自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
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自动控制原理第7章_非线性控制系统
7.2 相平面法
1. 基本概念 2. 相平面图的绘制 3. 线性系统的相轨迹 4. 非线性系统的相平面分析
7.2 相平面法
1. 基本概念 相平面法是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 1) 相平面图 f ( x, x ) 0 x 二阶系统的数学描述 ，得下列一阶微分方程组 设x1=x，x2= x
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的
系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系 统也可以理解为不满足叠加原理的系统。
7.1 概述
2. 典型的非线性特性
1) 饱和特性
2) 死区特性
3) 间隙特性(滞环特性)
4) 变放大系数特性
5) 继电器特性
7.1 概述
1) 饱和特性
x(t) k 0 a e(t)
数学表达式
ke(t ) x(t ) ka signe(t )
1 signe(t ) 1 不定
e(t ) a e(t ) a
-a
符号函数(开关函数)
e(t ) 0 e(t ) 0 e(t ) 0
图 7.2 饱和特性
a – 线性域宽度 k – 线性域斜率
(d)半稳定极限环
(a) 可通过实验观察到。设计时应尽量减少极限环 的大小，以满足系统的稳态误差要求。
(b) 不能通过实验观察到。设计时应尽量增大极限 环的大小，以扩大系统的稳定域。
(c)、(d)不能通过实验观察到。(c)不稳定。(d)稳 定，但过渡过程时间将由于极限环的存在而增加。
7.2 相平面法
单输入-单输出的线性定常系 统
现代控制理论（20世纪50 年代后）
可以是比较复杂的系统
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
中职教育-《自动控制原理》课件：第7章 非线性控制系统分析(4)电子工业出版.ppt
➢ 非线性系统的稳定性与系统输入信号及初始状态有关。 因此，对非线性系统不能笼统地说稳定与不稳定，而 必须指明稳定的范围。
➢ 相平面法是一种图解方法，仅适用于二阶或一阶系统。 相平面分析法研究非线性系统的基本思想是：对于二 阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然 后通过相轨迹来研究系统的运动。如：分析极限环邻 近相轨迹的运动特点，将极限环分为稳定、不稳定、 半稳定极限环。
由此可知，系统产生自持振荡时的振荡频 率和幅
值X分别为：1.01和1.557。
本章小结
➢ 非线性系统瞬态响应曲线的形状却与输 入信号大小、初始条件有密切的关系。非 线性系统的稳定性，除了和系统结构、参 数有关外，还与初始状态及输入信号大小 有密切关系。在非线性系统中，除了稳定 和不稳定运动形式外，还有一个重要特征 就是系统有可能发生自持振荡。因此，非 线性系统的性能在整个过程中是时变的， 这使得在研究上与线性系统有着本质差别。 本章主要介绍了非线性系统的特点和分析
7-4 基于Simulink的非线性系统分析
在一般非线性系统分析中，常需要在平衡点 处求利用MATLAB/Simulink提供的函数，不仅可对 非线性系统进行线性化处理，而且也可直接对非 线性系统进行分析。
7.4.1 利用MATLAB求解非线性系统的线性化模型
图7-55 系统的相轨迹
7.4.3 基于MATLAB的描述函数法分析非线性系统
例7-11 已知非线性系统如图7-56所示。
图7-56 非线性系统
试利用MATLAB采用描述函数法分析非线性系统
在K=1和2时的稳定性。其中k=1，h=1。
(a) K=1时的曲线
(b) K=2时的曲线
X= 1.5570
➢ 描述函数分析法是等效线性化方法的一种，它是频域 法在非线性系统上的延伸。描述函数法只能研究系统 的稳定性和是否存在极限环，使用时不受系统阶次的 限制。
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
自动控制原理_第7章_1
& e (t ) < 0 & e (t ) > 0
24
继电器饱 和输出
x (t )
b
a ma
0 b
ma
a
e (t )
继电器吸 上电压 继电器释 放电压
25
若 a = 0 ， 则继电器的吸上电压与释放电压均为零， 称为理想继电器特性，如图：
x (t )
b
0
b
e (t )
26
若 m = 1， 则继电器的吸上电压与释放电压相等， 称为含死区无滞环继电器特性，如图：
20
7.2.1 饱和特性
x (t )
a
线性区宽度 线性区特性 的斜率
b
k
0
a
b
a
e (t )
ke (t ) x (t ) = kasigne (t )
e (t ) ≤ a
e (t ) > a
21
7.2.2 死区特性
x (t )
a
死区宽度 线性输出 的斜率
k
a
k
0
a
k
e (t )
0 x (t ) = k [ e (t ) asigne (t ) ]
ω G(s) = 2 2 s +ω
其极点位于复平面的虚轴上，这是临界稳定系统。 在一定的初始条件下，系统的输出为
y (t ) = Y sin ωt
系统的输出也是一种等幅振荡。
13
临界稳定线性系统 的等幅振荡输出
两者之间 完全不同！
非线性系统的 等幅振荡极限环
14
不同点 极限环自激振荡的幅值与初始条件无关； 而临界稳定线性系统的等幅振荡幅值由初始条件 决定。 临界稳定线性系统对于参数的变化十分敏感， 参数的微小变化可能导致收敛或不收敛； 而非线性系统的极限环不易受参数变化的影响。
自动控制原理(第2版)第7章非线性控制系统(2)简明教程PPT课件
§7.4.6 非线性系统的相平面分析
(1) 非本质非线性系统的相平面分析
例4
(3 x 0.5) x x x2 0 x 设系统方程为 求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。 x 0 x 解 令
xe 1 0 x x 2 x(1 x ) 0
自动控制原理
第七章 非线性系统控制
Chapter 7 control of nonliner systems
