统计学第4章 参数估计
统计学教程(含spss)四参数估计
是
是
否
σ值是否已知
是否为大样本 n≥30
否
是
总体是否近
否
似正态分布
是
否
σ值是否已知
用样本标准差s 估计δ
用样本标准差s 估计δ
__
x z 2 n
__
x z 2
s n
__
x z 2 n
__
x t 2
s n
将样本容量 增加到n≥30 以便进行区间
估计
np 5 n(1 p) 5
p～N P，P1 P
D 1 n
n xi i1
1 n2
n
D
i 1
xi
2 n
抽样分布
若总体X～N , 2 , x1, x2 , xn 是取自总体的随机样本，
x 1 n
n
xi
i 1
，则
x～
N
,
2
n
;
x n
～
N 0，1
总体为正态概率分布时，对任何样本容
x 量的 的分布均为正态分布。
中心极限定理（central limit theorem）
它是点估计量的具体的取值点估计量pointestimator提供总体参数点估计的样本统计量标准误差standarderror点估计量的标准差中心极限定理centrallimittheorem当样本容量大的时候用正态分布近似样本均值的分布和样本比率的抽样分布区间估计intervalestimate总体参数估计值的一个范围确信该范围包括参数的值在内抽样误差sampleerror无偏估计值如样本均值与所估计的总体值如总体均值之差的绝对值置信水平confidencelevel与区间估计相联系的置信度边际误差marginerror置信区间中从点估计值中所加上或减去的值t分布tdistribution概率分布的一族当总体是正态或者近似正态概率分布并且总体标准差未知情况下对总体均值进行区间估计时常用到该分布自由度degrees分布的参数计算总体均值的区间估计中所用的t分布的自由度为n1其中n是简单单随机样本的样本容量结束案例51某学者估计某城市一个家庭所收到的邮件中大约有70是广告
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计
（2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩
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设 总 体X ~ N ( , 2 ), , 2 未 知 ， 设 例1： ( X 1 , X 2 ,..., X n )为 来 自 总 体 的 样 本 ， 求 X 与 2的 矩 估 计 量 。
解：先建立待估参数与总体矩的关系
维随机变量，样本的联合概率密度为:
f ( x1 , x2 ,, xn ) f X 1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) f X n ( xn )
f ( x1 , ) f ( x2 , ) f ( xn , ) f ( xi , )
i 1
n
显然上式也为θ的函数，记作 L( )，即
L( ) f ( xi , )
i 1 n
我们称 L( ) 为似然函数。
小结：
似然函数
n p( x i ; ) i 1 L( ) n f ( x i ; ) i 1
由上可知，求极大似然估计值就是求使 L( ) 取最大的θ值。 下面我们用例子来说明求解极大似然估计值的步骤。
6
3
[ x dx x dx]
2 3 0 0
2
用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩,得θ的矩估计量：
ˆ 2X
２）将数据代入，得θ的矩估计值为：
ˆ 2x 2 1 xi 8.9 8 i 1
8
计 算 器 的 使 用
例3：设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布, a , b
实为 发生的概率。
根据极大似然原理，
概率大的事件在一次观测中更容易发生。
现在只做一次抽样， 事件 { X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } 故 认为其概率较大。 认为其概率较大。 也即我们应选择 使 L( ) 取最大值。 我们把使 L( ) 取最大值的 值称为 的极大 竟然发生了,
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
第四章统计假设检验与参数估计.ppt
验等。尽管这些检验方法的用途及使用条件 不同，但其检验的基本原理是相同的。
参数估计有点估计（point
estimation）和区 间 估计（interval
estimation）。 2020-11-9
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2
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1 统计假设检验概述
了黑球，那么，自然会使人对H0的正确性产生 怀疑，从而否定H0。也就是说箱中不止1个黑 球。
