陕西省扶风县高中数学 第二章《圆与圆的方程》空间两点间的距离公式教案6 北师大版必修2
北师大版高中数学必修二陕西省扶风县第二章圆与圆的方程直线与圆的位置关系教案
第十一课时 直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法：设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
3、情态与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学方法：学导式 四、教学过程
五、教后反思：。
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案李浪（一）教学目标1．知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计 教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离的公式为|AB |=221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离的公式会是怎样呢你猜猜师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成 （2）空间中任一点P(x ，y ，z )到原点之间的距离公式会是怎样呢师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离先推导特殊情况下空间推导一般情况下的空间|OP |=222x y z ++.概念深化（3）如果|OP |是定长r ，那么x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2+y 2=r 2表示的图形中，方程x 2+y 2=r 2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x 2+y 2=r 2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P 1(x 1，y 1，z 1)到点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P 1P 2|=222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：1）A (2，3，5)，B (3，教师引导学生作答 1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M 的坐标是(0，培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理1，4)；2）A (6，0，1)，B (3，5，7)2．在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2)与点B (1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D ′A ′B′C ′的棱长为a ，|AN |=2|CN |，|BM |=2|MC ′|.求MN 的长.0，z ).依题意，得22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-.解得z =–3.所求点M 的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(42)(14)(93)7BC =-+-+-=， 222||(102)(14)(63)98AC =-+--+-=.因为7+7＞98，且|AB |=|BC |，所以△ABC 是等腰三角形.4．解：由已知，得点N 的坐标为2(,,0)33a a， 点M 的坐标为2(,,)33a a a ，于是解课外练习布置作业练习册学生独立完成巩固深化所学（1） 空间两点间的距离公式是什么（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么 （3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y =0或y =2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2已知点A （1，-2,11）B （4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。
北师大版高中数学必修2教案备课圆的标准方程
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)1.通过学习圆的标准方程，培养数学抽象素养.2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用培养数学运算素养.1．圆的标准方程圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2提示：确定圆的关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．2．点与圆的位置关系(1)中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为⎛⎪⎫x1＋x22，y1＋y22.(2)点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔d>r；点P在圆O上⇔d＝r；点P在圆O内⇔d<r.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3), 2 D．(2，－3), 2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.] 3．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.2[由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.]4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．[答案](x－3)2＋(y－4)2＝25直接法求圆的标准方程(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[解](1)由两点间距离公式得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.[跟进训练]1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．(2)以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________．(1)x2＋(y－1)2＝1(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝10[(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，即圆心坐标为(0,1)，而圆的半径不变，故所求圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，所以所求圆的半径r＝(－1)2＋32＝10，即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.又该圆过点(0,0)．故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.]点与圆的位置关系[思路探究]解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．[解]法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝(2－2)2＋[0－(－1)]2＝1，圆的半径r＝3，∴d＜r，∴点P在圆的内部．法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.,具体判断方法如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2时，点在圆内； ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上； ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2时，点在圆外. [跟进训练]2．(1)点M (a ，a ＋1)与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的关系是( ) A ．M 在C 外 B ．M 在C 上C ．M 在C 内D ．不确定与a 的取值有关(2)若点P (－2,4)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝m 的外部，则实数m 的取值范围为________．(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C (1,0)，|MC |＝(a －1)2＋(a ＋1)2＝2a 2＋2≥2＞1，故选A.(2)由于点P (－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m ，解得m ＜5.又方程表示圆，所以有m ＞0.因此实数m 的取值范围是0＜m ＜5.]用待定系数法求圆的标准方程1．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？