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College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
本章重点内容
7.1 非线性控制系统概述
7.2 常见非线性及其对系统运动的影响
d x f ( x, x ) 0 dx x 0
x 0 x 0
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
dx dx dt f ( x , x ) dx dx dt x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动
— 向左移动
(2)相轨迹的奇点 (平衡点) 相轨迹上斜率不确定的点
0 (3)相轨迹的运动方向 0 下半平面: x (4)相轨迹通过横轴的方向 上半平面: x
dx f ( x , x ) dx x
f ( x, x ) 0 x0
顺时针运动
相轨迹以90°穿越 x 轴
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例1 单位反馈系统
G( s )
5 n 2.236 s( s 1) 0.2236 r ( t ) 1( t )
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自动控制原理-第七章 非线性系统分析
p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
自动控制原理(第三版)第7章非线性控制系统(1)
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自动控制原理
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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自动控制原理
5）混沌
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自动控制原理
非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
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自动控制原理
3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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自动控制原理
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。
自动控制原理
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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5）混沌
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非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
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3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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自动控制原理
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。
第7章非线性控制系统分析《自动控制原理》课件
(b)线性二阶系统 系统自由运动的微分方程为:
••
•
x2 nxn 2x0 (5 )
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:
ddxt•
(2n
•
xn2
x)
(6)
dx dt
•
x
•
(7)
•
式(6)除以式(7): ddxx2nxx••n2x
(8)
第一种情况, 0 , 式(8)为:
••
dx dx
ti,
则系统
k
从点A运动到B点时, B点的时刻 t t0 ti , 而 ti 的计
算有下面三种方法.
i1
•
•
(1)增量法 设相轨迹上两点 (x1,x1),(x2,x2)位移增量较
小,
设
•
x
为两点处相轨迹上速度变量
•
x
的平均值,
则:
t•x
x2x1
••
(1)6
•
•x
x (x2x1)/•2 (2)积分法 设点 ( x1, x1) 对应的时间为
4. 非线性系统的相平面分析
例1. 继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.
m
设系统初始
r(t) e(t)
h2
m0 h1
0 h1 m0
h2
m(t) 4 c (t ) 条件: •
e s(s 1)
c(0)c(0)0 m0 0.2,h1 0.1,
h2 0.2
(1)单位阶跃输入信号r(t)1(t)c ,(t)对 m(t)的微分方程式为:
••
•
c(t)c(t)4m(t)
(1)9因 m(t)与 r (t ) 没有直接关系,
故
设法把 c (t ) 变量换成 e(t ) 变量. 当 t 0时,
••
•
x2 nxn 2x0 (5 )
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:
ddxt•
(2n
•
xn2
x)
(6)
dx dt
•
x
•
(7)
•
式(6)除以式(7): ddxx2nxx••n2x
(8)
第一种情况, 0 , 式(8)为:
••
dx dx
ti,
则系统
k
从点A运动到B点时, B点的时刻 t t0 ti , 而 ti 的计
算有下面三种方法.
i1
•
•
(1)增量法 设相轨迹上两点 (x1,x1),(x2,x2)位移增量较
小,
设
•
x
为两点处相轨迹上速度变量
•
x
的平均值,
则:
t•x
x2x1
••
(1)6
•
•x
x (x2x1)/•2 (2)积分法 设点 ( x1, x1) 对应的时间为
4. 非线性系统的相平面分析
例1. 继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.
