三角形中位线定理应用：中点四边形的讨论
华东师大初中数学九年级上册三角形中位线定理 知识讲解[精品]
![华东师大初中数学九年级上册三角形中位线定理 知识讲解[精品]](https://img.taocdn.com/s3/m/784d64c9daef5ef7bb0d3c1d.png)
三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．B【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF ， ∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度． 【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ， ∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6， ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点， ∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定 【答案】B ；解： 连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变， ∴ 线段EF 的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形． 【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC ∴AB=DC ，EH=FH ∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC ∴∠2=∠4，∠1=∠3 ∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180° ∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形． 设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， 则EH∥BD， 同理GH∥AC， 又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形． （2）连接EG ． 在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点， ∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中，∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ， ∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形．理由：连接AC ，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF∥AC，且EF ＝12AC ， 同理，HG∥AC，且HG ＝12AC ，∴EF∥HG，且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）当BD ＝AC ，且B D⊥AC 时，EFGH 是正方形． 理由：连接AC ，BD ，∵E、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EF＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC ，BD⊥AC，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，EH⊥GH，∴四边形ABCD 是菱形，∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形．。
三角形的中位线定理及其应用
第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三
角形，依此类推，第2019个三角形的周长为（
）.A
B
C
1（数
量关系）
2
三、顺势而发 再提问题
A
见证奇迹
如图，连接三
角形的三条中 D
E
的时刻到 了！！
位线，会得到
哪些结论？
B
F
C
1.四个小三角形全等.
2.每一个小三角形的面积是大三角形面积的 .
3.存在三个平行四边形.
4.△DEF的周长为△ABC的周长的 .
四、运用定理 把定乾坤
如图，A，B两点被池塘隔开，在 AB外选一点C，连接AC和BC，怎样 测出A、B两点的实际距离？根据 是什么？
你收获ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ哪些知识？
三角形
转化
平行四边
中位线
定义 性质
数量关系 位置关系
六、使用所获 达成目标
1.如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点.
线段AD叫做△ABC的
，线段DE叫做△ABC
的
，图中有
个平行四边形．
2.三角形各边长为5、9、12，则连接各边中点所
构成的三角形的周长是
.
3.如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成
一、温故求新 合情发现
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
F
思考： 1.你还能画出三角形的几条中线？ 2.三角形中位线与三角形的中线有什么区别和联系？
一、温故求新 合情发现
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
中位线DE
专题05 三角形中位线(知识点串讲)(解析版)
专题05 三角形中位线重难突破三角形中位线1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.3．相关结论：顺次连接任意四边形中点所得到的四边形是平行四边形.（连接原四边形一条对角线，由中位线定理可证）4．拓展：①梯形的中位线等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）②过三角形一边的中点作另一边的平行线，与第三边交于一点，则这两点之间的线段为三角形的中位线. 如图，过△ABC的边AB的中点作平行于边BC的直线，交边AC于点E，则DE为△ABC的中位线.典例1．（2018春•定兴县期末）如图所示，已知P、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（）A．逐渐增大B．逐渐变小C．不变D．先增大，后变小【答案】C【解析】解：∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF AR，∴EF的长不变，故选：C．【点睛】根据三角形中位线定理得到EF AR，判断即可．本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．典例2．（2018春•柳州期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE，BD是角平分线，CM⊥BD于M，CN ⊥AE于N，若AC＝6，BC＝8，则MN＝___．【答案】2【解析】解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，在△BMC和△BMG中，，∴△BMC≌△BMG，∴BG＝BC＝8，CM＝MG，∴AG＝2，同理，AH＝AC＝6，CN＝NH，∴GH＝4，∴MN GH＝2，故答案为：2．【点睛】延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明△BMC≌△BMG，得到BG＝BC＝8，CM＝MG，同理得到AH＝AC＝6，CN＝NH，根据三角形中位线定理计算即可．典例3．（2018春•成都期末）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE ＝2，则AC的长等于______．【答案】见解析【解析】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝2，则DF＝1，AF，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AE＝EF＝CF，∴AC AF．