山东省临沂市2020年6月高三二模数学试题(枣庄市同用)
山东省2020届高三数学二模试卷
山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。
山东省临沂市、枣庄市高考数学二模拟试卷(文科)
高考数学二模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，B={x|2x≤4}，则A∩B=（）A. {x|-1≤x≤2}B. {-1，0，1，2}C. {1，2}D. {0，1，2}2.复数z满足z（1-i）2=1+i，则|z|=（）A. B. C. 1 D.3.命题“”的否定是（）A. B.C. D.4.已知，，下列不等式成立的是（）B. C. D.A.5.若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知直线a，b和平面α，若a⊂α，b⊄α，则“a⊥b”是“b⊥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若6sin C cos A=7sin2A，5a=3b，则C=（）A. B. C. D.9.函数图象的大致形状是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列结论中正确的个数是（）①f（x）的图象关于直线对称；②将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2cos x的图象；③是f（x）图象的对称中心；④f（x）在上单调递增．A. 1B. 2C. 3D. 411.已知曲线f（x）=2ln x+ax2+bx在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-3，则函数f（x）的零点所在的大致区间为（）A. （0，）B. （，1）C. （1，e）D. （e，+∞）12.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖孺的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=2，ED=1，若鳖牖P-ADE的体积为l，则阳马P-ABCD的外接球的表面积等于（）A. 17πB. 18πC. 19πD. 20π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量=（x+1，2）和向量=（1，-2）垂直，则|-|=______．14.已知直线kx-y+2=0与圆（x-1）2+y2=9交于A，B两点，当弦AB最短时，实数k的值为______．15.执行如图所示的程序框图，输出n的值为______．16.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们取得成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，则至少有1名学生来自甲班的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18.如图所示的几何体为四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C-B1C1D1得到的，其底面四边形ABCD为平行四边形．（1）求证：A1B∥平面B1CD1；（2）若侧面ADD1A1与底面ABCD垂直，AA1⊥A1D，AD⊥BD，求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD．19.按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为8年．某二手汽车交易市场对2018年成交的该型号运营汽车交易前的使用时间进行统计，得到频率分布直方图如图．用年限不超过4年”，试估计事件A的概率；（2）根据该二手汽车交易市场的历史资料，得到如表，其中x（单位：年）表示该型号运营汽车的使用时间，y（单位：万元）表示相应的平均交易价格．由表提供的数据可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测该型号运营汽车使用7年的平均交易价格．相关公式：．20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点F1交椭圆C于A，B两点，问在x轴上是否存在一点Q，使得为定值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）判断f（x）的单调性；（2）设函数，当g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有，求实数λ的取值范围．22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C相交于A,B两点,若,求值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x+a|，g（x）=x+2．（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设，且当，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={0，1，2，3}，B={x|x≤2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由z（1-i）2=1+i，得z=，∴|z|=．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由全称命题的否定为特称命题得：命题“”的否定是∃x0＞0，ln x0，故选：A．由全称命题的否定为特称命题可得解．本题考查了全称命题的否定，属简单题．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质以及指数、对数函数以及幂函数的性质，对选项依次分析比较大小即可.【解答】解：A、由a＞b＞1，0＜c＜1知，函数y=c x为减函数，则c a＜c b，故本选项错误．B、由a＞b＞1，0＜c＜1知，ac＞bc，故本选项错误．C、由a＞b＞1，0＜c＜1知，函数y=log c x为减函数，则log c a＜log c b，故本选项错误．D、由a＞b＞1，0＜c＜1知，则c-1＜0，故函数y=x c-1为减函数，则a c-1＜b c-1，则ab•a c-1＜ab•b c-1，即ba c＜ab c．故本选项正确．故选：D．5.【答案】C【解析】解：由变量x，y满足约束条件得到可行域，z=3x+2y得y=-x+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：可得A（1，）平移直线y=-x+由图象可知当直线y=-x+经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z也最小，将A（1，）代入目标函数z=3x+2y，得z=4．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．6.【答案】B【解析】解：由线面垂直的判定定理得：若a⊂α，b⊄α，则“a⊥b”不能推出“b⊥α”，由“b⊥α”能推出“a⊥b”，即“a⊥b”是“b⊥α”的必要不充分条件，故选：B．由线面垂直的判定定理易得“a⊥b”是“b⊥α”的必要不充分条件，得解．本题考查了空间线、面垂直关系，属简单题．7.【答案】D【解析】↵【分析】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，属于基础题．先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：双曲线线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方程整理得ax2-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2-4a2=0，即，c2=5a2，e=故选：D．8.【答案】B【解析】解：∵6sin C cos A=7sin2A，5a=3b，∴可得：6sin C cos A=14sin A cosA，b=，∴6sin C=14sin A，或cos A=0（a＜b，A为锐角，舍去），∴由正弦定理可得：3c=7a，即：c=，∴cos C===-，∵C∈（0，π），∴C=．故选：B．由已知利用二倍角公式可得6sin C cos A=14sin A cosA，b=，可求6sin C=14sin A，由正弦定理可得c=，由余弦定理可求cos C=-，结合范围C∈（0，π），可求C=．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：=•sin x，则f（-x）=•sin（-x）=•（-sin x）=•sin x=f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当x=1时，f（1）=•sin1＜0，排除A，故选：C．根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f（1）的值的符号是否对应进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：函数=2（cos x-sin x）=2cos（x+），①，由f（）=2cos=-1，不为最值，则f（x）的图象不关于直线对称，故①错；②，将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2cos x的图象，故②对；③，由f（-）=2cos0=2，可得不是f（x）图象的对称中心，故③错；④，由2kπ-π≤x+≤2kπ，可得2kπ-≤x≤2kπ-，即增区间为[2kπ-，2kπ-]，由2kπ≤x+≤2kπ+π，可得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，即减区间为[2kπ-，2kπ+]，可得f（x）在上单调递减，故④错．故选：A．由两角和的余弦公式化简f（x），由余弦函数的对称轴可判断①；由图象平移规律可判断②；由余弦函数的对称中心可判断③；由余弦函数的单调区间，可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，主要是对称性和单调性、图象变换，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由题意，得f′（x）=+2ax+b，则f'（1）=1+2a+b，∵在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-3，∴切线斜率为1，则1+2a+b=1，f（1）=-2得a+b=-2，解得b=-4，a=2，所以f（x）=2ln x+2x2-4x，f（1）=2ln1+2-4=-2＜0，f（e）=2ln e+2×e2-4×e＞0，f（1）f（e）＜0，则函数f（x）的零点所在的大致区间为（1，e）．故选：C．求出函数的导数，计算f（1），f′（1），结合切线方程求出b，c的值，从而求出函数f（x）的解析式，利用零点判断定理判断零点所在区间即可；本题考查了切线方程问题，考查函数的零点判断定理的应用，是一道综合题．12.【答案】A【解析】解：∵PA⊥平面ABCD，∴V p-AED=×PA×S△AED=×PA××2×1=1，解得PA=3，而阳马P-ABCD的外接球的直径是以AD，AB，AP为宽，长，高的长方体的体对角线，∴（2R）2=AD2+AB2+AP2=4+4+9=17，即4R2=17，球的表面积为4πR2=17π．故选：A．先根据鳖牖P-ADE的体积为l，求得PA=3，再根据阳马P-ABCD的外接球的直径是以AD，AB，AP为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．13.【答案】5【解析】解：∵向量=（x+1，2）和向量=（1，-2）垂直，∴=x+1-4=0，解得x=3，∴=（3，4），∴|-|==5．故答案为：5．由向量=（x+1，2）和向量=（1，-2）垂直，解得x=3，从而=（3，4），由此能求出|-|的值．本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，直线kx-y+2=0即y=kx+2，过定点（0，2），设D（0，2），圆（x-1）2+y2=9圆心为（1，0），设其圆心为C，半径r=3，直线kx-y+2=0与圆（x-1）2+y2=9交于A，B两点，当D为AB中点时，CD最长，此时AB与CD垂直，AB最短，此时K CD==-2，则k==；故答案为：根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点（0，2），设该点为D，由圆的方程分析圆心与半径，设圆心为C，由直线与圆的位置关系可得当D为AB中点时，CD最长，此时AB与CD垂直，AB最短，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算以及直线过定点问题，属于基础题．15.【答案】8【解析】解根据程序框图得：执行循环前：S=0，n=1，执行第一次循环：S=0+-1=-1，n=2执行第二次循环：S=-1+∈（-2，-1），n=3执行第三次循环：S==0，n=4，…，当执行n=7时，S≤-3．输出结果：n=8故答案为：8直接利用程序框图的循环结构和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16.【答案】【解析】解：由题意知：，解得x=5，y=6．成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：P=1-=．故答案为：．由题意知求出x=5，y=6．成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率．本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n，则：（常数）所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．故：，由于：数列{b n}的前n项和．当n=1时，解得：b1=1，当n≥2时，b n=S n-S n-1==n．由于首项符合通项，故：a n=n．（2）由（1）得：，所以：①，2②，①-②得：，解得：．【解析】（1）首先利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（1）∵AD BC，AD A1D1，∴A1D1BC，故四边形ABCD是平行四边形，∴A1B∥CD1，又A1B⊄平面B1CD1，CD1⊂平面B1CD1，∴A1B∥平面B1CD1．（2）∵侧面ADD1A1⊥底面ABCD，侧面ADD1A1∩底面ABCD=AD，AD⊥BD，BD⊂平面底面ABCD，∴BD⊥平面ADD1A1，又AA1⊂平面ADD1A1，∴BD⊥AA1，又AA1⊥A1D，BD∩A1D=D，∴AA1⊥平面A1BD，又AA1⊂ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面A1BD．【解析】（1）证明四边形ABCD是平行四边形，可得A1B∥CD1，故而A1B∥平面B1CD1；（2）证明BD⊥平面ADD1A1可得BD⊥AA1，结合AA1⊥A1D可得AA1⊥平面A1BD，故而平面ABB1A1⊥平面A1BD．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，在2018年成交的该型号运营汽车的使用年限不超过4年的频率为：（0.10+0.20）×2=0.6，（2）由表2，可得，，，∴，．