m
设系统初始
r(t) e(t)
h2
m0 h1
0 h1 m0
h2
m(t) 4 c (t ) 条件: •
e s(s 1)
c(0)c(0)0 m0 0.2,h1 0.1,
h2 0.2
(1)单位阶跃输入信号r(t)1(t)c ,(t)对 m(t)的微分方程式为:
••
•
c(t)c(t)4m(t)
(1)9因 m(t)与 r (t ) 没有直接关系,
故
设法把 c (t ) 变量换成 e(t ) 变量. 当 t 0时,
自动控制原理第七章
解：1．将继电特性的参数代入相应公式得到：
4B 12 a 1 N ( A) 1 1 A A A A
2 2
1 πA N(A) 12 1 - 1 2 A
根据
( N (1A) ) ( )
a A
0，求得
1 π 的极值为 6 N ( A)
7.4.2 非线性系统结构的简化
非线性环节串联 若两个非线性环节串联，可将两个环节 的特性归化为一个特性，即以第一个非线性 环节的输入和第二个非线性环节的输出分别 作为归化后非线性特性的输入和输出，从而 作出等效非线性特性。注意，若两个非线性 特性的描述函数分别为 N1 ( A)和 N 2 ( A，等效非 ) 线性的描述函数为 N ( A)绝不等于 N1 ( A和 的 ) ) N2 (A 乘积，并且串联非线性环节的次序不可交换。 对于多个非线性环节串联，其处理方法可以 按照串联的次序，先归化前两个非线性环节， 等效后的非线性特性再与第三个环节进行归 化变换。 非线性环节并联 若两个并联的非线性环节其描述 函数分别为 和 N ( A) ，则并联后的 N 2 ( A) 1 等效非线性环节的描述函 数 。
7.2 典型非线性特性及其对系统的影响
间隙特性
也称回环，机械传动中为保证齿轮转动灵活不卡齿，主动轮、从动 轮齿轮之间必须有适当的间隙存在，使得两者不能同步运转，即从 动轮滞后主动轮。含有间隙特性的系统，其输出相位滞后于输入相 位，从而减小了系统的相稳定裕度，使系统的稳定性变坏，同时增 大了系统的稳差。
7.3 描述函数法
7.3.2 非线性特性的描述函数
非线性特性 描 述 函 数
7.3 描述函数法 描 述 函 数
非线性特性
7.4 用描述函数法分析非线性控制系统
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
第7章非线性控制系统分析《自动控制原理》课件
(b)线性二阶系统
系统自由运动的微分方程为:
(5)
x 2 n x n2 x 0
式(5)可用两个一阶微分方程联立表示: d x 2 ( 2 x x) (6) n n dt dx x (7) dt dx 2 n x n2 x (8) 式(6)除以式(7): dx x dx n2 x 第一种情况, 0 , 式(8)为: dx x 2 对式(9)两边积分得: x d x n xdx
x
2 n
, 是由初始条件 ( x0 , x0 ) 决定
即使由解析表达式画相轨迹也不太容易. 教材P.360~P.367 给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各
奇点的概念, 请参阅. (2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 二阶系统一般形式的微分方程如下:
的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为: x x x 0 (13) 即 0.5,n 1, 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡
过程. 由式(13)可得: d x/ dx ( x x) / x
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念 所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此 法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的 非线性系统. 设一二阶系统可用下面常微分方程描述:
x f ( x, x) (1) 上面微分方程的解可用 x(t )对 t 的关系曲线表示, 也可用
x(t ) 与 x(t ) 的关系曲线表示, 当用后一种关系曲线时,是 把曲线画在 x x 的直角坐标平面上, 而 t 作为参变量 在 x x 平面上并不出现.
自动控制原理课程第7章-非线性系统分析
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其
特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0 a
x
bsign. y y K ( x asign y )
y0 y0
-b
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的稳 定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
M y M
（2）死区继电器特性
x0 x0
M y 0 M
x a x a xa
（3）回环继电器特性
x＜a M M x＞a y x＜－a M x＜－a M
（4）死区加回环继电器特性
0 M M y 0 M M a1 x a2 x a2 x a1 a2 x a1 x a1 x a2
7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：
f ( x, x ) 0 x
若令 x1 x, x2 x
则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
0 x
0 x
0 x
0 x
7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种求 解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准
确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始
状态和输入信号下系统的运动形式。虽然相平面法适 用一阶、二阶非线性控制系统的分析，但它形成特定 的相平面法，它对弄清高阶非线性系统的稳定性、极 限环等特殊现象，也起到了直观形象的作用。
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描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
2020年11月17日
EXIT
第7章第14页
3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两种，系 统的周期运动在物理上是不能实现的。在没有外作用时， 非线性系统的周期运动在物理上可以实现，其频率和振 幅均由系统本身的特性所决定。所以通常把它称为自激 振荡，简称自振。自振是非线性系统的一个非常重要的 特征，也是研究非线性系统的重要内容之一。
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第6页
7.1.2 非线性特性的分类
按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线 性特性有死区、饱和、间隙和继电器等。
1.饱和特性
y(t)
Ke(t
)
Ka sgn e(t)
e(t) a e(t) a
当e(t)>0时，sgn e(t) =+1；当e(t)<0时，sgne(t) =－1
7.2 二阶线性和非线性系统的特征
2020年11月17日
EXIT
第7章第12页
以非线性环节的输出与输入之间存在的函数 关系划分，非线性特性又可分为单值函数与多 值函数两类。
2020年11月17日
EXIT
第7章第13页
7.1.3 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分方程， 故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非 线性微分方程，不能采用叠加原理，必须研究不同输入 所引起的输出响应。
