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2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)课时规范练58 排列与组合

课时规范练58排列与组合基础巩固组1.(2020新高考Ⅰ,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种2.马路上有编号为1,2,3,4,…,9的9只路灯,为节约用电,现要求把其中的3只灯关掉,但不能同时关掉相邻的2只或3只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法有() A.7种 B.8种C.9种D.10种3.(2022河南郑州二模)某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出.要求舞蹈和小品必须同时参加,则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后.那么不同的演出顺序种数有()A.240种B.480种C.540种D.720种4.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法种数为()A.A62A72B.A43A72C.A33A62A72D.A43A66A725.国庆节期间,某市举行一项娱乐活动,需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A,B,C三个服务项目,每个项目需要2人,其中A项目只需要男志愿者,B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者,则不同的选派方法种数为.6.(2020全国Ⅱ,理14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.综合提升组7.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种8.甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖,要求甲排在乙前面,丙与丁不相邻且均不排在最后,则抽奖的顺序有()A.72种B.144种C.360种D.720种9.某校毕业典礼由6个节目组成,考虑到整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有种.10.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.创新应用组11.(2022吉林东北师大附中模拟)某中学响应国家双减政策,开设了乒乓球、羽毛球、书法、小提琴四门选修课程,要求每位同学每学年至多选2门,初一到初三3学年将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有( ) A.60种 B.78种C.54种D.84种答案：课时规范练58 排列与组合1.C 甲场馆安排1名有C 61种方法,乙场馆安排2名有C 52种方法,丙场馆安排3名有C 33种方法,所以共有C 61·C 52·C 33=60(种)方法,故选C .2.D 9只路灯关闭3只,有6只亮着的路灯,6只亮着的灯除去两边还有5个空,插入3只熄灭的灯,即C 53=10(种)关灯的方法.3.A 先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选取3个,然后与舞蹈和小品共同5个节目按舞蹈在前,小品在后排序,则不同的演出顺序种数有C 43A 55A 22=240(种).故选A .4.D 采用捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,方法数是A 43种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的方法数是A 66种;最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,方法数是A 72种.综上所述,不同的排法共有A 43A 66A 72种.故选D .5.540 由题意,A 项目选派方法数有C 52种,B 项目选派方法数有C 31C 31种,C 项目选派方法数有C 42种,故不同的选派方法种数为C 52C 31C 31C 42=540.6.36 由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有C 42A 33=36(种).7.A 将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3(种)分法,将2个小组的同学分给两名教师有A 22=2(种)分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2(种)分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12(种).8.B 分两步:第1步先排甲、乙、戊、己,甲排在乙前面,则有A 442种;第2步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中,但注意到丙与丁均不排在最后,故有4个空可选,所以有A 42种插空方法.所以根据分步乘法计数原理有A 442·A 42=144(种)抽奖顺序.9.120 ①当甲排在首位,丙丁捆绑,自由排列,共有A 44×A 22=48(种)方案. ②当甲排在第二位,首位不能是丙和丁,共有A 31×A 33×A 22=36(种)方案. ③当甲排在第三位,前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况,共有A 22×A 33+A 32×A 22×A 22=36(种)方案.因此共有48+36+36=120(种)方案.10.732 如图,考虑A ,C ,E 用同一种颜色,此时共有4×3×3×3=108(种)方法.考虑A ,C ,E 用2种颜色,此时共有C 42×6×3×2×2=432(种)方法.考虑A ,C ,E 用3种颜色,此时共有A 43×2×2×2=192(种)方法. 故共有108+432+192=732(种)不同的涂色方法.11.C 由题意知每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2;先将4门课程按照1,1,2分成三组有C 42C 21C 11A 22种方法,再分到三个学年有A 33种方法,所以选修方法有C 42C 21C 11A22×A 33=36(种);再将4门课程按照0,2,2分成三组有C 42C 22A 22,再分到三个学年有A 33种方法,所以不同的选修方法有C 42C 22A 22×A 33=18(种),所以共有36+18=54(种).故选C.。

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形模型方法课之公共角、边模型(教师版)

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形模型方法课之公共角、边模型（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为（）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．4.5cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出AP ＝PE ，得出S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，推出12S PBC S ABC ∆=∆，代入求出即可．【详解】∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°，在△ABP 和△EBP 中，∠ABP ＝∠EBPBP ＝BP∠APB ＝∠EPB ，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ， ∴2119 4.522S PBC S ABC cm ∆=∆=⨯=，故答案选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．2．如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②PA ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【分析】过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．证明Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．∵PK ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∴PK ＝PD ，在Rt △BPK 和Rt △BPD 中，BP BP PK PD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BPK ≌Rt △BPD （HL ），∴BK ＝BD ，∵∠APC +∠ABC ＝180°，且∠ABC +∠KPD ＝180°，∴∠KPD ＝∠APC ，∴∠APK ＝∠CPD ，故①正确，在△P AK 和△PCD 中，AKP PDC PK PDAPK CPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△P AK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，P A＝PC，故②正确，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△P AK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．四边形ABCP故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．1.5 B．2 C．22D．10【答案】B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA，在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．二、解答题4．已知，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度均为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）如图1，连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．（2）如图2，当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（3）如图3，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，请直接写出∠CMQ 度数．【答案】（1）不变，60°；（2）第43秒或第83秒时；（3）120°．【详解】试题分析：（1）通过证△ABQ ≌△CAP 得到∠BAQ=∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；（3）通过证△ABQ ≌△CAP 得到∠BAQ=∠ACP ，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．试题解析：（1）不变．在△ABQ 与△CAP 中，∵{60AB ACB CAP AP BQ=∠=∠=︒=，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ）， ∴∠BAQ=∠ACP ，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；（2）设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t ，①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ ， ∴4-t=2t ，43t =； ②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP ，∴ t=2（4-t ），t=83； ∴当第43秒或第83秒时，△PBQ 为直角三角形；（3）在△ABQ 与△CAP 中，∵{60AB ACB CAP AP BQ=∠=∠=︒=，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ），∴∠BAQ=∠ACP ，∴∠∠CMQ=∠BAQ+∠APC=∠ACP+∠APC=180°-∠BAC=120°．考点：①等边三角形的性质；②全等三角形的判定与性质．5．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．【答案】见解析【分析】先在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,根据BD 平分∠ABC ,可得∠ABD =∠EBD ,根据AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,可判定△ABD ≌△EBD ,根据全等三角形的性质可得:AD=ED ,∠A =∠BED ．再根据AD=CD ,等量代换可得ED =CD ,根据等边对等角可得:∠DEC =∠C ．由∠BED +∠DEC =180°,可得∠A +∠C =180°．【详解】证明:在线段BC 上截取BE=BA ,连接DE ,如图所示,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠EBD ,在△ABD 和△EBD 中,AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△EBD （SAS ）,∴AD=ED ,∠A =∠BED ．∵AD=CD,∴ED =CD ,∴∠DEC =∠C ．∵∠BED +∠DEC =180°,∴∠A +∠C =180°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.6．如图，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠BAD ＋∠C ＝180°，求证：AD ＝CD ．【答案】见解析【详解】试题分析：在边BC 上截取BE =BA ，连接DE ，根据SAS 证△ABD ≌△EBD ，推出AD =ED ，∠A =∠BED ，求出∠DEC =∠C 即可．试题解析：证明：在边BC 上截取BE =BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ．在△ABD 和△EBD 中，BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴AD =ED ，∠A =∠BED ．∵∠A +∠C =180°，∠BED +∠CED =180°，∴∠C =∠CED ，∴CD =ED ，∴AD =CD ．点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD 和CD 放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．7．如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．【答案】见解析.【分析】如图，作CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．由Rt △CF A ≌Rt △CEB ，推出∠ACF ＝∠ECB ，推出∠ACB ＝∠ECF ，由∠ECF +∠MON ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB +∠AOB ＝180°，推出∠OAC +∠OBC ＝180°．【详解】如图，作CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．∵OC 平分∠MON ，CE ⊥ON 于E ，CF ⊥OM 于F ．∴CE ＝CF ，∵AC ＝BC ，∠CEB ＝∠CF A ＝90°，∴Rt △CF A ≌Rt △CEB （HL ），∴∠ACF ＝∠ECB ，∴∠ACB ＝∠ECF ，∵∠ECF +∠MON ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB +∠AOB ＝180°，∴∠OAC +∠OBC ＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.8．已知，如图ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点E ，90BDC ∠=︒，求证：2CE BD =.【答案】见解析.【分析】延长BD 交CA 的延长线于F ，先证得△ACE ≌△ABF ，得出CE=BF ；再证△CBD ≌△CFD ，得出BD=DF ；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD 交CA 的延长线于F ，90BAC ︒∠=90,90BAF BAC ACE AEC ︒︒∴∠=∠=∠+∠=90BDC ︒∠=90BDC FDC ︒∴∠=∠=90ABF BED ︒∴∠+∠=AEC BED ∠=∠ACE ABF ∴∠=∠AB AC =()ACE ABF ASA ∴∆∆≌CE BF ∴= CD 平分ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠CD CD =()CBD CFD ASA ∴∆∆≌12BD FD BF ∴== 12BD CE ∴= 2CE BD ∴=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．9．如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE 点F 在AB 上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论【答案】（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析【分析】（1）延长CE 交AB 于点G ，证明AEG ∆≅AEC ∆，得E 为中点，通过中位线证明DE //AB ，结合BF=DE ，证明BDEF 是平行四边形（2）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE=12BG ，再根据AEG ∆≅AEC ∆，得AC=AG ，用AB-AG=BG ，可证1()2BF AB AC =- 【详解】（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．10．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于(,0) ,(0,)A a B b 两点，且,a b 满足2()|4|0a b a t ，且0,t t >是常数，直线BD 平分OBA ∠，交x 轴于点D ．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于点N ，求证：ON OD =；（2）如图2，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，猜想AE 与BD间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）2BD AE =,证明见解析．【分析】（1）由已知条件可得AO BO =，进而得OBA OAB ∠=∠，由直线BD 平分OBA ∠及直角三角形斜边上中线的性质得BOM OAB ∠=∠，再由三角形的外角定理，分别求得,ODN OND ∠∠，根据角度的等量代换，即可得ODN OND ∠=∠，最后由等角对等边的性质即可得证；（2）如图，延长AE 交y 轴于点C ，先证明BCE BAE △≌△，得AE EC =，再证明DOB COA ∠≌△，即可得2BD AC AE ==．【详解】（1）2()|4|0a b a t ，4a b t ∴==，AO BO ∴=，∴OBA OAB ∠=∠，直线BD 平分OBA ∠，ABD OBD ∴∠=∠， M 为AB 的中点， ∴12OM AB BM AM ===， BOM OBA ∴∠=∠，OBA OAB ∠=∠，BOM OAB ∴∠=∠，OND OBD BOM ∠=∠+∠，ODN OAB ABD ∠=∠+∠，OND ODN ∴∠=∠，ON OD ∴=．（2）2BD AE =，证明：如图，延长AE 交y 轴于点C ，直线BD 平分OBA ∠，AE BD ⊥，ABD OBD ∴∠=∠，AEB CEB ∠=∠，又BE BE =，∴BCE BAE △≌△（ASA ），∴AE CE =1=2AC ， AO BC ⊥，∴DOB COA ∠=∠，即90OAC OCA OCA CBE ∠+∠=∠+∠=︒，OAC OBD ∴∠=∠，又OB OA =，∴DOB COA ∠≌△（ASA ），2BD AC AE ∴==，即2BD AE =．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，非负数之和为零，三角形角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形外角定理，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟练掌握以上知识，添加辅助线是解题的关键．11．如图，在ABC 中，BE 是ABC ∠的平分线，AD BE ⊥，垂足为D ，求证：21C ∠=∠+∠．【答案】见解析【分析】∠=∠，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两根据角平分线的定义可得ABE CBE个内角的和可得AED CBE C∠=∠+∠，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可．【详解】∠的平分线，证明：BE是ABC∴∠=∠，ABE CBE由三角形的外角性质得，AED CBE C∠=∠+∠，AD BE⊥，∴∠+∠=︒，290ABE∴1190∠+∠=∠+∠+∠=︒，AED CBE C∴∠+∠=︒-∠，190C CBE∠=∠∠=︒-∠，ABE CBE ABE,290∴∠=∠+∠．21C【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．己知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝BC＝△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝，则S△ABC＝．【答案】（1）见解析；（2）②7 2【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD²=DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案;（2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE 从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（²=32，DP²+PC²=DC²=（²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64 从而求出BP AB∥PC则S△ABC＝12AB×BP.【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90°在Rt△AOB中AB²=AO²+OB²∴∠COD=90°在Rt△COD中CD² =DO²+OC²∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²∴AB2＋CD2＝AD2＋BC ²(2) ①解：连DC、AE相交于点F∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BC AB=BD∠CBE=∠ABD=90°∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD∵AB BC∠ACB=90°∴AC=∵AB BD∠ABD=90°∴AD10=∵BC，BE∠CBE=90°∴CE8=由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∴(10)²+（8）²=（²+DE²∴DE②连DC、AE相交于点F∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝∴DC=2GH =作CP⊥BD交DB延长线于点PBP²+CP²=BC²=（²=32²=96DP²+PC²=DC²=（∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∴DP²-BP²=64∴（BD+BP)²-BP²=64∴（BP )²-BP ²=64∴BP ∵∠PBA =90°，∠P =90°，∴∠PBA +∠P =90°+90°=180°∴AB ∥PC则S △ABC ＝12AB ×BP =12×72【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