故答案为：．【点睛】过D点作DF∥BE，则DF BE＝1，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC AF．典例4．（2018春•吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．【答案】见解析【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE CF4＝2．【点睛】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE CF，然后求解即可．典例5．（2018春•濮阳期末）已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为△A1B1C1，再以△A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为△A2B2C2，…依次做下去，求△A5B5C5的周长．【答案】见解析【解析】解：等边△ABC的边长为a，∴等边△ABC的周长为3a．∵A2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，∴A2B2是△A1B1C1的中位线，∴A2B2A1B1．同理，A2C2A1C1，C2B2C1B1．∴△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．同理，△A3B3C3的周长△A2B2C2的周长等边△A1B1C1的周长．…，∴△A n B n∁n的周长△A1B1C1的周长．∴△A5B5C5的周长．【点睛】据三角形中位线定理知，△A2B2C2的各边的边长是△A1B1C1的各边边长的，△A3B3C3是△A2B2C2的各边的边长的，找出规律即可得出结论．本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．典例6．（2018春•南山区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG（∠ACB﹣∠ABC）；③EF （AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【答案】A【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACB，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF BG，∴EF（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝BM，在△ABM中，AM＜AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE（AB+AC），故④正确；故选：A．【点睛】求出F为CG中点，根据三角形的中位线性质即可判断①，求出∠ACG＝∠AGC＝∠B+∠BCG，即可判断②；根据三角形中位线性质即可判断③，求出2AE＜AB+BC和AE＞EF，即可判断④．巩固练习1．（2018春•坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】D【解析】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，∴DE AC＝3.5，同理，DF BC＝3，EF AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，故选：D．2．（2018春•抚顺期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（）A．100°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解析】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴PE AD，PF BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝25°，∴∠EPF＝130°，故选：C．3．（2018春•颍东区期末）如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：延长BP交AC于N.∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，∴△ABP≌△ANP（ASA），∴AN＝AB＝12，BP＝PN，∴CN＝AC﹣AN＝22﹣12＝10，∵BP＝PN，BM＝CM，∴PM是△BNC的中位线，∴PM CN＝5．故选：C．4．（2018春•开江县期末）如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，……如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（）A．（，）B．（）C．（）D．（）【答案】B【解析】解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（，）；第4个三角形的直角顶点坐标：（，）；第5个三角形的直角顶点坐标：（，）；故选：B．5．（2017秋•洪雅县期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为___．【答案】1【解析】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝5，AC＝3，∴BG＝2，∵AE是中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF BG＝1 故答案为：1.。
复习中位线定理
B
C
经典题型 如图，在梯形ABCD中 如图，在梯形ABCD中,AD∥BC ，E是 ABCD AB中点 中点, 腰AB中点,若CE⊥DE. 求证： AD+BC=CD。 求证： AD+BC=CD。
A E D
F
B
C
本节课你有什么收获？
小结： 1、三角形中位线定义及定理。 、三角形中位线定义及定理。 2、中点四边形的重要特征。 、中点四边形的重要特征。 3、梯形中位线定义及定理。 、梯形中位线定义及定理。 4、梯形腰上中点的常见辅助线作法。 、梯形腰上中点的常见辅助线作法。
我能行
如图，在四边形ABCD中 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别 ABCD 是边AB BC、CD、DA的中点 AB、 的中点， 是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个 条件，使四边形EFGH为菱形。 条件，使四边形EFGH为菱形。 EFGH为菱形 A 解：添加的条件 H AC＝BD ＝
2 3
……
A
n
A１
C
２
C１ B２
1 2 1 4
a
s
1 4 1 16
a
s
1 8 1 64
a
……
s
……
1 n 2 1 n 4
a
s
B
A２ B１
C
二、中点四边形
已知：如图，在四边形 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 中 、 、 、 分别是 AB、BC、CD、DA的中点 的中点. 、 、 、 的中点 求证：四边形 是平行四边形. 求证：四边形EFGH是平行四边形 是平行四边形 A E B F H D G C
复习中位线定理
一、三角形中位线
初中数学八年级下册《数学活动---探究中点四边形》优秀教学设计
菱形
互相垂直
矩形
互相垂直且相等
正方形
教师提出问题1，学生思考后作答（鼓励学生利用不同方法进行证明），教师板书简要过程。
学生尝试总结中点四边形的结论。
教师进一步提出问题2，分配小组任务，学生开展小组合作探究活动，教师分组指导。
有学生代表上讲台汇报展示成果，教师评价。
鼓励学生对上述汇报结果进行总结，教师板书。
教学过程设计
教学
程序
教学内容
教师、学生活动
设计意图
问题引入
小组合作
深入探究
问题1.顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是什么形？你能证明吗？
定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.
