线性规划运输问题

第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。

第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。

每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。

求一个使总运费最小的运输方案。

我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。

如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。

我们先只考虑这一类问题。

图4.1.1是运输问题的网络表示形式。

运输问题也可以用线性规划表示。

设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。

运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。

约束个数为m+n 个，全部为等式约束。

前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。

运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。

运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。

但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。

在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。

图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。

A 矩阵中的行与运输网络中的节点对应，前m 行对应于发地，后n 行对应于收地；A 矩阵的列与运输网络中的边对应。

运输问题除了用网络表示及线性规划表示外，还可以用运输表表示：1 s12 s2……m s m12n表 4.1表的行与发地对应，列与收地对应。

第i行与第j列交叉的一格与网络的一条边对应（也就是与线性规划约束矩阵的一列对应），每一格的左上角小方格内的数字表明从相应的发地i到收地j的运价c ij，每一格右下角表明从相应的发地i到收地j的运量x ij。

表右方表明各发地的供应量s i，表下方表明各需求第的需求量d j。

每一行运量之和表示从该发地运往各收地的运量之和，它应该等于该发地的供应量；同样，每一列运量之和表示从各发地运往该收地的运量之和，它应该等于该收地的需求量。

例4.1以下的运输问题线性规划、网络图和运输表表示同一运输问题。

min z= 8x11+5x12+6x13+7x21+4x22+9x23s.t. x11+x12+x13=15x21+x22+x23=25x11+x21=10x12+x22=20x13+x23=10x11, x12, x13, x21, x22, x23≥01152 2510 20 10表 4.215102010§4.2 运输问题约束矩阵的性质4.2.1 约束矩阵的秩运输问题约束矩阵A 的秩为m+n-1。

证明：因为A 矩阵的前m 行和后n 行之和分别等于向量（1，1，…，1），因此秩A <m+n 。

考虑A 的一个子矩阵A ’=[a 1n ，a 2n ，…，a mn ，a 11，a 12，…，a 1n ]，即A’=列列行行n m n m 111111111111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡删除A ’中的第m+n 行和第m+n 列，得到A ’’=列列行行1n m 1n m 111111111--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡容易看出，秩A ’’=m+n -1。

由此m+n-1=秩A ’’≤秩A’≤秩A<m+n即秩A =m+n-1。

在线性规划问题中，约束的系数矩阵要求行满秩的，为了使运输问题系数矩阵行满秩，在A 矩阵中增加一个列向量e m+n 形成增广矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+1000n m Ae A A 这样增广矩阵A 的秩就等于m+n ，因而是行满秩的。

并且A 中任何一个基矩阵，都必定包含单位向量e m+n 。

例4.2.1 设一个运输网络如右图，它的系数矩阵为3212123x 22x 21x 13x 12x 11xd d d s s 101010010001001111000000111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A增广矩阵为32121ex23x22x21x13x 12x 11x d d d s s 11001000010010000100101110000000111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A增加的单位列向量e m+n =e 5相当于在在网络图中增加一条边，它与收点3关联，但不与任何发点关联，这条边称为人工边。

设这条边上的运输量为x a ，增广运输问题对应于第三个收点的约束称为x 13+x 23+x a =d 3由于x13+x23=d3因此，对运输问题的任何一个可行解，都有x a=0。

4.2.2 A矩阵的单位模性质运输问题的系数矩阵A具有以下性质：A矩阵中任何一个k阶子矩阵A k（k=1，2，…m+n），都有det A k=0或±1。

证明：在A中任取一个k阶方阵A k，有以下三种情况：1、A k中任何一列都有两个1，这时A k上部的行属于A矩阵的前m行，而下部的行属于A矩阵的后n行，A k上部的各行之和以及A k下部各行之和都等于向量（1，1，…，1），因而A k的行线性相关，即det A k=0。

2、A k中至少有一列元素全为0，这时显然有det A k=0。

3、A k中至少有一列，其中只有一个1。

这时可以将det A k按这一列展开，设对应于这个1的代数余子式为A k-1，则有det A k=±det A k-1其中A k-1是k-1阶方阵。

对A k-1同样有det A k-1=0或者det A k-1=±det A k-2最后有det A k=0或者det A k=±det A k-1=±det A k-2=…=±det A1=0或±1。

4.2.3基矩阵的三角性设B是A的一个基，B中至少有一列只包含一个1，否则，det B=0不成为一个基。

将B的行列交换，总可以使B成为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+1n m T '01B P B 其中det B m+n-1≠0，因而Bm+n-1中也至少有一列只有一个1，对Bm+n-1再进行行列交换，得到 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+2n m T T''001001B Q P B依次不断对剩下的方阵进行行列交换，最后可以得到⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010101R B 是一个上三角矩阵。

例4.2 设一个运输问题的系数增广矩阵为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2510152030d d d s s 111001001000010010111000000011132121ex 23x 22x 21x 13x 12x 11xb 取其中一个基⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2510152030d d d s s 100110100000100000100110132121ax12x 11x 23x13x b B对B 进行行列交换，成为以下上三角矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1015203025d d s s d 10000010000010001010001112121312x 11x 23x 13x ax b B 求解相应的方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1015203025x x x x x 1000100000100110100011112112313a 10x 15x 20x 30x x x 25x x x 1211231211132313a ====++=++由此得到x 12=10，x 11=15， x 23=20，x 13=5，x a =0由A 的基矩阵的三角性以及A 矩阵中仅含有元素0和1，可以知道，如果运输问题各发地的供应量和收地的需求量都是整数，运输问题的任何基础可行解都是整数，因而最优解也是整数。

§4.3 基在网络图和运输表中的表示从前一节已经知道，运输问题的一个基是由m+n 个列向量组成的，其中包括一个单位向量e m+n 。

在网络图上，这m+n 个列向量对应m+n 条边，其中与单位向量对应的是从最后一个收地出发的人工边。

网络图中的一个基具有以下性质：1、 一个基由m+n 条边组成，其中一条是人工边，其余m+n-1条边是原网络中的边。

2、 组成基的边不能形成闭合回路。

若不然，如果组成一个基的若干条边（i ，j ），（k ，j ），（i ，l ），（k ，l ）组成一个闭合回路，则这些边对应的系数矩阵中的列向量a ij ，a kj ，a il ，a kl 的线性组合a ij -a kj +a il -a kl =(e i +e m+j )-(e k +e m+k )-(e i +e m+l )+(e k +e m+l )=0这些列向量线性相关，显然不能包含在一个基中。