2024年吉林省中考真题数学试卷含答案解析

2024年吉林省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．8．因式分解：a 2﹣3a=．【答案】a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为．【答案】23x <</32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17．如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD、，作直线GH，则直线GH即为所求；（2）解：如图所示，取格点G H⊥．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(1)20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(2)直接写出20192023(3)下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，②201920232020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）在Rt GAD 中，45EAD ∠=∴873tan DG AG DG EAD===∠在Rt GAC △中，37EAC ∠=∴tan 873CG AG EAC =⋅∠=∴873654.75CD DG CG =-=-23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mm x 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mm y 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．∵90C ∠=︒，30B ∠=∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=∴PAQ APQ =∠∠，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =∴QE QA =，即22AE AQ t ==∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ ===∴12S QE PG =⋅=∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而CE AE AC =-∴tan CF CE =⋅∠∴1S CE CF =⋅∵30DAC ∠=︒DCA ∠=由上知3DC =，∴23AD =，∴此时323PD t =-26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y 当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程2ax +Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。

2024年江苏省苏州市中考真题数学试卷含答案解析

2024年江苏省苏州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）A．3-B．1C．2D．32．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（）A．102.4710⨯D．1224710⨯⨯C．12247102.4710⨯B．10【答案】C【分析】本题考查的是科学记数法-表示较大的数，把一个大于10的数记成10na⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．根据科学记数法-表示较大的数的方法解答．【详解】解：122470000000000 2.4710=⨯，故选：C ．4．若1a b >-，则下列结论一定正确的是（）A ．1a b+D ．1a b+>【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：1a b >-，A 、1a b +>，故错误，该选项不合题意；B 、12a b ->-，故错误，该选项不合题意；C 、无法得出a b >，故错误，该选项不合题意；D 、1a b +>，故正确，该选项符合题意；故选：D ．5．如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒【答案】B 【分析】题目主要考查平行线的性质求角度，根据题意得出60BAD ∠=︒，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵AB CD ，2120∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴3180155BAD ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（）A ．甲、丁B ．乙、戊C ．丙、丁D ．丙、戊【答案】C 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案．【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故选：C ．7．如图，点A 为反比例函数()10y x x =-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AO BO 的值为（）A ．12B ．14C D ．13∴11122ACO S=⨯-= ，142BDO S =⨯= ∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，8．如图，矩形ABCD 中，AB ，1BC =，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ，CD 向终点B ，D 运动，过点E ，F 作直线l ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G ，则AG 的最大值为（）A B 2C ．2D ．1【答案】D 【分析】连接AC ，BD 交于点O ，取OA 中点H ，连接GH ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G 的轨迹，从而求出AG 的最大值．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，OA OC =，AB ∴在Rt ABC △中，AC AB =∴112OA OC AC ===，二、填空题9．计算：32x x ⋅= ．【答案】5x 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．【详解】解：32325x x x x +⋅==，故答案为：5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．10．若2a b =+，则()2b a -= ．【答案】4【分析】本题考查了求代数式的值，把2a b =+整体代入化简计算即可．【详解】解：∵2a b =+，∴()2b a -()22b b ⎡⎤=-+⎣⎦()22b b =--()22=-4=，故答案为：4．11．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是．12．如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴801OC OC B ∠∠=︒-113．直线1:1l y x =-与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15︒，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是．设1l 与y 轴的交点为点B ，令0x =，得1y =-；令y =∴()1,0A ，()0,1B - ，∴1OA =，1OB =，即45OAB OBA ∠=∠=︒14．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ， AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内心，若AB == ．（结果保留π）∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴60,AOB OA ∠=︒=∴AOB 为等边三角形，∵圆心C 恰好是ABO 15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()0,A m ，()1,B m -，()2,C n ，()3,D m -，其中m ，n 为常数，则mn的值为．16．如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE ，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．则90AHE ACB ︒∠=∠=，又∴AHE ACB ∽，三、解答题17．计算：()042-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．18．解方程组：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩①②-①②得，44y =，解得，1y =．将1y =代入①得3x =．∴方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩19．先化简，再求值：2212124x x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪--．其中3x =-．20．如图，ABC 中，AB AC =，分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连接BD ，CD ，AD ，AD 与BC 交于点E ．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)若2BD =，120BDC ∠=︒，求BC 的长．21．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；(2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春）春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为122．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B （乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：根据以上信息，解决下列问题：(1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；(2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°；(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．【答案】(1)见解析(2)72(3)本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可；（2）用360︒乘以E组所占百分比即可；（3）用800乘以B组所占百分比即可．÷=，【详解】（1）解：总人数为915%60D组人数为6061891215----=，补图如下：（2）解：123607260︒⨯=︒，故答案为：72；（3）解：1880024060⨯=（人）．答：本校七年级800名学生中选择项目23．图①是某种可调节支撑架，BC 为水平固定杆，竖直固定杆AB BC ⊥，活动杆AD 可绕点A 旋转，CD 为液压可伸缩支撑杆，已知10cm AB =，20cm BC =，50cm AD =．(1)如图②，当活动杆AD 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）；(2)如图③，当活动杆AD 绕点A 由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且3tan 4α=（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）．由题意可知，90B A ∠=∠=︒，又CE AD ⊥ ，∴四边形ABCE 为矩形．20BC =由题意可知，四边形ABFG 为矩形，90AGD ∴=︒△．在Rt AGD 中，tan DG AG α==34DG AG ∴=．24．如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A -，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．45∴∠=︒．BAC∥轴，PN x∴∠=∠=︒，∠NQM BLN BAC4525．如图，ABC 中，AB =D 为AB 中点，BAC BCD ∠=∠，cos ADC ∠=，O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长；(2)求O 的半径．又22，AD=DE=∴．1∴在Rt AED△中，22=-=AE AD DEBAC BCD△∽△，26．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表A 站B 站C 站车次发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D 10018：009：309：5010：50G 10028：25途经B 站，不停车10：30请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______；②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值．27．如图①，二次函数2y x bx c =++的图象1C 与开口向下的二次函数图象2C 均过点()1,0A -，()3,0B ．(1)求图象1C 对应的函数表达式；(2)若图象2C 过点()0,6C ，点P 位于第一象限，且在图象2C 上，直线l 过点P 且与x 轴平行，与图象2C 的另一个交点为Q （Q 在P 左侧），直线l 与图象1C 的交点为M ，N （N 在M 左侧）．当PQ MP QN =+时，求点P 的坐标；(3)如图②，D ，E 分别为二次函数图象1C ，2C 的顶点，连接AD ，过点A 作AF AD ⊥．交图象2C 于点F ，连接EF ，当EF AD ∥时，求图象2C 对应的函数表达式．由二次函数的对称性得，∴PM NQ =．又PQ MP QN =+ ，而PQ PH PM ∴=．设()02PH t t =<<，则点将1x t =+代入(2y x =-+将21x t =+代入()(1y x =+P M y y = ，()(22t t ∴-+∴四边形IGJF 为矩形，IF GJ ∴=，IG FJ =．设2C 对应的函数表达式为点D ，E 分别为二次函数图象将1x =分别代入22y x =-得4,4D E y y a =-=-，∴()1,4D -，()1,4E a -，4DG ∴=，2AG =，EG =。