∴y=-2.1x+26.9．当x=7时，y=12.2．∴该型号运营汽车使用7年的平均交易价格为12.2万元．【解析】（1）直接由频率分布直方图求频率，以频率估计事件A的概率；（2）由表2，与的值，得到线性回归方程，当x=7时，求得y，则答案可求．本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）当P在上或下顶点时，△PF1F2的面积取值最大值，即最大值为，又，a2=c2+b2，解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．（2）易知F1（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，0），联立方程组整理得（3m2+4）y2-6my-9=0，∴，=（x1-x0）（x2-x0）+y1y2=，∵x1=my1-1，x2=my2-1，∴，x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=m（y1+y2）．∴==，要使为定值，则，解得．所以在x轴上存在点Q（），使得为定值．【解析】（1）由题意建立方程求出a，b即可；（2）先利用根与系数关系求出，再根据其为定值求出点Q的坐标即可．本题考查椭圆的性质与方程，以及直线与椭圆的位置关系综合题，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）==，①当a=2时，f′（x）=-＜0，∴f（x）在R上单调递减②当2-a＞0及0＜a＜2时，由f′（x）＞0可得0＜x＜2-a由f′（x）＜0可得x＜0或x＞2-a∴f（x）在（0，2-a）单调递增，在（-∞，0）．，（2-a，+∞）上单调递减③当2-a＜0即a＞2时，由f′（x）＞0可得2-a＜x＜0由f′（x）＜0可得x＜2-a或x＞0（2）由已知可得，g（x）=，∴g′′（x）=令g′′（x）=0可得，x2+2x-a=0设x1，x2是x2+2x-a=0的两个根，则△=4-4a＞0∴a＜1，∵x1+x2=2，x1x2=a＞0，∵x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，∴x2g（x1）可化为（=），∴∴]=，∴，即∴，∴∵0＜x1＜1，∴，2，∴，∴λ≥1【解析】（1）先对函数求导，然后结合f′（x）与单调性的关系，对a进行分类讨论可求（2）由已知可得g′（x）=0有2个根，结合方程的根与系数关系及恒成立与最值的相互转化分离可求本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，函数的恒成立与最值的相互转化思想的应用是求解问题的关键，还体现了分类讨论思想的应用22.【答案】解：（1）由ρ=，得ρsin2θ=2cosθ，∴ρ2sin2θ=2ρcosθ．即y2=2x．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程得：t2sin2α-2t cosα-1=0，△=（-2cosα）2+4sin2α=4＞0，设t1，t2是方程的根，则t1+t2=，t1t2=-，∴|AB|=|t1-t2|====8，∴sin2α=，又0＜α＜π，∴sinα=，∴α=或．【解析】（1）由ρ=，得ρsin2θ=2cosθ，∴ρ2sin2θ=2ρcosθ．，y2=2x．（2）根据参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=-1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|x-1|-x-2＜0，（i）当x≤时，不等式化为-（2x-1）-（x-1）-x-2＜0，解得0＜x．（ii）当＜x≤1时，不等式化为2x-1-（x-1）-x-2＜0，解得＜x≤1，（iii）当x＞1时，不等式化为2x-1+x-1-x-2＜0，解得1＜x＜2综上，原不等式的解集为（0，2）．（2）由-a≤x，得-2a≤2x＜1，-2a-1≤2x-1＜0，又0≤x+a＜+a，则f（x）=-（2x-1）+x+a=-x+a+1，∴不等式f（x）≤g（x）化为-x+a+1≤x+2，得a≤2x+1对x∈[-a，）都成立，故a≤-2a+1，即a，又a＞-，故a的取值范围是（-，]．【解析】（1）分3段去绝对值解不等式在相并；（2）分离参数后转化为最值使不等式成立．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020临沂高三模拟试题数学
2020年临沂市高三模拟试题数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{2},{21},xA x xB x =∈<=>Z 则=B AA ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{1,0,1}- 2．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)-，(0,1)，则12z z 的共轭复数为 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -3. 若a ∈R ，则“||1a >”是“31a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量,,a b c ，其中a 与b 是相反向量，且=a +c b ，3,3-=-（）a c ，则⋅a b =A.B.2- C. 2 D. 2-5．已知0.55ln π,log 2,ex y z -===，则A. x y z >>B. x z y >>C. z y x >>D. z x y >> 6．已知函数21()221,[1,4]f x x x x =-+∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数||()x b g x a +=的大致图象为7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈=106立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子 A.200两 B.240两C.360两D.400两8．点M 为抛物线241x y =上任意一点，点N 为圆043222=+-+y y x 上任意一点，若函 数()log (2)2(1)a f x x a =++>的图象恒过定点P ,则MN MP +的最小值为A.52 B. 114 C. 3 D. 134二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是A. 若tan 2α=，则3cos 25α=B. 若sin cos 1αβ+=，则221sin cos 2αβ+≥C.“00,sin x x ∃∈∈Z Z ”的否定是“,sin x x ∀∈∉Z Z ”D. 将函数|cos 2|y x =的图象向左平移π4个单位长度，所得图象关于原点对称10．某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是 A ．全国高考报名人数逐年增加 B ．2018年全国高考录取率最高 C ．2019年高考录取人数约820万D ．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小11．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,3πb c A C ==+=，则下列结论正确的是A ．cos C =B ．sin 3B =C ．3a =D ．ABC S =△12．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点,C D 的动点，将ADE △沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得AE //平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈3个城市旅游，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是__________.14.若21)nx 展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为_________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为______,12sin AF F ∠=______. （本题第一空2分，第二空3分.）16.已知函数32232,0,()e , 0.x x x x f x x x ⎧-++≥=⎨-<⎩若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实数a 取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n n n n S a a a 432,02-=-<. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n a b =，求满足1223117n n b b b b b b ++++<的正整数n 的最大值.18．（12分）已知函数π()sin()(0,0)2f x x m ωϕωϕ=++>-<<满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①32ω=，②周期πT =，③过点（0，0），④π3()32f =．（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离．19．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -中，ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1AO ABC ⊥平面，点M 在AO 上，MO AM 2=，N 为1OC 与C B 1的交点，且1BB 与平面ABC 所成的角为π4.（1）求证：11//A ACC MN 平面； （2）求二面角11A OC B --的正弦值.20．（12分）动点P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满足3AB AP =，已知点B 的轨迹是过点)3,0(Q 的圆．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧），12,F F 为椭圆的左、右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．21．（12分）2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献． 为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如下图：（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设σμ,分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求σμ,的值（σμ,的值四舍五入取整数），并计算)7937(<<X P ；（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为32，抽到36元红包的概率为31．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额． 参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈；(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．22．（12分）已知函数()ln f x a x =，21()2g x x bx b =++，,a b ∈R . （1）设)()(x xf x F =，求()F x 在]2,[a a 上的最大值；（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4e 2a b +≤.高三模拟考试数学试题答案及评分标准2020.04说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题：每小题5分，满分40分1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A 二、多项选择题：每小题5分，满分20分 9．BC 10．BCD 11．AD 12．ACD 三、填空题：每小题5分，满分20分13．19 14．405 15 1216．2{|62,4e }a a a --<≤-=或 四、解答题：满分70分17.解：（1）当1n =，2211111234,230,a a a a a -=-+-=--------------------------------1分又10, 3.n a a <∴=------------------------------------------------------------------------------------------------2分n n n S a a n 43222-=-≥时，当， ①1121432----=-n n n S a a ，②----------------------------------------------------------------3分① —②整理得，21-=--n na a ，----------------------------------------------------------------------4分32(1),2 1.n n a n a n ∴=---∴=-------------------------------------------------------------------------5分（2）因为1n n a b =，所以121+-=n b n ，---------------------------------------------------------------6分 所以11111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++，--------------------------------------------7分所以122311111111111()()2355721232323n n b b b b b n n n b ++++=-+-++-=-+++，---8分 9,71)32131(21<<+-n n 解得令，-----------------------------------------------------------------------------9分 所以n 的最大值为8． ----------------------------------------------------------------------------------------10分 18．