问题2.平行四边形的中点四边形是什么形？矩形呢？菱形呢？正方形呢？
学生读题并直接作答。
请一名学生黑板板演第（1）问的推理过程，其他同学在学案上完成。
教师巡视指导，对证明有困难的同学给予适当的引导和肯定。
结合问题（1）中的思路，学生口述指出全等的三角形，教师在黑板上用两种不同颜色粉笔标出。
巩固基础，练习1对特殊平行四边形的中点四边形形状判断练习
练习2、3是对对角线的关系对中点四边形形状影响的练习
2.通过小组合作探究，增强分析问题、解决问题的能力
3.了解研究几何图形的基本方法
情感、
态度与价值观
1.感受几何图形的对称美和几何变换的巧妙
2.提高合作学习的意识，增强数学学习兴趣
电教手段
ppt、交互平板
重点
熟练运用特殊平行四边形的性质及判定定理
难点
探究影响中点四边形形状的因素
教材
(完整版)浅谈三角形中位线定理的几种证法
浅谈三角形中位线定理的几种证法康园中学校 张瑜摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。
共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。
关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证：DE ‖BC ，DE=21BC 。
一、类型一：动手操作法方法1：度量法华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。
因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。
首先用直尺分别量出DE 、BC 的长，看是否满足DE=21BC ，再用量角器分别量出∠ADE 和∠B 的度数，看是否相等，从而判断是否平行。
二、类型一：相似法方法2：相似法一根据AD=21AB ，AE=21AC ，∠DAE=∠BAC ，从而得到△ADE ∽△ABC 。
于是∠ADE=∠ABC ，DE:BC=AD:AB=1:2。
轻松得到DE ‖BC ，DE=21BC 。
方法3：相似法二过点D 作DF ⊥AC 于F ，过点B 作BG ⊥AC 于G ，则DF//BG ，于是△ADF ∽△ABG ，得到DF=21BG ，AF=FG 。
因为AE=EC ，所以FE=21GC 。
根据DF:BG=FE:GC ，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE ∽△BGC ，从而命题得证。
ABCD E A BC D E FG ADEB C F A DEB CFAD E BC G FADE BC 方法2方法3方法4 方法5方法6三、类型三：倍长法方法4：中位线倍长法一：这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。
苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9c586fc4aef8941ea76e059e.png)
苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
三角形中位线定理的多种证明
２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀三角形中位线定理的多种证明◉青岛市即墨区实验学校㊀孙㊀凯㊀㊀摘要:三角形中位线定理是初中几何重要的结论,为解题提供了线段的位置与长度关系．教材中对该定理的证明耐人寻味 通过辅助线,将三角形转化为平行四边形,再运用平行四边形的性质进行证明．这样的辅助线,与以前的 将四边形转化为三角形 完全不一样,进一步丰富了学生对转化思想更深层次的认识,也完善了对辅助线作法的认知．基于八年级学生的基础,本文中给出了其他几种解法,以培养学生的理性思考能力,提高学生的数学素养．关键词:三角形中位线;多角度解答;辅助线㊀㊀三角形中位线定理是初中数学的一个重要定理,因为只有中点的条件,而要证明两个不同类型的结论,对学生而言,有一定的难度．人教版数学教材八年级下册第４８页是通过构造平行四边形,运用平行四边形的判定与性质来进行证明的．除此之外,学生对其他证法知之甚少．其实,三角形中位线定理的证明方法有很多种,现仅基于八年级知识范围补充几种不同的证法,供大家参考．１例题呈现图１已知:如图１,әA B C 中,D ,E 分别是边A B ,A C 的中点．求证:D E ʊB C ,D E ＝１２B C ．２多法探究思路一:从面积入手．分析:由三角形中线性质可知,三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分,因此易证әB C D 与әB C E 面积相等,则D E ʊB C ．那么如何证明D E ＝１２B C 呢?由S әB D E ＝１２S әB E C ,运用三角形的面积公式即可证得．证法一:面积法．图２证明:如图２,过点D 作D F ʅB C 于点F ,过点E 作E G ʅB C 于点G ,连接B E ,C D ．ȵA D ＝B D ＝１２A B ,A E ＝C E ＝１２A C ,ʑS әB D C ＝１２S әA B C ,S әC E B ＝１２S әA B C ．ʑS әB D C ＝S әC E B ,即１２B C D F ＝１２B C E G ．ʑD F ＝E G ．又D F ʊE G ,ʑ四边形D F G E 是平行四边形．ʑD E ʊB C ．