提示：PQ 的方程为x ＋y －1＝0， PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .2．上述问题中，若圆C 的半径为1，请求出圆C 的方程． 提示：由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.【例3】 已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程．[思路探究] 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解．[解] 法一：直线AB 的斜率为k ＝3－1－1－3＝－12，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2. AB 中点的横坐标和纵坐标分别为 x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.又圆心在直线3x －y －2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，3x －y －2＝0，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以圆心坐标为C (2,4)．又半径r ＝|CA |＝10， 则所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，⎩⎨⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，r ＝10，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.1．本例中若把直线方程改为x －y ＝0，其它条件不变，试求圆的标准方程． [解] 因为所求圆圆心在直线x －y ＝0上，故设圆心坐标为(a ，a )， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2. 又∵圆过点A (3,1)，B (－1,3)．∴⎩⎨⎧ (3－a )2＋(1－a )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－a )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，r ＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.2．本例中，若将“圆心在3x －y －2＝0上”改为“圆心在y 轴上，”试求圆的标准方程．[解] 设AB 中点为M ，则M (1,2)，又k AB ＝3－1－1－3＝－12，∴线段AB 中垂线l 的斜率为k l ＝2，∴线段AB 中垂线l 的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ， 令x ＝0得y ＝0.∴圆心坐标为(0,0)，半径r ＝|OA |＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果．2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．1．思考辨析(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆． ( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )(3)若(x 0－a )2＋(y －b )2>r 2，则说明点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的外部．( ) (4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小．( )[解析] (1)×，不一定，当m ＝0时表示点(a ，b )，当m ≠0时，表示圆． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52A [设直径两端点为A (x,0)，B (0，y )， 则圆心(2，－3)为直径中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ＋02，－3＝0＋y2，即⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－6，∴A (4,0)，B (0，－6)， ∴r ＝12|AB |＝12×42＋62＝13， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.]3．若点P (－1, 3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝______. ±2 [∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.]4．△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．[解] 设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，①因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，∴它们的坐标都满足方程①.于是⎩⎨⎧(5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2，解此方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，r ＝5，∴△ABC 的外接圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.。
高中数学学案北师大版必修2 圆的标准方程 教案
教学设计2．1圆的标准方程整体设计教学分析作为一般曲线的典型例子，课本安排了本节“圆的标准方程”．圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用．今天学习圆的标准方程，由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”．为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来．教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．3．理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美．重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确．教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)情境一：如图1，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？图1如图2，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．情境二：课前准备：用淀粉在一张白纸上画上海和山．引入：说明最终在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳．要求其他学生在自己的脑海里也构出自己的太阳．图2课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评：其实每人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点)．然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程．从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹．那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？思路2.(直接导入)同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题圆的标准方程．推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2，－5)，B(6,9)，如何求它们之间的距离？若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离？②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图3中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图3④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么决定圆的条件是什么？⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程？⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？活动：学生回忆学过的知识，注意观察图形，教师引导，学生思考、交流，学生之间可以相互讨论，学生有困难教师及时提示点拨．①教师引导学生回顾两点之间的距离公式，要正确代入点的坐标．②学生回顾初中学习的圆的定义，教师提示利用集合观点加以解释．③观察图形，结合圆的定义说明．④通过问题③的观察，不难得出确定圆的条件．