高考数学单选题和多选题的答题技巧

高考数学单选题和多选题的答题技巧【命题规律】高考的单选题和多选题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．（1）基本策略：单选题和多选题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．（2）常用方法：单选题和多选题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法（筛选法）等．【核心考点目录】核心考点一：直接法核心考点二：特珠法核心考点三：检验法核心考点四：排除法核心考点五：构造法核心考点六：估算法核心考点七：坐标法核心考点八：图解法【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．273．（2022·全国·统考高考真题）函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·北京·统考高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥6．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =7．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C D 8．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【方法技巧与总结】1、排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．2、特殊值法：从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．3、图解法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．4、构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法5、估算法：由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量．6、检验法：将选项分别代人题设中或将题设代人选项中逐一检验，确定正确选项．【核心考点】核心考点一：直接法【典型例题】例1．（2022春·贵州贵阳·高三统考期中）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ln 20.69≈）（）A ．1．8天B ．2．5天C ．3．6天D ．4．2天例2．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）设函数()()πsin sin 03f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是（）．A ．710,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦例3．（多选题）（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()2(2)f x f x =-，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都有()3f x ≤，则实数m 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．92D ．112核心考点二：特珠法【典型例题】例4．（辽宁省鞍山市第一中学2022届高三下学期六模考试数学试题）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（）A ．m n p >>B ．n p m >>C ．n m p>>D ．m p n>>例5．（多选题）（广东省佛山市顺德区2022届高三下学期三模数学试题）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（）A ．log log a b b aC ．ln ln a b b a<D ．ln ln a a b b>例6．（多选题）（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.现已知函数()11f x ax a x =++-，则下列说法正确的是（）A ．函数()12y f x a =+-为奇函数B ．当0a >时，()f x 在()1,+∞上单调递增C ．若方程()0f x =有实根，则()[),01,a ∞∞∈-⋃+D ．设定义域为R 的函数()g x 关于()1,1中心对称，若12a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为()(),1,2,,2022i i i A x y i = ，则()()()112220222022x y x y x y ++++++ 的值为4044核心考点三：检验法【典型例题】例7．（多选题）（2022·高一课时练习）对于定义在R 上的函数()y f x =，若存在非零实数0x ，使得()y f x =在()0,x -∞和()0,x +∞上均有零点，则称0x 为()y f x =的一个“折点”．下列函数中存在“折点”的是（）A ．()132x f x -=+B ．()()1lg 32f x x =+-C ．3()3x f x x=-D ．21()4x f x x +=+例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2cos 10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过原点，且恰好存在2个[]00,1x ∈，使得()f x 的图象关于直线0x x =对称，则（）A ．3πϕ=B ．ω的取值范围为58,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．一定不存在3个[]10,1x ∈，使得()f x 的图象关于点()1,1x -对称D ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减例9．（多选题）（2022秋·高二课时练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若函数2()(0)f x ax bx c a =++≠没有不动点，则方程(())f f x x =无实根D ．设函数()f x =R a ∈，e 为自然对数的底数)，若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =成立，则a 的取值范围是[]1,e 核心考点四：排除法【典型例题】例10．函数()y f x =的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．例11．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且在(2,)+∞单调递增，(4)0f =，4()g x x =，则函数(2)()y f x g x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．例12．如图1，已知PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，.AD PC ⊥将PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2.对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDC C ．PD AC⊥D ．2PB AN=核心考点五：构造法【典型例题】例13．已知关于x 的不等式ln ln(1)0x e mx x m ---+在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(1,1]e --B ．(1,1]-C ．(1,1]e -D ．(1,]e 例14．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足(1)[()()]0x f x f x -'->，22(2)()xf x f x e--=⋅则下列判断一定正确的是（）A ．(1)(0)f f C ．3(3)(0)f e f >D ．4(4)(0)f e f <例15．已知log a π=12log sin 35b =︒，ee c ππ=，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c>>核心考点六：估算法【典型例题】例16．（2020春·江苏淮安·高三江苏省涟水中学校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美0.618≈称为黄金分割比例），已知一位美女身高160cm ，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长度约103.8cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（）（结果保留一位小数）A ．7.8cmB ．7.9cmC ．8.0cmD ．8.1cm例17．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在区间[1,0]-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．B ．C ．D ．核心考点七：坐标法【典型例题】例18．在ABC 中，3AC =，4BC =，90.C P ∠=︒为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-例19．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,AB CD AD DC AD DC AB E ⊥==为AD的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83例20．（多选题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧(BD包含B ，)D 上的任意一点，且AP x AB y AD =+，则下列结论正确的是（）A ．x y +的最大值为B ．x y +的最小值为2C ．AP AD ⋅的最大值为4D ．PB PD ⋅的最小值为4-核心考点八：图解法【典型例题】例21．已知函数31,(0),()2ln ,(0),x x f x x x --⎧=⎨>⎩若方程()f x ax =有三个不同的解1x ，2x ，3x ，则a 的取值范围为（）A ．2(0,eB ．2(0,eC ．2(,1]eD ．(0,1)例22．已知A ，B 是圆O ：221x y +=上的两个动点，||AB =，32OC OA OB =- ，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．34D ．32例23．过原点O 的直线交双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>于A ，C 两点，A 在第一象限，1F 、2F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若2||||OA OF =，222||3||CF BF =，则双曲线E 的离心率为．（）A ．2145B ．2134C．5D ．535【新题速递】一、单选题1．已知函数()f x ，()g x 都是定义域为R 的函数，函数(1)g x -为奇函数，(1)()0f x g x +-=，(3)(2)0f x g x ----=，则(2)f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．已知a b <，0a ≠，0b ≠，c R ∈，则下列不等关系正确的是（）A ．22a bC ．a c b c -<-D ．ac bc<3．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是A ．中位数是3，众数是2B ．平均数是3，中位数是2C ．方差是2.4，平均数是2D ．平均数是3，众数是24．在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线5．在ABC 中，3AC =，4BC =，90.C P ∠=︒为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-6．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题7．已知0a >，0b >，且41a b +=，则（）A ．162a b+B ．1122log log 4a b +C ．4ln 1ab e --- D ．24sin 1a b -+8．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且恒成立，则A．B ．C．D．9．已知1a >，1b >，且333a b e e a b ++=+，则下列结论正确的是（）A ．322ab +>B ．2218a b+<C ．ln()1a b ->D ．ln()ln 4a b +<10．已知定义在R 上的单调递增函数()f x 满足：任意x ∈R 有(1)(1)2f x f x -++=，(2)(2)4f x f x ++-=，则（）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，()()f x T f x +=D ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，|()|1f x cx - 11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（）A ．(0)1f =B ．()f x '必为奇函数C ．()(0)0f x f +D ．若1(1)2f =，则202311()2n f n ==∑12．函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A．B．C．D ．13．已知函数()tan(cos )cos(sin )f x x x =+，则（）A ．()f x 是定义域为R 的偶函数B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在[0,2π上单调递减14．若10a b c >>>>，则有（）A ．log log c c a b >B ．cca b >C ．()()a b c b a c +>+D ．a b b c<15．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺志石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c R ∈，则下列命题正确的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc>B ．若0a b <<，则11a b b a+<+C ．若0a b c <<<，则b b ca a c+<+D ．若0,0a b >>，则22b a a ba b++ 16．下面有四个说法正确的有（）A ．1a <且12b a b <⇒+<且1ab ⇒参考答案【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()21x f x -=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.2．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．27【答案】D【解析】该几何体由直三棱柱AFD BHC -及直三棱柱DGC AEB -组成，作HM CB ⊥于M ，如图，因为3,120CH BH CHB ==∠= ，所以32CM BM HM ===，因为重叠后的底面为正方形，所以AB BC ==在直棱柱AFD BHC -中，AB ⊥平面BHC ，则AB HM ⊥,由AB BC B ⋂=可得HM ⊥平面ADCB ，设重叠后的EG 与FH 交点为,I 则132713813333,=3333=322224I BCDA AFD BHC V V --=⨯=⨯⨯则该几何体的体积为8127222742AFD BHC I BCDA V V V --=-=⨯-=.故选：D.3．（2022·全国·统考高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.4．（2022·北京·统考高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【解析】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=，故420181412a a a +++==，故选：B.5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．6．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD 【解析】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ====，3EF a ==，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM S EM FM =⋅=，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.7．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e 2a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e 2=选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e ==故选：AC.8．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．【方法技巧与总结】1、排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．2、特殊值法：从题干（或选项）出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．3、图解法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．4、构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法5、估算法：由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量．6、检验法：将选项分别代人题设中或将题设代人选项中逐一检验，确定正确选项．【核心考点】核心考点一：直接法【典型例题】例1．（2022春·贵州贵阳·高三统考期中）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ln 20.69≈）（）A ．1．8天B ．2．5天C ．3．6天D ．4．2天【答案】C【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，所以()0.38e tI t =．设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为1t ，则有()()14I t t I t +=，即()10.380.38t e 4e t t +=，整理有10.38t e 4=，则10.38ln 4t =，解得1ln 42ln 220.693.60.380.380.38t ⨯==≈≈．故选：C ．例2．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）设函数()()πsin sin 03f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是（）．A ．710,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题知，()ππsin sin sin326f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]0,πx ∈，所以πππ,π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，所以5ππ7ππ262ω<+≤，解得71033ω<≤，所以ω的取值范围是710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选：A例3．（多选题）（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）设函数()f x 的定义域为R ，满足()2(2)f x f x =-，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都有()3f x ≤，则实数m 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．92D ．112【答案】ABC【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，满足()2(2)f x f x =-，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，所以当(2,4]x ∈时，()2(2)[2(2)]2(2)(4)f x x x x x =---=--，当6(4],x ∈时，()4[(2)2][4(2)]4(4)(6)f x x x x x =----=--，函数部分图象如图所示，由4(4)(6)3x x --=，得2440990x x -+=，解得92x =或112x =，因为对任意(,]x m ∈-∞，都有()3f x ≤，所以由图可知92m ≤，故选：ABC核心考点二：特珠法【典型例题】例4．（辽宁省鞍山市第一中学2022届高三下学期六模考试数学试题）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（）A ．m n p >>B ．n p m >>C ．n m p >>D ．m p n>>【答案】C【解析】因为e b a >>>所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ====，2525 6.2524an b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.例5．（多选题）（广东省佛山市顺德区2022届高三下学期三模数学试题）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（）A ．log log a b b a C ．ln ln a b b a <D ．ln ln a a b b>【答案】BC【解析】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-==由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +<则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数，又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a >由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC例6．（多选题）（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.现已知函数()11f x ax a x =++-，则下列说法正确的是（）A ．函数()12y f x a =+-为奇函数B ．当0a >时，()f x 在()1,+∞上单调递增C ．若方程()0f x =有实根，则()[),01,a ∞∞∈-⋃+D ．设定义域为R 的函数()g x 关于()1,1中心对称，若12a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为()(),1,2,,2022i i i A x y i = ，则()()()112220222022x y x y x y ++++++ 的值为4044【答案】ACD【解析】对于A.()()11121211f x a a x a a ax x x+-=+++-=++-由解析式可知1y ax x=+是奇函数，故A 正确；对于B.特殊值法33152322212f a a a ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭-，()1223121f a a a =++=+-即3(2)122a f f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，若02a <<，则()f x 在()1,+∞上不是单调递增，故B 错误.对于C.令()101f x ax a x =++=-，分离参数后211a x=-，()(]21,0)(0,1x ∞-∈-⋃故()[)21,01,1x ∞∞∈-⋃+-，C 正确；对于D.由A 可知，当12a =时，()f x 关于()1,1中心对称，且()g x 关于()1,1中心对称，所以这2022个交点关于()1,1对称，故()()122022122022202220224044x x x y y y +++++++=+= ，D 正确.故选：ACD核心考点三：检验法【典型例题】例7．（多选题）（2022·高一课时练习）对于定义在R 上的函数()y f x =，若存在非零实数0x ，使得()y f x =在()0,x -∞和()0,x +∞上均有零点，则称0x 为()y f x =的一个“折点”．下列函数中存在“折点”的是（）A ．()132x f x -=+B ．()()1lg 32f x x =+-C ．3()3x f x x=-D ．21()4x f x x +=+【答案】BC【解析】A ：因为10()32323x f x -=+≥+=，所以()f x 没有零点，即()f x 没有“折点”；B ：当0x ≥时1()lg(3)2f x x =+-单调递增，又1(0)lg 302f =-<，1(7)lg1002f =->，所以()f x 在()0,+∞上有零点．又()()1lg 32f x x =+-是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上有零点，所以()f x 存在“折点”．C ：令3()03x f x x =-=，得0x =或()f x 在()0,+∞上有零点，在(),0-∞上有零点，即()f x 存在“折点”．D ：令21()04x f x x +==+，解得=1x -，所以()f x 只有一个零点，即()f x 没有“折点”．故选：BC例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2cos 10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过原点，且恰好存在2个[]00,1x ∈，使得()f x 的图象关于直线0x x =对称，则（）A ．3πϕ=B ．ω的取值范围为58,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．一定不存在3个[]10,1x ∈，使得()f x 的图象关于点()1,1x -对称D ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【解析】因为()02cos 10,02f πϕϕ=-=<<，得3πϕ=，A 正确．设3u x πω=+，则2cos 1y u =-如图所示，由[]0,1x ∈，得,333x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，所以233ππωπ≤+<，得5833ππω≤<，B 正确．如图所示，当5323ππωπ≤+<时，存在3个[]10,1x ∈，使得()f x 的图象关于点()1,1x -对称．C 错误．因为10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,3343x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又5833ππω≤<，所以31443ππωπ≤+<，所以()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，D 正确．故选：ABD例9．（多选题）（2022秋·高二课时练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若函数2()(0)f x ax bx c a =++≠没有不动点，则方程(())f f x x =无实根D ．设函数()f x =R a ∈，e 为自然对数的底数)，若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =成立，则a 的取值范围是[]1,e 【答案】BCD【解析】对于A ，令()sin g x x x =-，x ∈R ，()cos 10g x x '=-≤，当且仅当cos 1x =时取“=”，则()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，即()g x 在R 上只有一个零点，函数()f x 只有一个不动点，A 不正确；对于B ，因二次函数2(1)y ax b x c =+-+至多有两个零点，则函数()f x 至多有两个不动点，B 正确；对于C ，依题意，方程2()0(1)0f x x ax b x c -=⇔+-+=无实数根，即2(1)40b ac ∆=--<，当0a >时，二次函数()y f x x =-的图象开口向上，则()0f x x ->恒成立，即R x ∀∈，恒有()f x x >，而()R f x ∈，因此有[()]()f f x f x x >>恒成立，即方程(())f f x x =无实根，当a<0时，二次函数()y f x x =-的图象开口向下，则()0f x x -<恒成立，即R x ∀∈，恒有()f x x <，而()R f x ∈，因此有[()]()f f x f x x <<恒成立，即方程(())f f x x =无实根，所以函数2()(0)f x ax bx c a =++≠没有不动点，则方程(())f f x x =无实根，C 正确；对于D ，点00(,)x y 在曲线sin y x =上，则0[1,1]y ∈-，又00(())f f y y =，即有001y ≤≤，当001y ≤≤时，00()f y y =满足00(())f f y y =，显然函数()f x =函数，若00()f y y >，则000(())()f f y f y y >>与00(())f f y y =矛盾，若00()f y y <，则000(())()f f y f y y <<与00(())f f y y =矛盾，因此，当001y ≤≤时，00()f y y =，即当01x ≤≤时，()f x x =，对[0,1]x ∈，2e e x x x a x a x x +-=⇔=-+，令2()e x h x x x =-+，[0,1]x ∈，()e 21220x h x x x '=-+≥-≥，而两个“=”不同时取得，即当[0,1]x ∈时，()0h x '>，于是得()h x 在[0,1]上单调递增，有(0)()(1)h h x h ≤≤，即1()e h x ≤≤，则1e a ≤≤，D 正确.故选：BCD核心考点四：排除法【典型例题】例10．函数()y f x =的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数()f x 图象可得函数()f x 为奇函数，对于A ，111()2(1)2(1)f x x x x -=++-+---，符合题意，对于B ，111()2(1)2(1)f x x x x -=-+-+---，符合题意，对于C ，111()2(1)2(1)f x x x x -=+--+---，不符合题意，对于D ，111()2(1)2(1)f x x x x -=--+-+---，不符合题意，故排除C ，D 选项，又当0.1x =时，代入B 中函数解析式，即111(0.1)2(0.11)0.12(0.11)f =-++-55100119=--<，不符合题意；故排除B 选项，故选.A 例11．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且在(2,)+∞单调递增，(4)0f =，4()g x x =，则函数(2)()y f x g x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】依题意可知函数()f x 的对称轴方程为2x =，在(2,)+∞上单调递增，且(4)0f =，设()(2)h x f x =+，则函数()h x 的对称轴方程为0x =，在(0,)+∞上单调递增，且(2)0h =，()h x ∴是偶函数，且当02x <<时，()0.h x <因此函数4(2)()()y f x g x h x x =+=⋅也是偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除选项A 和D ；当02x <<时，4()0y h x x =⋅<，由此排除选项.C 例12．如图1，已知PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，.AD PC ⊥将PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2.对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDC C ．PD AC⊥D ．2PB AN=【答案】A【解析】解：因为AD PC ⊥，所以AD DC ⊥，AD PD ⊥，又DC ，PD ⊂平面PDC ，DC PD D ⋂=，即AD ⊥平面PDC ，折叠前有//AB PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥，所以//AD BC ，所以BC ⊥平面PDC ，故B 正确．由于平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面PAD ，且AD PD ⊥，所以PD ABCD ⊥平面，又AC ABCD ⊂平面，所以PD AC ⊥，故C 正确．DC PD ⊥ ，DC AD ⊥，PD AD D ⋂=，PD 、AD 在平面PAD 内，DC ∴⊥平面PAD ，//AB DC ，AB ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，故AB PA ⊥，PAB ∴∆为直角三角形，N 为斜边的中点，所以2PB AN =，故D 正确．由排除法可得A 错误．故选.A 核心考点五：构造法【典型例题】例13．已知关于x 的不等式ln ln(1)0xe mx x m ---+在(0,)+∞恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(1,1]e --B ．(1,1]-C ．(1,1]e -D ．(1,]e 【答案】A【解析】解：由ln ln(1)0xe mx x m ---+得ln(1)x e mx m x -+ ，即，令()xf x e x =+，(0,)x ∈+∞，则，故()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增，若()(ln(1))f x f m x + ，则在(0,)x ∈+∞恒成立，记()ln(1)g x x m x =-+，则()0g x 在(0,)x ∈+∞上恒成立，即min ()0g x ，因为1()1g x x'=-，则当1x <时，()0,g x '<当1x >时，()0,g x '>故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)1ln(1)0g x g m ==-+所以，即01m e <+，解得11m e -<- ，所以m 的取值范围是(1,e --故选：.A 例14．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足(1)[()()]0x f x f x -'->，22(2)()xf x f x e--=⋅则下列判断一定正确的是（）A ．(1)(0)f f C ．3(3)(0)f e f >D ．4(4)(0)f e f <【答案】C【解析】解：令()()x f x g x e =，则()()().xf x f xg x e''-=()f x 满足：(1)[()()]0x f x f x -'->，∴当1x <时，()()0.()0.f x f x g x '-<∴'<此时函数()g x 单调递减．(1)(0).g g ∴->即10(1)(0)(0).f f f e e-->=。

