2 拉伸和压缩

2 拉伸和压缩2.1 轴向拉伸和压缩的概念及实例在工程实际中，常见很多直杆，例如图2.1所示的悬臂吊车的拉杆，图2.2所示的液压传动机构中油缸的活塞杆，还有桁架结构中的每根杆等，略去次要受力后，它们所受到的外力的作用线或外力的合力作用线都是与杆件的轴线重合的，所引起的杆件变形均主要是沿轴线方向的伸长或缩短。

我们称这种变形为轴向拉抻或轴向压缩，工程上，常称发生这种变形的杆件为拉杆或压杆。

2.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力2.2.1 轴向拉伸和压缩时横截面上的内力杆件受到外力作用时，其内部各质点的相对位置发生改变引起内力，该内力随外力增加而增大，达到某一限度时杆件发生破坏。

图2.1 悬臂吊车的拉杆 图2.2 液压传动机构中油缸的活塞杆拉压图2.3 轴向拉伸、压缩杆件的计算简图2.2.1.1内力的名称和符号规定假想地用一截面m -m 将杆件截开，分为Ⅰ和Ⅱ两部分。

取其中的任一部分，例如Ⅰ为研究对象，弃去的部分Ⅱ对Ⅰ的作用以截开面上的内力代之。

因为整个杆件处于平衡状态，故Ⅰ部分也应满足平衡方程，即P 与截开面上的内力构成平衡力系，由此显易得出截开面上的内力也必定与轴线重合（图2.4c ），且由 0,0=-=∑P N X 得 P N =为了区别拉伸和压缩，我们对轴力N 作如下符号规定，即：轴力的指向离开所作用的截面时为正号，也称为拉力；指向朝着作用的截面时为负号，也称为压力。

2.2.1.2 内力的图形表示——轴力图当外力沿杆件轴线连续分布时，轴力是轴坐标x 的连续函数，即()x N 。

该图形中以横坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示轴力的大小，以该方式绘制的图形称为轴力图。

【例题2.1】例题2.1a 图所示为一双压手铆机的活塞缸示意图。

作用于活塞杆上的力分别为P 1=2.62kN , P 2=1.3kN , P 3=1.32kN , 计算简图为例题2.1b 所示。

这里P 2和P 3分别是以压强p 2和p 3乘以作用面积得出的。

试求活塞杆横截面1-1和2-2上的轴力，并作活塞杆的轴力图。

解：（一）用截面法求1-1，2-2面上的轴力。

a . 求1-1面上的轴力。

将杆沿1-1面截开，取左半部分为研究对象，并画受力图（例题2.1c 图）。

为了使所得结果与轴力的符号规定一致，此处将1-1面上的轴力先画为拉力。

由平衡方程得kN 62.2,0,01111===+=∑P N N P X负号说明1-1面上的轴力实际为压力。

b .求2-2面上的轴力。

同理将杆沿2-2面截开，取左半部分为研究对象，右半部分对其的作用以N 2（暂画为拉力）替代（例题2.1d 图），由平衡方程∑=+-=0,0221N P P X , 得 kN 32.1212-=+-=P P N 同样说明2-2面上的轴力为压力。

如果取2-2面的右半部分为研究对象（例题2.1e 图），求2-2面上的轴力N 2时，有kN 32.1,0,03223-=-==--=∑P N N P X所得结果与前面相同，计算却比较简单。

所以计算时应选取受力比较简单的一段作为研究对象。

（二）画轴力图轴力图一般应与原计算简图上下对应（原计算简图竖直方向时为左右对应），这样可使杆件横载面上轴力的大小一目了然。

另外在轴力图中，将拉力绘在x 轴的上侧，压力绘在x 轴的下侧。

2.2.2 轴向拉伸和压缩时杆件横截面上的应力 2.2.2.1平面假设根据上述表面现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形后，横截面仍保持为平面，并且仍垂直于杆轴线，只是各横截面沿杆轴作相对平移。

此假设称为平面假设。

如果将杆件设想成由无数根纵向“纤维”所组成，则由平面假设可知，任意两横截面间的所有纤维的伸长（缩短）均相同。

对于均匀性材料，如果变形相同，则受力也相同。

由此可得横截面上各点处的应力大小相等，方向均垂直于横截面(图2.5c )，即为正应力ζ。

2.2.2.2正应力的计算拉（压）杆横截面上的正应力ζ应合成为轴力N ，而ζ又处处大小相等，所以有⎰⎰===AAAdA dA N σσσ即A N =σ (2.1)轴向拉伸时，横截面上的应力为拉应力；轴向压缩时，横截面上的应力为压应力。

正应力的符号规定随轴力的符号规定，即拉应力为正，压应力为负。

【例题2.2】例题2.2图为一悬臂吊车的简图，斜杆AB 为直径d =20mm 的钢杆，载荷Q =15kN 。

当Q 移到A 点时，求斜杆AB 横截面上的应力。

解：1. 首先由静力平衡方程求Q 移到A 点时，AB 杆所受到的外力（即载荷），取横梁AC 为研究对象，其受力如例题2.2c 图，由图2.5 轴向拉伸杆件横截面上的应力分布规律 例题2.2图 求AB 杆横截面上的应力∑=⋅-⋅=0sin ,0max cAC Q AC P mα得 αsin max Q P =，由三角形ABC 的几何关系有388091808022....AB BC sin =+==α 故有 kN7.38388.015sin max ===αQ P2. 求斜杆AB 的轴力。