解：（1）所满足的三个条件是:②③④，-----------------------------------------------------------1分()f x 的周期πT =，2ω=∴，()sin(2)f x x m ϕ=++∴，---------------------------------2分又过点(0,0)，且π3()32f =，π30,)2m m ϕϕ∴=+=2sin +sin(+3，--------------------------3分2π3sin()sin 32ϕϕ∴+-=， 13cos sin sin 222ϕϕϕ--=，------------------------------4分133(cos )22ϕϕ=，πsin()62ϕ∴-=，---------------------------------------------5分 又π02ϕ-<<， π6ϕ∴=-， -----------------------------------------------------------------6分 又11sin 0,0,22m m m ϕ+=+=∴-∴=，-------------------------------------------------------------7分 π1()sin(2)62f x x ∴=-+． ----------------------------------------------------------8分注：如果学生选取条件①③④，32ω=，3()sin()2f x x m ϕ=++∴， ---------------------------------------------------------1分又过点（0，0），且π3()32f =， π30,)2m m ϕϕ∴=+=sin +sin(+2，π3)2ϕϕ∴+=sin(-sin 2，-------------------------------2分3π3cos ,sin()242ϕϕϕ∴=-=-sin ，------------------------------------------------------------3分又322<，故此种选择不满足． ---------------------------------------------------------------4分 第（1）问学生选条件①③④求解，能正确做到以上步骤的可给4分． （2）由π1()sin(2)162f x x =-+=，得π1sin(2)62x -=，------------------------------------9分 ππ22π,66x k ∴-=+或π5π22π,66x k k -=+∈Z ，---------------------------------------------10分 πππ,π,62x k x k k ∴=+=+∈或Z ， --------------------------------------------------11分所以，函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为πππ263-=．----12分19．（1）证明：连结1AC ，----------------------1分O 为BC 的中点，11//OC B C ，11112ON OC NC B C ==， 又MO AM 2=，112OM ON AM NC ∴==， 1//MN AC ∴. ----------------------------------------2分又11111,MN ACC A AC ACC A ⊄⊂平面平面，-------------------------------------------------------3分 所以，11//A ACC MN 平面. -------------------------------------------------------------------------------4分（2）因为ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1AO ABC ⊥平面， 所以，1,,AO BC AO 两两垂直，以1,,OC OA OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. -------------------------------------------------------------------------------------5分1BB 与平面ABC 所成的角为π4，又11//AA BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为π4，又1AO ABC ⊥平面，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即1π4A AO ∠=.-------6分 又ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC的中点，1AO AO ==由题意知，11(1,0,0),(1,A B C -，----------------------------------------------7分 所以，11(0,0,3),(1,0,0),(1,3,3)OA OB OC ==-=-，----------------------------------8分 设平面11AOC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，所以，111100OA OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111130330z x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取1(3,1,0)=n ，-----------------------9分设平面1BOC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，由22100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得22220330x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2(0,1,1)=n ，-----------------------------10分所以12121212cos |422⋅<>===n n n ,n |n ||n ，-------------------------------------------------------11分设二面角11A OC B --的大小为θ，2212214sin 1cos ,1()44θ∴=-<>=-=n n所以二面角11A OC B --的正弦值为14.------------------------------------------------------------12分20．解：（1）设点),(y x B ，),(00y x P ， 则点)0,(0x A ，0(,)x x y AB =-，0(0,)y AP =，----------------------------------------------------1分∵3AB AP =，∴0003x x y y -=⎧⎨=⎩，∴003x x yy =⎧⎪⎨=⎪⎩，--------------------------------------------------------2分 ∵点),(00y x P 在椭圆C 上，∴222219x y a b +=，即为点B 的轨迹方程.-------------------------3分又∵点B 的轨迹是过)3,0(Q 的圆，∴2229919a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，---------------------------------------------------4分 解得2291a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2219x y +=. --------------------------------------------------------5分（2）如图，延长1MF 交C 于点M '， 由对称性可知：12||||F M NF '=，-----------6分 由（1）可知1(F -），2F ）， 设1(M x ，1)y ，2(M x '，2)y ，直线1MF的方程为x my =-由2219x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得22(9)10m y +--=， 0)9(43222>++=∆m m ，12229m y y ∴+=+，12219y y m =-+，----------------------------------------------------------------------7分 22212121222223261||()4(9)949m m y y y y y y m m m +∴-=+-=+=+++，-------------------------------8分 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积121(||||)2S F M F N d =+21111(||||)||22MF M F M F M d MM d S '''=+==△，----------------------------------------9分 而2212112121||||2MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-△△△---------------------------------------10分S ∴22222216112112122=329911222842m m m m m m +⨯+=⨯⨯==+++++，---------------11分m=.故四边形12F F NM面积的最大值为3．-------------------------------------------------------------------12分21.解：（1）20()350.545355465575 4.58529511300,E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()65.E X∴=即65.μ= -----------------------------------------------------------1分2222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25D X=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7565)0.225(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯+-⨯=. --------------2分由196<2σ<225，则14<σ<15，而214.5210.5210=>，故σ≈14，--------------------3分则X服从正态分布2(65,14)N， --------------------------------------------4分(22)() (3779)(2)2P X P XP X P Xμσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+ <<=-<<+=0.95450.68270.8186.2+==-----------------------------------------------6分(2) Y的取值为18,36,54,72.------------------------------------------------------------------------------7分由题意知，1()()2P X P Xμμ<=≥=，121111227(18),(36),2332323318P Y P Y==⨯===⨯+⨯⨯=12111221111(54),(72),233233923318P Y P Y==⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=--------------9分的分布列为18 36 54 721371829118---------------------------------------10分1721()1836547236318918E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，-------------------------------11分估算所需要抽奖红包的总金额为：20036=7200⨯（元）. ---------------------12分22．解：(1)法一：由题意知0a>，()lnF x ax x=，()ln(ln1)F x a x a a x'=+=+，-------1分∴当1ex<<时，()0F x'<；当1ex>时，()0F x'>，∴()F x的单调减区间是1(0,)e，单调增区间是1(,)e+∞. ---------------------------------------2分从而{}max()(),(2)F x F a F a=，于是222(2)()2ln 2ln ln 4F a F a a a a a a a -=-=，------------------------------------------------3分 当14a >时，(2)()0F a F a ->，∴2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==， 当104a <≤时，(2)()0F a F a -≤，∴2max ()()ln F x F a a a ==，-------------------------4分 综上，2max 21ln ,0,4()12ln 2,.4a a a F x a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩---------------------------------------------------------------------5分 (1)法二：由题意知0a >，()ln F x ax x =，()ln (ln 1)F x a x a a x '=+=+，---------------1分 ∴当10e x <<时，()0F x '<；当1ex >时，()0F x '>， ∴()F x 的单调减区间是1(0,)e ，单调增区间是1(,)e+∞. ---------------------------------------2分 ① 当12e a ≤时，即102ea <≤时，2max ()()ln F x F a a a ==， ② 当1ea ≥时， 2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==，---------------------------------------------------3分 ③ 当112e e a <<时，此时{}max ()(),(2)F x F a F a =， 又222(2)()2ln 2ln ln 4F a F a a a a a a a -=-=，所以， 当114ea <<时，(2)()0F a F a ->，∴2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==， 当112e 4a <≤时，(2)()0F a F a -≤，∴2max ()()ln F x F a a a ==，-----------------------4分 综上，当[,2]x a a ∈时，2max 21ln ,0,4()12ln 2,.4a a a F x a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩--------------------------------------------5分 （2）依题意知：21()()()ln 2G x f x g x a x x bxb =+=+++， 则2()(0)a x bx a G x x b x x x++'=++=>，-------------------------------------------------------------6分 因为()G x 存在极大值，所以关于x 的方程20x bx a ++=有两个不相等的正根12,x x ， 不妨设120x x <<，则12x x a =，所以0a >，且10x a <<，-------------------------------7分 当1(0,)x x ∈时， ()0G x '>，()G x 在1(0,)x 上单调递增；当12()x x x ∈,时， ()0G x '<，()G x 在12()x x ,上单调递减；当2(,)x x ∈+∞时， ()0G x '>，()G x 在2(,)x +∞上单调递增.