18.1.4 平行四边形的判定(2)分层作业(解析版)

人教版初中数学八年级下册18.1.4 平行四边形的判定（2）同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列命题中，真命题的是（）A ．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．【详解】解：A 、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题,不符合题意；B 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；C 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题,符合题意；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题,不符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．2．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB CD ∥；②AB CD =；③BC AD ∥；④BC AD =．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式．【详解】解：若选择①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可判定；若选择②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可判定；若选择①②或③④，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，则不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD BC ∥，AB DC∥B ．AB DC =，AD BC =C ．AO CO =，BO DO=D ．AD BC ∥，AB CD=【答案】D 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可．【详解】解：A.∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B.∵AB =DC ，AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C.∵AO =CO ，BO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；D.由AD ∥BC ，AB =CD ，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，可能为等腰梯形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．如图，ABCD Y 中，直线EF BD ∥，并且与CD 、CB 的延长线分别交于E 、F ，交AD 于M ，交AB 于N ．下列结论错误的是（）A ．EN FM=B ．CE CF =C ．AM BF BC +=D ．BFN DME≌△△【答案】B 【分析】由平行四边形的性质与判定和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，又∵EF ∥BD ，∴四边形BDMF 和四边形BDEN 是平行四边形，∴NE ＝BD ，FM ＝BD ，∴EN ＝FM ，故选项A 不符合题意；B ．当CD ＝CB 时，CE ＝CF ，故选项B 不正确，符合题意；C ．∵四边形BDMF 是平行四边形，∴DM ＝BF ，∵AM +DM ＝AD ，∴AM +BF ＝AD ，∴AM +BF ＝BC ，故选项C 不符合题意；D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ，AD ∥BC ，∴∠NBF ＝∠EDM ，∠F ＝∠DME ，又∵BF ＝DM ，∴△BFN ≌△DME （ASA ），故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的判断和性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．5．如图，AD BC ∥，AB CD P ，5,8,AD BE DCE ==V 的面积为6，则四边形ABCD 的面积为（）A ．32B ．20C ．12D ．6【答案】B 【分析】先判断四边形ABCD 为平行四边形得到5BC AD ==，则3CE =，再利用AD BE P 得到点A 和点D 到的距离相等，设点A 到BC 的距离为h ，利用DCE △的面积为6可计算出4h =，然后根据平行四边形的面6．如图，在ABCD Y 中，过对角线BD 上一点P 作EF BC ∥，GH AB ∥，且2CG BG =，1BPG S =V ，则AEPH Y 的面积是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C 【分析】先证四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，可得PEB BGP S S ＝V V ，PHD DFP S S ＝V V ，ABD CDB S S ＝V V ，再利用面积的和差可得出AEPH PFCG S S ＝Y Y ，由已知条件求出PFCG S Y 即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 、AEPH 、CFPG 为平行四边形，∴PEB BGP S S ＝V V ，同理可得PHD DFP S S ＝V V ，ABD CDB S S ＝V V ，∴ABD PEB PHD CDB BGP DFP S S S S S S ----＝V V V V V V ，即AEPH PFCG S S ＝Y Y ．∵1BPG S ＝V ，∴22BEPG BPG S S =＝Y V ，∵CG ＝2BG ，∴2224PFCG BEPG S S ==´=Y Y ，∴4AEPH PFCG S S =＝Y Y ．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，证明AEPH PFCG S S ＝Y Y 是解题关键．7．如图，点A 的坐标为(1, 4)，点B 在x 轴上，把△AOB 沿x 轴向右平移到△CED ，若四边形ABDC 的面积为8 ,则点C 的坐标为（）A ．（2，4）B ．（3，4）C ．（3，3）D ．（4，3）【答案】B 【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，得到AH =4，根据平移的性质证明四边形ABDC 是平行四边形，得到AC =BD ，根据平行四边形的面积是8得到8BD AH ×=，求出BD 即可得到答案.【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1，4），∴AH =4，由平移得AB CD ∥，AB =CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC =BD ，∵平行四边形ABDC 的面积为8BD AH ×=，∴BD =2，∴AC =2，∴C (3，4)，故答案为：(3，4)．【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系．二、填空题：8．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的为__________(填序号)．①AB CD =，AD BC =；②AD BC =，AD ∥BC ；③AB CD =，B D Ð=Ð；④AB ∥CD ，∠A=∠C ．【答案】③【分析】根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可．【详解】解：①AB ＝CD ，AD ＝BC 可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定；②AD ＝BC ，AD ∥BC 可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；③AB ＝CD ，∠B ＝∠D 不能判定四边形ABCD 是平行四边形；④AB ∥CD ，∠A ＝∠C 可证出∠B ＝∠D ，再根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定；故答案为：③．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．9．如图，在四边形ABCD 中，AE BD ^，CF BD ^，垂足分别为点E ，F ．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添加的条件是______．【答案】AE=CF （答案不唯一）【分析】证AE ∥CF ，再由AE ＝CF ，即可得出结论．【详解】添加条件为：AE CF =，理由：AE BD ^Q ，CF BD ^，//AE CF \，AE CF =Q ，\四边形AECF 为平行四边形，故答案为：AE CF =．（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，在BE DF =①；//BE DF ②；AB DE =③；④四边形EBFD 为平行四边形；ADE ABE S S =V V ⑤；AF CE =⑥这些结论中正确的是______．【答案】①②④⑤⑥【分析】连接BD 交AC 于O ，过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BN ⊥AC 于N ，推出OE=OF ，得出平行四边形BEDF ，求出BN=DM ，即可求出各个选项．【详解】连接BD 交AC 于O ，过D 作DM AC ^于M ，过B 作BN AC ^于N ，11．如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB D 沿x 轴向右平移到ECD D ，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．【答案】(4，3)【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，得到AH =3，根据平移的性质证明四边形ABDC 是平行四边形，得到AC =BD ，根据平行四边形的面积是9得到9BD AH ×=，求出BD 即可得到答案.【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1,3），∴AH =3，由平移得AB ∥CD ，AB =CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC =BD ，∵9BD AH ×=，∴BD =3，∴AC =3，∴C (4，3)，故答案为：(4，3).【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.12．如图，平行四边形ABCD 中，∠BAD =120°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE BD ∥，EF ⊥BC ，EF =AB 的长是______．【答案】3【分析】首先根据平行四边形的判定及性质，可证得D 为CE 中点，∠CEF =30°，再设CE =2x ，CF =x ，根据勾股定理即可求得CE =6，据此即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，13．如图，在□ABCD中，G是CD上一点，连接BG并延长，交AD的延长线于点E，点F在AB上，且AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，则∠BFD=_________°．【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，对边相等可得AB＝CD，利用三角形的内角和定理求出∠ABE，然后求出四边形BGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解．【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C＝50°，AB＝CD，AB//CD，∵∠E＝30°，∴∠ABE＝180°−50°−30°＝100°，∵AF＝CG，∴BF＝DG，又∵BF∥BG，∴四边形BGDF是平行四边形，∴DF∥BG，∴∠BFD＝180°−∠ABE＝180°−100°＝80°．故答案为：80．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．14．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=12AB，G、H是BC边上的点，且GH=13BC，若3EOFSD=，则OGHSD=____．∵点O是▱ABCD的对称中心，∴AC、BD交于点O，三、解答题：15．如图，在ABCD Y 中，点E 、F 分别是AD BC 、边的中点，求证：BE DF ∥．16．如图，ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，8AB =．将ABC V 沿CB 方向向右平移得到DEF V ．若阴影部分平行四边形ABED 的面积为8，求BE 的长．17．已知：如图，在ABCD Y 中，点M ，N 分别在AD 和BC 上，点E ，F 在BD 上，且DM BN =，DF BE =．求证：EMF ENF ÐÐ=．【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质可得MDF NBE Ð=Ð，可以证明BNE DMF V V ≌，进而推出四边形MENF 是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC EBN FDM Ð=Ð∥．在BNE V 和V DMF 中，,,,BN DM EBN FDM BE DF =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS BNE DMF V V ≌；∴,NE MF BEN DFM =Ð=Ð．∴NEF MFE Ð=Ð．∴EN FM ∥．∴四边形MENF 是平行四边形．∴EMF ENFÐÐ=【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图，平行四边形ABCD 中，60ABC Ð=°，点E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，//AE BD ，EF BC ^，CF =．(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)求AB 的长．能力提升篇一、单选题：1．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0【答案】A【分析】以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．【详解】解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．2．如图，在ABCD Y 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，6cm AF =，12cm BF =，FBM CBM Ð=Ð，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动，点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P 运动（）秒时，以P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．A ．3B ．3或5C ．5D ．4或5【答案】B 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形得出：,,AD BC AD BC =∥∠ADB =∠CBD ，又由∠FBM =∠CBM ，即可证得FB =FD ，求出AD 的长，得出CE 的长，设当点P 运动t 秒时，点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,AD BC AD BC =∥∴∠ADB =∠CBD ，∵∠FBM =∠CBM ，3．如图，分别以Rt ABC △的斜边AB 、直角边AC 为边向外作等边ABD △和等边ACE △，F 为AB 的中点，连接DF 、EF ，DE 与AB 相交于点G ，若30BAC Ð=°，下列结论：①EF AC ^；②四边形ADFE 为平行四边形；③4AD AG =；④DBF EFA ≌△△．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】首先证明Rt △ADF ≌Rt △BAC ，结合已知得到AE =DF ，然后根据内错角相等两直线平行得到DF P AE ，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE 是平行四边形，故②正确；由∠DAC =∠DAB +∠BAC =90°，可得∠AHE =90°，故①正确；由2AG =AF 可知③正确；在Rt △DBF 和Rt △EFA 中，BD ＝FE ，DF ＝EA ，可证Rt △DBF ≌Rt △EFA ，故④正确．BD ＝FE ，DF ＝EA ，∴Rt △DBF ≌Rt △EFA （HL ）．故④正确，综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质等，综合性较强，熟练掌握上述性质、定理是解题的关键．二、填空题：4．如图，已知ABC V 的面积为a ，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BF CF =，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______．5．如图，在Rt ABC V 中，90BCA Ð=°，6BC =，8AC =，E 为斜边AB 边上的一动点，以EA ，EC 为边作平行四边形EADC ．（1）AB 的长为________．（2）线段ED 长度的最小值为______．6．如图，在等边ABC V 中，8cm BC =，射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动；点F 从点B 出发沿射线BC 以3cm/s 的速度运动．设运动时间为()s t ，当t 为__________s 时，以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】2或4【分析】分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE =CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE =t cm ，BF =3t cm ，则CF =BC -BF =（8-3t ）cm ，∵AG ∥BC ，∴当AE =CF 时，四边形AECF 是平行四边形，即t =8-3t ，解得：t =2；当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE =t cm ，BF =3t cm ，则CF =BF -BC =（3t -8）cm ，∵AG ∥BC ，∴当AE=CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，即t =3t -8，解得：t =4；综上可得：当t =2或4s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题：7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，12cm AD =，15cm BC =，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，点Q 以3cm/s 的速度由C 向B 运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t 秒(1)AP =______，BQ =______，（分别用含有t 的式子表示）；(2)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值(3)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值∵AD BC∥∴AP BQ =，即153t t =-，解得：∵AD BC∥PD BQ =8．如图，矩形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，且AO 、OC 的长满足2|2|(4)0OA OC -+-=(1)求B ，C 两点的坐标；(2)把ABC V 沿AC 翻折，点B 落在B ¢处，线段AB 与x 轴交于点D ，求CD 的长；(3)在平面内是否存在点P ，使以A ，D ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．由（1）知，OA=2，∴A（0，2），由（1）知，OC=4，由（2）知，CD=52，∴OD=OC-CD=32，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。