ȵS әD B E ＝１２S әA E B ,S әA E B ＝S әB E C ,ʑS әD B E ＝１２S әB E C ,即１２D E E G ＝１４B C E G ．ʑD E ＝１２B C ．点评:证法一利用面积相等的两个三角形证得线段平行,又运用三角形面积公式推导出线段的倍分关系,是三角形面积的正逆运用．用三角形面积的性质解题,显得灵动㊁直观,更具创造性．思路二:从等长线段入手,构造平行线．证法二:重合法．分析:本题中已有 中点 条件,要想出现三角形全等,必须出现对应角相等,可过点E 分别作B C ,A B 的平行线,出现一对全等三角形,再运用平行四边形性质证明．图３证明:如图３,过点E 作A B 的平行线交B C 于点F ,过点E 作B C 的平行线交A B 于点G ．ȵG E ʊB C ,E F ʊA B ,ʑøA E G ＝øC ,øA ＝øF E C ．又ȵA E ＝E C ,ʑәA E G ɸәE C F (A S A )．ʑA G ＝E F ,G E ＝C F ．由辅助线作法可知四边形B F E G 是平行四边形,ʑA G ＝E F ＝G B ＝１２A B ．又ȵA D ＝D B ＝１２A B ,ʑ点G 与点D 重合．ʑD E ʊB C ,C F ＝D E ＝B F ．ʑD E ＝１２B C ．点评:运用好题目的核心条件是解题关键．证法二利用线段中点去证明线段的平行及大小关系,既可用５７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀全等,又可以用平行四边形的性质或二者兼施,达到目的．证法三:旋转法．分析:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．基于这个判定定理,只需把әA D E 绕点E 旋转１８０ʎ便可得到C F ʊB D 且C F ＝B D ,再运用平行四边形性质解答即可．图４证明:如图４,将әA D E 绕点E 顺时针旋转１８０ʎ到әC F E 的位置,此时әA D E ɸәC F E ．ʑC F ʊB D ,且C F ＝B D ．ʑ四边形B D F C 为平行四边形．ʑD F ʊB C ,且D F ＝B C ．ʑD E ʊB C ,且D E ＝１２B C ．点评:旋转是重要的图形变换方式之一,根据题目特点,运用旋转的性质构造解题模型,显得明快,富有生机．证法四:平移法．分析:如何利用 点E 是A C 中点 并运用三角形全等㊁平行四边形性质是解题关键．为此,可以过点E 作A B 平行线,过点A 作B C 平行线．图５证明:如图５,过点E 作A B 的平行线交B C 于点F ,过点A 作B C 的平行线交F E 的延长线于点G (即平移线段A B ,D E )．ȵA G ʊB C ,ʑøG ＝øE F C ．又ȵA E ＝E C ,øA E G ＝øC E F ,ʑәA E G ɸәC E F (A A S )．ʑE G ＝E F ,A G ＝F C ．由辅助线作法易知四边形A B F G 是平行四边形,ʑA B ＝G F ．ȵD ,E 分别是A B ,A C 的中点,ʑB D ʊE F 且B D ＝E F ,E G ʊA D 且E G ＝A D ．ʑ四边形A D E G ,D B F E 都是平行四边形．ʑD E ʊB C ,B F ＝D E ＝A G ＝F C ．ʑD E ＝１２B C ．点评:证法四是继证法二㊁证法三之后,再一次灵活运用中点,构造全等模型并运用平行四边形性质进行解答．合理运用题目条件,并添置辅助线,构造解题模型,是学生综合运用基础知识㊁基本技能的表现．思路三:从中点入手,建立坐标系．证法五:坐标法．分析:D ,E 分别为A B ,A C 中点,可以建立平面直角坐标系,用中点坐标公式解答．证明:如图６,以B C 所在直线为x 轴,过点A 作B C 的垂线,以该垂线所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系．图６设点A ,B ,C 的坐标分别为(０,a ),(b ,０),(c ,０)．因为D ,E 分别是A B ,A C 的中点,所以由中点坐标公式,得D(b ２,a ２),E(c ２,a２)．易得直线D E 的解析式为y ＝a２,与x 轴平行,即D E ʊB C ．又D E ＝c －b ２,B C ＝c －b ,所以D E ＝１２B C ．点评:建立适当的平面直角坐标系,用坐标或函数关系式表示问题中的几何元素,用代数方法解决几何问题,是全新的视角,有助于深入了解问题㊁剖析问题,可以拓展学生数学思维．当然,三角形中位线定理的证明方法还有多种,比如,用相似,过点A ,B ,C 分别作直线D E 的垂线,等等．以上只是起抛砖引玉作用,相信大家在教学中还会有更多更好的方法．３类比探究问题１㊀已知:如图１,әA B C 中,D 是边A B 的中点,点E 在边A C 上,D E ʊB C ．求证:E 为A C 的中点,D E ＝１２B C ．问题２㊀已知:如图１,әA B C 中,D E ʊB C ,D E ＝１２B C ．求证:D ,E 分别是边A B ,A C 的中点．以上两个问题,实际上是三角形中位线定理的逆定理,可以参考例题证法进行证明．类似的问题,还有梯形中位线定理,梯形中位线的逆定理,不再赘述．４教学启示教材是根据«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»编写而成的,充分反映了课标的各种目标及要求,是理解数学㊁理解学生㊁理解教学的有力保证,是强有力的资源．