所以()G x 有极大值211111()ln 2G x a x x bx b =+++，---------------------------------------------8分 又211bx x a =--，所以，当10x <<21111()ln 02G x a x x a b =--+<恒成立，---------------------9分设21()ln 2v x a x x a b =--+，x ∈， 则2()a a x v x x x x-'=-=，---------------------------------------------------------------------------------10分∵x ∈，∴2()0a x v x x-'=>，∴()v x 在上单调递增，∴3()02v x v a a b <=+≤，∴32b a a ≤-∴55ln 222a ab a a a a +≤-=-，--------------------------------------------------------------11分 令5()ln (0)22a k a a a a =->，则511()(1ln )(4ln )222k a a a '=-+=-， 当4(0,e )a ∈时，()0k a '>，所以()k a 在4(0,e )上为增函数；当4(e ,)a ∈+∞时，()0k a '<，所以()k a 在4(e ,)+∞上为减函数. 所以44444511()(e )e e ln e e 222k a k ≤=-=， 即4e 2a b +≤.----------------------------------------------------------------------------------------------------12分。
山东省临沂市2020届高三数学模拟考试试题 理(含解析)
2020年普通高考模拟考试理科数学一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}ln 1A x x =<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （ ） A. {}1 B. {}1,2C. {}2101--,,, D. {}2-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ，然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得{}|0A x x e =<<， 结合题意和交集的定义可知：A B =I {}1,2. 故选：B .【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）【答案】A 【解析】 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.2020年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2020～2020；③这8年的增长率约为40％；④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可.【详解】考查所给的结论：①2020年的市场规模量有所下降，该说法错误；②增长最快的一年为2020～2020，该说法正确；③这8年的增长率约为63.545.345.3-≈40％，该说法正确；④2020年至2020年每年的市场规模相对于2020年至2020年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个.故选：C.【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.4.已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=.综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. 27B.57C.29D.59【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =. 故选：D .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.6.函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，设()()()11h x f x g x =+++，则下列结论中正确的是（ ）A. ()h x 的图象关于(1,0)对称B. ()h x 的图象关于(1,0)-对称C. ()h x 的图象关于1x =对称D. ()h x 的图象关于1x =-对称【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数()h x 的性质 【详解】首先考查函数()()()H x f x g x =+，其定义域为R ，且()()()()()()f x g x f x x H x x H g =--=+=-+， 则函数()H x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，将()H x 的图像向左平移一个单位可得函数()()()()111h x H x f x g x =+=+++的图像，据此可知()h x 的图象关于1x =-对称. 故选：D .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将()20182017201620192018201721f x x x x x =+++⋯++化为()()()()20192018201721f x x x x x x =⋯+++⋯++再进行运算，在计算()0f x 的值时，设计了如下程序框图，则在◇和X中可分别填入（ ）A. 2n ≥和0S Sx n =+B. 2n ≥和01S Sx n =+-C. 1n ≥和0S Sx n =+D. 1n ≥和01S Sx n =+-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.【详解】由题意可知，当1n =时程序循环过程应该继续进行，0n =时程序跳出循环，故判断框中应填入1n ≥，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：0S Sx n =+， 故选：C .【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ）A.2B.2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得cos C 的值，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得：916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C =，在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B=2=，据此可得：AB =故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2222x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：2=，解得：1d =， 双曲线的渐近线方程为：0bx ay ±=，圆心坐标为()0,2，1=，即：21a c =，双曲线的离心率2ce a==. 故选：B .【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A. 2 33D. 1【答案】A【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为3r=，高1h=，故俯视图是一个腰长为2，顶角为120o的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为(0,120⎤⎦o o，设顶角为θ，则截面的面积：122sin2sin2Sθθ=⨯⨯⨯=，当90θ=o时，面积取得最大值2.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若函数()2xf x x ke =-在(0,)+∞上单调递减，则k 的取值范围为（ ）A. 8,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 4,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：()'2xf x x ke =-，函数在(0,)+∞上单调递减，则()'0f x ≤恒成立，即：20x x ke -≤， 据此可得：2xxk e ≥恒成立， 令()()20x xg x x e =>，则()()21'xx g x e -=， 故函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 函数()g x 的最大值为()21g e =，由恒成立的结论可得：2k e≥， 表示为区间形式即2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A. 35-B. 45-C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值.【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题.13.已知向量a r ，b r满足：3a =r ，4b =r ，a b +=r r ||a b -=r r _____．【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合平行四边形的性质可得a b -r r的值.【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：()22222a b a b a b +=++-r r r r r r ，即：()2222234a b +=+-r r ，据此可得：3a b -=r r.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数()()log 11a f x x =--（0a >，且1a ≠）的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则2cos 2sin αα-=__________． 【答案】25【解析】 【分析】首先确定点A 的坐标，然后由三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，最后结合二倍角公式可得三角函数式的值.【详解】由函数的解析式可知点A 的坐标为()2,1A -， 由三角函数的定义可得：sin αα==， 故()22224112cos 2sin cos sin sin 5555ααααα⎛⎫-=--=--=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.在621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为____．【答案】40 【解析】 【分析】由题意利用排列组合的性质可得3x 项的系数.【详解】由题中的多项式可知，若出现3x ，可能的组合只有：()032x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭和()142x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得3x 系数为：()()34330111166512112140C C C ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则ABMN的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====， 由勾股定理可知：2222AB AF BF a b =+=+由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=， 则：()22212222a b AB a b a b MN++=≥=+当且仅当a b =时等号成立.即AB MN. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足111,22nn n a a a +==-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S .【答案】（1）见解析；（2）21222n n S n n +=+-+【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；(2)结合(1)中的结论首先确定数列{}n a 的通项公式，然后分组求和确定其前n 项和即可.【详解】（1）∵122n n n a a +=-+，∴()()11222n n n na a+++-+=，∴数列{}2nn a +为公差为2的等差数列（2）∵11a =，∴123a +=，由（1）可得：232(1)21nn a n n +=+-=+， ∴221nn a n =-+，∴()232(123)2222nn S n n =++++-+++++L L ，.()212(1)2212nn n n -+=⨯-+- 21222n n n +=+-+【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，已知矩形ABCD 中，22AB AD ==，点E 是CD 的中点，将BEC ∆沿BE 折起到BEC '∆的位置，使二面角C BE C '--是直二面角．（1）证明：BC '⊥平面AEC '； （2）求二面角C AB E '--的余弦值． 【答案】（1）见证明；（23【解析】 【分析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所得的法向量整理计算可得二面角的余弦值.【详解】（1）∵22AB AD ==，点E 是CD 的中点， ∴ADE ∆，BCE ∆都是等腰直角三角形， ∴90AEB =︒∠，即AE BE ⊥..又∵二面角C BE C '--是直二面角，即平面C EB '⊥平面ABE ， 平面C EB '⋂平面ABE BE =，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥平面C EB '， 又∵BC '⊂平面C BE '， ∴BC AE '⊥，又∵BC EC ''⊥，EC '⊂平面AEC '，AE EC E '⋂=， ∴BC '⊥平面AEC '.