2020年食药监执法证考试题GH[含参考答案]

2020年食药监执法证考试题[含参考答案]一、单选题1．县级以上人民政府食品药品监督管理部门应当对食品进行定期或者不定期的抽样检验，并依据有关规定公布检验结果，（）。

进行抽样检验，应当购买抽取的样品，委托符合本法规定的食品检验机构进行检验，并支付相关费用；不得向食品生产经营者收取检验费和其他费用。

答案：BA.可以免检B.不得免检C.可根据企业分类级别确定是否免检D.根据企业信用情况决定是否免检2．从事植入和介入类医疗器械经营人员中，应当配备医学相关专业（）以上学历，并经过生产企业或者供应商培训的人员。

答案：BA.中专B.大专C.本科D.研究生3．对医疗器械的管理方法是第三类（）。

答案：CA.常规管理B.严格控制管理C.采取特别措施严格可控制管理D.特殊管理4．以下哪些说法正确的是（）。

答案：CA.天然的食品添加剂比人工化学食品添加剂合成的安全B.添加剂对身体有害，应该一概禁止C.三聚氰胺、苏丹红都不是食品添加剂，是非法添加物D.发达国家允许使用的食品添加剂我国就可以使用5．违反《食品安全法》规定，拒绝、阻挠、干涉有关部门、机构及其工作人员依法开展食品安全监督检查、事故调查处理、风险监测和风险评估的，由有关主管部门按照各自职责分工责令停产停业，并处（）罚款；情节严重的，吊销许可证；构成违反治安管理行为的，由公安机关依法给予治安管理处罚。

答案：BA.5000元以下B.2000元以上5万元以下C.5000元以上10万元以下D.2000元6．被吊销许可证的食品生产经营者及其法定代表人、直接负责的主管人员和其他直接责任人员自处罚决定作出之日起（）。

答案：AA.5年内不得申请食品生产经营许可B.不得申请食品生产经营许可C.2年内不得申请食品生产经营许可D.半年后申请食品生产经营许可7．（）对本行政区域的食品安全监督管理工作负责，统一领导、组织、协调本行政区域的食品安全监督管理工作以及食品安全突发事件应对工作，建立健全食品安全全程监督管理工作机制和信息共享机制。

数学单选题abcd技巧

数学单选题abcd技巧【实用版3篇】《数学单选题abcd技巧》篇1在应对数学单选题时，可以使用一些技巧和方法来提高解题效率。

以下是一些建议：1. 熟悉选项特征：了解每个选项的特征，例如A 选项可能涉及到几何概念，B 选项可能涉及到代数计算，C 选项可能涉及到概率统计等。

通过观察题目和选项特征，可以初步判断答案可能性。

2. 排除法：当遇到一道题目，一时无法确定答案时，可以采用排除法。

通过排除错误选项，可以缩小答案范围，提高解题准确性。

3. 特值法：有些题目，通过给特定值进行代入，可以迅速得出答案。

这种方法可以节省大量计算时间，但需要注意特定值的选择，避免陷入题目陷阱。

4. 技巧性方法：某些题目可能涉及到一些技巧性方法，例如因式分解、特值法、整体代换等。

熟练掌握这些方法，可以在解题过程中提高效率。

5. 临界值法：在一些涉及范围或临界值的题目中，可以通过取临界值进行代入，从而得出答案。

6. 建立方程：当题目中涉及多个量关系时，可以尝试建立方程来求解。

方程的建立可以简化题目，便于求解。

7. 注意题目条件：在解题过程中，要仔细阅读题目条件，避免遗漏重要信息。

有时，题目条件会暗示答案或者可以帮助我们缩小答案范围。

8. 控制时间：在考试中，要合理分配时间，不要过分纠结于一道题目。

遇到困难题目时，可以跳过，先做其他题目，确保整体得分。

以上技巧仅供参考，实际应用中还需根据题目特点和自身实际情况进行调整。

《数学单选题abcd技巧》篇2在应对数学单选题时，可以使用一些技巧和方法来提高解题速度和准确性。

以下是一些建议：1. 分析选项特征：首先观察选项的特征，如有的无论x 取何值都不能成立，有的选项存在数字特点等。

通过观察选项特征，可以迅速排除一些错误选项，提高解题速度。

2. 利用特殊值法：当题目中没有给出具体数值时，可以尝试用特殊值来代入求解。

例如，当题目中给出一个分式，可以尝试用1、-1、0 等特殊值代入，看哪个选项满足题意。

临床医学检验技术(师)：内分泌疾病的检查必看考点三

临床医学检验技术(师)：内分泌疾病的检查必看考点三1、单选?患者女性，52岁。

10年前患乳腺癌，做过乳房切除和放射治疗，现因背部疼痛就诊，实验室检查血钙浓度显著升高，有重度高钙血症。

引起该患者高钙血症的病因最可能为（（江南博哥））A.原发性甲状旁腺功能亢进B.甲状腺功能亢进C.维生素D摄入过量D.异位恶性肿瘤E.维生素A摄入过量正确答案：D2、单选下列有关生长激素依赖性胰岛素样生长因子（IGF）的叙述中错误的是（）A.介导生长激素的促生长作用B.主要由生长激素诱导合成C.半衰期比生长激素长，血浓度高D.血浆蛋白结合率低E.每日内血浓度无脉冲式波动正确答案：D3、单选下列哪种激素是睾酮的活性形式，在男性生殖器官发育上起主要作用（）A.脱氢异雄酮B.5α-二氢睾酮C.雄烯二酮D.17-羟孕烯醇酮E.雄烷二酮正确答案：B4、单选?男，43岁，抵抗力差，贫血，易反复感染，皮肤黏膜色素沉着明显：生化检查：血糖降低、血钠降低、血钾升高、血钙升高。

为进一步明确是原发性还是继发性，需首选下列哪种检测项目（）A.细胞免疫功能检测B.体液免疫功能检测C.血浆ACTH测定D.抗TB抗体检测E.血脂测定正确答案：C5、单选下列哪种作用是超短反馈调节（）A.TSH→T3、T4B.TSH→TRHC.TRH→TSHD.T3、T4→靶细胞E.TRH→下丘脑正确答案：E6、单选儿童GH过度分泌会导致（）.A.巨人症B.侏儒症C.阿狄森病D.肢端肥大症E.库欣综合征正确答案：A参考解析：儿童GH过度分泌会导致巨人症。

7、单选下丘脑-腺垂体激素分泌的反馈调节中，属于正反馈调节的是（）A.糖皮质激素对腺垂体ACTH的反馈调节B.月经周期中排卵期前雌激素水平达高峰时，对GnRH及LH释放的反馈调节C.甲状腺激素对下丘脑TRH的反馈调节D.生长激素对下丘脑GHRH的反馈调节E.甲状腺激素对腺垂体TSH的反馈调节正确答案：B8、单选对下丘脑-垂体功能紊乱引起的继发性肾上腺皮质功能亢进症和异源性ACTH综合征具有鉴别诊断价值的试验是（）A.血清（浆）皮质醇测定B.尿17-羟皮质类固醇测定C.尿17-酮皮质类固醇测定D.ACTH兴奋试验E.地塞米松抑制试验正确答案：D9、单选对原发性甲状腺功能亢进病人，下列哪项是正确的（）.A.TT3、TT4升高，TSH升高B.TT3、TT4升高，TSH下降C.TT3、TT4下降，TSH升高D.TT3、TT4下降，TSH下降E.TT3升高，TT4、TSH下降正确答案：B参考解析：对原发性甲状腺功能亢进病人，TT3、TT4和TSH的变化是TT3、TT4升高，TSH下降。

