北京海淀区2021届高三第一学期期中练习数学参考答案
2020-2021第一学期海淀区高三数学期中试题及答案
4 / 47 2 海淀区 2020~2021 学年第一学期期中练习高三数学参考答案2020.11一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACCDBCABAB二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
题号 （11）（12）（13） （14）（15）答案2-3253 41 2π 3 π32 三、解答题共 6 小题，共 85 分。
（16）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：b sin B =c .sin C因为 sin B = 2sin C ， 所以 b = 2c .因为 cos A = 3， 0 < A < π ，4所以 sin A =因为 S = ，= 7 .4所以 S = 1 bc sin A = 1 ⨯ 2c 2⨯ sin A = 2 2所以 c 2 = 4 .7 .所以 c = 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b = 2c .因为 cos A = 3，4所以 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 4c 2 + c 2 - 4c 2 ⨯ 3= 2c 2 .4所以 a = 2c .所 以 a= .c（17）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n } 的公差为 d ，则 a n = a 1 + (n -1)d .数学答案 第 1 页（共 10 页）1- cos 2 A⎩ 因为 a 5 = 9 ， a 3 + a 9 = 22 ，⎧a 1 + 4d = 9, 所以 ⎨2a+ 10d = 22. ⎩ 1⎧a 1 = 1,解得： ⎨d = 2.所以 a n = 2n -1 .（Ⅱ）选择①②设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 .因为 S 3 = 7 ，所以 b 2 = S 3 - b 1 - b 3 = 2 . 所 以 q =b 2= 2 .b 1b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择①③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 b 1 = a 1 ， b 3 = a 1 + a 2 ，所以 b 1 = 1， b 3 = 4 . 所以 q 2 =b 3= 4 ， q = ±2 .b 1因为 b n +1 > b n ，数学答案 第 2 页（共 10 页）所以 q = 2 .b (1 - q n ) 所以 S n = 1= 2n -1 .1 - q因为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020 . 所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .选择②③设等比数列{a n } 的公比为 q .因为 S 3 = 7 ， b 1 = 1，所以 1 + q + q 2 = 7 . 所以 q = 2 ，或 q = -3 .因为 b n +1 > b n ， 所以 q = 2 .b (1 - q n )所 以 S n = 11 - q= 2n -1 .因 为 S n < 2020 ，所以 2n -1 < 2020所以 n ≤ 10 .即n 的最大值为10 .（18）（本小题共 14 分）解：（Ⅰ）因为e x > 0 ，由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) > 0 ，得2x 2 - 3x > 0 . 所以 x < 0 ，或 x > 3 .2所以 不等式 f (x ) > 0 的解集为{x x < 0, 或 x > 3}.2（Ⅱ）由 f (x ) = e x (2x 2 - 3x ) 得： f '(x ) = e x (2x 2 + x - 3)数学答案 第 3 页（共 10 页）= e x(2x + 3)(x -1) .令f '(x) = 0 ，得x =1 ，或x =-3 （舍）.2f (x) 与f '(x) 在区间[0, 2] 上的情况如下：x0 (0,1)1(1, 2) 2f '(x)- 0 +f (x) 0 ↘-e ↗2e2所以当x = 1 时，f (x) 取得最小值 f (1) =-e ；当x = 2 时，f (x) 取得最大值f (2) = 2e2.（19）（本小题共14 分）解：（Ⅰ）因为所以所以y = sin x 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +3π] （k ∈Z ）.2 22kπ +π≤x +π≤ 2kπ +3π ， k ∈Z .2 6 22kπ +π≤x ≤ 2kπ +4π ， k ∈Z .3 3所以函数f (x) 的单调递减区间为[2kπ +π, 2kπ +4π] （k ∈Z ）.3 3（Ⅱ）因为所以因为所以f (x) = 2sin(x +π) ，6f (x -π) = 2sin x .6g(x) =f (x) f (x -π) ，6g(x) = 4sin(x +π)sin x6= 4(3sin x +1cos x)sin x2 2= 2 3 sin2x + 2 cos x sin x= 3 (1- cos 2x)+ sin 2x= 2sin(2x -π) +33 .因为0 ≤x ≤m ，所 以-π≤ 2x -π≤ 2m -π .3 3 3因为g(x) 的取值范围为[0, 2 + 3] ，数学答案第 4 页（共10 页）所以 sin(2x -π) 的取值范围为[-33,1].2所 以 π≤ 2m -π≤4π.2 3 3解得： 5π≤m ≤5π .12 6所以m 的最大值为5π. 6（20）（本小题共14 分）解：由 f (x) =ax3- 3ax2+ 2 + 4a 可得： f '(x) = 3ax2- 6ax = 3ax(x - 2) .（Ⅰ）当a =-1 时，f (3) =-2 , f '(3) =-9 .所以曲线y =f (x) 在点(3, f (3)) 处的切线方程为y =-9x + 25 .（Ⅱ）①当a = 0 时，f (x) = 2 在R 上不具有单调性．②当a > 0 时，令 f '(x) = 0 得 x1= 0, x2= 2 .f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)+ 0- 0+f (x)极大值极小值所以 a ≥ 2 .③当a < 0 时，f (x) 与f '(x) 在区间(-∞, +∞) 上的情况如下：x(-∞,0)0(0, 2)2(2, +∞)f '(x)- 0+ 0-f (x)极小值极大值所以 a + 3 ≤ 0 ，即a ≤-3 .