⑤1°建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示圆上任意点M的坐标，简称建系设点；2°写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)|}，简称写点集；3°用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0，简称列方程；4°化方程f(x，y)＝0为最简形式，简称化简方程；5°证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．⑥问题⑤完成后，说明方程形式的特点．讨论结果：①根据两点之间的距离公式d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，得|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(6－2)2＋(9－5)2＝212.同理，|CD|＝(x－3)2＋(y＋8)2.②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆)．③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|＝r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了．⑤确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P＝{M||MC|＝r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x－a)2＋(y－b)2＝r，将上式两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(*)若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程(*)，反之若点M的坐标满足方程(*)，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上．方程(*)就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程．⑥这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1.点(a，b)，r 分别表示圆心坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0,0)时，方程为x2＋y2＝r2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？②确定圆的方程的方法和步骤？③坐标平面内的点与圆有什么位置关系？如何判断？活动：学生观察圆的标准方程，指出其中的变量和常量，自己动手，画出圆，看点与圆有什么位置关系，教师可以提示引导．①从圆的标准方程中可以看出，确定圆的方程有两个要素，三个条件，两个要素即圆心和半径，三个条件是参数a，b，r且r＞0.只要两个要素或三个条件确定了，那么圆就确定了．②根据问题①我们知道，找到确定a，b，r的条件就可以了．③点与圆有什么位置关系，取决于点到圆心的距离和半径的大小关系．讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r且r＞0，这时圆的方程就被确定了，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．②确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．③点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的判断方法：当点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当点M(x0，y0)不在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点M的坐标不满足方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明：1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．应用示例思路1例1 求以C (4，－6)为圆心、半径等于3的圆的方程．解：将圆心C (4，－6)、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋6)2＝9.例2 已知两点M 1(4,9)和M 2(6,3)．求以M 1M 2为直径的圆的方程．解：根据已知条件，圆心C (a ，b )是M 1M 2的中点，那么它的坐标为a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6. 根据两点间距离公式，得圆的半径r ＝|CM 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10.因此，所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10.点评：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.例3 写出圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上．活动：学生阅读题目，分析探求，可以从计算点到圆心的距离入手，教师巡视指导，要求学生在黑板上板书，并说明自己解题的思维过程．先由圆心坐标和半径写出圆的方程，再探究点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系．解：圆心为A (2，－3)，半径长等于5的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，把点M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)分别代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25知道，M 1的坐标满足方程，所以M 1在圆上．M 2的坐标不满足方程，M 2不在圆上．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想．根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．例4 △ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．活动：教师引导学生从圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．另外可利用直线AB 与AC 垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳，提炼方法．解法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2.解此方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r ＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：线段AB 的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －6)，即x －2y －8＝0.① 同理，线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，－72，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y ＋72＝－13⎝⎛⎭⎫x －72，即x ＋3y ＋7＝0.② 解由①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(5－2)2＋(1＋3)2＝5.所以△ABC 的外接圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.点评：△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心，它是△ABC 三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路．例5 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．活动：学生阅读题目，分析条件，教师指导学生考虑问题的思路．(1)利用圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，只要能构造三个方程求出a ，b ，r 便可．(2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.解法一：设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将点A (1,1)和B (2，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2. 又圆心在l ：x －y ＋1＝0上，所以a －b ＋1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－2－b )2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.