高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
高中数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案
高中数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.3．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-<⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ，C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ）A ．2n S n =B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=C ．11k =D ．21n a n =- 【答案】ACD【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=， 则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 解答题专项 三角函数中的综合问题
=cos 2x(cos
2π
2xcos 3 +sin
1
3
2
=- cos 2x+ sin
2
2
2π
2x·
cos(2x- 3 )
2π
2xsin 3 )
2xcos 2x
1 3
=2 ( 2 sin
1
4x-2cos
1
4x)-4
1
π 1
= sin(4x- )- .
2
6 4
令
π
2kπ2
π
≤4x6
π
π
解得 2 − 12
sin
bc=1.
在△ABC中,A+B+C=π,
则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.
①式变形为sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+cos Asin B,
即-sin B=2sin Bcos A.
例1已知函数f(x)=cos2x-sin2x,g(x)=f(x)·f(x-
π
3
).
(1)求g(x)的单调递增区间;
(2)若三角形ABC的三边a,b,c满足(a+b)2-c2=ab,求g(A)的取值范围.
解 (1)由题意得 f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,
所以
π
g(x)=f(x)·
f(x-3)=cos
所以 8 =- 4 ,
即c2=6x2-2b2+12.
又c=2b,所以b2=x2+2.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A.
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案
高考数学一轮复习提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案一、三角函数与解三角形多选题 1．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求13AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3335353sin 3sin()23S D D D π=-+=-+. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得13AC =C 正确；四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得1672sin1164cR C===-，ABC 外接圆半径为87，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确；由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值32，所以函数的值域是31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1BC ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4， 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.8．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①②由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.9．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.10．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】 化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确；对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误；对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.。
最新高考数学二轮复习：专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断；2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形；3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式；5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式；6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。
【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。
【名校试题荟萃】1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数.（1）.求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π， （2）【解析】（1），π=T ,单调递增区间为；（2）∴当时，，∴.当时，，∴.2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2），所以，得①，由（1）得，所以.在中，由正弦定理，得，即②，联立①②，解得，，则，所以.3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围．【答案】（1），单调递增区间为；（2）．故．令，解得∴的单调递增区间为．（2），，，又，故的取值范围是．4、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考理科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（sinC-sinA）=（sinA+sinB）（b - a）.（1）求B；（2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，则由正弦定理得:,∴，∴，又，∴．∴，又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，.5、（湖北省重点高中联考协作体2018届高三上学期期中考试数学文）试题）在△中，内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定得，∴，整理得，∴，又∴∵ ，当且仅当，即，时等号成立，∴，解得，∴，∴ ,故的范围是。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
专题05 解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b cC ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.一、梳理必备知识5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC=③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S = 【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
最新高考数学二轮复习解题思维提升专题三角函数与解三角形大题部分训练手册
专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断；2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形；3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式；5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式；6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。
【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。
【名校试题荟萃】1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数.（1）.求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π， （2）【解析】（1），π=T ,单调递增区间为；（2）∴当时，，∴.当时，， .2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2），所以，得①，由（1）得，所以.在中，由正弦定理，得，即②，联立①②，解得，，则，所以.3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围．【答案】（1），单调递增区间为；（2）．故．令，解得∴的单调递增区间为．（2），，，又，故的取值范围是．4、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考理科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（sinC-sinA）=（sinA+sinB）（b - a）.（1）求B；（2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，则由正弦定理得:,∴，∴，又，∴．∴，又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，.5、（湖北省重点高中联考协作体2018届高三上学期期中考试数学文）试题）在△中，内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定得，∴，整理得，∴，又∴∵ ，当且仅当，即，时等号成立，∴，解得，∴，∴ ,故的范围是。
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
三角函数与解三角形高考专题大题练习(含答案)
（Ⅰ）由正弦定理得 ，
所以 ，因 ，故 .
，故 .
（Ⅱ） ，由正弦定理 ，及 得 ，∴ ，
∴ 周长
∵ ∴当 即 时
所以 周长 的最大值为6．
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.三角形中的关于边的最值问题，可以利用正弦定理化为关于某角的三角函数式的最值问题（多元问题转化为一元函数问题）.
由 知 ,在 中利用余弦定理得到关于 的方程,与方程 联立求出 ,进而求出 ,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意得， ,
由二倍角的余弦公式可得,
,
又因为 ，所以 ，
解得 或 ，
∵ ，∴ .