2020-11-9
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4
以上这几种问题的判断均是由样本去推断
总体的，属于统计假设检验问题，均是来判断 数据差异、分布差异是由处理引起，还是由于 随机误差引起的。
样本虽然来自于总体，但样本平均数并非 是总体平均数。由于抽样误差的影响（随机误 差的存在），样本平均数与总体平均数之间往 往有偏差。因此，仅由表面效应 x 0 是不能 判断它们之间是否有显著差异。其根本原因在 于 试 验 误差（或抽样误差）的不可避免性。
例3：小麦良种的千粒重x~N（33.5，1.62），现 由外地引进一高产品种，在8个小区种植，得千粒 重（g）：35.6，37.6，33.4，35.1，32.7，36.8
，35.9，34.6，平均数为 x＝35.2，试问新引进
的品种千粒重与当地品种有无显著差异？如果有
显著差异，是否显著高于当地品种？
曲种好于原曲种？
食醋醋酸含量的差异是由于采用新曲种引起的还是由于试验误差引起的？
2020-11-9
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3
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例2：A，B两种肥料，在相同条件下各施用于5 个小区的水稻上，水稻产量平均分别为
xA＝500 kg，xB＝520 kg ，二者相差20kg，那么 20kg差异究竟是由于两种肥料的不同而造成的 还是由试验的随机误差造成的？
统计学(第四版)袁卫庞皓贾俊平杨灿(04)第4章参数估计(贾俊平)
4 -2
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
统计学
STATISTICS
估计量与估计值
统计学
估计量与估计值
STATISTICS (estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
4 - 16
ˆ
统计学 4.2 一个总体参数的区间估计
STATISTICS
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
统计学
STATISTICS
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比率 方差
4 - 18
符号表示 样本统计量
x
p
4 - 11
统计学
STATISTICS
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
样本容量， x
n
3. 3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
4 - 12
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 ▪ 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值
之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
袁卫《统计学》配套题库【课后习题】第4章~第6章【圣才出品】
第4章参数估计思考题1．简述评价估计量好坏的标准。
答：（1）无偏性，指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。
设总体参数为θ，所选择的估计量为∧θ，如果E （∧θ）＝θ，则称∧θ为θ的无偏估计量。
（2）有效性，指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。
（3）一致性，指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
即一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。
2．/2a z n的含义是什么？答：z α/2是标准正态分布上侧面积为α/2时的z 值；/2a z n 是估计总体均值时的边际误差，也称为估计误差或误差范围。
3．说明区间估计的基本原理。
答：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减抽样误差得到。
4．解释置信水平的含义。
答：如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平，或称为置信系数。
5．解释置信水平为95%的置信区间。
答：抽取100个样本，根据每一个样本构造一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没包含。
6．简述样本量与置信水平、总体方差、允许误差的关系。