综上所述，a 的取值范围是(-∞, -3] [2, +∞) .（Ⅲ）先证明： f (x1) +f (x2 ) ≥ 4 .由（Ⅱ）知，当a > 0 时，f (x) 的递增区间是(-∞,0) ，(2, +∞) ，递减区间是(0, 2) .因为 x1+x2> 2 ，不妨设 x1≤x2，则 x2> 1.数学答案第 5 页（共10 页）m - 4 a< a n 0 2 2 2 ①若 x 1 ≤ 0 ，则 x 2 > 2 - x 1 ≥ 2 .所以 f (x 1) + f (x 2) > f (x 1) + f (2 - x 1) = 4 + 4a > 4 .②若 x 1 > 0 ，因为 x 2 > 1，所以 f (x 1) + f (x 2 ) ≥ f (2) + f (2) = 4 ，当且仅当 x 1 = x 2 = 2 时取等号. 综上所述，f (x 1) + f (x 2 ) ≥ 4 .再证明： f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .假设存在常数 m （ m ≥ 4 ），使得对任意 x 1 + x 2 > 2 ， f (x 1) + f (x 2) ≤ m .取 x = 2 ，且 x > 2 + ，则1 2f (2) + f (x ) = 2 + ax 3 - 3ax 2 + 2 + 4a= 2 + ax (x - 2)2 + a (x - 2)2 + 2 > a (x - 2)2 + 4 > m ，2 222与 f (x 1) + f (x 2) ≤ m 矛盾.所以 f (x 1) + f (x 2 ) 的取值范围是[4, +∞) .（21）（本小题共 15 分）解：（Ⅰ）取i =1, j = 2 ，则存在a k （ 2 < k < 4 ），使得 a k = 2a 2 - a 1 ，即 a 3 = 2a 2 - a 1 .因为 a 1 = a = 3 ， a 2 = b = 5 ，所以 a 3 = 2a 2 - a 1 = 7 .（Ⅱ）假设{a n } 中仅有有限项为0 ，不妨设 a m = 0 ，且当 n > m 时，a n 均不为0 ，则m ≥ 2 .取i = 1, j = m ，则存在a k （ m < k < 2m ），使得a k = 2a m - a 1 = 0 ，与 a k ≠ 0 矛盾.（Ⅲ）①当a < b 时，首先证明数列{a n } 是递增数列，即证∀n ∈ N * ， a n < a n +1恒成立.若不然，则存在最小的正整数 n 0 ，使得a n ≥ a n +1 ，且 a 1 < a 2 <.显然 n 0 ≥ 2 .取 j = n 0 ,i = 1, 2, , n 0 -1，则存在a k （ n 0 < k < 2n 0 ），使得数学答案 第 6 页（共 10 页）。
2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期中练习数学试卷 含答案
2021北京海淀高三（上）期中数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在复平面内，复数(2)z i i =+对应的点的坐标为()A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-2．（4分）已知向量(,2)a x =，(1,1)b =- ，若//a b ，则(x =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．（4分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1}A =，(){3}U A B = ð，则集合B 可能是()A ．{4}B ．{1，4}C ．{2，4}D ．{1，2，3}4．（4分）已知命题:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是()A ．(0,)a ∃∈+∞，12a a +>B ．(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C ．(0,)a ∃∈+∞，12a a+D ．(0,)a ∃∉+∞，12a a +5．（4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是()A ．sin y x=B ．||y x x =C ．tan y x =D ．1y x x=-6．（4分）“a b c >>”是“ab ac >”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知等比数列{}n a 的公比为q ．若{}n a 为递增数列且20a <，则()A ．1q <-B ．10q -<<C ．01q <<D ．1q >8．（4分）将函数sin 2y x =的图像向右平移6π个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是()A ．()sin(26f x x π=-B ．3x π=-是函数()f x 的图像的一条对称轴C ．()f x 在[,63ππ-上是减函数D ．()f x 在5[,]1212ππ-上是增函数9．（4分）下列不等关系中正确的是()A ．52322ln ln ln +>B ．113232ln ln <-<C ．231ln ln ⋅>D ．3322ln ln <10．（4分）如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m ．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m 时，下列描述正确的是()（参考数据：721.991)π≈A ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m B ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.15m C ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.26m D ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021届北京市海淀区高三上学期期中练习理科数学试卷