在 中,由余弦定理得 ,
即 ①
又因为 ,把 代入①整理得，
，解得 ， ，
所以 为等边三角形， ，
∴ ,
（2）BM平分角B交AC于点M，且 ， ，求 ．
4．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 的内角 对边分别为 ，且 , ,
若 ,求 的值．
5．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 的最大值，并求此时角 的大小．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足
（2）根据（1）中的结论，根据三角形面积之间的和关系，结合角平分线的性质、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
解法一：（1）因为 且 ，
所以 ，
根据正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，
因为 ， ，
三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结
三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A ．2.三角恒等变换给值求值问题典例2：（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质π5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω，A 解析式 典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换 典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈3π6π12写性质 根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤 注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+， 求ω 先求周期T ，再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，注意区分是在增区间还是减区间上 求解析式写出解析式解题思路及步骤 注意事项写出变换法则 把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数 代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2【解析】先变周期：先变相位：选D ．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为， 所以，所以，得（舍去）或12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.令AB c=，BC a=，则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结 （一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．2.诱导公式：对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式： （1）升幂公式：sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决 定，tan b aϕ=).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： 振幅：A ，周期：2πωT =，频率：12f ωπ==T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．9.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=； 化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形：222cos 2b c a bc+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）()c b a r S ++=21（r 为三角形内切圆半径）。
压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】π1()sin cos sin sin 62f x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 22x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-⎪⎪⎭π6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()f x 在 [0,π]上仅有2个零点，当 [0,π]x ∈时，πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦（0ω>），所以πππ6ππ2π6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得71366ω≤<．故选：B.2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()0,2πx ∈，0ω>，所以πππ,2π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，画出2cos 1y z =+的图象，要想图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ππ2π,3π33ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，解得50,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：A3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】由题意知π3sin 62x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个解．因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3ππ,6646x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则需2π3ππ7π3463ω≤-<，解得101093ω≤<．故选：C4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．212⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 3422cos301BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯=，显然2224AB BD AD +==，即90ABD ∠=o ，60ADB ∠=o ，在BCD △中，1BD =，15CBD ∠= ，因为ABCD 为平面凸四边形，则有0120BDC <∠< ，因此45165BCD <∠< ，而62sin165sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302==-=-=，由正弦定理sin sin CD BD CBD BCD =∠∠得：sin 62sin 4sin BD CBD CD BCD BCD∠==∠∠，当4590BCD <∠≤ 时，sin 12BCD <∠≤，当90165BCD <∠< 时，sin 1BCD <∠<，sin 1BCD <∠≤，11sin BCD ≤<∠1CD ≤<，所以CD 的取值范围是62[4.故选：A5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．32【答案】D【解析】因为2222b a c =+，所以()222cos ,0,π22a c b aB B ac c+-==-∈，所以sin B =42c=，所以△ABC 的面积14sin 24ABCS ac B == =222194122a c a +-⨯()22421122a c +=⨯32=，当且仅当22249c a a -=，即a c ==ABC 面积的最大值为32.故选:D6．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【解析】由余弦定理可得22222162cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=，即16ac ≤，当且仅当4a c ==时，等号成立，故1sin 162ABC S ac B ac =⨯= .因此，ABC面积的最大值为故选：B.7．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8【答案】C【解析】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象关于直线π36x =-对称，所以πππ362n ωϕ-⋅+=+，n ∈Z ，所以ϕ=1π236n ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，n ∈Z ，根据π5π1836x <<，则π5π1836x ωωω<<，所以π5π1836x ωωϕωϕϕ+<+<+，因为()()sin f x x ωϕ=+是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数.