答：（1）样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需的样本量也就越大；（2）样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；（3）样本量与允许误差的平方成反比，即允许误差越大，所需的样本量就越小。
练习题1．从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。
（1）样本均值的抽样标准差x σ等于多少？（2）在95%的置信水平下，允许误差是多少？解：（1）已知：σ＝5，n ＝40，＿x＝25，α＝0.05，z 0.05/2＝1.96。
则样本均值的抽样标准差为：0.7940x n σσ===（2）允许误差为：/2 1.96 1.5540E z n α==⨯=2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
医学统计学课后案例分析答案：第4章 参数估计
第4章 参数估计 案例辨析及参考答案案例4-1 某研究者测得某地120名正常成人尿铅含量（mg ·L -1）如下：尿铅含量 0～ 4～ 8～ 12～ 16～ 20～ 24～ 28～ 32～ 36～ 合计 例数1422291815106321120试据此资料估计正常成人平均尿铅含量的置信区间及正常成人尿铅含量的参考值范围。
由表中数据得到该例的120n =，10038.S =，67300.S X =，某作者将这些数据代入公式（4-20），即采用X X Z S α+计算得到正常成人平均尿铅含量100(1)α-%置信区间为（-∞，14.068 4）；采用公式X Z S α+计算得到正常成人尿铅含量100(1)α-%参考值范围为（-∞，26.030 6）。
请问这样做是否合适？为什么？应当怎么做？案例辨析 该定量资料呈偏峰分布，不适合用正态分布法计算100(1)%α-参考值范围。
正确做法 可以用百分位数法求正常成人尿铅含量100(1)α-%参考值范围的单侧上限。
例如，当α=0.05时，可直接求95P 分位数，（0，95P ）就是所求的正常成人尿铅含量的95%正常值范围。
欲求正常成人尿铅含量总体均数的置信区间，当样本含量n 较大（比如说，n 大于30或50）时，样本均数就较好地接近正态分布（根据数理统计上的中心极限定理）。
本例， 因为120n =较大，不必对原始数据作对数变换就可以用X X Z S α+估计总体均数的置信区间。
案例4-2 在BiPAP 呼吸机治疗慢性阻塞性肺病的疗效研究中，某论文作者为了描述试验前的某些因素是否均衡，在教材表4-5中列出了试验前患者血气分析结果。
由于作者觉得自己数据的标准差较大，几乎和均数一样大，将标准差放在文中显得不雅观，于是他采用“均数±标准误”（X X S ±），而不是“均数±标准差”（X S ±）来对数据进行描述。
问在研究论文中以教材表4-5方式报告结果正确吗？为什么？教材表4-5 试验组和对照组治疗前血气分析结果(X X S ±)组别 例数 年龄/岁 pH p a (CO 2)/kPa p a (O 2)/kPa S a (O 2)/% 试验组1263.00±4.337.36±0.0563.00±4.339.25±0.5585.12±1.73对照组 1062.50±3.95 7.38±0.0663.00±4.33 9.16±0.62 86.45±2.25案例辨析 描述数据的基本特征不能采用X X S ±，因为X S 为反映抽样误差大小的指标，只表示样本均数的可靠性，而不能反映个体的离散程度。
统计学第三版课后答案
统计学第三版答案第一章1.什么是统计学？怎样理解统计学与统计数据的关系？答：统计学是一门收集、整理、显示和分析统计数据的科学。
统计学与统计数据存在密切关系，统计学阐述的统计方法来源于对统计数据的研究，目的也在于对统计数据的研究，离开了统计数据，统计方法以致于统计学就失去了其存在意义。
2．简要说明统计数据的来源答：统计数据来源于两个方面：直接的数据：源于直接组织的调查、观察和科学实验，在社会经济管理领域，主要通过统计调查方式来获得，如普查和抽样调查。
间接的数据：从报纸、图书杂志、统计年鉴、网络等渠道获得。
3.简要说明抽样误差和非抽样误差答：统计调查误差可分为非抽样误差和抽样误差。
非抽样误差是由于调查过程中各环节工作失误造成的，从理论上看，这类误差是可以避免的。
抽样误差是利用样本推断总体时所产生的误差，它是不可避免的，但可以控制的。
4.答：（1）有两个总体：A品牌所有产品、B品牌所有产品（2）变量：口味（如可用10分制表示）（3）匹配样本：从两品牌产品中各抽取1000瓶，由1000名消费者分别打分，形成匹配样本。
（4）从匹配样本的观察值中推断两品牌口味的相对好坏。
第二章、统计数据的描述思考题1描述次数分配表的编制过程答：分二个步骤：（1）按照统计研究的目的，将数据按分组标志进行分组。
按品质标志进行分组时，可将其每个具体的表现作为一个组，或者几个表现合并成一个组，这取决于分组的粗细。
按数量标志进行分组，可分为单项式分组与组距式分组单项式分组将每个变量值作为一个组；组距式分组将变量的取值范围（区间）作为一个组。
