云南省曲靖市沾益四中2021届高三数学上学期周测试题 文(重点班)

云南省曲靖市沾益四中2021届高三数学上学期周测试题（重点班）文本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R,集合{}1log |2<=x x A ，，则（ ）A ．()-1,1B ．()-1,2C ．()0,1D ．()0,22．已知复数2)1(1i iz +-=，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在一项由“一带一路”沿线20国青年参与的评选中，“高铁”、“支付宝”、 “共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”．曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查，于开学进行交流报告会，四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不．相邻的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．124．已知数列{a n }满足)(112*+++∈-=-N n a a a a n n n n ，且a 5＝10， a 7＝14，则=-20192020a a （ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣15．若a ，b 是不同的直线．α，β是不同的平面，则下列四个命题:①若a ∥α，b ∥β，a ⊥b ，则α⊥β;②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β;③若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β;④若a ∥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α∥β．正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．根据最小二乘法由一组样本点（x i ，y i ）（其中i ＝1，2，…，300）求得的回归方程是y b x a ∧∧∧=+，则下列说法正确的是（ ）A ．至少有一个样本点落在回归直线y b x a ∧∧∧=+上B ．若所有样本点都在回归直线y b x a ∧∧∧=+上，则变量间的相关系数为1 C ．对所有的解释变量x i （i ＝1，2，…，300），i +b x a ∧∧的值一定与y i 有误差 D ．若回归直线 y b x a ∧∧∧=+的斜率b ∧＞0，则变量x 与y 正相关7．若抛物线y 2＝2p x 的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝-16xB ．y 2＝-8xC ．y 2＝16x D ．y 2＝8x8．某程序框图如图所示，其中，若输出的20202019=S ，则判断框内应填入的条件为（ ）A ．n ＜2021？B ．n≤2021？C ．n ＞2021？D ．n≥2021？9．已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，P 满足AC ＝BC ＝，AB =2，若四面体PABC 体积的最大值为，则球O 的表面积为（ ） A ．B ．C ．π D ．8π10．已知函数)(x f 对任意不相等的实数21,x x 都满足0))()()((2121>--x f x f x x ，若)2(ln ),)21((),2(8.02.1f c f b f a ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a11．若双曲线的一条渐近线被曲线02422=+-+x y x 所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．332C ．5D ．55212．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想Fn ＝+1（n ＝0，1，2…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5=641*6700417,不是质数．现设a n ＝log 2（F n ﹣1），（n ＝1，2，…），S n 表示数列{a n }的前n 项和，则使不等式20202n <成立的最小正整数n 的值是（提示1024210=）（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若点),(y x M 满足不等式122≤+y x ，则2x +y 的最大值是________． 14．如图，在平行四边形OACB 中，E ，F 分别为AC 和BC 上的点，且1,2AE EC BF BC ==，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m +n 的值为________．15. 若函数f (x )满足f (2-x )=－2－f (x )，且y =f (x )的图象与12--=x xy 的图象共有m 个不同的交点),(i i y x ，则所有交点的横、纵坐标之和=+∑=)(1imi iy x ________．16. 已知实数0>>>c b a ，若不等式011≥-+-+-ac k c b b a 恒成立，则k 的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给此次活动打分（分数为整数，满分为 100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组，并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题： （l ）算出第三组[60，70）的频数，并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）.18.（本小题满分12分）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ．已知A C B sin 2sin sin =+,且a b 43=．（1）求cosB 的值； （2）若)62sin()(π+=x x f ，求)(B f 的值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 的三视图中，俯视图为边长为1的正方形，正视图与侧视图均为直角边长等于1的等腰直角三角形，M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，交SC 于点N ． （1）求证：SC ⊥AM ； （2）求△AMN 的面积．20．（本小题满分12分）已知函数R a x x x ax x a x f ∈+-+-=,ln 2)(2． （1）讨论函数)(x f 的导函数)(x g 的单调性；（2）若函数)(x f 在x ＝1处取得极大值，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知R为圆x2+y2＝1上的一动点，R在x轴，y轴上的射影分别为点S,T，动点P满足TS SP=，记动点P的轨迹为曲线C，曲线C与x轴交于A,B两点．（1）求曲线C的方程；（2）已知直线AP，BP分别交直线:4l x=于点M，N，曲线C在点P处的切线与线段MN 交于点Q，求MQNQ的值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］在极坐标系下，方程θρ2sin2=的图形为如图所示的“幸运四叶草” 又称为玫瑰线．（1）当玫瑰线的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（2）求曲线)4sin(22πθρ+=上的点M与玫瑰线上的点N的距离的最小值及取得最小值时的点M、N的极坐标（不必写详细解题过程）．23．