所以ππ2π,1825π3π2π,362k k k k ωϕωϕ⎧+≥+∈⎪⎪⎨⎪+≤+∈⎪⎩Z Z ，所以π1ππ2π,,1823625π13ππ2π,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，即112,,1823625132,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，解得()()122621k n k n ω-≤≤-+，n ∈Z ，k ∈Z ，因为0ω>，所以20k n -=或21k n -=，当20k n -=时，06ω<≤，当21k n -=时，1212ω≤≤；由于π7π5π187236<<，且f （x ）的一个零点是7π72x =，所以()7π21π72m ωϕ⨯+=+，m ∈Z ，所以()7π1π21π72236n m ωω⎛⎫⨯+++=+ ⎪⎝⎭，m ∈Z ，n ∈Z ，即()824m n ω=-+，m ∈Z ，n ∈Z .根据06ω<≤或1212ω≤≤，可得4ω=，或12ω=，所以ω的最小值为4.故选：C.二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠【答案】ABD【解析】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===- ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈ ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x my n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D正确；故选：ABD三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则ca的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得()2sin sin 2sin sin cos sin sin 2C B A A A B B A-=+()2sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin cos A A B B A A A A B B A =+=+()2sin sin A A B =+，因为π0<<,π2C C A B -=+，所以()()0s s in s in πin C A C B =-=≠+，可得()sin sin B A A -=，因为ππ0022A B <<<<，，所以ππ22B A -<-<，所以2B A =，π3C A =-，由202πB A <=<，203ππC A <<=-可得ππ64A <<，cos 22A <<，213cos 24A <<，由正弦定理得()sin 2sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin A A c C A A A A Aa A A A A++====()222cos cos 24cos 11,2A A A =+=-∈.故答案为：()1,2.10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.【答案】506ω<≤【解析】因为0ω>，()0,πx ∈，所以ππππ333x ωω-<-<-，又因为函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，所以πππ32ω-≤，解得506ω<≤，所以ω的取值范围是506ω<≤故答案为：506ω<≤.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.【答案】132,]4【解析】由sin sin sin b B a A a C =+,得22b a ac =+,由余弦定理得2222cos 222b c a c ac a cA bc bc b+-++===,由正弦定理得sin sin cos 22sin a c A C A b B++==,即s sin 2sin c i o n s C B A A +=,又()sin sin C A B =+，所以sin sin cos cos sin 2cos sin A A B A B A B ++=,即sin sin os sin cos A Bc A A B =-,所以()sin sin A B A =-，因为,A B 为ABC 的内角,所以πB A A -+=(舍去)或B A A -=,所以2B A =.由正弦定理得33sin sin 3sin 2sin()3sin 2sin 3sin sin sin b c B C A B A A Aa A A A---+-===因为()2sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos 2sin A A A A A A A A A A A =+=+=+,又(0,π),sin 0A A ∈≠，所以236sin cos 2sin cos cos 2sin sin b c A A A A A Aa A---=2226cos 2cos cos 26cos 2cos 2cos 1A A A A A A =--=--+223134cos 6cos 14(cos )44A A A =-++=--+,由于π2(0,)2B A =∈得π(0,)4A ∈，由πππ3(0,)2C A B A =--=-∈，得ππ(,)63A ∈，则ππ(,)64A ∈，所以2cos 2A ∈，当3cos 4A =时，23134(cos )44A --+取最大值134，当cos A =23134(cos )44A --+等于2，当cos A =23134(cos )44A --+等于1，而21>，所以3b ca -取值范围是132,]4，故答案为：132,]412．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可知，6C AB C B A =-=，即6PC PB +=.在CDP △中，有CD AC 2==，DP PB =，所以6PC DP +=.由余弦定理可得，()222224cos 22PC DP PC DP PC DP CD CPD PC DP PC DP+-⋅-+-∠==⋅⋅3624162PC DP PC DP PC DP PC DP-⋅--⋅==⋅⋅，所以22sin 1cos CPD CPD ∠=-∠2161PC DP PC DP -⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭2221632PC DP PC DP -+⋅=⋅，所以有221sin 2CDPS PC PD CPD ⎛⎫=⋅∠ ⎪⎝⎭△22221256324PC DPPC DP PC DP -+⋅=⋅⋅⋅⋅864PC DP =⋅-2864896482PC DP +⎛⎫≤-=⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当3PC PB ==时，等号成立.所以，28CDP S ≤△，所以，CDP S ≤△CDP △的面积的最大值为故答案为：四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B Cc a C +=；②sin 1cos a C A=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选择①：由正弦定理可得，sin cossin sin 2AC A C =，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以cossin 2A A =，即cos 2sin cos 222A A A =，因为π022A <<，所以cos 02A >，所以1sin 22A =，所以π26A =，即π3A =；选择②sin 1cos a CA=-，则sin cos a C A =，由正弦定理得sin sin cos A C C C A =-，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以sin A A =，即π3sin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以π2π33A +=，即π3A =；选择③：由()2221sin 42ABC S b c a bc A =+-= ，222sin 2b c a A bc+-=sin A A =，所以tan A =0πA <<，故π3A =.（2）方法一：πsin sin sin sin 3B C B B ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin sin cos 22B B B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin sin cos 22B B B =+11cos244B B =-11πsin 2426B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为2π03B <<，所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以11π3024264B ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.方法二：由余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，再由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，因为π3A =，所以223sin sin sin sin 2sin sin sin sin 4B C B C B C B C =+-≥-，即3sin sin 4B C ≥，当且仅当sin sin 2B C ==时“=”成立.又因为sin 0B >，sin 0C >，所以30sin sin 4B C <≤，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．