统计分组应遵循“不重不漏”原则（2）将数据分配到各个组，统计各组的次数，编制次数分配表。
2．解释洛伦兹曲线及其用途答：洛伦兹曲线是20世纪初美国经济学家、统计学家洛伦兹根据意大利经济学家帕累托提出的收入分配公式绘制成的描述收入和财富分配性质的曲线。
洛伦兹曲线可以观察、分析国家和地区收入分配的平均程度。
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
统计学第4章 参数估计
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
抽样分布
中，样本 P(ˆ)
均值、比 率、方差
无偏
有偏
分别是总
A
B
体均值、
比率、方
差的无偏
估4计- 2量3
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。 它是区间估计的可靠概率。
显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概 率。
4 - 20
统计学§4.2 点估计的评价标准
STATISTICS
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
4 - 21
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
统计学 定义 STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的
估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
统计学
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度
比较小
4 - 24
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
统计学
有效性
STATISTICS
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2, , X n )
最新第4章-参数估计思考与练习参考答案
第4章 参数估计 思考与练习参考答案一、最佳选择题1.关于以0为中心的t 分布，错误的是（ Ｅ ）A. t 分布的概率密度图是一簇曲线B. t 分布的概率密度图是单峰分布C. 当ν→∞时，t 分布→Z 分布D. t 分布的概率密度图以0为中心，左右对称E. ν相同时，t 值越大，P 值越大2.某指标的均数为X ，标准差为S ，由公式()1.96, 1.96X S X S -+计算出来的区间常称为（ Ｂ ）。
A. 99%参考值范围B. 95%参考值范围C. 99%置信区间D. 95%置信区间E. 90%置信区间3.样本频率p 与总体概率π均已知时，计算样本频率p 的抽样误差的公式为（ Ｃ ）。
4．在已知均数为μ, 标准差为 σ 的正态总体中随机抽样， X μ->（ Ｂ ）的概率为5%。
A.1.96σB.1.96X σC.0.05/2,t S νD.0.05/2,X t S νE.0.05/2,X t νσ5. （ Ｃ ）小，表示用样本均数估计总体均数的精确度高。
A. CVB. SC. X σD. RE. 四分位数间距 6. 95%置信区间的含义为（ Ｃ ）：A. 此区间包含总体参数的概率是95%B. 此区间包含总体参数的可能性是95%C. “此区间包含总体参数”这句话可信的程度是95%D. 此区间包含样本统计量的概率是95%E. 此区间包含样本统计量的可能性是95%二、思考题1. 简述标准误与标准差的区别。
答: 区别在于：（1）标准差反映个体值散布的程度，即反映个体值彼此之间的差异；标准误反映精确知道总体参数（如总体均数）的程度。
（2）标准误小于标准差。
（3）样本含量越大，标准误越小，其样本均数更有可能接近于总体均数，但标准差不随样本含量的改变而有明显方向性改变，随着样本含量的增大，标准差有可能增大，也有可能减小。
2. 什么叫抽样分布的中心极限定理？答: 样本含量n越大，样本均数所对应的标准差越小，其分布也逐渐逼近正态分布，这种现象统计学上称为中心极限定理（central limit theorem）。
统计学参数估计
用样本的
k
阶中心矩
Bk
1 n
n
X
i 1
X
k
去估计总体
的k阶中心矩 E[ X E( X )]k;
并由此得到未知参数的估计量 .
5-25
设总体 X 的分布函数为F x；1，2， ，m ,
1，2， ，m 是 m 个待估计的未知参数 . 设
m E( X m ) 存在，对任意 k , k 1，2， ，m
i 1
在ˆ ˆ1,ˆ2, ,ˆm 处达到最大，则称ˆ1,ˆ2, ,ˆm
分别为1,2, ,m的极大似然估计量.
5-33
n
由于 ln L ln p xi；
i 1
ln L 与 L 有相同的极大值点 .因此，ˆ 为
极大似然估计的必要条件为
ln L
i
ˆ 0
i 1，2， ，m
称它为似然方程, 其中 1,2,...,m .