（2）如图，取BE 的中点O ，连接C O '， ∵C B C E ''=，∴C O BE '⊥，∵平面C EB '⊥平面ABE ，平面C EB '⋂平面ABE BE =，C O '⊂平面C EB '，∴C O '⊥平面ABE ，过O 点作OF AE P ，交AB 于F ， ∵AE EB ⊥，∴⊥OF OB ，以OF ，OB ，OC '所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，22,2A ⎫-⎪⎪⎭，20,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2C ⎛' ⎝⎭， ∴222,22C A '=--⎭u u u r ，220,,22C B ⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，20,0,2OC ⎛'= ⎝⎭u u u u r ，设(,,)n x y z =r为平面ABC '的一个法向量，则0n C A n C B ''⎧⋅=⎨⋅⎩u u u v v u u u v v ，即222022220x y z y z --==，取1y z ==，则1x =，∴(1,1,1)n =r ， 又C O '⊥平面ABE ，∴22m OC ⎛== ⎝⎭u r u u u r 为平面ABE 的一个法向量， 所以3cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，即二面角C AB E '--3【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n v v互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N两点，OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=（2）42【解析】 【分析】(1)由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ∆的面积为22∴2x =2x =，∴2)M ，(2,2)N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+， 点O 到直线20kx y k--=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭=∵()()()()22222222211211k k k k k k k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=综上，ABC ∆面积的最大值为【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2020年已就业的A 、B 两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2020届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?（2）经统计发现，该大学2020届的大学本科毕业生月薪X （单位：百元）近似地服从正态分布(,196)N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导. ①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z 及对应的概率分别为：则李阳预期获得的话费为多少元? 附：()()()()()22n ad bc K a b b c c d b d -=++++，其中，n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)首先写出列联表，然后计算2K 的值给出结论即可； (2)由题意求得2μσ-的值然后判定学生就业是否理想即可；由题意首先确定Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可得其预期获得的话费.【详解】（1）列出列联表如下：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关. （2）①月薪频率分布表如下：将样本的频率视为总体的概率，该大学2020届的大学本科毕业生平均工资为：350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∵月薪~(,196)X N μ，∴2196σ=，14σ=， ∴259.22831.2μσ-=-=，2020届大学本科毕业生李某的月薪为3500元35=百元231.2μσ>-=百元，故李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知59.2μ=百元5920=元，故李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，所获得的话费Z 的取值分别为120，180，240，300，360，111(120)224P Z ==⨯=，12111(180)233P Z C ==⨯⨯=，1211115(240)332618P Z C ==⨯+⨯⨯=，12111(300)369P Z C ==⨯⨯=，111(360)6636P Z ==⨯=.故Z 的分布列为：则李阳预期获得的话费为115111201802403003602004318936EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数()221xe f x x mx =-+．（1）若(1,1)m ∈-，求函数()f x 的单调区间；（2）若10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,2m 1]x ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在不等式y x >所表示的平面区域内，请写出判断过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵(1,1)m ∈-，∴2440m ∆=-<，∴2210y x mx =-+>恒成立， ∴函数定义域为R ,()()222e 21e (22)()21x x x mx x m f x xmx '-+--=-+()222e (22)2121x x m x m xmx ⎡⎤-+++⎣⎦=-+()22e (1)(21)21x x x m xmx ---=-+，①当0m =时，即211m +=，此时()0f x '…，()f x 在R 上单调递增， ②当01m <<时，即1213m <+<，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,21)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (21,)x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③10m -<<时，即1211m -<+<时，(,21)x m ∈-∞+，()0f x '>，()f x 单调递增，(21,1)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①0m =时，()f x 在R 上递增，②01m <<时，()f x 在(,1)-∞和(21,)m ++∞上递增，在(1,21)m +上递减； ③10m -<<时，()f x 在(,21)m -∞+和(1,)+∞上递增，在(21,1)m +上递减. （2）当10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知()f x 在[0,1]递增，在[1,21]m +递减，令()g x x =，则()g x 在R 上为增函数，函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内，等价于函数()f x 图象总在()g x 图象的上方，①当[0,1]x ∈时，min ()(0)1f x f ==，max ()()1g x g x ==， 所以函数()f x 图象在()g x 图象上方； ②当[1,21]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以()f x 最小值为21e(21)22m f m m ++=+，()g x 最大值为(21)21g m m +=+，所以下面判断(21)f m +与21m +的大小，即判断2122m e m ++与21m +的大小，因为10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以即判断21e m +与(21)(22)m m ++的大小，令21x m =+，∵10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即判断e x 与(1)x x +大小，作差比较如下：令()e (1)xu x x x =-+，31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()21xu x e x '=--，令()()h x u x '=，则()e 2xh x '=-，因为31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()0h x '>恒成立，()u x '在31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增；又因为(1)e 30u '=-<，323e 402u ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()000210x u x e x '=--=，所以()u x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()0()u x u x …0200e xx x =--200021x x x =+--2001x x =-++， 因为二次函数2()1v x x x =-++的图象开口向下，其对称轴为12x =， 所以2()1v x x x =-++在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减..因为031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0393*******v x v ⎛⎫>=-++=> ⎪⎝⎭， 所以()()00()0u x u x v x =>…，即(1)x e x x >+，也即(21)21f m m +>+， 所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方，所以函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的直角坐标方程为10x y +-=.（2）[1,3] 【解析】 【分析】(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C 的极坐标方程，展开三角函数式可得l 的普通方程；(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得OM ON ⋅的取值范围．【详解】（1）圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人上式，得：10x y +-=， ∴直线l的直角坐标方程为10x y +-=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，设()21,N ρθ，因为点N在直线:cos 1l ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则有2ρ=，所以12||||OM ON ρρ⋅===， ∵1,63ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1tan 3θ-12tan 1233θ+剟，∴13，即1||||3OM ON ⋅剟，故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的转化，极坐标的几何意义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数()()22,12f x x a x g x x =-+-=-+． （1）求不等式()5g x <的解集；（2）若对任意1x R ∈都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x -<<（2）(,0][8,)-∞+∞U 【解析】 【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，然后分类讨论可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()5g x <得|1|25x -+<， ∴|1|3x -<， ∴313x -<-<， ∴24x -<<， ∴不等式()5g x <解集为{|24}x x -<<.（2）设函数()f x 的值域为M ，函数()g x 的值域为N ，∵对任意1x ∈R 都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，. ∴M N ⊆，∵()|1|2g x x =-+，∴[2,)N =+∞，①当4a =时，()3|2|f x x =-，此时[0,)M =+∞，不合题意；②当4a >时，23,2()2,2232,2a x x a f x a x x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩„…，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-≥⎪⎨⎪>⎩，解得8a …； ③当4a <时，23,2()2,2232,2a a x x a f x x a x x a x ⎧+-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩„…，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩…，解得0a „. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0][8,)-∞+∞U . 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020年山东省枣庄市届高三第二次模拟考试数学文试题与答案