【解析】（1）cos 4AB AC bc A ⋅==，由sin 8sin ac B A =及正弦定理，得8abc a =，得8bc =，代入cos 4bc A =得1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，所以2ππ3C A B B =--=-.所以2ππsin sin sin sin sin 33A B C B B B B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213cos sin sin cos sin 22244B B B B B B ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭3sin 228B B =+π2468B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π03B <<,所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以3π333024688B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，故sin sin sin A B C 的取值范围是⎛ ⎝⎦.15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．【解析】πcos 2sin 6y x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，0ω>，所以πππ,2666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数π2sin 6y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2x ∈上有唯一的最小值-2，所以π3π7π2,622ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，解得5π11π,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故ω的取值范围是5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．【解析】（1）由1sin 42ac S ac B ==，得1sin 2B =，()()()()2222224cos cos 41sin 1sin 4sin sin A B A B B A ⎡⎤-=---=-⎣⎦，由正弦定理24sin sin a bR A B===，4sin ,4sin a A b B ==，则2()sin 4sin 4sin b B B A B =-，由()224cos cos ()sin A B b B -=，得()2224sin sin 4sin 4sin B A B A B -=-，化简得2sin sin A A B =，由()0,πA ∈，sin 0A ≠，解得sin A B =，因此sin A =.（2）由（1）得，若A 为钝角，则120A =o ，则3030B C == ，，如图建立平面直角坐标系，则(0,2),(A B C ，设(2cos ,2sin )P θθ．则(2cos ,22sin )PA θθ=-- ，(2cos ,12sin )PB θθ=- ，2cos ,12sin )PC θθ=-，有66sin PA PB θθ⋅=-+ ，66sin PA PC θθ⋅=-- ，24sin PB PC θ⋅=-，则1416sin PA PB PA PC PB PC ⋅+⋅+⋅=-θ．由sin [1,1]θ∈-，则1416sin [2,30]-∈-θ，所以PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围为[2,30]-.17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.【解析】（1）由2ππω=，得2ω=，所以()πππ2sin 22sin 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ，取0k =，得π3x =，取1k =-，得π6x =-，因为ππ63-<，所以与y 轴距离最近的对称轴方程为π6x =-.（2）由已知得()()1πππ2sin 2sin666f x x x ωωω-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令()1ππ6x k ωω-+=，k ∈Z ，解得61π6k x ωω+-=，k ∈Z .因为()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，所以π613ππ26267ππ<62653ππ>62k k k ωωωωωω+-⎧≤≤⎪⎪+-⎪⎨⎪++⎪⎪⎩()k ∈Z 所以616182676528k k k k ωω--⎧≤≤⎪⎪⎨-+⎪<<⎪⎩.因为0ω>，所以616102861026567082k k k k k --⎧-≥⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩，解得133618k <<，k ∈Z ，所以1k =，解得51188ω≤<，即ω的取值范围为511,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．【解析】（1）因为2cos c b A b -=，由正弦定理得sin 2sin cos sin C B A B -=又πA B C ++=，所以()()sin 2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B A A B A B A B B+-=-=-=因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以A B B -=，即2A B =；（2）由（1）可知，2A B =，所以在ABD △中，ABC BAD ∠=∠，由正弦定理得：()2sin sin π2sin2AD AB B B B ==-，所以1cos AD BD B==，所以1sin sin tan 2cos ABD BS AB AD B B B=⨯⨯⨯== ．又因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<，0π22B <<，0π3π2B <-<，解得π6π4B <<，所以tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，即ABD △面积的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.【解析】（1）由22sin cos 1θθ+=得M 的普通方程为2214y x +=.（2）直线l 即sin cos 4ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==得直线l 的普通方程为40x y +-=，设(cos ,2sin )D θθ，则d =其中cos ϕϕ==因为cos()[1,1]θϕ-∈-,⎤⎥⎣⎦，所以D 到l 距离的取值范围为4210421022⎡⎢⎣⎦.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．【解析】（1）()()0a b c a b c ab -+--+= ，222a b c ab ∴+-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0πC << ，π3C ∴=，sin C ∴=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+，sin C=sin 3(sin cos sin cos )3sin()3sin 2B cC A A C A C B∴⋅⋅=+=+=，0πB << ，即sin 0B ≠，32c =，解得c =．（2）由正弦定理得，4sin sin sin a b c A B C ===，∴4sin a A =，4sin b B =，∴4sin 4sin a b A B +=+，πA B C ++=，π3C =，∴2π3B A =-则2π4sin 4sin 3a b A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭14(sin cos sin )2A A A =+6sin A A=+π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC 为锐角三角形，∴π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴(π6,6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即(6,a b +∈．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．【解析】（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：b a cb c b a-=-+，整理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵(0,π)A ∈，则π3A =.（2）由（1）可得：π3A =，且2c =，锐角ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==，可得π2sin sin sin 31sin sin sin C c A c B a b C C C ⎛⎫+ ⎪⋅⋅⎝⎭====则)21cos 21111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C C ++=++=+=+∵ABC 锐角三角形，且π3A =，则π02π02C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C <<，即ππ1224C <<，且ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⋅可得()tan 22C ∈，则(114tan 2C++，故a b +的范围是(14+.22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【解析】（1）由正弦定理，sin sin sin sin a b A C a cc A B a b+--==--，可得222,b a c ac =+-再由余弦定理，1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.