5-3
在上例中，假如随机抽取了一个容量为30的样本：
平均年薪
是否参加培训
49094.3
是
53263.9
是
49643.5
否
…
…
根据该样本求得的年薪样本平均数、标准差及参加过 培训计划人数的比例分别为：
x xi / n 1554420/ 30 51814.00
s (xi x)2 /(n 1) 325009260 / 29 3347.72
知参n数， X1，X2， ，Xn 的分布律(或分布密度)
为 p xi； ,当给定样本值 x1，x2， ，xn 后，
i 1
它只是参数 的函数，记为 L ，即 n L p xi； i 1
则称 L 为似然函数，似然函数实质上是样本的
统计学 第四章 参数估计
由样本数量特征得到关于总体的数量特征 统计推断(statistical 的过程就叫做统计推断 的过程就叫做统计推断 inference)。 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 统计推断主要包括两方面的内容一个是参 数估计(parameter estimation)，另一个 数估计 另一个 假设检验 。 是假设检验(hypothesis testing)。
ˆ P(θ )
无偏 有偏
A
B
θ
ˆ θ
估计量的无偏性直观意义
θ =µ
•
•
•
• •
• • • •
•
2、有效性(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 有效性： 量，有更小标准差的估计量更有效 。
ˆ P(θ )
ˆ θ1 的抽样分布
B A
ˆ θ2 的抽样分布
θ
ˆ θ
பைடு நூலகம்
3、一致性(consistency)
置信区间与置信度
1. 用一个具体的样本 所构造的区间是一 个特定的区间， 个特定的区间，我 们无法知道这个样 本所产生的区间是 否包含总体参数的 真值 2. 我们只能是希望这 个区间是大量包含 总体参数真值的区 间中的一个， 间中的一个，但它 也可能是少数几个 不包含参数真值的 区间中的一个
均值的抽样分布
总体均值的区间估计(例题分析)
25, 95% 解 ： 已 知 Ｘ ~N(µ ， 102) ， n=25, 1-α = 95% ， zα/2=1.96。根据样本数据计算得： x =105.36 96。 总体均值µ在1-α置信水平下的置信区间为 σ 10 x ± zα 2 = 105.36 ±1.96× n 25 = 105.36 ± 3.92
统计学课件4.2 参数估计
于总体参数的真值。
3、有效性：指作为优良的估计量，在满足无偏性基础上，其 方差应比较小。 点估计的优点是简单、具体明确。但由于样本的随机性， 从一个样本得到的估计值往往不会恰好等于实际值，总有 一定的抽样误差。而点估计本身无法说明抽样误差的大小， 也无法说明估计结果有多大的把握程度。
(一)总体均值的区间估计
1.总体方差已知时，大样本的区间估计
根据样本平均数的抽样分布定理，若给定
1-ɑ，可由标准正态分布表查得临界值
即
x z 2
(x)
Z
α 2
，
x
z 2
(x)
上式就是置信度为1-a时总体均值的置信区间。 同时，抽样极限误差可按如下公式来确定：
Δx
zα 2σ ( x)
二、区间估计
是根据样本估计量以一定可靠程度推断总
体参数所在的区间范围。这种估计方法不仅以
样本估计量为依据，而且考虑了估计量的分布，
所以它能给出估计精度，也能说明估计结果的
把握程度。
设总体参数为θ ， 、 为由样本确定的两 个统计量，对于给定的α （0<α <1）， 有P( ≤θ ≤ )=1-α ，则称（ , ）为参 数θ 的置信度为1- α 的置信区间。端点 、 分别称为置信下限和置信上限；一般地，α 称 为显著性水平，1-α 则称为置信度
zα 2
σ
2
n
例1：某地区电视台委托调查公司估计本
地区内居民平均每日看电视的时间。调查 公司随机抽取了100名居民进行调查，样本 数据显示平均每人每日看电视的时间为4个 小时。如果已知总体的标准差为1.5小时， 试求：该地区居民每天看电视的平均时间 （置信度是95%）。
统计学贾俊平课后习题答案
附录：教材各章习题答案第1章统计与统计数据1.1（1）数值型数据；（2分类数据；（3）数值型数据；（4）顺序数据；（5）分类数据。
1.2（1）总体是该城市所有的职工家庭”样本是抽取的2000个职工家庭”（2）城市所有职工家庭的年人均收入，抽取的“ 200个家庭计算出的年人均收入。
1.3（1）所有IT从业者；（2）数值型变量；（3）分类变量；（4）观察数据。
1.4（1）总体是所有的网上购物者”（2）分类变量；（3）所有的网上购物者的月平均花费；（4）统计量；（5）推断统计方法。
1.5（略）。
1.6（略）。
第2章数据的图表展示2.1（1）属于顺序数据。
（2）频数分布表如下服务质量等级评价的频数分布(3)条形图(略)(4)帕累托图(略)。
2.2(1)频数分布表如下40个企业按产品销售收入分组表(2)某管理局下属40个企分组表2.3 频数分布表如下某百货公司日商品销售额分组表直方图（略）。
2.4 茎叶图如下箱线图（略）。
2.5（1）排序略。