2020届高三模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．12C ．2 D3.已知123a -=，31log 2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.已知2()log (41)xf x ax =-+是偶函数，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-()sin c b C =-，则A =（ ）A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．188.已知1sin()43πα-=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．79C ．19-D ．199.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ． 10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．643 C ．163 D ．32311.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=o ，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞UB ．(0,1][8,)+∞UC ．1(0,][4,)2+∞U D ．(0,1][4,)+∞U12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的最大值为（ ）A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知数列{}n a 的前n 项和2352n n n S +=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，且23SA AD AB ==.（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为SC 的中点，三棱锥E BCD -的体积为89，求四棱锥S ABCD -外接球的表面积. 19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.20.已知抛物线C ：22(01)y px p =<<上的点(,1)P m 到其焦点F 的距离为54. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点.21.已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）.（Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2020届高三模拟考试 数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBDA 6-10: BCBAD 11、12：AD二、填空题13. 2 14. 3 15. 22(2)2x y +-= 16. 37[,]48三、解答题17.（Ⅰ）解：114a S ==. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22353(1)5(1)22n n n n +-+-=-. 又14a =符合2n ≥时n a 的形式，所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为121111()()47710n b b b ++⋅⋅⋅+=-+-1111()()32313134n n n n +⋅⋅⋅+-+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证明：由底面ABCD 为矩形，得BC AB ⊥.又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面SAB .所以BC SA ⊥. 同理可得CD SA ⊥.又BC CD C =I ，BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）解：设6SA a =，则2AB a =，3AD a =.13E BCD BCD V S h -∆=⨯⨯111()()322BC CD SA =⨯⨯⨯⨯ 311(23)(3)332a a a a =⨯⨯⨯⨯=.又89E BCD V -=，所以3839a =.解得23a =. 四棱锥S ABCD -的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球，设半径为R .则2R =1473a ==，即73R =. 所以，四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为219649R ππ=.19. 解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；221[(527.5)(400.1)40S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯ 2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯178.75=.（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B . 随机选出2人有以下28种可能：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B ，12(,)B B ， 13(,)B B ，14(,)B B ，15(,)B B ，16(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，25(,)B B ， 26(,)B B ，34(,)B B ，35(,)B B ，36(,)B B ，45(,)B B ，46(,)B B ，56(,)B B ，甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B .所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=. 20.解：（Ⅰ）由题意，得21pm =，即12m p=. 由抛物线的定义，得1()222p pPF m p =--=+. 由题意，15224p p +=.解得12p =，或2p =（舍去）. 所以C 的方程为2y x =.（Ⅱ）证法一：设直线PA 的斜率为k （显然0k ≠），则直线PA 的方程为1(1)y k x -=-，则1y kx k =+-.由21y kx k y x=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得22[2(1)1]k x k k x +--2(1)0k +-=. 设11(,)A x y ，由韦达定理，得212(1)1k x k -⨯=，即212(1)k x k -=.2112(1)11k y kx k k k k -=+-=⋅+-11k=-+.所以22(1)1(,1)k A k k --+. 由题意，直线PB 的斜率为1k. 同理可得221(1)1(,1)11()k B kk--+，即22((1),1)B k k --. 若直线l 的斜率不存在，则222(1)(1)k k k-=-.解得1k =，或1k =-. 当1k =时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1，A ，B 两点重合，与题意不符； 当1k =-时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1-，A ，B 两点重合，与题意不符. 所以，直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为2(1)(1)k y k k --=-2[(1)]x k --，即21(1)k y x k =--.所以直线l 过定点(0,1)-. 证法二：由（1），得(1,1)P . 若l 的斜率不存在，则l 与x 轴垂直. 设11(,)A x y ，则11(,)B x y -，211y x =. 则11111111PA PBy y k k x x ---=⋅--211221111(1)(1)y x x x --==--111x =-. （110x -≠，否则，11x =，则(1,1)A ，或(1,1)B ，直线l 过点P ，与题设条件矛盾） 由题意，1111x =-，所以10x =.这时A ，B 两点重合，与题意不符. 所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ，显然0k ≠，设l ：y kx t =+， 由直线l 不过点(1,1)P ，所以1k t +≠.由2y x y kx t⎧=⎨=+⎩消去y 并整理得222(21)0k x kt x t +-+=. 由判别式140kt ∆=->，得14kt <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12212ktx x k-+=①，2122t x x k =②， 则12121111PA PBy y k k x x --=⋅--12121111kx t kx t x x +-+-=⋅--2212121212(1)()(1)()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 由题意，2212121212(1)()(1)1()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 故212(1)(1)k x x kt k -+-+212()20x x t t ++-=③将①②代入③式并化简整理得2210t kt k k---=，即210t kt k ---=. 即(1)(1)(1)0t t k t +--+=，即(1)(1)0t t k +--=.又1k t +≠，即10t k --≠，所以10t +=，即1t =-. 所以l ：1y kx =-.显然l 过定点(0,1)-. 证法三：由（1），得(1,1)P .设l ：x ny t =+，由直线l 不过点(1,1)P ，所以1n t +≠.由2y x x ny t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得20y ny t --=. 由题意，判别式240n t ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y n +=①，12y y t =-② 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--1222121111y y y y --=⋅--12121()1y y y y =+++. 由题意，1212()11y y y y +++=，即1212()0y y y y ++=③ 将①②代入③式得0t n -+=，即t n =. 所以l ：(1)x n y =+.显然l 过定点(0,1)-.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=； 取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a x =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数， 则由零点存在性定理，()f x在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意.综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.由（Ⅰ）的结论，得3a =-. 2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>. 由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =.所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.22.选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （2）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===， 其中0θ满足0cos θ=0sin θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()10θθ=-=，02sin 2sin()5θθ=-=-. 因此，当点M位于(105-时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解105x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 因此，当点M位于时，点M 到直线l的距离取最小值23.选修4-5：不等式选讲解：（1）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （2）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号） 13a =+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞U .。
山东省枣庄市2020届高三模拟(二调)考试数学试题(PDF)(有答案)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面 EFGH 所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜度的不同， A1C1 始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时， AE ⋅ AH 为定值 11．已知 P 为双曲线 C ：x2 − y2 = 1 上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A, B ，
秘密★启用前
2020 届高三模拟考试
数学试题
2020．4
本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟．考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
为
， C 的离心率为
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 ⊥ 平面 ABC ， AA1 = 4 ， △ABC 是边长为 2 3 的正三
角形，D1 是线段 B1C1 的中点，点 D 是线段 A1D1 上的动点，则三棱锥 D − ABC 外接球
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A = {x | y = lg (x +1)} ， B = {y | y = −2x , x ∈ R} ，则 A U B =
3 记线段 PA, PB 的长分别为 m,n ，则
A．若 PA, PB 的斜率分别为 k1, k2 ，则 k1k2 = −3
2020年山东省临沂市、枣庄市高考数学临考演练试卷(6月份)
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ，若样本中心点为 ，则 ＝
设函数 ，则下列结论正确的是（）
A. B.
C.曲线 ＝ 存在对称轴D.曲线 ＝ 存在对称中心
如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列结论正确的是（）
表
时间 （分钟）
频数
（1）请补填表 中的空缺数据，并判断是否有 的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；
（2）根据表 中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；
（3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费 元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算？