所以所求的圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，直线AB 的斜率为k AB ＝－2－12－1＝－3，故线段AB 的垂直平分线方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32， 即x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2. 因此圆心C 的坐标为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5，所以所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.点评：比较解法一与解法二，不难看出解法二直接明了，思路明确，易于理解，而解法一则笼统，较繁．圆的几何性质的运用使圆的方程的求解运算简单、方便、快捷，这也是解析几何中以形助数的精髓，在以后的解题中要注意应用．思路2例1 图4是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB ＝20 m ，拱高OP ＝4 m ，在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m)．图4解：建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意得P (0,4)，B (10，0)．设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为点P (0,4)和B (10,0)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 02＋(4－b )2＝r 2，102＋(0－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r 2＝14.52. 所以这个圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.设点P 2(－2，y 0)，由题意y 0＞0，代入圆方程得(－2)2＋(y 0＋10.5)2＝14.52，解得y 0＝14.52－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m.例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，且与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)的圆的方程． 活动：学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题．首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1.因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 即(a －1)2＋(b －0)2＝r ＋1，①由圆与直线x ＋3y ＝0相切于点(3，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，|a ＋3b |1＋(3)2＝r . ②③解①②③，得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6.故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.点评：一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的方程．解法一：因为圆心在直线y ＝x ＋2上，所以设圆心坐标为(a ，a ＋2)．则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2.因为点O (0,0)和P (1,3)在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝－14，r 2＝258.所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 解法二：由题意得圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，所以弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋3y －5＝0. 因为圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝74，即圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫－14，74. 又因为圆的半径r ＝|OC |＝⎝⎛⎭⎫－142＋⎝⎛⎭⎫742＝258， 所以所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 点评：圆的标准方程中有a ，b ，r 三个量，要求圆的标准方程即要求a ，b ，r 三个量，有时可用待定系数法．要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－2x 上且与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)；(2)圆心在点(2，－1)，且截直线y ＝x －1所得弦长为2 2.解：(1)设圆心坐标为(a ，－2a )，由题意知圆与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)，所以|a －2a －1|12＋12＝(a －2)2＋(－2a ＋1)2，解得a ＝1.所以所求圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.所以所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)，由题意知圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|12＋12＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r 2－d 2＝2，即r ＝2.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.点评：本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决．知能训练1．说出下列圆的圆心和半径：(1)(x －3)2＋(y －2)2＝5；(2)(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝7；(3)(x ＋2)2＋y 2＝4.2．写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心在点C (3,4)，半径是5；(3)经过点P (5,1)，圆心在点C (8，－3)；(4)圆心在点C (1,3)，并且和直线3x －4y －7＝0相切．解答：1.(1)圆心坐标是(3,2)，半径是5；(2)圆心坐标是(－4，－3)，半径是7；(3)圆心坐标是(－2,0)，半径是2.点评：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2．(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x －0)2＋(y －0)2＝32，即x 2＋y 2＝9.(2)由于圆心在点C (3,4)，半径是5，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝(5)2，即(x －3)2＋(y －4)2＝5.(3)方法一：圆的半径r ＝CP ＝(5－8)2＋(1＋3)2＝25＝5，因此，所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：设圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2，因为圆经过点P (5,1)，所以(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2，r 2＝25，因此所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.点评：这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定．(4)设圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝r 2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r ＝|3－12－7|25＝1625，因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25625. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．拓展提升求圆心在直线y ＝2x 上且与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0都相切的圆的方程． 活动：学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法．解：首先两平行线的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝2，所以半径为r ＝d 2＝1. 