（2）频数分布表如下100只灯泡使用寿命非频数分布690~700 700~710 710~720 720~730 730~740 261813103261813103合计100 100(3)直方图(略)(4)茎叶图如下茎叶65 1 866 1 4 5 6 867 1 3 4 6 7 968 1 1 2 3 3 3 4 5 5 5 8 8 9 969 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9 970 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 6 6 7 7 8 8 8 971 0 0 2 2 3 3 5 6 7 7 8 8 972 0 1 2 2 5 6 7 8 9 973 3 5 674 1 4 7(1)频数分布表如下按重量分组频率/包40 〜42 242 〜44 344 〜46 746 〜48 1648 〜50 1752 〜52 1052 〜54 202.62.7 2.854 〜56 856 〜58 1058 〜60 460 〜62 3合计100(2)直方图(略)。
统计学第四章的教材
几个直观的结论
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值（式中：M为样本 n 数目）； xi 22 23 28 i 1 25 X M 16 2. 抽样误差是随样本不同而不同的随机变量。抽样误差均值 等于0； xX 0
3. 样本均值的方差等于总体方差的1/n。
3
（二）抽样估计的一般步骤 1、设计抽样方案 2、 随机抽取样本（从总体随机抽取部分单位构成样本） 3、搜集样本资料（对样本单位进行调查登记） 4、整理样本资料（审查、分组汇总、计算样本指标的
数值，即计算估计量的具体数值）
5、估计总体指标（即估计总体参数）
总体参数与样本估计量的关系——对于特定的目 的，总体是惟一的，所以参数也是惟一的；而由 于样本是随机的，所以样本估计量是随机变量。
（3）抽样方法。相同条件下，重复抽样的抽样平均误 差大比不重复抽样的抽样平均误差大。
（4）抽样组织方式。由于不同抽样组织方式有不同的 抽样误差，所以，在误差要求相同的情况下，不同抽 样组织方式所必需的抽样数目也不同。
21
不知道总体方差时如何计算
用样本方差代替计算 用过去（总体或样本）方差代替计算 用同类现象（当前 或过去、总体或样本） 方 代替计算 有若干个方差可选择时，选方差最大者 （注意：对比率，即选择最接近0.5的值所 得的方差最大）
进无偏估计量。
29
二、区间估计
（一）区间估计的原理 区间估计就是根据样本估计量以一定 可靠程度推断总体参数所在的区间范围。 特点：考虑了估计量的分布，所以它能 给出估计精度，也能说明估计结果的把握 程度（置信度）。
30
（一）总体均值的置信区间
（1）假定条件
总体服从正态分布,且总体方差（２）已知
《统计学参数估计》课件
4
点估计例子及应用
点估计可应用于各种领域，如经济学、医学研究和市场调查中的参数估计。
区间估计
区间估计的定义和原理
区间估计是用一个区间来估计总 体参数值，表示对参数的估计有 一定的不确定性。
置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常基于样 本统计量和抽样分布的特性。
区间估计例子及应用
区间估计可用于估计总体均值、 比例和方差等参数，并提供参数 估计的可信区间。
《统计学参数估计》PPT 课件
统计学参数估计PPT课件。介绍统计学中参数估计的基本概念和方法。本课 程将帮助您深入了解参数估计的重要性和应用前景。
参数估计概述
什么是参数估计？
参数估计是根据样本数据推 断总体参数的过程。
参数的概念和含义
参数是总体分布中的数值特 征，可以用于描述总体的中 心位置和离散程度。
参数估计的意义和应用
参数估计可以帮助我们了解 总体，并作出统计推断和预 测。
点估计
1
点估计的定义和原理
点估计是通过一个点估计总体参数值的方法，通常使用样本统计量来估计。
2
最大似然估计法
最大似然估计法是一种常用的点估计方法，根据样本数据选择使似然函数最大化的参数值。
3
最小乘法
最小乘法是一种点估计方法，通过最小化预测值与真实值之间的差距来估计参数。
参数估计是统计学中重要的工具，可以帮助我们 了解总体和做出合理的推断。
统计学参数估计的应用前景
统计学参数估计在各个领域都有广泛的应用，可 以提供实用的数据分析和决策支持。
假设检验
1 假设检验的基本概念和原理
假设检验是通过对统计数据进行检验来评估关于总体参数的假设。
2 假设检验的步骤和方法
统计学课后答案
第四章 抽样分布与参数估计3．某地区粮食播种面积5000亩，按不重复抽样方法随机抽取了100亩进行实测，调查结果，平均亩产450公斤，亩产量标准差为52公斤。
试以95%的置信度估计该地区粮食平均亩产量和总产量的置信区间。
解：已知X =450公斤，n =100（大样本），n/N=1/50，11≈-Nn，不考虑抽样方式的影响，用重复抽样计算。
s =52公斤，1-α=95%，α=5%。
这时查标准正态分布表，可得临界值：96.1025.02/==z z α该地区粮食平均亩产量的置信区间是：1005296.14502⨯±=±nsz x α=[439.808，460.192] （公斤） 总产量的置信区间是：[439.808⨯5000，460.192⨯5000] （公斤） =[2199040，2300960]（公斤）4．已知某种电子管使用寿命服从正态分布。
从一批电子管中随机抽取16只，检测结果，样本平均寿命为1490小时，标准差为24.77小时。
试以95%的置信度估计这批电子管的平均寿命的置信区间。
解：(1)已知X =1490小时，n =16，s =24.77小时，1-α=95%，α=5%。
这时查t 分布表，可得 2.13145)1(2/=-n t α该批电子管的平均寿命的置信区间是：1677.2413145.214902⨯±=±nst x α=[ 1476.801，1503.199]（小时）因此，这批电子管的平均寿命的置信区间在1476.801小时与1503.199小时之间。