儿科主治医师-第十四章内分泌系统疾病

儿科主治医师-第十四章内分泌系统疾病[单选题]1.属于类固醇激素的是A.甲状腺激素B.胰岛素C.生长激素D.维生素DE.肾上腺素正确答案：D参考（江南博哥）解析：类固醇激素主要是由肾上腺皮质与性腺分泌的激素，如皮质醇、醛固酮、雌激素、孕激素及雄激素等。

而胆固醇的衍生物——1，25-二羟维生素D3也被视为固醇类激素。

生长激素、胰岛素是一种肽类激素；肾上腺素是一种激素，但其化学本质既不是蛋白质也不是固醇类物质，而是一种酪氨酸的代谢产物。

掌握“内分泌系统疾病概论”知识点。

[单选题]3.关于内分泌疾病错误的是A.激素的转运代谢异常不是内分泌疾病B.可同时存在多种激素异常C.激素分泌减少引起功能减退D.激素分泌过量引起功能亢进E.激素受体异常产生激素抵抗综合征正确答案：A参考解析：内分泌腺或内分泌组织本身的分泌功能和（或）结构异常时发生的症候群。

还包括激素来源异常、激素受体异常和由于激素或物质代谢失常引起的生理紊乱所发生的症候群。

掌握“内分泌系统疾病概论”知识点。

[单选题]4.新生儿甲状腺功能减低症下列哪项是错误的A.精神及动作反应迟钝B.食量少，吞咽缓慢，常腹泻C.很少哭吵、声音嘶哑D.生理性黄疸时间延长E.不爱活动，多睡正确答案：B参考解析：在先天性甲状腺功能减低症患儿中，纳呆、吸吮力差、很少哭吵、声音嘶哑、体温低、便秘是其特点，而非腹泻。

掌握“先天性甲状腺功能减退症”知识点。

[单选题]5.先天性甲状腺功能低下按发病机制分类为A.原发性、继发性B.散发性、地方性C.碘缺乏性、非碘缺乏性D.遗传性、非遗传性E.碘缺乏性、非碘缺乏性、混合性正确答案：A[单选题]6.治疗先天性甲状腺功能减低症用药合适的指证不包括A.TSH浓度正常B.大便次数性状正常C.开始治疗2～4周内使血T4上升至正常的高限D.患儿出现烦躁、多汗、消瘦E.智能及体格发育改善正确答案：D参考解析：用药合适的指征：①TSH浓度正常，血T4正常或偏高，以备部分T4转变成T3。

人教版2023初中物理八年级物理下册第十二章简单机械解题技巧总结

人教版2023初中物理八年级物理下册第十二章简单机械解题技巧总结单选题1、甲装置中，空吊篮A重25N，B处绳子承受的拉力足够大，C处绳子承受的最大拉力为100N。

小壮将A提升到高处，施加拉力F随时间变化关系如图乙，A上升速度随时间变化关系如图丙。

忽略绳重、摩擦、空气阻力。

下列说法不正确的是（）A．动滑轮所受的重力为15NB．在1~2s内克服滑轮重做的额外功为30JC．此装置最多能匀速运载160N重的货物D．此装置运载货物最高机械效率为92.5%答案：DA．由图可知，在1~2s内吊篮匀速上升，此时拉力为20N，该滑轮组n=2，则忽略绳重、摩擦、空气阻力，动滑轮的重力G=nF1−G A=2×20N-25N=15N动故A正确，不符合题意；B．在1~2s内克服滑轮重做的额外功W额=G动ℎ=G动vt=15N×2m/s×1s=30J故B正确，不符合题意；C．C处绳子承受的最大拉力为100N，当拉力最大时，运载货物的重力最大G 大=nF大-G动-G A=2×100N-15N-25N=160N故C正确，不符合题意；D．运载货物的重力最大时，机械效率最高，此装置运载货物最高机械效率η=W有用W总×100%=G大ℎ(G大+G吊篮+G动)ℎ×100%=160N160N大+25N+15N×100%=80%故D错误，符合题意。

故选D。

2、某人将一箱书搬上楼，可以有两种方法：一是把所有的书一起搬上楼；二是先搬一部分上楼，再搬剩下的部分。

假设他上楼的速度相同，第一种方法搬书的功率为P1，效率为η1，第二种方法搬书的功率为P2，效率为η2，则（）A．P1=P2，η1=η2B．P1>P2，η1>η2C．P1<P2，η1<η2D．P1>P2，η1=η2答案：B这箱书的重力一定，上楼的高度前后不变，根据W=Gh可得，两次所做的有用功（克服书的重力做的功）相等；方法一所做的额外功为一次克服人的重力所做的功，方法二所做的额外功为两次克服人的重力所做的功，因此方法二的额外功大于方法一的额外功，则方法二的总功大于方法一的总功，即方法一做功少一些，根据机械效率的计算公式可得，有η1>η2因上楼的速度相同，方法二需要上楼两次，则方法二上楼所用的时间是方法一的两倍，则根据功率的计算公式可得，两种方法搬书的功率分别为P1=W有+W人t=2W有+2W人2tP2=W有+2W人2t比较可知P1>P2综上所述，故ACD不符合题意，B符合题意。

卫生资格考试检验主管技师综合知识(习题卷7)

卫生资格考试检验主管技师综合知识(习题卷7)说明：答案和解析在试卷最后第1部分：单项选择题，共100题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。

1.[单选题]下列哪种管型出现时，表明肾脏存在实质性病变A)透明管型B)颗粒管型C)红细胞管型D)脂肪管型E)白细胞管型2.[单选题]骨髓增生极度活跃主要见于A)再生障碍性贫血B)原发性血小板减少性紫癜C)急性白血病D)缺铁性贫血E)病毒感染3.[单选题]单位时间内机体能消除药物的固定分数或百分数称为A)清除率B)半寿期C)AUCD)消除速度常数E)清除百分数4.[单选题]属于红细胞膜外周蛋白的是A)主体蛋白B)铁蛋白C)肌动蛋白D)血红蛋白E)糖蛋白5.[单选题]抗原抗体反应中，抗体的合适浓度是A)固定的B)规定的C)与抗原相对而言D)随便设定的E)人为规定的6.[单选题]下列血细胞发育过程的一般规律描述正确的是A)核染色质结构紧密粗糙到疏松细致D)核仁由无到有E)胞浆颗粒从有到无7.[单选题]肠易激综合征患者的粪便呈A)胨状便B)柏油样便C)米泔样便D)白陶土样E)鲜血便8.[单选题]载体至少连接多少数目以上的半抗原才能有效地产生抗体A)10B)20C)30D)40E)509.[单选题]初次分离培养需要CO2的细菌是A)布鲁氏菌B)破伤风梭菌C)产气荚膜梭菌D)幽门螺杆菌E)沙门氏菌10.[单选题]Boyden小室常用于测定A)白细胞吞噬功能B)白细胞趋化功能C)白细胞杀伤功能D)淋巴细胞抑制功能E)白细胞调理功能11.[单选题]ABO血型系统的基因型有几种A)2种B)3种C)4种D)5种E)6种12.[单选题]有关结核性脑膜炎脑脊液检查的叙述，不正确的是A)葡萄糖含量明显增高B)氯化物含量明显下降C)可见腺苷脱氢酶活性明显增高D)标本静置后可出现薄膜E)细胞分类一般以淋巴细胞为主13.[单选题]抗原的特异性取决于( )。

A)抗原的化学组成B)抗原分子量的大小C)抗原结构的复杂性14.[单选题]与新生儿溶血病相关的血型是A)A型血型B)血型不稳定C)Rh血型D)白细胞型E)MN血型15.[单选题]贫血病人，血红蛋白50g/L，红细胞比容20%，白细胞4.8×109/L，网织红细胞2%，红细胞均一体积76fl，MCHC0.24，血小板120×109/L，最可能的诊断是A)溶血性贫血B)再生障碍性贫血C)甲状腺功能减退所致贫血D)缺铁性贫血E)巨幼红细胞性贫血16.[单选题]属于与肾小球基底膜成分有交叉抗原的是A)精子B)大肠杆菌C)类风湿因子D)EB病毒E)溶血性链球菌17.[单选题]胰腺中与消化作用有关的物质是A)磷酸酶B)胆固醇C)胆红素D)电解质E)脂肪酶18.[单选题]对多发性骨髓瘤诊断具有决定性意义的检查是(　)。

做题技巧如何通过比较和对照解答问题

做题技巧如何通过比较和对照解答问题通过比较和对照解答问题的做题技巧做题是学习和提高自己知识水平的重要环节，而掌握一些有效的做题技巧能够帮助我们更高效地解答问题。

其中，通过比较和对照解答问题是一种常用的方法，下面将详细介绍这一技巧的应用。

一、比较问题：从多个选项中找出正确答案在选择题中，通常会给出多个选项供我们选择，而通过比较不同选项之间的差异和特点，能够帮助我们找到正确答案。

比较问题的步骤如下：1. 仔细阅读题目和选项：先理解题目的要求，然后逐个阅读选项并进行比较。

2. 排除显而易见的错误选项：有时候，我们可以很快地排除一些明显错误的选项，这样可以缩小范围，节省时间。

3. 比较剩余选项的差异：在剩余选项中，比较它们的差异和特点，结合题目要求，找出最符合要求的选项。

4. 注意细节和少量差异：有时候，正确答案与其他选项可能只存在一些细微的差异，这时我们要特别留意，防止选择错误。

通过比较选项之间的差异，我们能够更有针对性地选择正确答案，避免盲目猜测和随意选择的情况。

二、对照解答问题：通过对照不同解答方式找出错误在解答问题时，我们可以通过对照不同解答方式来找出错误，从而纠正思路、巩固知识点。

对照解答问题的步骤如下：1. 确定解答方式：首先，确定采用哪种解答方式，如代入法、推理法等。

2. 解答问题：按照所选的解答方式进行具体操作，得出一个答案。

3. 对照答案：将自己得出的答案与正确答案进行对照，比较二者的差异。

4. 分析差异原因：分析差异的原因，看自己哪个环节出错，是漏掉了某个步骤，还是在某个计算过程中出现错误。

5. 纠正错误：根据分析的结果，找出错误所在，并进行纠正。

通过对照解答方式和正确答案之间的差异，我们能够及时发现并纠正错误，提高解题的准确性和效率。

三、综合运用：灵活使用比较和对照解答技巧除了在选择题和解答题中灵活运用比较和对照解答技巧之外，我们还可以将这两种技巧综合运用，以提高解题的整体水平，具体方法如下：1. 养成细致观察的习惯：在阅读题目和选项时，要仔细观察并比较，不要掉以轻心错过一些细节信息。

临床医学检验技术(主管技师)：内分泌疾病的检查题库四

临床医学检验技术(主管技师)：内分泌疾病的检查题库四1、单选肝脏的激素和维生素在代谢中的作用不包括（）A.激素的灭活主要在肝脏进行B.灭活后的产物大部分随胆汁排泄C.肝硬化出现的肝掌是由于雌激素灭活降低（江南博哥）所致D.肝脏可储存维生素E.维生素在肝脏羟化为维生素正确答案：B参考解析：灭活后的产物大部分随尿液排泄。