方法一：设与两直线3x ＋4y －7＝0和3x ＋4y ＋3＝0的距离相等的直线方程为3x ＋4y ＋k ＝0，由平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得|k ＋7|32＋42＝|k －3|42＋32，即k ＝－2，所以直线方程为3x ＋4y －2＝0.解3x ＋4y －2＝0与y ＝2x 组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝211，y ＝411.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径为r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 方法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －7＝0，y ＝2x 与⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＋3＝0，y ＝2x ，得⎩⎨⎧ y ＝1411，x ＝711和⎩⎨⎧ y ＝－611，x ＝－311.因此圆心坐标为⎝⎛⎭⎫211，411.又半径r ＝1，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2112＋⎝⎛⎭⎫y －4112＝1. 点评：要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理． 课堂小结①圆的标准方程．②点与圆的位置关系的判断方法．③根据已知条件求圆的标准方程的方法．④利用圆的平面几何的知识构建方程．⑤直径端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 作业习题2—2 A 组第1题．设计感想圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此本节布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点．利用圆的标准方程由浅入深地解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生应用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．备课资料备用习题1．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1分析：圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直线y ＝－x 对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数，由圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，知对称的圆心为(0，－1)．答案：C2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9分析：r ＝|3×2－4×(－1)＋5|32＋42＝3. 答案：C3．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________．分析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.由已知可得|5＋a |13＝1 |5＋a |＝13，所以a 的值为－18或8. 答案：－18或84．已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．分析：由已知得圆心为P (2,0)，由点到直线距离公式，得d ＝|2－0－1|1＋1＝22. 答案：22(设计者：国建群)。
两点之间距离公式教案
两点之间距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解两点之间距离公式的含义和应用。
2. 让学生掌握两点之间距离公式的推导过程。
3. 培养学生运用两点之间距离公式解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 两点之间距离公式的定义及表达式。
2. 两点之间距离公式的推导过程。
3. 两点之间距离公式的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：两点之间距离公式的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2. 使用多媒体辅助教学，直观展示两点之间距离公式的推导过程。
3. 实例教学，让学生在实际问题中运用两点之间距离公式。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考两点之间距离的意义。
2. 讲解两点之间距离公式：介绍两点之间距离公式的定义、表达式及推导过程。
3. 互动环节：学生分组讨论，探讨如何运用两点之间距离公式解决实际问题。
4. 实例分析：教师展示几个实例，引导学生运用两点之间距离公式进行解答。
六、课后作业：1. 复习两点之间距离公式的推导过程及表达式。
2. 运用两点之间距离公式解决几个实际问题。
3. 思考如何将两点之间距离公式应用到其他学科或生活中。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 学生反馈：收集学生对教学过程和内容的意见和建议，不断优化教学方法。
八、教学资源：1. 多媒体课件：展示两点之间距离公式的推导过程及应用实例。
2. 实例素材：提供几个实际问题，供学生探讨和解答。
3. 课后作业：布置具有代表性的作业，帮助学生巩固知识点。
九、教学进度安排：1. 第一课时：介绍两点之间距离公式的定义及表达式。
2. 第二课时：讲解两点之间距离公式的推导过程。
3. 第三课时：探讨两点之间距离公式的应用实例。
4. 第四课时：学生分组讨论，解决实际问题。
高中数学学案北师大版必修2 空间两点间的距离公式 教案
教学设计3．3空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是学生已学的知识，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离；从平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆，推广到空间直角坐标系中的方程x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面，学生是不难接受的，这不仅不增加学生负担，还会提高学生学习的兴趣．三维目标1．掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题．2．通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法．3．通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．思路2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.同学们想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x，y，z)是空间任意一点，它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的依据.④同学们想，在空间直角坐标系中，你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示什么图形？在空间中方程x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．教师引导学生考虑解决问题的思路，要全面考虑，大胆猜想，发散思维．①学生回忆学过的数学知识，回想当时的推导过程．②解决这一问题，可以采取转化的方法，转化成我们学习的立体几何知识来解．③首先考虑问题的实际意义，直接度量，显然是不可以的，我们可以转化为立体几何的方法，也就是求长方体的对角线长．④回顾平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，可类比猜想相应的公式．⑤学生回忆刚刚学过的知识，大胆类比和猜想．⑥利用③的道理，结合空间直角坐标系和立体几何知识，进行推导．讨论结果：①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，它是利用直角三角形和勾股定理来推导的．②如图1，设A(x，y，z)是空间任意一点，过A作AB⊥xOy平面，垂足为B，过B分别作BD⊥x轴，BE⊥y轴，垂足分别为D，E.根据坐标的含义知，AB＝z，BD＝x，BE＝OD ＝y，由于△ABO、△BOD是直角三角形，所以BO2＝BD2＋OD2，AO2＝AB2＋BO2＝AB2＋BD2＋OD2＝z2＋x2＋y2，因此A到原点的距离是d＝x2＋y2＋z2.图1③利用求长方体的对角线长的方法，分别量出这块砖的三条棱长，然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算．④由于平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，是同名坐标的差的平方的和再开方，所以我们猜想，空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，即在原来的基础上，加上纵坐标差的平方．⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆；在空间x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面．