型号
每层玻璃厚度
（单位：厘米）
玻璃间夹空气层厚度
（单位：厘米）
型
型
型
型
则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）
A. 型B. 型C. 型D. 型
5.设函数 ＝ ，若 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 ， ， 的大小为（）
A. B. C. D.
6.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个 个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）
A.三棱锥 的体积为定值
B.当 向 运动时，二面角 逐渐变小
C. 在平面 内的射影长为
D.当 与 重合时，异面直线 与 所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
2020年山东省枣庄市高三数学二模试卷与详细解析
绝密★启用前2020年山东省枣庄市数学二模试卷与详细解析第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,x B y y x ==-∈R ，则AB =（ ） A ．(1,0)- B ．(1,)-+∞C ．RD ．(,0)-∞2．已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-3．“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）A ．110B ．421C ．415D ．155．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在11,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．512π是()f x 的一个极值点 6．已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b =（ ）AB ．2C ．D ．4 7．函数6cos ()2sin x f x x x=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点(,)P m n 是函数y =图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ）A ．25B ．21C ．20D ．4二、多选题 9．2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B ．第一季度居民人均收入为4900元C ．第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D ．第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元10．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11．已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A ．若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =- B ．12mn >C ．4m n +D ．||AB 的最小值为32 12．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题 13．6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）14．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =，点N 满足12CN DA =，则AM MN ⋅=_________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．16．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC 是边长为1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）．四、解答题17．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________． （1）求n a ；（2）设34n n n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．19．如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =，12CN NC =．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且2l ∥1l ，若PAB △的面积为4，求k ．21．某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861x x --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)N μσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；。
山东省枣庄市2020届高三数学第二次模拟考试试卷 理(含解析)
⇔a（b-c）＞0，故 D 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等关系与不等式，涉及到的知识点有不等式的性质，属基础题．
10.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前 262-190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光 辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样 一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k＞0，且 k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这
【分析】
由题意知 p 真，q 真，根据复合命题真值表可知 A 正确，
故选 A．
【详解】由题意知 p 真，q 真，所以 p∧q 为真．
故选：A．
【点睛】本题考查命题真假判断，属于简单题．
6.空间直角坐标系 O-xyz 中，某四面体的顶点坐标分别为（0，0，0），（0，1，1），（1，0， 1），（1，1，0），画该四面体三视图时，以 yOz 平面为投影面所得到的视图为正视图，则该 四面体的侧视图是（ ）
7.（2-x）（2x+1）6 的展开式中 x4 的系数为（
A.
B. 320
【答案】B
【解析】
） C. 480
，展开通项
，
所以 时，
； 时，
，
所以 的系数为
，故选 B。
点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得
项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的 的系数。
D. 640 ，再利用二
山东省枣庄市 2020 届高三模拟考试（二调）理科数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.已知集合 A={ ， ，1，2，3}，B={x|lgx＞0}，则 A∩B=（ ）
A.
B.
C.
D. 2，
2020年山东省临沂市、枣庄市高考数学临考演练试卷(6月份)
2020年山东省临沂市、枣庄市高考数学临考演练试卷（6月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A＝{x|2x>1}，B＝{y|y＝x2−1, x∈R}，则(∁U A)∩B＝（）A.[−1, 0]B.(−1, 1)C.(−∞, 0]D.[−1, 0)2. 若复数z满足z(1−i)＝|√3+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限3. (√x−2x)n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.−120B.120C.−60D.604. 某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q＝λ1|△T|d(λ1lλ2d+2)，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10−3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10−4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是（）A.B型B.A型C.D型D.C型5. 设函数f(x)＝log2|x|，若a＝f(log132)，b＝f(log52)，c＝f(e0.2)，则a，b，c的大小为（）A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a6. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（）A.2 5B.15C.45D.357. 将函数f(x)＝sin2x+2√3cos2x−√3图象向右平移π12个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则下列说法中正确的是（）A.g(x)是偶函数B.g(x)的周期为πC.g(x)在(−π6,π3)上单调递增 D.g(x)的图象关于直线x=π12对称8. 已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C1，若C∁I的中点为M(1, 4)，则P＝（）A.8B.4C.8√2D.4√2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．设向量a→=(2, 0)，b→=(1, 1)，则（）A.(a→−b→) // b→B.|a→|=|b→|C.a→与b→的夹角为π4D.(a→−b→)⊥b→下列命题正确的是（）A.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞)上单调递减，f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为(12,2)B.若随机变量X∼B(100, p)，且E(X)＝20，则D(12X+1)=5C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.3x−m，若样本中心点为(m, −2.8)，则m＝4D.已知x∈R，则“x>0”是“|x−1|<1”的充分不必要条件设函数f(x)=sinπxx2−x+54，则下列结论正确的是（）A.|f(x)|≤4|x|B.f(x)≤1C.曲线y＝f(x)存在对称中心D.曲线y＝f(x)存在对称轴如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22，则下列结论正确的是（）A.当E向D1运动时，二面角A−EF−B逐渐变小B.三棱锥A−BEF的体积为定值C.当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π4D.EF在平面ABB1A1内的射影长为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若∀x∈(0, +∞)，4x2+1x≥m，则实数m的取值范围为________．已知sin(α+π6)=√33，则cos(2π3−2α)=________．F1是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B，F1三点共线，则双曲线的离心率为________．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，并随机抽取了该校100名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到如图饼图：若从日行步数超过10千步的教职工中随机抽取两人，则这两人的日行步数恰好一人在10∼12千步，另一人在12∼14千步的概率是________；设抽出的这两名教职中日行步数超过12千步的人数为随机变量X，则E(X)＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设b+b cos A=√3a sin B．（1）求A；（2）若b+c=√2a，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．在①3S n+1=S n+1，②a2=19，③2S n=1−3a n+1这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足________，________；又知正项等差数列{b n}满足b1=2，且b1，b2−1，b3成等比数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)证明：a b1+a b2+⋯+a bn<326．如图①，在Rt△ABC中，B为直角，AB＝BC＝6，EF // BC，AE＝2，沿EF将△AEF折起，使∠AEB=π3，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．（1）求证：平面AEF⊥平面ABC；（2）若AE // 平面BDF ，求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如表1： 表1其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20∼60分钟之间，由于堵车、红绿灯等因素，每次的用车时间t （分钟）是一个随机变量，张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如表2： 表2（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；（3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|=32，PF 1→⋅PF 2→=−34，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α+β=π2证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．已知函数f(x)＝x 2+ax +a ，g(x)＝ln x −1，a ∈R ． （1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调性；（2）若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年山东省临沂市、枣庄市高考数学临考演练试卷（6月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．【答案】此题暂无答案【考点】平面向明的推标运算向使的之数量来表示冷个向让又夹角数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二倍角于三角术数运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面因平面京直直线与正键所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭明的钾用椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
山东枣庄市2020届高三年级第二次模拟考试数学(文科)试卷(解析版)