课本的例习题为学生的学习活动提供了基本素材,具有普适性,但往往只呈现某一方面,其他很多方面还需要教师带领学生去开发．教师只有理解教材的深刻用意,才能更好地开发教材㊁用好教材．在平时课堂教学中,教师要利用课本中 有意义且不复杂 的问题去帮助学生发现问题的各个方面,让学生体会到 自己是一个发现者㊁研究者㊁探索者 ,这也是 人的心灵深处都有的一种根深蒂固的需要 ．让学生带着问题去自由探究,探究问题的多种解法㊁问题变式及应用㊁问题的关联与内在联系,从而感受到数学的思考方法,处理问题的理性思维, ,从而把这些经验迁移应用到以后的学习中去,提升数学素养．Z６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
等边三角形中位线定理
等边三角形中位线定理等边三角形中位线定理是指：在一个等边三角形中，连接每个顶点和它对面的中点，得到的三条线段互相平分。
即每条中位线的两个端点与对边的两个端点构成的四边形是平行四边形。
一、等边三角形基本概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
二、中位线定义及性质1. 中位线定义：在一个三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，连接顶点B和AC中点N，连接顶点C和AB中点P所得到的线段AM、BN、CP叫做这个三角形ABC的中位线。
2. 中位线性质：（1）每条中位线都可以将对应的底边分成两段长度相等的部分。
（2）每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
（3）如果一个三角形有两条边互相平分，则这两条边所代表的直线必然相交于第三条边上，并且交点距离第三条边上任意一端的距离相同。
三、证明证明等边三角形中位线定理需要用到向量知识。
设向量AB=a，向量AC=b，则向量BC=a-b。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有|a|=|b|=|a-b|。
根据向量知识可知，向量AM=1/2*a，向量BN=1/2*b，向量CP=1/2*(a-b)。
因此，AM、BN、CP的长度都是相等的。
接下来我们证明每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
设中位线AM和BN相交于点O，则有AO=OM，BO=ON。
又因为AO+ON=AN=BN+BO，所以AO=BO，并且OM=ON。
因此，四边形ABMO和BANO都是平行四边形。
同理可证得四边形ACPO和CBPO也都是平行四边形。
综上所述，每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
四、应用等边三角形中位线定理可以用于解决一些几何问题。
例如，在一个等边三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，并连接BM交AC于点N，则可以证明AN=NC。
证明如下：由于BM是AC的中线，所以AN=NC（由上述性质（3）可知）。
又因为AM是AB的中线且AB=BC，所以AM||CN且AM=CN。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
任意三角形中位线定理
任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。
我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。
在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。
中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。
中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。
它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。
在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。
通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。
这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。
我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。
接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。
通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。
在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。
这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。
总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。