后者正是前者的推广．图2⑥如图2，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，我们来计算这两点之间的距离．我们分别过P1P2作xOy平面的垂线，垂足是M，N，则M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)，于是可以求出|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.再过点P1作P1H⊥P2N，垂足为H，则|MP1|＝|z1|，|NP2|＝|z2|，所以|HP2|＝|z2－z1|.在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.因此空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.于是空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根．应用示例思路1例1 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即(x－4)2＋12＋22＝30，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．例2 在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝(x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2＝2(x－1)2＋51.所以|MN|min＝51.变式训练在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意得|MA|＝|MB|，(0－1)2＋(0－0)2＋(z－2)2＝(0－1)2＋(0＋3)2＋(z－1)2，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3).例3 △ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．活动：学生先思考或交流，然后解答，教师及时提示引导，要判定△ABC 是一直角三角形，只需求出|AB |，|BC |，|CA |的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，C (0,0，－5)，所以|AB |＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，|BC |＝(0＋1)2＋(0＋1)2＋(－5＋1)2＝32，|CA |＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.又因为|AB |2＋|CA |2＝|BC |2，所以△ABC 是直角三角形．思路2例1 已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则|AB |的最小值为( )A ．0 B.357 C.57 D.87活动：学生阅读题目，思考解决问题的方法，教师提示，要求|AB |的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB |，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB |的最小值．分析：|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57≥357. 当x ＝87时，|AB |的最小值为357. 答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法． 例2 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，平面ABCD 和平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长．(2)当a 为何值时，MN 的长最短？并求出|MN |的最小值．活动：学生思考或讨论，师生共同探讨解题方法，此题的求解方法很多，但利用坐标法求解既简单，又易行，我们必须建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN 的长，求|MN |的最小值，我们可构建关于a 的函数，利用函数的最值来解决．解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABC .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，分别以射线BA ，BE ，BC 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B —xyz ，如图3.图3(1)∵正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，CM ＝BN ＝a ，∴M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.由空间两点间的距离公式得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1. (2)由本题(1)可知|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，其中0＜a ＜2，所以，当a ＝22时，|MN |最短，|MN |的最小值为22.此时，M ，N 恰为AC ，BF 的中点． 点评：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解．在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值.知能训练已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．活动：学生审题，教师引导学生分析解题思路，已知的两点A ，B 都是空间直角坐标系中的点，我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可．知识本身不难，但是我们计算的时候必须认真，决不能因为粗心导致结果错误．解：(1)设M (x ，y ，z )是线段AB 的中点，则根据中点坐标公式得⎝⎛⎭⎫2，32，3. 根据两点间距离公式得|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. 所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ，y ，z )到A ，B 的距离相等，所以有下面等式：(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2.化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0.因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广，而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．②到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面．拓展提升已知三棱锥P —ABC ，P A ⊥平面ABC ，在某个空间直角坐标系中，B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，P (0,0,2n )．(1)画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角；(2)若M 为BC 的中点，n ＝32m ，求直线AM 与PM 所成锐角． 解：(1)根据已知条件，画空间直角坐标系如图4.图4以射线AC 为y 轴正方向，射线AP 为z 轴正方向，A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，过点B 作BE ⊥Ox ，垂足为E ，则因为B (3m ，m,0)，所以E (3m,0,0)，在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，|AE |＝3m ，|EB |＝m ，∴tan ∠BAE ＝|EB ||AE |＝m 3m ＝33.∴∠BAE ＝30°， 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.(2)连接AM 和PM ，∵M (x ，y ，z )为BC 的中点，且B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，由中点坐标公式可得x ＝3m ＋02＝3m 2，y ＝m ＋2m 2＝3m 2，z ＝0＋02＝0，∴M ⎝⎛⎭⎫3m 2，3m 2，0. ∵A (0,0,0)，∴由两点间的距离公式得|AM |＝⎝⎛⎭⎫3m 22＋⎝⎛⎭⎫3m 22＋02＝3m . ∵P (0,0,2n )且n ＝32m ，∴P (0,0，3m )． ∴|OP |＝3m ，故|OP |＝|AM |.∵∠P AM ＝90°，∴∠PMA ＝45°，即直线AM 与PM 所成锐角为45°.课堂小结1．空间两点间的距离公式的推导与理解．2．空间两点间的距离公式的应用．3．建立适当的空间直角坐标系，综合利用两点间的距离公式．作业习题2－3 A 组第6,7题．设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离．