因为2sin3bRB==，所以3R=.（2）由（1）可知：2249a c ac+-=，则2()493a c ac+=+.()11sin22ABCS ac B a b c r==++⋅则)23()497277ac a cr a ca c a c+-===+-++++.在ABC中，由正弦定理，sin sin sina c bA C B===,sina A c C，则)1431432πsin sin sin sin333a c A C A A⎡⎤⎛⎫+=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14331sin cos sin322A A A⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭31πsin cos14sin cos14sin226A A A A A⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又ππ2π0,,333A⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ5π,,66226A⎛⎫⎛⎫+∈⋃⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin,162A⎛⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π14sin7,146A⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以r⎛∈⎝⎭.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C，且22a b bc-=．(1)求角B的取值范围；(2)若4c=，求ABC中AB边上的高h的取值范围．【解析】（1）因为22a b bc-=，所以2222cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---===，所以2cos c b b A -=，sin sin 2sin cos C B B A -=，又()πC A B =-+，所以()sin sin 2sin cos A B B B A =+-，整理可得()sin sin A B B -=，所以A B B -=或πA B B -+=(舍去)，所以2A B =，又ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由题可知11sin 22S ch ac B ==，即sin h a B =，又()sin 2sin sin π3a b cB B B ==-，所以4sin 2sin 3Ba B=，所以4sin 2sin 4sin 2sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin B B B Bh a B B B B B B===+248tan 81133tan tan tan tan 2tan B B B B B B===-+-，由64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以3tan tan B B ⎛-∈ ⎝⎭，所以)4h ∈，即ABC 中AB 边上的高h 的取值范围是)4.24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；③sin 1cos Aa B=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【解析】（1）若选①因为2sin cos cos cos a B B C B =，由正弦定理得2sin sin cos cos cos A B B B C C B =，即sin sin (sin cos sin cos )A B B B C C B +sin()B B C =+，所以sin sin sin A B B A =，由(0,π)A ∈，得sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选②由22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，化简得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=.由正弦定理得：222a cb ac +-=，即222122a cb ac +-=，所以1cos 2B =.因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选③sin A =sin sin (1cos )B A A B =+，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，1cos B B =+，所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ5π666B -<-<，所以π3B =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin c A a C =，sin sin 2sin c B b C C ==由（1）知：π3B =，又с=1代入上式得：222223sin 3sin 3sin()22cos 12()cos 1cos 1cos sin sin sin sin A A B C a b c ab C C C CC C C C ++=+=+⨯=+=+22π1sin()3321cos 1cos 1sin 2tan C C C C C +=+==+因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C1tan C ∴∈，所以()2222331711,72tan 2tan 2tan 68a b C C C ⎛+=++=++∈ ⎝⎭.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅22112222x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD1+.解法二：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA上的投影向量为BA λ ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅= .又22BA BD BA BA ⋅== ，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 22θ=+，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=2h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以122BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为12+.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．【解析】（1）在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos 3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-∴2222221c os27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin DBC ∠=,∴2π1311cos cos cos sin 32214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠= ⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD =（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2πsin()sin π314sin()2πsin 3sin 3BC BCD BD BDCθθ-∠===+∠，所以π2π11sin sin 2214sin()()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34()θ=+，当2πsin (13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．【解析】（1）∵236sin02A Ba b b +-+=，∴22π36sin36cos 022C Ca b b a b b --+=-+=，∴1cos 3602Ca b b +-+⋅=，∴3cos 0a b C +=．（2）由（1）可得：sin 3sin cos 0A B C +=，且C 为钝角，即4sin cos cos sin 0B C B C +=，即4tan tan 0B C +=，tan 4tan C B =-，()2tan tan 3tan 3tan tan 11tan tan 4tan 14tan tan B C B A B C B C B B B+=-+=-==-++34=，当且仅当14tan tan B B =，即1tan 2B =时取等号．故tan A 的最大值为34．