（本小题满分10分）［选修4-5：不等式选讲］若关于x的不等式nmx≤+的解集为[－6,2]．（1）求实数m，n的值；（2）若实数y，z满足11,33my z y nz+<-<，求证：91<z．2021届四省名校高三第一次大联考文数参考答案及评分细则一、选择题1．C 【解析】由1log 2<x ，得20<<x ，由1,1,12≥-≤≥x x x 或得，所以{}R B=|11,C x x -<<所以{}|01R A C B x x =<<，故选C.2．B 【解析】由题得，21111222(1)i i z ii i --===--+，所以i z 2121+-=，它在复平面内所对应的点在第二象限.故选B.3．D 【解析】将支付宝小组，网购小组，高铁小组，共享单车小组分别记为1212A AB B ，，，,则四个小组随机排序的所有情况有：()1212,,,A A B B ,()()()122121122121,,,,,,,,,A A B B A A B B A A B B ，，,()()()()()()112212212112221111221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B B A A B B A A B ，，，，，，()()()()()()(212122111122121221212211121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B A A B B A A B A B B A A B B A A B B A A B B A B B A ，，，，，，()()()()()()(122121122121112212212112221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B B A A B B A A B B A A B A B A B A B A B A B A B A B ，，，，，，共24种，其中支付宝小组与网购小组不相邻的有12种，所以所求概率为12.故选D.4．A 【解析】由题意可知，数列{a n }为等差数列，故设数列{a n }的公差为d ，则a 7﹣a 5＝4＝2d ，∴=-20192020a a d ＝2.故选A ．5．B 【解析】命题①中α与β还有可能平行或相交；命题②中α与β还有可能相交；命题④中α与β还有可能相交；∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又b ⊥β，∴α∥β，故命题③正确.故选B ．6．D 【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A 错误；所有样本点都在回归直线y b x a ∧∧∧=+上，则变量间的相关系数为±1，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线y b x a ∧∧∧=+上，则i +b x a ∧∧的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与b符号相同，若回归直线y b x a ∧∧∧=+的斜率b ＞0，则r ＞0，样本点应分布从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确.故选D ．7．C 【解析】∵抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝2p-，垂直于x 轴，而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4-=x ，则，即p ＝8．故抛物线方程为y 2＝16x ．故选C ．8．A 【解析】由S=++…+=111...1223(1)n n +++⨯⨯+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣==20202019，解得n=2021，所以当n 的值为2021时，满足判断框内的条件，当n 的值为2021时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值．故结合选项，判断框内应填入的条件为n ＜2021？.故选A ．9．A 【解析】当平面ABP 与平面ABC 垂直时，四面体ABCP 的体积最大， 由AC ＝BC ＝，AB =2,所以∠ACB ＝90°，设点P 到平面ABC 的距离为h ，则32222131=⨯⨯⨯⨯h ， 解得h ＝2.设四面体ABCP 外接球的半径为R ，则R 2＝（2﹣R ）2+12，解得R ＝． 所以球O 的表面积为．故选A ．10．B 【解析】由题得，21．2＞2＞（）﹣0．8＝20．8＞1＞ln 2，又由0))()()((2121>--x f x f x x ,可知函数)(x f 为单调递增函数，故a ＞b ＞c .故选B.11．B 【解析】双曲线的渐近线方程为y ＝，由对称性，不妨取y ＝，即bx ﹣ay ＝0．又曲线02422=+-+x y x 化为2)2(22=+-y x ，则其圆心的坐标为（2，0），半径为.由题得，圆心到直线的距离d ＝，又由点到直线的距离公式，可得10222==+-d ab b ，解得3122=a b ，33212222222=+=+==a b a b a a c e ．故选B ． 12．C 【解析】把F n ＝+1代入a n ＝log 2（F n ﹣1），得a n ＝＝2n，故，则，则不等式＝20202n<成立，代入计算可得 当不等式成立时，n 的最小值为9．故选C ． 二、填空题 13．【解析】设z ＝2x +y ，变形为y ＝﹣2x +z ，可知当直线y ＝﹣2x +z 与圆122=+y x 在第一象限相切时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大，此时，即z ＝，所以2x +y 的最大值为.14．43【解析】因为＝＝，＝＝，所以＝，＝， 又＝＝＝，所以m ＝n ＝，故m +n ＝.15.0【解析】因为f(x)满足f(2-x)=－2－f(x)，所以y=f(x)的图象关于点)1,1(-对称，而11112--=--=x x x y 的图象也关于点)1,1(-对称，所以所有交点也关于点)1,1(-对称，从而所有交点的横坐标之和等于m,所有交点的纵坐标之和等于－m ．故所有交点的横、纵坐标之和等于0．16．4【解析】因为0>>>c b a ，由不等式011≥-+-+-ac k c b b a ，可得c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a k --+-+--+-=--+--≤c b ba b a c b --++--+=11 而2≥--+--cb b a b ac b （当且仅当b-c=a-b 时取等号），所以k 的最大值是4． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10（0．005+0．015+0．030+0．025+0．010）＝0．15，……………………………（3分）所以第三组[60，70）的频数为120×0．15＝18（人）．……………………………（4分）完整的频率分布直方图如图．……………………………………………………………（6分）（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，所以从图中可看出众数的估计值为75分．………………………………………………………（8分）又根据频率分布直方图，知样本的平均数的估计值为：45×（10×0．005）+55×（10×0．015）+65×（10×0．015）+75×（10×0．03）+85×（10×0．025）+95×（10×0．01）＝73．5（分）．………………（11分）所以，样本的众数为75分，平均数为73．5分．……………………………（12分）18解：（1）在ABC中，由正弦定理及ACB sin2sinsin=+，得acb2=+．又因为ab43=，得到43b a=，23c a=．………………（3分）由余弦定理，可得222222416199cos22423a a aa c bBac a a+-+-===-⋅⋅．