为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣．本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．备课资料备用习题1．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ，q 的值分别为( )A ．3,2B ．2,3C ．－3,2D ．3，－2分析：由已知A ，B ，C 三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p ，q 的值，即有2－1p －2＝4－53－4＝1－(－2)q ＋2－1，从而解得p ＝3，q ＝2. 答案：A2．已知正方体不在同一平面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是( )A ．16B ．192C ．64D ．48分析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A ，B 为不在同一平面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(3＋1)2＝43，∴正方体的棱长为33|AB |＝4. ∴正方体的体积是43＝64.答案：C3．求点(a ，b ，c )关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点对称的点的坐标．活动：本题是要考查我们空间点的坐标的特征、对称性和空间的想象能力．我们结合图形求解问题会更简单明了．解：(1)点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点为(a ，b ，－c )；关于zOx 平面对称的点为(a ，－b ，c )；关于yOz 平面对称的点为(－a ，b ，c )．(2)点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点为(a ，－b ，－c )；关于y 轴对称的点为(－a ，b ，－c )；关于z轴对称的点为(－a，－b，c)．(3)点(a，b，c)关于坐标原点对称的点的坐标为(－a，－b，－c)．点评：对于求解有关点的对称性的问题，我们一定要结合图形理解记忆．(设计者：邓新国)。
两点之间距离公式教案
两点之间距离公式教案第一章：导入教学目标：1. 引起学生对两点之间距离公式的兴趣。
2. 学生能够理解实际生活中的两点之间距离的概念。
教学内容：1. 利用实际生活中的例子，如地图上的两点距离、人与人之间的距离等，引出两点之间距离的概念。
2. 引导学生思考如何计算两点之间的距离。
教学活动：1. 教师展示一些实际生活中的图片，如地图、两个人之间的距离等，引导学生关注两点之间的距离。
2. 学生分享他们对两点之间距离的理解和计算方法。
教学评估：1. 观察学生对实际生活中两点距离的理解程度。
2. 记录学生的计算方法和思路。
第二章：两点之间距离公式的推导教学目标：1. 学生能够理解并记忆两点之间距离公式。
2. 学生能够运用两点之间距离公式进行计算。
教学内容：1. 通过图形和几何推理，引导学生推导出两点之间距离公式。
2. 解释两点之间距离公式的含义和运用方法。
教学活动：1. 教师通过图形和几何推理，引导学生推导出两点之间距离公式。
2. 学生跟随教师的讲解，理解并记忆两点之间距离公式。
教学评估：1. 观察学生对两点之间距离公式的理解和记忆程度。
2. 让学生进行一些相关的计算练习，检查他们是否能够正确运用两点之间距离公式。
第三章：应用两点之间距离公式教学目标：1. 学生能够运用两点之间距离公式解决实际问题。
2. 学生能够理解并运用两点之间距离公式进行测量和计算。
教学内容：1. 通过实际问题，引导学生运用两点之间距离公式进行计算。
2. 解释如何利用测量工具和两点之间距离公式进行实际距离的测量。
教学活动：1. 教师提出一些实际问题，如地图上的两点距离、两个人之间的距离等，引导学生运用两点之间距离公式进行计算。
2. 学生通过测量工具和两点之间距离公式进行实际距离的测量。
教学评估：1. 观察学生对实际问题中两点之间距离公式的运用程度。
2. 检查学生的测量结果和计算准确性。
第四章：扩展学习教学目标：1. 学生能够理解并运用更高级的数学方法解决两点之间距离问题。
高中数学北师大版必修2 2.3 教学设计 《空间两点间的距离公式》(北师大版)
《空间两点间的距离公式》本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。
【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。
【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。
(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长.注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
（2）两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离（）（）（）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
（①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；（②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解空间两点间的距离公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 培养学生运用空间两点间的距离公式解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间两点间的距离公式的定义和表达式。
2. 空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 空间两点间的距离公式的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程，应用实例。
2. 教学难点：空间两点间的距离公式的推导过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 利用几何模型和实物模型，帮助学生形象直观地理解空间两点间的距离公式。
3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固空间两点间的距离公式的应用。
五、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引入空间两点间的距离公式的概念。
2. 新课：讲解空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程。
3. 应用：提供一些实际问题，让学生运用空间两点间的距离公式进行解决。
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固空间两点间的距离公式的应用。
5. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。
6. 作业：布置一些作业题，让学生进一步巩固空间两点间的距离公式的应用。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对空间两点间距离公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些针对性强的练习题，评估学生对空间两点间距离公式的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中解决问题的能力。
七、教学资源：1. 几何模型：使用三维几何模型，帮助学生直观理解空间两点间的距离。
2. 教学软件：利用多媒体教学软件，展示空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，供学生课后巩固所学知识。
八、教学拓展：1. 空间几何其他知识点：引导学生探索空间几何其他知识点，如空间角度、立体几何等。
高中数学 第2章《解析几何初步》3空间两点间的距离公式导学案 北师大版必修2(1)
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《解析几何初步》3空间两点间的距
离公式导学案北师大版必修2
学习目标
1、理解、记忆两点间的距离公式；
2、掌握由特殊到一般的公式推导方法，能利用公式求空间两点间的距离.
学习重点记忆并能运用公式.
学习难点公式的运用.
使用说明
1.根据学习目标，课前认真阅读课本第90页到第92页内容，完成预习引导的全部内容.
2.在课堂上（最好在课前完成讨论）发挥高效学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.
2、在z轴上，求与点(-4,1,7)距离为33的点的坐标.
二、合作探究
3、点M（2,0,3）到x轴的距离为；到y轴的距离为；到z轴的距离为 .
4、在x轴上求一点，使它到点A(4,5,6)与到点B(-5,0,10)的距离相等.
5、已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点，
求证：三角形ABC 为直角三角形.
6、如图，长方体OABC-D′A′B ’C′中，已知|AB|=4，
|BC|=2，|AA ’|=3
，用空间两点间的距离公式 分别求：线段BO 、BD ’、A ’C 的长.