2021年北京市海淀区高三上学期期中练习理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则AB =（ ）（A ）[1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(1,2] （D ）[1,1)- 2．已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）33．若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10 （B ）13 （C ）20 （D ）25 4．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 6． 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数,0,()0.x x f x x -<=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,)2+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．1(0,)28．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值 （D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题 9．设复数1iz i=-，则z =_____________． 10．已知函数2x ay +=的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 .11．ππ(sin )d x x x -+=⎰________.12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大.13．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =.若(,)AC mAB nAD m n R =+∈，则____m n -=.14．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的最小正周期为π,设集合M ={直线l l 为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，0[0,π)x ∈}.若集合M 中有且只有两条直线互相垂直，则ω= ；A = .三、解答题15．（本小题满分13分）已知函数π()sin sin()3f x x x =-+. （Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，112a =，且132,,a a a -成等差数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a n -的前n 项和n S .17． 如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝AB 的长．18．（本小题满分14分）已知函数1ln 2)(2+-=x x a x f . （Ⅰ）若1a =,求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值； （Ⅲ）若0)(≤x f 在区间),1[+∞上恒成立，求a 的最大值. 19．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和(1)(1,2,3,)2n n n a S n +==. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求证：1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥； （Ⅲ）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 20．设函数()2151623f x x x =++， L 为曲线():C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线．（Ⅰ）求L 的方程．（Ⅱ）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （Ⅲ）设1x ， 2x ， 3x R ∈，且满足1233x x x ++=-，求()()()123f x f x f x ++的最大值．参考答案1．C 【解析】试题分析：()1,A =+∞，[]1,2B =-，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为{}|12x R x ∈<≤，即(]1,2，故选C考点：集合的运算. 2．D 【解析】试题分析：根据平面向量坐标下的运算法则，可知()23163a b x x ⋅=⨯+-=-=，求解方程可以得到3x =，故选D. 考点：平面向量的数量积. 3．C 【解析】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为1,2,4,8,16,....，即12n n a -=，那么3541620a a +=+=.方法二：对于()223513134a a a q a q a a +=+=+，又135a a +=，则354520a a +=⨯=. 方法三：对于213111145a a a a q a a +=+=+=，解方程可得，11a =，那么通项12n n a -=，可知34a =，516a =，则3520a a +=. 故选C.考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式. 4．D 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 5．B 【解析】试题分析：对于1312a ⎛⎫=⎪⎝⎭，则01a <<；对于21log 3b =，则0b <；对于2log 3c =，则1c >，那么可得01b a c <<<<，那么c a b >>，故选B. 考点：1对数的单调性;2指数函数. 6．A 【解析】试题分析：对于“0ab >且a b >”的充分性考核，可以有两种方法：第一种方法可以采用函数()1f x x =，由于0ab >，可知,a b 同号，对于函数()1f x x=而言，在(),0-∞和()0,+∞这两个区间单调递减，由于a b >，则()()f a f b <，即11a b<.第二种方法单纯使用不等式性质，由于a b >，左右分别先同时除以a ，再同时除以b ，由于0ab >，则,a b 同号，若均大于0，则两次除法不变号，可得11b a>；若,a b 同时大于0，则两次除法变了两次号，最终并没有变化，同样11b a>，那么可知条件“0ab >且a b >”具有充分性。
2021届海淀区高三期中数学试卷及答案
2014届海淀区高三期中数学试卷及答案数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021北京海淀区高三数学上学期期中测试及答案
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）已知 是数列{ }的前项和. 若 = 2，则2 =_________.