2020年山东枣庄市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√35．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18 B．21 C．24 D．276．已知向量a→=（5，5），a→+2b→=（﹣3，11），则向量a→在向量b→方向上的投影为（）A．1 B．√22C．−√22D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π68．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6700417，不是质数．现设a n ＝log 4（F n ﹣1）（n ＝1，2，…），S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n ＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．已知双曲线C ：x 2a −y 24a =1(a ＞0)的右焦点为F ，点N 在C 的渐近线上（异于原点），若M 点满足OF →=FM →，且ON →⋅MN →=0，则|MN |＝（ ） A ．2aB ．√5aC ．4aD ．2√5a10．已知曲线y ＝ae x ﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x 轴相切，若tan θ＝2，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．32D ．211．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ＝4，过AA 1作平面α使BD ⊥α，且平面α∩平面A 1B 1C 1D 1＝l ，M ∈l ．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（ ） ①l ∥AC ； ②BM ⊥AC ；③l 和AD 1所成的角为60°； ④线段BM 长度的最小值为√6． A ．1B ．2C ．3D ．412．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x ≤−1，log 2(x +1)，−1＜x ≤4，若函数g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A．(0，32)B．(0，32]C．（0，2）D．（0，2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足{0≤x−y≤1，0≤x+y≤1，则z＝2x+y的最大值为．14．已知α是锐角，且sin（α−π6）=13．则sin（α+π3）＝．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝，该“阳马”外接球体积为．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：y2=12x交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M 是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，（α为参数），以y=2sinα坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a=213＞1，b=log213＜0，c=log1312=log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S＝3√3：故选：C．【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+3a 5＝12，则S 7＝（ ） A ．18B ．21C ．24D ．27【分析】由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，化为a 1+3d ＝3＝a 4，利用性质可得：S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4．解：由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，∴a 1+3d ＝3＝a 4， ∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4＝21． 故选：B ．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），则向量a →在向量b →方向上的投影为（ ） A ．1B ．√22C ．−√22D ．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由a →和a →+2b →的坐标计算出向量b →，然后由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），∴b →=(−4，3)，∴向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√(−4)2+32=−1，故选：D ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（ ） A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解． 解：f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， 由题意可得，sin （φ−2π3）＝0， 所以φ−2π3=k π即φ=2π3+k π，k ∈Z ， 结合选项可知，当k ＝﹣1时，φ=−13π．故选：A ．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6700417，不是质数．现设a n ＝log 4（F n ﹣1）（n ＝1，2，…），S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n ＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n 即可．解：因为F n =22n+1(n =0，1，2，⋯)，所以a n ＝log 4（F n ﹣1）=log 4(22n+1−1)=log 422n=2n ﹣1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n =1(1−2n)1−2=2n ﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（√5a，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|=√5a1+4=2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以ae x0−1=2①，又切点满足：ae x0−1=2x0②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1=√22+42=2√5，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM=√BB12+B1M2=√42+(√2)2=3√2，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x ≤−1，log 2(x +1)，−1＜x ≤4，若函数g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0，32)B ．(0，32]C ．（0，2）D ．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f （x ）的图象，令f （x ）＝t 显然t ＝0不是方程t 2﹣mt ﹣1＝0的解，若t ＝﹣1是方程t 2﹣mt ﹣1＝0的解，则m ＝0，此时t ＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g （x ）＝f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1恰有5个零点等价于t 2﹣mt ﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{h(−1)=m ＞0h(0)=−1＜0h(2)=4−2m −1≥0，解可得，0＜m ≤32．故选：B ．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足{0≤x−y≤1，0≤x+y≤1，则z＝2x+y的最大值为 2 ．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z＝2x+y经过可行域的A时，z取得最大值，由{x+y=1x−y=1解得A（1，0），所以z的最大值为：2×1+0＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin（α−π6）=13．则sin（α+π3）＝2√23．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin（α−π6）=13．所以−π6＜α−π6＜13π，cos（α−π6）=2√23，则sin（α+π3）＝sin[（α−π6）+12π]＝cos（α−π6）=2√23，故答案为：2√23．【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，则PA＝ 3 ，该“阳马”外接球体积为323π．【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA=√3AD=3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R=√22+(√3)2+32=4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V=43πR3=43π×8=32π3．故答案为：3，323π．【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x ﹣my ﹣2＝0与抛物线C ：y 2=12x 交于A ，B 两点．P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的平行线交C 于点Q ，若以AB 为直径的圆经过Q ，则m ＝ ±2 ．【分析】设AB 的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB 的中点P 的坐标，由题意求出Q 的坐标，进而求出弦长|AB |，|PQ |，再由题意可得m 的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x −my −2=0y 2=12x ， 整理可得2y 2﹣my ﹣2＝0，△＝m 2+8＞0，y 1+y 2=m 2，y 1y 2＝﹣1，所以AB 的中点P （m 24+2，m 4），则Q （m 28，m 4），即|PQ |=m 28+2， 又|AB |=√1+m 2|y 1﹣y 2|=√1+m 2√m 24+4， 所以√1+m 2√m 24+4=2（m 28+2）即√1+m 2=√m 24+4，解得m ＝±2， 故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1−3=710．10【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A=12，由于0＜A＜π，所以A=π3．（2）根据正弦定理asinA =bsinB，所以b＝2√3sinB．则：cosCb =cos(2π3−B)2√3sinB=−12cosB+√32sinB2√3sinB=4√3tanB+14．由于△ABC为锐角三角形，所以{0＜B ＜π20＜C ＜π2，即{0＜B ＜π20＜2π3−B ＜π2，所以π6＜B ＜π2， 所以tanB ＞√33， 即043tanB14，所以0＜cosC b ＜14， 所以cosC b 的取值范围为（0，14）． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1＝2AC ＝4，AB ＝3，∠CAB ＝90°．M 是CC 1的中点．（1）证明：平面A 1B 1M ⊥平面ABM ；（2）求四棱锥M ﹣ABB 1A 1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A 1M ⊥AM ，再证明AB ⊥平面ACC 1A 1，得AB ⊥A 1M ，由直线与平面垂直的判定可得A 1M ⊥平面ABM ，进一步得到平面A 1B 1M ⊥平面ABM ；（2）分别求出四棱锥M ﹣ABB 1A 1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC 1A 1中，AM =A 1M =√22+22=2√2，AA 1＝4． 则A 1M 2+AM 2=AA 12，即A 1M ⊥AM ，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴S△ABM=S△A1B1M=12×3×2√2=3√2．在△ABC中，BC=√22+32=√13，∴S△B1BM=12×√13×4=2√13，又S△A1AM=12×4×2=4．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为2×3√2+4+2√13=6√2+4+2√13．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a 的值及b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b ，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F 2的坐标，由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN 为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ 的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a ＝2√2，且b ＝c ，又c 2＝a 2﹣b 2，所以可得a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）可得右焦点F 2（1，0），再由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程可得{x =my +1x 2+2y 2=2整理可得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 由题意可得四边形MNPQ 为平行四边形，所以S ＝4S△OPQ ＝4×12×|OF 2|×|y 1﹣y 2|＝2×1×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√4m 2(2+m 2)2−4⋅−12+m 2=4√2√1+m 2(1+1+m 2)2=4√2√1(1+m 2)+11+m 2+2≤4√2√12+2=2√2， 当且仅当1+m 2=11+m 2即m ＝0时取等号， 所以四边形MNPQ 面积的最大值为2√2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x 在[0，π2]上的最大值即可；（2）令h(x)=f(x)+1x3+3，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a2≤3，所以h′(x)≥3sinx−3x+3x2，再令p(x)=3sinx−3x+32x2，再求导p'（x），2又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m （x）在[0，π2]上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴当0≤x≤π2时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，而当0≤x≤π2时，3cos x∈[0，3]，∴a≥3．（2）证明：令h(x)=f(x)+1x3+3，则h′(x)=f′(x)+32x2=3sinx−ax+32x2，2∵a≤3，∴h′(x)≥3sinx−3x+3x2，2令p(x)=3sinx−3x+3x2，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，2令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在[0，π2]上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在[0，π2]上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在[0，π2]上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是f(x)+1x3+3≥0．2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题（α为参数），以22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C 3和C 1，C 3和C 2的极坐标方程，分别得到OM 和ON 的长度，再求值即可．解：（1）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）消去参数可得（x ﹣2）2+y 2＝4，即x 2+y 2﹣4x ＝0，又{x =ρcosθy =ρsinθ，则ρ2﹣4ρcos θ＝0， 即C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．由{ρ=4cosθρcosθ=1，可得4cos 2θ＝1，又−π2＜θ＜π2，所以θ＝±π3，ρ＝2． 即C 1与C 2交点的极坐标为（2，π3），（2，−π3）． （2）由{θ=βρ=4cosθ，可得|OM |＝4cos β， 由{θ=βρcosθ=1，可得|ON |=1cosβ， 所以|OM |•|ON |＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣2|x +1|．（1）解不等式f （x ）≤0；（2）记函数f （x ）的最大值为m ，且a +b +c ＝m ，求证：（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x ﹣1|≤2|x +1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m ＝3，即a +b +c ＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f（x）≤0即为|2x﹣1|﹣2|x+1|≤0，即|2x﹣1|≤2|x+1|，，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x≥−14}；则原不等式的解集为{x|x≥−14（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3所以a2+b2+c2≥13≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。