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a c A C B C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．【解析】（1）因为sin sin sin sin b a c A C B C -=+-，即sin sin sin sin B C a cA C b--=+由正弦定理可得，b c a ca c b--=+，化简可得222a b c bc =+-，且由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为12BM MC = ，则可得1233AM AC AB =+ ，所以222212144cos 33999AM AC AB AC AC AB A AB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭22142999b c =++且1sin 2S bc A ==，即2221424299999b c bc bc bcAM S+++= 当且仅当1233b c =，即2b c =时，等号成立.所以2minAM S ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a bA B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．【解析】（1）证明：π3A =Q ，2b =，3c =，由余弦定理可得22212cos 4922372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=ππtan sin tan sin tan sin 33a b a a A B A A ∴+=+.（2）由1sin 24ABC S bc A bc ===V 24bc =．D 为边BC 的中点，则0DB DC +=，()()2AB AC AD DB AD DC AD ∴+=+++=，所以，()222222π422cos3AD AB ACAB AC AB AC c b cb =+=++⋅=++222372b c bc bc bc bc =++≥+==，即AD ≥当且仅当b c ==AD 长的最小值为30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.【解析】（1）因为(2)cos cos 0b a C c B ++=，由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B ++=，即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A C +=-，所以()sin sin 2sin cos B C A A C +==-，又()0,πA ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =-，又因()0,πC ∈，所以2π3C =；（2）因为角C 的平分线交AB 于点D ，所以π3ACD BCD ∠=∠=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，得12π1π1πsinsin sin 232323ab CD b CD a =⋅+⋅，即22a b ab +=，所以221ab+=，则()222422666b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当24b a a b=，即2b ==时取等号，所以2a b +的最小值为6+.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．【解析】（1）ABC 为钝角三角形，证明如下：由21sin 1cos 22sin sin cos sin 22sin cos cos A B B B A B B B B--===，则有cos sin cos sin cos B A B B A -=，所以cos sin()B A B =+，因为()0,πA B +∈，所以()cos sin 0B A B =+>，则B 为锐角．所以()cos sin sin 2πB B A B ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以π2B A B -=+或()2πB A B π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则22πA B +=或π2A =，由题意知cos 0A ≠，所以π2A ≠，所以22πA B +=，所以,22C πA B B πππ⎛⎫=--=+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形．（2）由（1）知22πA B +=，π2C B =+，由正弦定理，有22225sin 5sin 4cos sin 4sin cos a a A Ac c B C C B-=-22sin 25sin 222sin 4sin cos 22B B B B B ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 25cos 2cos 4cos B B B B =-222222cos 15(2cos 1)cos 4c ()os B B B B --=-42224cos 4cos 155cos 4cos 2B B B B -+=+-229134cos 4cos 2B B =+-132≥12=-当且仅当2294cos 4cos B B=时等号成立，由B 为锐角，则cos 2B =，所以当π6B =时取最小值12-．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c+的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.【解析】（1）由()cos 2cos sin2A B A B ++=得cos cos2sin sin2cos sin2A B A B A B -+=，所以()()cos 1cos21sin sin2A B A B +=+，所以()22cos cos 21sin sin cos A B A B B =+.因为ABC 是斜三角形，所以cos 0B ≠，所以()cos cos 1sin sin A B A B =+，所以cos cos sin sin sin 0A B A B B --=，所以()cos sin 0A B B +-=，又A B C π++=，所以cos sin 0C B +=.（2）在ABC 中，有sin 0B >，由（1）知cos sin 0C B +=，所以cos 0C <，于是角C 为钝角，角B 为锐角，根据cos cos 2C B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2C B π=+.由正弦定理，得()2222222222224sin 25sin 4sin 5sin 454sin 5sin 22sin sin sin C C B C B a b A B c C C Cππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭===()()2222242222412sin 55sin 4cos 25cos 16sin 21sin 9sin sin sin CCC CC C CCC-+-+-+===，22916sin 21213sin C C=+-≥=，当且仅当22916sin sin C C =，即23sin 4C =，sin 2C =时等号成立，又角C 为钝角，所以120C =︒时，等号成立，由2C B π=+，得30B =︒，由180A B C ++=︒，得30A =︒，因此22245a b c +的最小值为3，此时三角形ABC 的各个内角为30A =︒，30B =︒，120C =︒.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．【解析】（1）法一：由题意可知，π2π5π2π236AOC ∠=--=，在AOC 中，由余弦定理得2222311211cos 22AC OA OC OA O AOC C ⎛∠=+-⨯⨯⨯-=+⎭-⎝=+⋅∴622AC =.法二：在ABC 中，π2π5π2π236AOC ∠=--=，1OA =，1π24ACB AOB ∠=∠=，15π212ABC AOC ∠=∠=，AB =由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，∴π5πsin sin 412AC=，5πππππππsin sin()sin cos cos sin 124646464=+=+=，∴2AC =.（2）设AOB θ∠=，则4π3AOC θ∠=-114π1π11sin 11sin sin sin 22323AOB AOC S S θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△△13πsin sin 22226θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设阴影部分面积为S ，优弧 BC所对的扇形BOC 面积为S 扇形，则212π2π12π233S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭扇形,∴()π2πsin 263AOB AOC S S S S θ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭扇形△△,∵点O 在ABC 内部，∴ππ3θ<<，∴ππ5π666θ<-<,当ππ62θ-=时，即2π3θ=时，min 2π3S =-。
2024年新高考版数学专题1_5.4 解三角形(分层集训)
+1=5,c=a+2=6,∴cos A= b2 c2 a2 = 52 62 42 = 3 ,∴sin A= 1 cos2 A= 7 ,
2bc
256 4
4
∴S△ABC= 1 bcsin A= 1 ×5×6× 7 =15 7 .