………………（6分）（2）由（1）可得215sin1cos4B B=-=，……………（7分）从而15sin22sin cos8B B B==-，227cos2cos sin8B B B=-=-，………（9分）故=)(Bf．……（12分）19．解:（1）由四棱锥S-ABCD的三视图，可知底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD ＝1，…（1分）又CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD…………………………………………（2分）∵AM⊂平面SAD，∴CD⊥AM，………………………………………………………（3分）又SA＝AD＝1，M是SD的中点，∴AM⊥SD，……………………………（4分）∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD，…………………………………………………（5分）∵SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．………………………………………………………（6分）（2）∵M是SD的中点，∴V S﹣ACM＝V D﹣ACM＝V M﹣ADC，……………………………（7分）∴………………………………………………（8分）∵AN⊥SC，AM⊥SC，AN∩AM＝A，∴SC⊥平面AMN，……………………………………（10分）∴，…（11分）∵SC＝，∴△AMN的面积S△AMN＝＝．……………………………（12分）20．解：（1）∵'f（x）＝lnx﹣ax+a，∴g（x）＝lnx﹣ax+a，…………………………………………………………………（1分）∵…………………………………………………（2分），①当a≤0时，g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；………………（3分）②当a＞0时，若，则g'（x）＞0，若，则g'（x）＜0，∴函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减.………………(5分）（2）∵g（1）＝0，∴'f（1）＝0，①由（1）知，当a≤0时，'f（x）在（0，+∞）上单调递增，若x∈（0，1），则'f（x）＜0，若x∈（1，+∞），则'f（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意；………………………………………（6分）②当a＝1时，'f（x）在（0，1）上单调递增，'f（x）在（1，+∞）上是单调递减，∴'f（x）≤'f（1）＝0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）无极值，不合题意．……………………………………………………………（7分）③当0＜a＜1时，，由（1）知，'f（x）在上单调递增，∵'f（1）＝0，∴若x∈（0，1），则'f（x）＜0，若，则'f（x）＞0，∴f（x）在x＝1处取得极小值，不合题意．…………………………………………（9分）④当a＞1时，，由（1）知，'f（x）在上单调递减，∵'f（1）＝0，∴若，则'f （x ）＞0，若x ∈（1，+∞），则'f （x ）＜0， ∴f （x ）在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f （x ）在x ＝1处取得极大值，符合题意．…………………………………………（11分）综上所述：a 的取值范围是（1，+∞）．…………………………………………………………（12分）21．解：（1）设R （x 1，y 2），P （x ，y ），则22111x y +=，又R 在x 轴，y 轴上的射影分别为点S,T,所以11(,0),(0,)S x T y ．由TS SP =，得11,2x x y y⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入22111x y +=，得，故曲线C 的方程为. .............................4分(2)设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ··············· 5分不妨设直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标为0062M y y x =+；..... ·································· 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 的纵坐标为0022N yy x =-. 7分 设曲线C 在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()002244y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ·· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理，得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，9分 所以曲线C 在点P 处的切线方程为()00004x y y x x y -=--．令4x =，得点Q 的纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===． ·································· 10分 设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ， 所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ． 将220014x y =-代入上式，得002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQ NQ=． ······················· 12分22解：（1）联立以极点为圆心的单位圆1=ρ与θρ2sin 2=，得12sin 2=θ，所以212sin =θ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，所以12512ππθ或=， 从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛12,1π，⎪⎭⎫ ⎝⎛125,1π .................. 5分 （2） 曲线)4sin(22πθρ+=的直角坐标方程为4=+y x ，玫瑰线θρ2sin 2=极径的最大值为2，且可于点N 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭取得， 连接O,N 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭与4=+y x 垂直且交于点M ⎪⎭⎫⎝⎛4,22π． 所以点M 与点N 的距离的最小值222-,...............................8分 此时对应的点M,N 的极坐标分别为M ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π,2,4π⎛⎫⎪⎝⎭......................10分 23．解：（1）由n m x ≤+，得n x m n -≤+≤，即n m x n m --≤≤-，则⎩⎨⎧=--=--26m n m n 解得⎩⎨⎧==42n m ...................5分（2）由（1）可知，112,433y z y z +<-<， 又因为9|||(2)2(4)||2|2|4|z y z y z y z y z =+--≤++-31231⨯+<， 所以91<z ．..............................10分。