6．采用简单随机重复抽样的方法，从2 000件产品中抽查200件，其中合格品190件。
要求：(1)计算合格品率及其抽样平均误差。
(2)以95.45%的置信度，对合格品率和合格品数量进行区间估计。
(3)如果极限误差为2.31%，则其置信度是多少？ 解：(1)合格品率：P=190/200⨯100%=95% 抽样平均误差：np p p )1()(-=σ=0.015(2)%3%95%100015.02%95)(22/02275.02/±=⨯⨯±=±==p Z P Z Z σαα]19601840[]2000%982000%92[(%]98%92[，，的置信区为：件合格品数量，：合格品率的置信区间为=⨯⨯）(3)%64.87)(8764.01,54.1%31.2%100015.0%31.2)(2/2/2/==-==⨯⨯==∆z F Z Z p Z ασααα查表得7．从某企业工人中随机抽选部分进行调查，所得工资分布数列如下：试求：(1)以95.45％的置信度估计该企业工人平均工资的置信区间，以及该企业工人中工资不少于800元的工人所占比重的置信区间；(2)如果要求估计平均工资的允许误差范围不超过30元，估计工资不少于800元的工人所占比重的允许误差范围不超过10%，置信度仍为95.45％，试问至少应抽多少工人？ 解(1)通过EXCEL 计算可得: X =816元，n =50人，s =113.77元。
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常用 标准
4 - 21
(2) 有效性 (3) 一致性
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
定义
ˆ) 若 E (
ˆ是 的无偏估计量. 则称
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
4-8
大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷
STATISTICS ˆ ˆ X , X ,, X 设 1 2 n
统计学
区间估计
是未知参数 的点估计 用 ˆ 估计 有多高的精度？ 未知参数 落在什么范围内？
ˆ , ˆ ˆ ˆ 若 设有两个统计量 1 2 1 2 ˆ , ˆ 1 2 ˆ , ˆ ) 则随机区间 可作为未知参数 的“估计”. ( 1 2 导弹直接命中敌机将其击毁 ˆ2 ˆ1 小，则估计精度高、可信度低 ˆ2 ˆ1 大，则可信度高、估计精度低 导弹接近敌机时引爆战斗部，依靠高速飞行的弹 片将其击毁 如何平衡估计精度与可信度？
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
抽样分布 中，样本 均值、比 率、方差 分别是总 体均值、 比率、方 差的无偏 估计量 4 - 23
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
1 x 14551502137016101430 1473.4 5
4 - 11
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ STATISTICS
统计学
如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由Z统计
量可知
z
(点估计)
置信下限
4 - 13
置信上限
统计学
STATISTICS
置信区间的定义
设 是一个待估计的参数，是一给定的数， ( 0 < < 1)．若能找到两个统计量
ˆ1 X 1 , X 2 ,, X n ， ˆ2 X 1 , X 2 ,, X n
使得
ˆ , ˆ 则称随机区间 1 2
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计（自学） 样本容量的确定
4.1 4.2 4.3 4.4
4-2
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
4 - 18
统计学
STATISTICS
小结
（3）置信概率 又称置信水平或置信度，指在区间估计中， 预先选定（规定）的概率。用 1-α表示。常 取95%或99%。 （4）显著性水平 在使用置信区间作估计时，被估计的参数不 在该区间内的概率。用α表示。一般α取值 要求较小。
4 - 19
统计学
STATISTICS
以样本统计量的抽样分布（概率分布） 为理论依据，按一定概率要求，由样本 统计量的值估计总体参数值的所在范围， 称为总体参数的区间估计。
4-5
统计学
STATISTICS
点估计
(point estimate)
用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之 差的估计 优点： 简单、具体明确 缺点：点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度 的信息
4 - 10
统计学
STATISTICS
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个
区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，
1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
ˆ ˆ 1 P 1 2
为参数 的置信度为1 - 的置信