b b
ma e(t) a e(t) 0 a e(t) ma e(t) 0 e(t) a e(t) ma e(t) 0 e(t) ma e(t) 0
式中，a——继电器吸合电压 ma——释放电压 b——饱和输出
2020年11月17日
EXIT
第7章来作为改 善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线 性系统的分析中占有重要地位。
在通常情况下，可以将构成系统环节分为线性与非线 性两部分，可用框图表示非线性系统的基本形式。
2020年11月17日
EXIT
第7章第5页
质量-弹簧-阻尼系统的框图表示
当用框图作为非线性系统的数学模型时，多数情况下不
必再用微分方程去描述系统，而只需将系统的线性部分用 传递函数或脉冲响应表示，非线性部分则用非线性等效增 益或描述函数表示即可（将在后面介绍）。但是，对于复 杂系统而言，则必须考虑非线性环节加于系统何处以及以 何种加入的问题，而不能像这样简单。
EXIT
第7章第2页
7.1 非线性系统的基本概念
2020年11月17日
EXIT
第7章第3页
7.1.1 非线性系统的数学描述
非线性系统：如果一个系统中包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节时，即称该系统为非线性控制系统。
例：弹簧阻尼系统
其运动可用下面非线性微分方程描述：
m
d 2 y t
dt 2
第7章 非线性控制系统
2020年11月17日
EXIT
第7章第1页
7.1 非线性系统的基本概念 7.2 二阶线性和非线性系统的特征 7.3 非线性系统的相平面分析 7.4 非线性系统一种线性近似表示 ——描述函数 7.5 非线性环节的串并联及系统的变换 7.6 利用非线性特性改善系统的性能
2020年11月17日
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
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第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
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第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
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第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
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第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
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第7章第14页
3. 线性系统的工作状态只可能有稳定或不稳定两种，系 统的周期运动在物理上是不能实现的。在没有外作用时， 非线性系统的周期运动在物理上可以实现，其频率和振 幅均由系统本身的特性所决定。所以通常把它称为自激 振荡，简称自振。自振是非线性系统的一个非常重要的 特征，也是研究非线性系统的重要内容之一。
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
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第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
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7.1.2 非线性特性的分类
按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线 性特性有死区、饱和、间隙和继电器等。
1.饱和特性
y(t)
Ke(t
)
Ka sgn e(t)
e(t) a e(t) a
当e(t)>0时，sgn e(t) =+1；当e(t)<0时，sgne(t) =－1
7.2 二阶线性和非线性系统的特征
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以非线性环节的输出与输入之间存在的函数 关系划分，非线性特性又可分为单值函数与多 值函数两类。
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第7章第13页
7.1.3 非线性系统的特点
1. 线性系统描述其运动过程的数学模型是线性微分方程， 故可以采用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非 线性微分方程，不能采用叠加原理，必须研究不同输入 所引起的输出响应。
b b
ma e(t) a e(t) 0 a e(t) ma e(t) 0 e(t) a e(t) ma e(t) 0 e(t) ma e(t) 0
式中，a——继电器吸合电压 ma——释放电压 b——饱和输出
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第7章来作为改 善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线 性系统的分析中占有重要地位。
在通常情况下，可以将构成系统环节分为线性与非线 性两部分，可用框图表示非线性系统的基本形式。
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第7章第5页
质量-弹簧-阻尼系统的框图表示
当用框图作为非线性系统的数学模型时，多数情况下不
必再用微分方程去描述系统，而只需将系统的线性部分用 传递函数或脉冲响应表示，非线性部分则用非线性等效增 益或描述函数表示即可（将在后面介绍）。但是，对于复 杂系统而言，则必须考虑非线性环节加于系统何处以及以 何种加入的问题，而不能像这样简单。
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7.1 非线性系统的基本概念
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第7章第3页
7.1.1 非线性系统的数学描述
非线性系统：如果一个系统中包含一个或一个以上具有非线 性特性的元件或环节时，即称该系统为非线性控制系统。
例：弹簧阻尼系统
其运动可用下面非线性微分方程描述：
m
d 2 y t
dt 2
第7章 非线性控制系统
2020年11月17日
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第7章第1页
7.1 非线性系统的基本概念 7.2 二阶线性和非线性系统的特征 7.3 非线性系统的相平面分析 7.4 非线性系统一种线性近似表示 ——描述函数 7.5 非线性环节的串并联及系统的变换 7.6 利用非线性特性改善系统的性能
2020年11月17日
2020年11月17日
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第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
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伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
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3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0