='，N A ，∴()λλ3232,320-，N ，∴()λλ3232,322--=，DN ，()00,4，=MD 设平面DMN 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=⋅==⋅032323220411z y x n DN x n MD λλ ，令1-=λy ，则()λλ,1,01-=n .易得平面CDM 的一个法向量为()1,0,02=n.设二面角N DM C --的平面角为θ，由图可得θ为锐角，()551cos 222121=+-=⋅=λλλθn n n n .解得31=λ或-1（舍去），∴21='NC N A .20.解：（1）当0=m 时，()12ln +-=x x x f ，其定义域为()∞+，0，()2ln 3x xx f -='，∴当()3,0ex ∈时，()0>'x f ；当()+∞∈,3e x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()3,0e 上单调递增，在()+∞,3e 上单调递减，∴()xf 的极大值为()1133+=e e f ，无极小值.（2）由()0<x f 得012ln <+-+x x me x ，∴x xe x x m --<ln 2在()∞+，0上恒成立.令()x xe x x x h --=ln 2，则()()()()()xx e x x x x e x x x x x x x h 22ln 311ln 211+-+=+---⎪⎭⎫ ⎝⎛--='，令()x x x ln 3+-=ϕ，易知()x ϕ在()∞+，0单调递增，∵()012ln 2<-=ϕ，()03ln 3>=ϕ，∴()3,20∈∃x ，使得()00=x ϕ，即003ln x x -=，∴当()0,0x x ∈时，()0<'x h ；当()+∞∈,0x x 时，()0>'x h ；∴()x h 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，∴()()00000min ln 2x ex x x x h x h --==.由003ln x x -=得()3ln ln ln 0000==+x x e x ex ，∴300e e x x =，∴()()30000min 1ln 20e e x x x x h x h x -=--==，∴31e m -<，∴m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31e ，.21.解：（1）由已知可得12=p ，解得2=p ，∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）设()()2211,,y x B y x A ，，()33,y x M ，若x AB ⊥轴，由AB MF ⊥得()()()212100-，，，，，B A M 或()()2121，，，B A -，此时不满足BM AM ⊥，∴不满足题意；设直线AB 的方程为()01≠+=m my x ，直线MF 的方程为()011≠+-=m y m x ，将1+=my x 代入抛物线方程得0442=--my y ，()01162>+=∆m ，∴442121-==+y y m y y ，.将11+-=y m x 代入抛物线方程得0442=-+y m y ，∴044323=-+y my ①.直线AM 的斜率为132123131313444y y y y y y x x y y +=--=--，同理直线BM 的斜率为234y y +.∵BM AM ⊥，∴⋅+134y y 1423-=+y y ，∴()162132123-=+++y y y y y y ，即0124323=++my y ②.由①②解得2314m m y -=，将其代入①可得()()011442222=---+m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==3233y m 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233y m .当⎪⎩⎪⎨⎧-==3233y m 时，直线AB 的方程为13+=y x ，()323-，M ，4=MF .∵21,y y 满足04342=--y y ，∴4342121-==+y y y y ，.∴()161648242121221212=+=-+=-+=y y y y y y m AB ，∴324162121=⨯⨯=⨯⨯=∆MF AB S ABM .同理可得，当⎪⎩⎪⎨⎧=-=3233y m 时，直线AB 的方程为13+-=y x ，()323，M ，4=MF .∵21,y y 满足04342=-+y y ，∴4342121-=-=+y y y y ，.∴()161648242121221212=+=-+=-+=y y y y y y m AB ，∴324162121=⨯⨯=⨯⨯=∆MF AB S ABM .∴ABM ∆的面积为32.22.解：（1）由()⎩⎨⎧=-=t y t x 222得()222-=y x ，即0242=+-y x .故直线l 的普通方程是0242=+-y x .由()4sin 3122=+θρ得4sin 3222=+θρρ，代入公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得43222=++y y x ，∴1422=+y x ，故曲线C 的直角坐标方程是1422=+y x .（2）由βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)得55sin =β，552cos -=β.将射线βθ=（0≥ρ）代入曲线C 的极坐标方程，可得2555314sin 314222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=βρM ，∴210=M ρ.直线l 的极坐标方程为024sin 2cos =+-θρθρ，将βθ=（0≥ρ）代入直线l 的极坐标方程可得：024sin 2cos =+-βρβρ，∴10=N ρ，∴21021010=-=-=M N MN ρρ.23.解：（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+-=-++=3,1331,51,13322x x x x x x x x x f .①当1-≤x 时，34513-≥⇒≤+-x x ，解得134-≤≤-x ；②当31<<-x 时，055≤⇒≤+x x ，解得01≤<-x ；③当3≥x 时，2513≤⇒≤-x x ，无解.∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-034x x .（2）∵R x ∈∀，()x f a a ≤-32，∴()min 23x f a a ≤-，由（1）知()x f 在()1-∞-，单调递减，[)3,1-单调递增，[)∞+，3单调递增，∴()()41min =-=f x f ，∴432≤-a a ，∴4342≤-≤-a a ，解得41≤≤-a .。