ˆ , ˆ 为置信下限与置信上限，1 - 称 区间，分别称 1 2
为置信水平或置信度．
4 - 14
z
2
z
2
统计学
STATISTICS
区间估计的图示
x z 2 x
- 2.58x -1.65 x
x
+1.65x +2.58x
x
-1.96x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
4 - 15
统计学
STATISTICS
置信水平
1.这个概率不是用来描述某个特 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 定的区间包含总体参数真值的 区间包含总体参数真值的次数所占的比率 可能性，而是指在多次抽样得 称为置信水平 到的区间中大概有多少个区间 2.包含了总体参数的真值 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
4-9
统计学
STATISTICS
区间估计
（例题分析）
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的估计量为 1000条。 实际上，N的真值可能大于1000条，也可 问题就在于：这个 能小于1000条。 1000的估计值可能 在区间（950，1050） 内，也可能不在 若我们能给出一个区间（950 ，1050）， 在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其 中， 这样对鱼数的估计就有把握多了。
统计学
STATISTICS
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比率、样本方差等 例: 样本均值就是总体均值的一个估计量
ˆ 表示 总体参数用 表示，估计量用 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具 体值
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度 比较小
4 - 24
A
ˆ 的抽样分布 2
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
定义 设 ˆ 1 1 ( X1 , X 2 ,, X n )
ˆ ( X , X ,, X ) 2 2 1 2 n 都是总体参数 的无偏估计量, 且
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6 136.8 4 - 30
101.0
107.5 123.5 95.4 102.8
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
如果样本均值 x =80，则80就是θ的估计值
4-4
统计学
STATISTICS
参数估计的基本方式
用某一样本统计量的值来估计相应总体参 数的值叫总体参数的点估计。
用样本对总体的未知参数进行估计的方法常 见的有两种: 点估计（point estimation） 区间估计（interval estimation）
总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2.使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n 3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为 s x z 2 或 x z 2 ( 未知) n n
4 - 29
点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最 大似然法、最小二乘法等
4-6
统计学
STATISTICS
点估计
（例题分析）
例如，对一批某种型号的电子元件10000只
进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试 的平均耐用时间为1055小时，合格率为91%。 我们推断说10000只电子元件的平均耐用时 间为1055小时，全部电子元件的合格率也是 91%。
统计学
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据 样本数据计算得： x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z
2
10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92 101.44,109.28
4 - 16
统计学
STATISTICS
置信区间
(confidence interval)
总体参数的真值是固定的、未知的， 1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 而用不同样本构造的区间是不固定 置信区间 的，因此，置信区间是一个随机区 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 间，它会因样本的不同而不同 的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包 含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值
x
n
~ N (0,1)
a a 0.95
X 由 P a 0.95 n 查表得 a 1.96