( + 1) , < 1,
（12）已知函数() = { 2
则函数()的零点个数为________.
第③组条件： AB 边上的高ℎ = √3 ， = 3.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分
别解答，按第一个解答计分．
（20）
（本小题共 14 分）
设函数() = ( 2 − 3 + ), ∈ R.
（Ⅰ）当 = −9时，求函数()的单调增区间；
动，则当滚动的水平距离为 2.2m 时，下列选
项中，关于点的描述正确的是
（参考数据：7 ≈ 21.991）
A. 点在轮子的左下位置，距离地面约为 0.15m
B. 点在轮子的右下位置，距离地面约为 0.15m
C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为 0.26m
D. 点在轮子的右下位置，距离地面约为 0.04m
要求的一项。
（1）在复平面内，复数 = (2 + )对应的点的坐标为
A. (1,2)
B.(−1,2)
C. (2,1)
D.(2, −1)
（2）已知向量a = (, 2), b = (−1,1). 若a//b，则 =
A. 1
B.−1
C. 2
D.−2
（3）已知全集 = {1,2,3,4}，集合 = {1}， ( ∪ ) = {3}.则集合可能是
（5）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是
A. =
【高三】精品解析：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试(数学理)
【高三】精品解析：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试（数学理）试卷说明：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试数学理题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.]2.下列函数中，值域为的函数是( )A. B. C. D.3.在中，若，则=( )A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，在中，若，所以，，，故选B.考点：任意角的三角函数4.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B7.已知，函数若，则实数的取值范围为（）A. B.C.D. 8.已知函数，在下列给出结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在上单调递减.其中，正确结论的个数为（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】试题分析：因为，，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.___________.【答案】2【解析】试题分析：，故答案为2.考点：定积分的计算10.已知数列为等比数列，若，则公比____________.11.已知，则的大小关系为____________.12..函数的图象如图所示，则______________，__________.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，14.定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则 ________ ；若，则________________.【答案】14，【解析】试题分析：因为，定义在上的函数满足：①当时，；②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；当时，的零点从小到大依次为，……，所以，当时，的零点从小到大依次满足，所以，考点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
【数学】北京市海淀区2021届高三上学期期中考试考试题(解析版)
北京市海淀区2021届高三上学期期中考试考数学试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）A. {0，2}B. {0，2，4}C. {}3x x ≤D. {}03x x ≤≤【答案】A【解析】集合{|30}{|3}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2故选：A.2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1C. -4D. -1【答案】C【解析】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C.3. 命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ∃>，使得21x < B. 0x ∃≤，使得21x ≥ C. 0x ∀>，都有21x < D. 0x ∀≤，都有21x <【答案】C【解析】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <” 故选：C4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ）A.11a b< B.b a a b> C.2a b+> D.2b a a b+> 【答案】D 【解析】0a b <<，11a b∴>，故A 错；0a b <<，22a b∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b ∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D.5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x = B. 3||y x =C. 1y x x=-D. cos y x =【答案】B 【解析】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x=-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 【答案】C【解析】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】A【解析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==⋅⋅⋅==， 故选：A.8. 已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B【解析】由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即()6k k Z ωπϕπ+=∈，()6k k Z ωπϕπ∴=-+∈，sin()6y A x k ωπωπ∴=-+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，()sin ()6f x A x t k ωπωπ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，11()6t k k k Z ωπωππ∴-+=∈，11(,)6k kt k Z k Z ππω-∴=+∈∈，因为0t >min 6t π∴=．故选：B ．9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A.10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2C. [)0,4D. [)2,4【答案】B【解析】根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______.【解析】由题意得：2(1)1z i i i i i =+=+=-+，所以z ==12. 已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________. 【答案】-3.【解析】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______. 【答案】25 【解析】19a =，2d =-，912112na n n令0n a ≥，解得112n ≤，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为554592252S故答案为：25.14. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ⋅= _______.【答案】 (1). 34(2). 