因AB 杆只在两端受力,故轴力处处相等，且kN 7.38max ==P N3. 求斜杆AB 横截面上的应力。

由（2.1）式有M P a123Pa 10123)1020(4107.386233=⨯=⨯⨯⨯==-πσAN【例题2.3】一受轴向荷载的阶梯轴，如例题2.3a 图所示。

求各段横截面上的应力。

并画轴力图。

解：1.求轴力。

将截面法分别应用于阶梯轴的AB 、BC 、CE 及EF 段（为何这样分段，建设读者自行思考），容易得出：kN 50I -I -=N kN 30II II +=-NkN 25III -III +=N 0IV -IV =N2. 轴力图如例题2.3b 图。

3. 求应力。

应力的计算应根据轴 力、横截面积的不同来分段进行计算。

M P a5.151105.151)1015(41025MPa6.79106.79)1020(41025MPa5.95105.95)1020(41030MPa521052)1035(41050EF EF EF 6233DEDE DE 6233CD CE CD 6233BC BC BC 6233AB AB AB ===⨯=⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯==-=⨯-=⨯⨯⨯-==----A NPa A N Pa A N Pa A N Pa A N σσσσσ显然例题2.3图 求阶梯轴各段应力{}MPa 5.151,,,,,max EF D E CD C A B max ==σσσσσσB最大正应力并不一定发生在最大轴力处。

当截面的尺寸也沿轴线变化时（图 2.6），公式（2.1）仍可使用。

此时把它写成)()()(x A x N x =σ (2.2)式中()x σ、N (x )和A (x )表示这些量都是横截面位置坐标x 的函数。

2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力图2.7所示的拉杆，若横截面面积为A ，则横截面上的应力A P A N ==σ。

P N =α (2.3)αααααcos A Pcos A P A N p ===(2.4)一般称αp 为全应力，将其分解为垂直斜截面的正应力ασ和沿斜截面的剪应力ατc o s c o s 2ασασαα==p (2.5)sin22sin cos sin ασαασαταα===p (2.6)图2.8 剪应力的正负号规定其中剪应力的符号规定为对所取部分上任一点的矩为顺时针方向时为正，反之为负，如图2.8所示。

【例题2.4】有一受轴向荷载P =100kN 作用的拉杆（见例题2.4a 图），其横截面面积A =1000mm 2。

试分别计算0=α、90=α和 45=α时各截面上的ασ和ατ的数值。

解：显然各横截面上的轴力均为N =P（1）0=α的截面即杆的横截面，由（2.5）和（2.6）式分别得2s i n 21M P a10010100010100cos 006320===⨯⨯======--=ααατσασσA P A N（2）90=α的截面为与杆轴线平行的纵向截面（见例题 2.4c 图的2-2面），同样可得221909090290======ααατασσsin cos（3）45=α时，类似可得M P a5022sin 21MPa 502cos 454545245========σατσασσαα将上面算得的正应力a σ和剪应力a τ分别表示在它们所作用的截面上，如例题2.4b .c .d 图所示。

分析上题可得如下结论，即：当0=α时，即横截面上，s σ为最大，其值为σσσ==max 0 （2.7） 当 45=α即与轴线成45角的斜截面上，a τ为最大，其值为m a x4545τττ==-（2.8）当90=α即在平行于轴线的纵向截面上，09090== τσ，无任何应力。

在所有的斜截面上，既有正应力，又有剪应力。

根据材料抗拉能力和抗剪能力的强弱，轴向受拉（压）杆在轴力较大时，可能沿横截面发生拉断破坏，也可能沿45°斜截面发生剪断破坏。

2.4 材料在拉伸时的机械性质材料的机械性质也称力学性质是指材料在外力作用过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特征。

这些试验是在室温下、以缓慢加载的方式进行的，通常称常温静载试验。

拉伸试验是测定材料机械性质的基本试验。

要弄清楚的几个问题： ※ 材料试验的标准※ 试验的条件（温度、压强、加载方式） ※ 加载过程的界定 ※ 力学参量的测定为了方便比较不同材料的试验结果，试验所用的试件通常按国家标准《金属拉力试验法》（GB228-76）规定的标准试件有两种形式：①圆截面的标准试件（图示2.9a ）②矩形截面的标准试件（图2.9b ）。

试件的两端为试验机夹紧部分。

国标规定标矩与横截面尺寸的比例有两种规格：圆截面试件 l =10d 和l =5d （2.9） 矩形截面试件A l 3.11=和A l 65.5= (2.10)试验时，将试件两端装入试验机夹头内，开动试验机对试件缓慢施加载荷。

由于材料的品种很多，不可能做到一一研究，现仅对具有代表性的典型材料低碳钢和铸铁的试验进行介绍，用以说明材料在拉伸时的机械性质。

2.4.1 低碳钢拉伸时的机械性质低碳钢是指含碳量低于0.3%的碳素钢。

2.4.1.1 拉伸图在低碳钢拉伸试验中，载荷P 的数值可由试验机上的测力装置读出，标距段l 内的伸长可用测量变形的仪表（引伸仪或变形仪）量得。

由所获得的P 和相应的变形绘制的曲线称为拉伸图或l P ∆-曲线（图2.10）2.4.1.2 应力应变曲线上述拉伸图显然与试件的尺寸有关，应用不便。

为了消除试件尺寸的影响，一般将载荷P 除以横截面的原始面积A ，得A P =σ；将伸长量△l 除以标距的原始长度l ，记为l l ∆=ε。