2、单选下列激素除哪种外均为糖皮质激素（）A.醛固酮B.皮质醇C.皮质酮D.雄激素E.肾上腺素正确答案：E参考解析：肾上腺皮质分泌的糖皮质激素包括醛固酮、皮质醇、皮质酮、雄激素和少量雌激素。

3、单选用于诊断心衰的最敏感指标是（）A.D-二聚体B.脑钠肽C.儿茶酚胺D.C反应蛋白E.皮质醇正确答案：B参考解析：脑钠肽又称B型钠尿肽是诊断心衰的较好心肌标志物。

库欣综合征是由多种原因造成肾上腺分泌过多的糖皮质激素所致的病症，其敏显增高的指标是皮质醇。

4、单选对于肾上腺皮质功能减退的诊断下列可靠的是（）A.单次24小时UFC测定B.清晨血及唾液血皮质醇水平C.午夜血皮质醇水平D.下午4时血皮质醇水平E.午夜血及24小时UFC测定正确答案：B参考解析：肾上腺皮质束状带分泌的糖皮质激素（GC）中皮质醇约占90%，现主张以血浆皮质醇水平及昼夜节律作为肾上腺皮质功能紊乱筛查的首选项目。

肾上腺皮质功能亢进者，血皮质醇、唾液游离皮质醇水平，尤其午夜水平异常升高，昼夜节律消失。

肾上腺皮质功能减退者，血皮质醇、唾液游离皮质醇水平，尤其清晨水平显著降低，并常伴24小时UFC测定。

5、单选TRH兴奋试验TSH有升高反应其意义为（）A.见于TSH瘤B.见于自主性高功能腺瘤C.见于Graves眼病D.可排除甲亢E.支持甲亢的诊断正确答案：D参考解析：Graves病时T3、T4增高，反馈抑制TSH，故TSH细胞不被TRH兴奋，如静脉注射TRH后TSH有升高反应，可排除本病；如TSH不增高则支持甲亢的诊断。

6、单选儿童GH过度分泌会导致（）A.巨人症B.侏儒症C.阿狄森病D.肢端肥大症E.库欣综合征正确答案：A参考解析：儿童GH过度分泌会导致巨人症。

儿科相关专业知识：内分泌系统疾病题库知识点(题库版)

儿科相关专业知识：内分泌系统疾病题库知识点（题库版）1、单选下列哪项不是散发性先天性甲低的临床表现（）A.身材矮小，小指向内弯曲，通贯手，小指第二指节常不发育B.生后1～3个月内出现症状，生理性黄疸时间延长（江南博哥）C.精神及动作反应都较迟钝，不爱活动D.吞咽缓慢，声音低哑，腹胀，常便秘E.皮肤粗糙，眼睑水肿，舌大宽厚，常伸出口外正确答案：A2、单选下列哪项检查结果不支持中枢性尿崩症（）A.尿渗透压B.尿比重≤1.005C.血钠>135mmol/LD.血渗透压E.禁水试验中，持续排出低渗尿正确答案：D3、单选血糖在正常范围内，尿糖阳性，尿蛋白阳性（）A.1型糖尿病B.2型糖尿病C.肾性糖尿D.食后尿糖E.婴儿暂时性尿糖正确答案：C4、单选新生儿期进行呆小症的筛查哪项测定合适（）A.脐血测定T3B.促甲状腺素测定C.脐血测定T4D.生母血清T4测定E.血清胆固醇测定正确答案：B5、单选生长激素完全缺乏（）A.GH峰值4μg/LB.GH峰值8μg/LC.GH峰值12μg/LD.TSH值4mU/LE.TSH值25mU/L正确答案：A参考解析：正常人血清GH值很低，且呈脉冲式分泌。

受各种因素影响，任意血GH水平明显高于正常（>10μg/L），可排除生长激素缺乏症（GHD）。

因此，怀疑GHD儿童必须做GH刺激试验，以判断垂体分泌GH的功能。

生理试验系筛查试验、药物试验为确诊试验。

一般认为在试验过程中，GH的峰值6、单选尿崩症尿液检查特点（）A.碱性尿B.酸性尿C.尿比重低D.尿比重高E.蛋白尿正确答案：C7、单选以下哪项不是散发性呆小症的临床表现（）A.怕冷、低体温、四肢凉B.低鼻梁、眼距宽、舌体宽厚、伸出口外C.喂养困难、腹胀、便秘D.骨龄正常E.运动及智力发育落后正确答案：D8、单选患儿，2岁，因智力低下、不能行走来诊，查体见：头大，表情呆滞，面色苍黄，身长69cm，体重9kg，前囟未闭，腹胀，脐疝。

特岗数学单选题ABCD技巧

特岗数学单选题ABCD技巧
选择题答题技巧
掌握选择题应试的基本方法：要抓住选择题的特点，充分地利用选择支提供的信息，决不能把所有的选择题都当作解答题来做。

首先，看清试题的指导语，确认题型和要求。

其次，审查分析题干，确定选择的范围与对象，要注意分析题干的内涵与外延规定。

再次，辨析选项，排误选正。

最后，要正确标记和仔细核查。

(1)特值法。

在选择题的选项中分别取特殊值进行验证或排除，对于方程或不等式求解、确定参数的取值范围等问题格外有效。

(2)反例法。

把选择题各选择项中错误的答案排除，余下的便是正确答案。

(3)特殊法。

当对某一选择题没有把握时，可以采用此方法。

要注意寻找线索，如果其他选项大体相当，唯有某一个选项特别长或特别短，那它成为正确答案的可能性很大。

(4)猜测法。

因为数学选择题没有选错倒扣分的规定，实在解不出来，猜测可以为你创造更多的得分机会，特别是最后一个选择题。

小学数学低段解决问题六步解题法h和克亮

小学数学低段解决问题“六步解题法”探讨和克亮在小学数学低段的教学中，“解决问题”的教学内容似乎很简单，就是一些最基本的加减乘除；计算步骤也似乎很简单，最多是两步。

但是，小学低段解决问题的教学却承担着培养学生审题意识和能力，理解加减乘除法的意义，经历解决问题的过程，积累基本数量关系的感性经验。

许多学生在数学审题方面不够认真，所以导致做错，甚至乱做。

特别是低年级学生，更应该从小培养良好的审题能力，从而提高做题的质量与速度。

新课程标准对第一学段“解决问题”的要求是：能在教师的指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题，知道同一问题可以有不同的解决办法，有与同伴合作解决问题的体验，初步学会整理解决问题的过程和结果。

针对课程标准的要求，我认为低年级“解决问题”的解题方法可以遵循以下六个步骤：认真读题——找条件——分步做——仔细算——要验证——写答语一、认真读题。

问题是题目的重要组成部分，低段的学生特别要加强读题的训练，有些学生由于刚刚接触解决问题没有养成良好的习惯，导致错读、漏读，造成了理解题意偏差。

所以低段的学生要教会他们进行指读和勾画重点词语。

看问题、看懂问题是解题的关键。

问题就是要我们做什么，解决什么。

只有反复地读问题，从问题里找出关键词、重点词，才能正确地把握解决问题的方向，而不是简单地把看到的数字相加减或乘除，才不会出现错做、乱做。

数学来源于生活又要应用于生活。

学生在课堂上获得的知识，必须到实践中去运用，才能更深刻地理解和掌握，才能提高解决问题的能力，使学生得法于课内，受益于课外。

例如学习了用加法解决问题时，我出了这样的题目“二（1）班有男生15人，女生13人，这个班一共有多少名学生？”让学生列式计算后体会这也是一个“数学问题”。

教学时，我让学生反复的读问题“这个班一共有多少名学生？”并且要求学生把问题里的关键词“一共”要圈出来，表示这道题是要合起来用加法，结合生活实际学生很容易理解，很快就找到了问题的所在。