三、课 堂 检 测
z y
x A B
C
O C ’
A ’
B ’ D ’。
高中数学第二章.2圆与圆的方程学案北师大版必修569
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
解析：由圆 C 的方程知圆心 C 的坐标为 C(2，－ 1)，再由点到直线的距离公式得： d＝
|4 × 2＋ 3× －1 － 12| 7
42＋ 32
＝. 5
7 答案：
5
5．圆心在 y 轴上，半径为 5，且过坐标原点的圆的标准方程为 解析：由题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝ 25. 则将 (0,0)坐标代入，得 b2＝ 25，∴ b＝± 5. ∴所求圆的方程为 x2＋ (y＋ 5)2＝ 25 或 x2＋ (y－ 5)2＝ 25. 答案： x2＋ (y＋ 5)2＝25 或 x2＋ (y－ 5)2＝25
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
第 1 课时 圆的标准方程
[核心必知 ]
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹 )是圆，定点就是圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程 (1)圆心为 (a， b)，半径是 r，圆的标准方程是 (x－ a)2＋(y－b)2＝r 2. (2)当圆心在原点时，圆的方程为 x2＋ y2＝ r2.
已知实数 x， y 满足 (x－ 2)2＋ y2＝ 3，求 x2＋ y2 的最大值和最小值． [巧思 ] x2＋y2 可以看成圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 3 上的点到原点的距离的平方． [妙解 ] 方程 (x－ 2)2＋y2＝ 3 表示以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆， x2＋ y2 表示圆上的点到 原点距离的平方， 由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和 最小值， 又圆心到原点的距离为 2，半径为 3， 故 (x2＋ y2)max＝ (2＋ 3)2＝ 7＋ 4 3. (x2＋ y2)min ＝ (2－ 3)2＝ 7－ 4 3.
2017-2018学年高中数学北师大2教学案：第二章2圆与圆的方程含解析
圆与圆的方程2．1 圆的标准方程预习课本P80~81，思考并完成以下问题（1）圆的定义是怎样的？一个圆由哪些因素确定？(2)圆的标准方程是什么？若求一个圆的标准方程，需要确定什么?错误!1．圆的标准方程（1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点称为圆心，定长称为圆的半径．（2）圆的标准方程：圆心为C（a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a）2＋（y－b）2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以（0,0）为圆心，r为半径的圆．[点睛] 圆的标准方程中参数a,b，r的作用圆的标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2中，有三个参数a,b，r，其中（a,b）为圆心,r为半径．(1）圆心（a，b)在确定圆时起到定位作用，即影响圆的位置．（2）半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小．2．中点坐标公式A（x1，y1），B（x2，y2)的中点坐标为错误!。
错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心与半径．( ）(2）若点M(1,1)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2（r＞0)的外部，则(1－a）2＋（1－b)2＞r2。
（）(3）A（a,0）,B(0，b)的中点坐标为错误!.( ）答案：（1)√(2）√(3）√2．圆(x－2)2＋（y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3)，1 B．(2，－3），3C．(－2,3), 错误!D．（2，－3），错误!答案：D3．以点（2，－1)为圆心，以错误!为半径的圆的标准方程是（) A．（x＋2)2＋(y－1）2＝ 2 B．（x＋2）2＋（y－1）2＝2C．（x－2）2＋（y＋1)2＝2 D．（x－2）2＋（y＋1)2＝2答案:C4．点P(m,5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是( ）A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．不确定答案：C求圆的标准方程[典例］A B且圆心在直线x ＋y－2＝0上的圆的方程．［解］［法一待定系数法]设所求圆的标准方程为(x－a）2＋（y－b)2＝r2，由已知条件知错误!解此方程组，得错误!故所求圆的标准方程为（x－1）2＋(y－1)2＝4。
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第十五课时 空间两点间的距离公式
一、教学目标：通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 二、教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
三、教学方法：学导式 四、教学过程
由平面上两点间的距离公式，引
入空间两点距离公式的猜想 先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式 问题
问题设计意图 师生活动
在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB |=2
212
21)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 通过类比，充分发挥学生的联想能力。
师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
从特殊的情况入手，化解难度
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完
五、教后反思：
O y
z
x
P(x,y,z)
B(x,y,0)
A
[1]
成
学生：在教师的指导下作答
得出222z y x OP ++=
问题 问题设计意图 师生活动
（3）如果
OP 是定长r,那么2
2
2
2
r z y x =++表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程2
2
2
r y x =+表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
师：注意引导类比平面
直角坐标系中，方程
222r y x =+表示的
图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？
O y
z
x
M
P 1
P 2
N
M 1N 2N 1M 2H [2
]
人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得
出
结
论
：
2
2122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=。