2
2
44
(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cos C=
3
1
1
1
2
A. 9 B. 3 C. 2 D. 3
答案 A
3.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°, AC= 19, AB=2,则BC= () A.1 B. 2 C. 5 D.3 答案 D
4.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,14)△ABC的内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,已知b-c= 1 a,2sin B=3sin C,则cos A的值为
5.(2020课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
cos2
2
A +cos
A=
5.
4
(1)求A;
(2)若b-c= 3 a,证明:△ABC是直角三角形.
3
解析
(1)由已知得sin2A+cos
A=
5 4
,即cos2A-cos
A+
1=0.所以
4
cos
A
1 2
2=0,
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A= 3sinB,
C= ,
?
6
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 方案一:选条件①.
高考总复习数学精品课件三角函数与解三角形 素养提升微专题 三角函数问题的解题技巧“变角”“变式”
π
2α+cos 2α=tanπ=sinπ , 1=sin
4
2 2
30°=cos 60°,
3=tan 等.通过常值代换,可巧妙地将原式进行转化,从而解决问题.
3
π
π
[例 2—3]若 α∈ ,π ,且 3cos 2α=4sin - ,则 sin 2α 的值等于( B )
10
10
2
3 10
=- 10 .
所以 cos(β+α)=cos(β-α+2α)=cos(β-α)·
cos 2α-sin(β-α)sin 2α
3 10
2 5 10
5
2
=(- 10 )×(- 5 )- 10 × 5 = 2 .
π π
3π
5π
因为 α∈[4 , 2],β∈[π, 2 ],所以 β+α∈[ 4 ,2π],所以
显然当
1
t=-2或
所以要使 x∈
需 0≤a≤
5
1
t=2>1(舍去)时,y=-4,当
2π
- ,
3
t=1 时,y=2,
时函数的取值范围为
2π
,从而可得
3
a 的取值范围是
1
- ,2
4
2π
0, 3
.
,
本 课 结 束
的联系,可以“知一求二”,因此可以借助它们之间的关系解决求值问题,在
此基础上, sin ± π ,cos ± π
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4] 已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是
2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册35
专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断；2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形；3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式；5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式；6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。
【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。
【名校试题荟萃】1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数.（1）.求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π， （2）【解析】（1），π=T ,单调递增区间为；（2）∴当时，，∴.当时，，∴.2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.（2），所以，得①，由（1）得，所以.在中，由正弦定理，得，即②，联立①②，解得，，则，所以.3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围．【答案】（1），单调递增区间为；（2）．故．令，解得∴的单调递增区间为．（2），，，又，故的取值范围是．4、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考理科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（sinC-sinA）=（sinA+sinB）（b - a）.（1）求B；（2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，则由正弦定理得:,∴，∴，又，∴．∴，又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，.5、（湖北省重点高中联考协作体2018届高三上学期期中考试数学文）试题）在△中，内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定得，∴，整理得，∴，又∴∵ ，当且仅当，即，时等号成立，∴，解得，∴，∴ ,故的范围是。
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】 通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．已知函数()2sin()05,||2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，且对任意x∈R，()12f x fπ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数()f x的图象关于原点对称B．函数()f x的最小正周期为πC．函数()f x的图象关于直线2xπ=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACDA 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 6πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】 利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a ，进而得到n b ；利用10n n b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a 2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n n n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n << 又n *∈N ，5n ∴=或6故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】 由已知可得11222n n n n S n S n S n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S n S n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2n n S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++- ()()()23122412122...2212...224122n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题05 三角函数与解三角形大题部分
【训练目标】
1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断；
2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形；
3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数；
4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式；
5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式；
6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。
【温馨小提示】
此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。
【名校试题荟萃】
1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数.
（1）.求
)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）.当
时,求函数)(x f 的最小值和最大值
【答案】（1）π, （2）
【解析】
（1）
,π=T ,
单调递增区间为；
（2）
∴当
时,
,∴
.
当时,
,∴
.
2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知
中,角
所对的边分别是
,
且,其中是的面积,.
（1）求的值；
（2）若,求的值.
【答案】
（1）；（2）.
（2）,所以,得①,
由（1）得,所以.
在中,由正弦定理,得,即②,
联立①②,解得,,则,所以.