福建省龙岩市新罗区龙岩莲东中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团2023-2024学年第二学期期中质量监测八年级数学学科（时间：120分钟）一、单选题（每题4分，共40分）1.有意义，x 必须满足（）A. x≤2B. x≥2C. x ＜2D. x ＞2【答案】B【解析】【详解】解：根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，因此可得x-2≥0，解这个不等式可得x≥2．故选B 2. 下列各曲线中不能表示是的函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】本题主要考查了函数的定义，根据定义即可判断即可，解题的关键是正确理解在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点，，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．【解答】解：显然、、三选项中，都有唯一的值与之相对应；选项中对于时有两个值，则不是的函数；故选：．3. 下列各式是最简二次根式的是（）y x x x x y A C D y B 0x >y y x BA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；BC，是最简二次根式，故本选项不符合题意；D，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．4. 如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若EF ＝4，则菱形ABCD 的周长为（）A. 48B. 32C. 16D. 12【答案】B【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得BC ＝8，由菱形的性质可求出菱形ABCD 的周长．【详解】解：∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ＝BC ，∴BC ＝2EF ＝2×4＝8，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝8，∴菱形ABCD 的周长＝32，故选：B ．3====12【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，利用中位线的性质求出菱形的边长是解题的关键．5. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】A 、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；B 、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；C 、由AB CD 可得出∠BAO =∠DCO 、∠ABO =∠CDO ，结合OA =OC 可证出△ABO ≌△CDO （AAS ），根据全等三角形的性质可得出AB =CD ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC 无法证出四边形ABCD 是平行四边形．此题得解．【详解】解：A 、∵AB CD 、AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；B 、∵AB CD 、AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C 、∵AB CD ，∴∠BAO =∠DCO ，∠ABO =∠CDO ．在△ABO 和△CDO 中，，∴△ABO ≌△CDO （AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC ，则四边形ABCD 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD 是平行四边形是解题的关键．6. 下列命题的逆命题成立的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线相等C. 菱形的对角线互相垂直D. 正方形的对角线互相垂直且相等【答案】A【解析】AB CD ∥AB CD=AD BC ∥OA OC =AD BC=∥∥∥∥∥∥BAO DCO ABO CDO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，一一判断即可．【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．B 、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．C 、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．D 、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查命题与定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．7. 小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s （m ）与时间t （min ）的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S 随时间t 的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S 不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S 又随时间t 的增长而增长，故选：C ．8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形【答案】B【解析】【分析】如图，根据三角形中位线定理推出，，则这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，证出，可得这个四边形为矩形．【详解】解：如图，四边形中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，连接、、、，EF GH ∥EH FG ∥EF EH ⊥ABCD AC BD ⊥EF FG GH HE∵点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴，∵，∴，∴平行四边形是矩形；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及矩形的判定，正确掌握知识点是解题的关键．9. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【详解】解：把斜边定为c ，A、∵，∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；EF AC ∥GH AC ∥EH BD ∥FG BD ∥EF GH ∥EH FG ∥EFGH AC BD ⊥EH BD ∥AC EH ⊥EF AC ∥EF EH ⊥EFGH ()()211112222ab c ab a b a b ++=++222+=a b cB 、∵，∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D 、∵，∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选C ．10. 如图，在中，，，，E 为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作于F，()22142ab b a c ⨯+-=222+=a b c ()2222a b a ab b +=++()22142ab c a b ⨯+=+222+=a b c Rt ABC △90BCA ∠=︒1BC =2AC =AB EA ECEDRt ABC △AB CF DE AB ⊥DE CF AB ⊥中，，，，∴∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴当时，有最小值，此时：，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______．【答案】6【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴菱形的面积为故答案为：6【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．12. 若正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），则k=_______．在Rt ABC △90BCA ∠=︒1BC =2AC =AB ===1122ABC S AC BC AB CF =⨯⨯=⨯⨯ CF ==ADCE CD AB ∥DE AB ⊥DE CF DE ==134=62⨯⨯【答案】2【解析】【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出k 值．【详解】∵正比例函数y=kx 的图象经过点（1，2），∴2=k×1，即k=2．故答案为2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．13. 已知长方形的周长为20，设长与宽分别为x ，y ，则y 与x 的关系式为__________.【答案】【解析】【分析】由题意知，，整理即可．【详解】解：由题意知，，整理得，∴y 与x 的关系式为，故答案为：．【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意．14. 如图，若直线，A ，D 在直线m 上，B ，E 在直线n 上，，，，的面积为6，则直线m 与n 之间的距离为______．【答案】4【解析】【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：直线，，10y x=-()220x y +=()220x y +=10y x =-10y x =-10y x =-m n ∥AB CD 5AD =8BE =DCE △5BC AD ==3CE = m n ∥AB CD四边形是平行四边形，，，，设直线与之间的距离为，的面积为6，，解得，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．15. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______．【答案】【解析】【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．【详解】解：将台阶展开成平面图形：在中，，，∴ABCD 5BC AD ∴==8BE = 3CE BE BC ∴=-=m n h DCE 1362h ∴⨯=4h =20cm 50cm 40cm A B 130cmRt ABC △50cm AC =120cm BC =，其爬行的最短长度，故答案为：．16. 如图，在平行四边ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF =∠BCD ，（2）EF =CF ；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE =3∠AEF【答案】①②④【解析】【详解】解：①∵F 是AD 的中点∴AF =FD∵在▱ABCD 中，AD =2AB∴AF =FD =CD∴∠DFC =∠DCF∵∴∠DFC =∠FCB∴∠DCF =∠BCF∴∠DCF=∠BCD ，故此选项正确延长EF ，交CD 延长线于M ∵四边形ABCD 是平行四边形∴∴∠A =∠MDF∵F 为AD 中点()130cm AB ===()130cm AB =130cm AD BC∥12AB CD∥∴AF =FD在△AEF 和△DFM 中∴△AEF ≌△DMF （ASA ）∴FE =MF ，∠AEF =∠M∵CE ⊥AB∴∠AEC =90°∴∠AEC =∠ECD =90°∵FM =EF∴FC =FM ，故②正确③∵EF =FM∴S △EFC =S △CFM∵MC ＞BE∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误④设∠FEC =x ，则∠FCE =x∴∠DCF =∠DFC =90°-x∴∠EFC =180°-2x∴∠EFD =90°-x +180°-2x =270°-3x∵∠AEF =90°-x∴∠DFE =3∠AEF ，故此选项正确．三、解答题17. 计算：（1（2{A FDMAFDF AFE DFM∠=∠=∠=∠+-【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式乘除运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则是解题的关键．18. 如图，中，E 、F 是对角线上两点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质，证明即可．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．的13=+0==13=ABCD Y AC AE CF =DF BE =DFC BEA △≌△ABCD Y AB CD AB CD = ，DCF BAE ∠=∠DC BA DCF BAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DFC BEA ≌V V DF BE =19. 已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （1，1）和B （3，﹣1）．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在图中画出该函数图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）y ＝﹣x +2；（2）图见解析，2．【解析】【分析】（1）根据函数解析式y ＝kx +b ，将点（1，1）和（3，﹣1）代入可得出方程组，解出即可得出k 和b 的值，即得出了函数解析式．（2）先运用两点法确定函数的图象，再求出与x 轴及y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （1，1）和B （3，﹣1），则，解得：，∴y 关于x 的函数解析式y ＝﹣x +2；（2）图象如图所示：的131k b k b +=⎧⎨+=-⎩12k b =-⎧⎨=⎩当x ＝0时，y ＝2，即OA ＝2，当y ＝0时，x ＝2，即OB ＝2，∴S △AOB＝OA •OB ＝，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，以及直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握坐标与线段的长度的联系是解题的关键.20. 已知：如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点E ，点G 为AD 的中点，连接CG ，CG 的延长线交BA 的延长线于点F ，连接FD ．（1）求证：AB =AF ；（2）若AG =AB ，∠BCD =120°，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF 是矩形．理由见解析【解析】【分析】（1）只要证明AB =CD ，AF =CD 即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF 是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，12122=22⨯⨯∴∠AFC =∠DCG ，∵GA =GD ，∠AGF =∠CGD ，∴△AGF ≌△DGC ，∴AF =CD ，∴AB =AF ．（2）解：结论：四边形ACDF 是矩形．理由：∵AF =CD ，AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD =∠BCD =120°，∴∠FAG =60°，∵AB =AG =AF ，∴△AFG 是等边三角形，∴AG =GF ，∵△AGF ≌△DGC ，∴FG =CG ，∵AG =GD ，∴AD =CF ，∴四边形ACDF 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是______米．（2）小明书店停留了______分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟．在（4）在整个上学的途中在______（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？【答案】（1）1500；（2）4；（3）2700，14；（4）12分钟至14分钟，450米/分钟，【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程；（2）根据函数图象可以得到小明在书店停留的时间；（3）根据函数图象中数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程和时间；（4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．【小问1详解】由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；【小问2详解】由图象可得，小明在书店停留了：12-8=4（分钟），故答案为：4；【小问3详解】本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200-600）×2=2700（米），一共用了14（分钟），故答案为：2700，14；【小问4详解】由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500-600）÷（14-12）=450米/分钟，故答案为：12分钟至14分钟，【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．（1）求证：是菱形；的ABCD Y AC BD O D ∥D E A C DE OC =CE OE OE CD =ABCD Y（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，即可解决问题．【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形．，平行四边形是矩形，，，是菱形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：，由（1）可知，四边形是矩形，，，，4AB =60ABC ∠=︒AE OCED OCED 90COD ∠=︒AC BD ⊥ABC 4AC AB ==OD=CE OD ==90OCE ∠=︒DE AC ∥ DE OC =∴OCED OE CD = ∴OCED 90COD∴∠=︒AC BD ∴⊥ABCD ∴ ABCD OA OC ∴=4CD AB BC ===AC BD ⊥60ABC ∠=︒ABC ∴ 4AC AB ∴==2OA OC \==Rt OCD △OD ===OCED CE OD ∴==90OCE ∠=︒AE ∴===即的长为．23. 阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角上个周末，李芳到书店去阅读，读到这样一个故事：如图①，木工张师傅犯难了，他有一块如图②所示的四边形木地板．他已经在木地板上画出一条线，现根据做工的需要，要过上的一点C ，作出的垂线，我们知道木工师傅都是用直角尺作垂线的，可他手头没有直角尺，怎么办呢？到了周一下午，李芳和数学社团的同学们对这个问题进行探究：方法1：如图②，利用刻度尺在上量出．然后分别以D ，C 为圆心，以为半径画圆弧，两弧相交于点P ，作直线，则必为．方法2：如图③，用铅笔在刻度尺上标注E ，F 两点．把刻度尺斜放在木板上，使点E 与点C重合，点F 在木板上的对应位置记为点D ，保持点F 不动，将刻度尺绕点F 旋转，使E 落在上，将点E 的对应位置记为点N ，连接并延长，在延长线上截取，将到点P ，作直线，则必为．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空：“方法1”依据的一个数学定理是______．（2）根据“方法2”的操作过程，证明；（3）不用直角尺，你还有什么方法作出垂线吗？【答案】（1）勾股定理逆定理（2）见详解（3）见详解【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，尺规作图一过一点AE AB AB AB AB 30CD cm =5040cm cm ，PC PCD ∠90︒AB ND DP DN =PC PCN ∠90︒90PCN ∠=︒作已知直线的垂线等方法，熟练堂握基本作图方法是解题的关键；（1）利用勾股定理的逆定理可得答案；（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案；（3）根据过直线上一点作垂线的步骤即可画出图形．【小问1详解】“方法1”依据的一个数学定理是勾股定理逆定理，故答案为：勾股定理逆定理；【小问2详解】证明：根据作图，，又，，【小问3详解】以点C 为圆心，任意长度为半径画弧与交于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧交于E 、F 两点，连接即可；如图，直线即为所求作的的垂线．24. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．222304050+= 90PCD ∴∠=︒∴DC DN =DNC DCN∴∠=∠,DC DN DP DN== DC DP∴=DPC DCP∴∠=∠DNC DPC DCN DCP NCP ∴∠+∠=∠+∠=∠180DNC DPC NCP ∠+∠+∠=︒Q 90DNC DPC PCN ∴∠+∠=∠=︒AB EF EF AB ABCD F G CD AD BF CG ⊥（1）求证：．（2）如图2，点在的延长线上，且．①求的度数；②求证：．【答案】（1）见解析（2）①，②见解析【解析】【分析】（1）由“”可证，可得；（2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得；②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解．【小问1详解】证明：四边形是正方形，，，，，，，；【小问2详解】①解：如图3，延长至，使，连接，BF CG =E CG 90BED ∠=︒BEC∠DE BE +=45BEC ∠=︒ASA BCF CDG ≅ BF CG =EB H BH DE =CH (SAS)BCH DCE ≅ HCE 45BEC ∠=︒BCH DCE ≅ CE CH =HCE ABCD BC CD ∴=90BCD D ∠=∠=︒BF CG ⊥ 90CBF BCG BCG GCD ∴∠+∠=︒=∠+∠CBF GCD ∴∠=∠(ASA)BCF CDG ∴≅ BF CG ∴=EB H BH DE =CH四边形是正方形，，，，，，又，，，，，，，，②，，，又，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．25. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，且AD ＝12cm ，AB ＝8cm ，DC ＝10cm ，若动点P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿线段AD 向点D 运动；动点Q 从C 点出发以每秒3cm 的速度沿CB 向B 点运动，当P 点到达D 点时，动点P 、Q 同时停止运动，设点P 、Q 同时出发，并运动了t秒，回答下ABCD 90BCD ADC ∴∠=∠=︒90BED ∠=︒180EBC EDC ∴∠+∠=︒180EBC HBC ∠+∠=︒ HBC EDC ∴∠=∠DE BH = BC CD =(SAS)BCH DCE ∴≅ ∴BHC DCE ∠=∠CE CH =BHC BCE BCE DCE ∠+∠=∠+∠∴HEC EHC ∠=∠90HCE BCD ∠=∠=︒∴45BEC EHC ∠=∠=︒∴CE CH =∴90ECH ∠=︒22222EH EC CH EC ∴=+=EH ∴=BCH DCE ≅ ∴HB DE =∴=HE EB HB EB DE +=+EB DE ∴+=列问题：（1）BC ＝ cm ；（2）当t ＝秒时，四边形PQBA 成为矩形．（3）是否存在t ，使得△DQC 是等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）18；（2）；（3）存在t ，使得△DQC 是等腰三角形，此时t 的值为秒或4秒或秒．【解析】【分析】（1）作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABED 为矩形．在直角△CDE 中，已知DC 、DE 的长，根据勾股定理可以计算EC 的长度，根据BC ＝BE +EC 即可求出BC 的长度；（2）当PA ＝BQ 时，四边形PQBA 为矩形，根据PA ＝QB 列出关于t 的方程，解方程即可；（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【详解】解：根据题意得：PA ＝2t ，CQ ＝3t ，则PD ＝AD ﹣PA ＝12﹣2t ，（1）如图，过D 点作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABED 为矩形，DE ＝AB ＝8cm ，AD ＝BE ＝12cm ，在直角△CDE 中，∵∠CED ＝90°，DC ＝10cm ，DE ＝8cm ，∴EC 6cm ，∴BC ＝BE +EC ＝18cm ．故答案为18；（2）∵AD ∥BC ，∠B ＝90°∴当PA ＝BQ 时，四边形PQBA 为矩形，即2t ＝18﹣3t ，解得t ＝秒，故当t ＝秒时四边形PQBA 为矩形；故答案为（3）△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当QC ＝DC 时，即3t ＝10，185103259185185185∴t＝；②当DQ ＝DC 时，＝6，∴t ＝4；③当QD ＝QC 时，3t •＝5，∴t ＝．故存在t ，使得△DQC 是等腰三角形，此时t 的值为秒或4秒或秒．【点睛】此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．1033t 2610259103259。