1 【解析】①M 是BC 的中点，∴12BMBC ， D 是AM 的中点，∴11112224BD BA BM BA BC =+=+， 12x ∴=，14y =，故34x y +=． ②ABC ∆是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，且1BM =，∴2cos 1BD BM BD BM DBM BM ⋅=⋅⋅∠==．故答案：34，1．15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =__________；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1).23π (2). 32π【解析】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高 2.5m ，即2.5H =，代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-，第一次入水即在满足1cos 2t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23t π=（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32π 故答案为：①23π；②32π三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3cos 4A =.（1）若△ABC ，求c 的值； （2）求ac的值. 解：（1）由正弦定理得：sin sin b cB C=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =.因为3cos4A=，0Aπ<<，所以27sin1cosA A=-=，因为S=211sin2sin22S bc A c A==⨯⨯=，所以24c=，所以2c=；（2）由（1）知2b c=，因为3cos4A=，所以222222232cos4424a b c bc A c c c c=+-=+-⨯=，所以a=，所以ac=17. 已知等差数列{}n a满足59a=，3922a a+=.（1）求{}n a的通项公式；（2）等比数列{}n b的前n项和为n S，且11b a=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020nS<的n的最大值.条件①：312b a a=+；条件②：37S=；条件③：1n nb b+>.解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，则()11na a n d+-=，因为59a=，3922a a+=，所以1492102ta da d+=⎧⎨+=⎩，解得：112ad=⎧⎨=⎩所以21na n=-；（2）（I）选择①②设等比数列{}n b的公比为q，因为11b a=，312b a a=+，所以11b=，34b=，因为37S=，所以23132b S b b=--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以217q q ++=. 所以2q，或3q =-.因为1n n b b +>，所以2q.所以1(1)211n n n b q S q-==-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解：（1）因为0x e >，由()2(0)23xf x e x x =->，得2230x x ->.所以0x <或32x >. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭； （2）由()223()xf x e x x =-得：2()(23)x f x e x x '=+-()()231xex x =+-.令()0f x '=，得1x =，或32x =-（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()222f e =.19. 已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.解：（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤， 所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围.解：由()32324f x ax ax a =-++可得：2()363(2)f x ax ax ax x '=-=-（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.所以曲线( )y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为925y x =-+.（2）由已知可得0a ≠①当0a >时，令()0f x '=得0x =，22x =.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.②当0a <时，()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号.综上所述，12())4(f x f x +≥.再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤.取12x =，且22x >+则 ()()3222222324f f x ax ax a+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，与()()12f x f x m +≤矛盾.所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ； （2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项0；（3）若ab ，求数列{}n a 的通项公式.解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥.取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同数恰为01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n= 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n=当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n=②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，的因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =经检验，数列{}n a 满足题设条件.。
北京市海淀区2021届高三数学上学期期中练习试题 理（含解析）
2021-2021年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年大体一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。
1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。
2.试卷整体难度与去年类似，可是难易程度的散布与去年期中考试不同，更类似于2021年的高考真题的难度散布，即常规大体问题的难度下降，产生了很多“送分题”；可是中档问题考核方向不变，可是考核方式有所改变，增强了知识方式之间的综合和深切明白得知识后的灵活视同；关于难题而言，从命题和设问的角度能够看出，依旧本着考察数学思想、思维方式的方向，同时鼓舞归纳猜想的特点依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方式有明确的熟悉，而不是简单经历。
值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并非是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。
3.由于具有以上特点，本次考试相较之前的考试具有了更好的区分度，靠着关于题目“熟悉”才能入手的考生无法在这次考核中取得较高的分数，加倍强调了知识和概念的明白得，和方式背后隐含的数学思想。
通过以上分析，高三的数学温习，题海战术与高考的要求是相违抗的，是一种低效的温习方式。
应在对基础知识和概念的明白得上多下功夫，试探和总结与做题并重，专门是要注重对重要数学思想和思维方式的训练和体会。
【试卷分析】一、选择题部份1.设集合{}|1A x R x=∈>，{}|12B x R x=∈-≤≤，那么A B=（）A.[)1,-+∞ B.()1,+∞ C.(]1,2 D.[)1,1-【分析】此题考查集合的表示与运算，难度不大，把握表示方式、了解运算概念即可解决。