3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数．
（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；
（2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围．
【答案】
（1）,单调递增区间为；
（2）．
故．
令,
解得
∴的单调递增区间为．
（2）,,
,
又,
故的取值范围是．
4、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考理科数学试题）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c（sinC-sinA）=（sinA+sinB）（b - a）.
（1）求B；
（2）若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,,求AM的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）∵,则由正弦定理得:
,
∴,
∴,
又,
∴．
∴,又,,∴,∴为锐角,∴,
∴,又,∴,∴,∴,,
∴在中,.
5、（湖北省重点高中联考协作体2018届高三上学期期中考试数学文）试题）在△中,内角,,的对边分别是,,,且．
（1）求角的大小；
（2）点满足,且线段,求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由及正弦定得,
∴,
整理得,
∴,
又
∴
∵ ,当且仅当,即,时等号成立,
∴,
解得,
∴
,
∴ ,
故的范围是。
6、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考一）数学理）试题）函数的部分图像如图所示,将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解折式；
（2）在中,角满足,且其外接圆的半径,求的面积的最大值．【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由图知,解得
∵,∴,即
由于,因此,∴
∴,即函数的解析式为。
由正弦定理得,解得
由余弦定理得
∴,当且仅当等号成立）
∴
∴的面积最大值为．
7、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二数学（理）试题）如图所示,扇形AOB中,圆心角∠AOB ＝,半径为2,在半径OA上有一动点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点,求线段PC的长；
（2）若∠COP＝,求△OOP面积的最大值及此时的值
【答案】（1）（2）；
【解析】
（1）舍负）；
（2）,
则,
得,此时．
8、（福建省晋江市季延中学2019届高三上学期第一阶段考试数学（理）试题）函数
,直线3y =
与函数()f x 的图象相邻两交点的距离为π.
（1）求ω的值;
（2）在锐角ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若点(,0)2
B
是函数()y f x =图象的一个对称中心,求的取值范围 .
【答案】 （1）2 （2）3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
（1）；
（2）由（1）有,即
因为锐角三角形 所以 所以
6
2
A π
π
<<
,所以
9、（福建省厦门外国语学校2019届高三11月月考数学理）试题）已知ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,,a b c 成等差数列,2C A =. （1）求cos A ；
（2）设0m >）,求ABC ∆的面积的最小值.
【答案】 （1）4
3cos =A （2）157
（2）由于
又4
3
cos =
A ,47sin =A ,
,3
2
c a =
- b c a 2=+,5
4
b a =
-所以=
即所求的△ABC 面积的最小值为157
10、（湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷一））如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠BAD ＝60°,∠BCD ＝120°.
（1）若BC ＝22,求∠CBD 的大小； （2）设△BCD 的面积为S ,求S 的取值范围． 【答案】（1）15°（2）（0,3]
（2）设∠CBD ＝θ,则∠CDB ＝60°－θ.
在△BCD 中,因为
BC sin （60°－θ）＝BD
sin 120°
＝4,则BC ＝4sin （60°－θ）．
所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin （60°－θ）sin θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫
32cos θ－12sin θsin θ
＝3sin 2θ－23sin 2
θ＝3sin 2θ－3（1－cos 2θ）＝3sin 2θ＋3cos 2θ－ 3 ＝23sin （2θ＋30°）－ 3.
因为0°＜θ＜60°,则30°＜2θ＋30°＜150°,1
2<sin （2θ＋30°）≤1,所以0<S ≤ 3.
故S 的取值范围是（0,3]．
11、江西省定南中学2019届高三上学期期中考试数学理）试卷）已知函数
（1）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间；
（2）设集合,若A B ⊆,求实数m 的取值范围
【答案】
（1）函数)(x f 的单调递增区间为。
（2）
【解析】
∴函数)(x f 的最小正周期π=T ,
由
得
∴函数)(x f 的单调递增区间为。
12、（山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题理）在ABC ∆中,A,B,C 所对的边分别为,,a b c ,
满足
．
（I ）求角A 的大小； （Ⅱ）若,D 为BC 的中点,且的值．
【答案】 （1）
3
2π=
A （2）
【解析】
（1）
,所以
,所以32
tan
=A
因为),0(π∈A ,所以
32π=A ,所以3
2π
=
A 。
由正弦定理可得,所以
13、（辽宁省重点六校协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷）设
的内角
所对的
边分别是,且是与的等差中项．
（1）求角；
（2）设
,求周长的最大值． 【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题,
, 由正弦定理,
, 即,解得,所以． （2）法一：由余弦定理及基本不等式,
, 得,当且仅当时等号成立, 故周长的最大值为． 法二：由正弦定理,,
故周长
∵,∴当时,周长的最大值为．。