线性规划运输问题

第四章 运输问题

Chapter 4

Transportation Problem

§4.1 运输问题的定义

设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。求一个使总运费最小的运输方案。我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。我们先只考虑这一类问题。

图4.1.1是运输问题的网络表示形式。 运输问题也可以用线性规划表示。设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。约束个数为m+n 个，全部为等式约束。前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是

0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。

运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。

图4.1

x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn

2

m 1

m n

222

21

n

112

11n mn

n 2n

122

m 22

12

11

m 21

11

m mn

2m 1m 2n

222

21

1n

11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥

=++=++=

++=++=+++=++=+++++++++++++=

在运输问题线性规划模型中，令

X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）T

C =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T

=⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡行行n m 111

111

1

1

11111

11

1

11

b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T

则运输问题的线性规划可以写成：

min z=C T

X s.t. AX =b X ≥0

其中A 矩阵的列向量

a ij =e i +e m+j

e i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。A 矩阵中的行与运输网络中的节点对应，前m 行对应于发地，后n 行对应于收地；A 矩阵的列与运输网络中的边对应。

运输问题除了用网络表示及线性规划表示外，还可以用运输表表示：

1 s1

2 s2

……

m s m

12n

表 4.1

表的行与发地对应，列与收地对应。第i行与第j列交叉的一格与网络的一条边对应（也就是与线性规划约束矩阵的一列对应），每一格的左上角小方格内的数字表明从相应的发地i到收地j的运价c ij，每一格右下角表明从相应的发地i到收地j的运量x ij。表右方表明各发地的供应量s i，表下方表明各需求第的需求量d j。每一行运量之和表示从该发地运往各收地的运量之和，它应该等于该发地的供应量；同样，每一列运量之和表示从各发地运往该收地的运量之和，它应该等于该收地的需求量。

例4.1以下的运输问题线性规划、网络图和运输表表示同一运输问题。

min z= 8x11+5x12+6x13+7x21+4x22+9x23

s.t. x11+x12+x13=15

x21+x22+x23=25

x11+x21=10

x12+x22=20

x13+x23=10

x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0

1

15

2 25

10 20 10

表 4.215

10

20

10

§4.2 运输问题约束矩阵的性质

4.2.1 约束矩阵的秩

运输问题约束矩阵A 的秩为m+n-1。

证明：因为A 矩阵的前m 行和后n 行之和分别等于向量（1，1，…，1），因此秩A

考虑A 的一个子矩阵A ’=[a 1n ，a 2n ，…，a mn ，a 11，a 12，…，a 1n ]，即

A’=列

列行行

n m n m 111111111111

⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

删除A ’中的第m+n 行和第m+n 列，得到

A ’’=列

列行行

1n m 1n m 111111111--⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

容易看出，秩A ’’=m+n -1。由此

m+n-1=秩A ’’≤秩A’≤秩A