通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。
本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。
通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。
在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。
中位线的判定定理
中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。
三角形中位线定理应用：中点四边形的讨论
《三角形中位线定理应用——中点四边形的讨论》教学目标：1、学生能利用三角形中位线的性质判断中点四边形的形状，通过图形的变换掌握简单添加辅助线的方法。
2、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。
3、通过学生通过小组合作交流与探究，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣教学重点：探究各类四边形的中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括教学技术与学习资源应用：多媒体、基本教具教学过程：一、知识梳理1、中点四边形的定义如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
2、“一般四边形”的中点四边形已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。
二、合作探究——“特殊四边形”的中点四边形的形状1、思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
3、思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？（合作探究）结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
三、归纳总结规律：（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为___________（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为______________（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为_____________四、实践操作1．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；2．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等腰直角三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想改：分别以AB、AC为边向⊿ABC形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、P、Q 分别是EF、BC、EB、FC的中点。
例谈中位线定理在几何问题中的应用
例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。
［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。
一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。
［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。
求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。
定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。
请你写出完整的证明过程。
（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。
（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。
（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。
例析三角形中位线定理及其应用
２０２３年４月下半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀例析三角形中位线定理及其应用◉甘肃省白银市第六中学㊀苏东红㊀㊀摘要:与三角形有关的 线 非常多,如高线㊁中线㊁角平分线㊁垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的 角色 ㊁发挥着不同的作用．本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助．关键词:三角形;中位线;作用㊀㊀在北师大版初中数学教材中,三角形的中位线及其定理被安排在了 平行四边形 这一章,属于比较基础且非常重要的知识点．基础是因为难度较小,重要是因为它在解决初中几何问题中往往发挥着重要的作用,是一线教师应着重讲解㊁分析的内容．基于此,本文中首先介绍了三角形的中位线及其定理,然后通过例题分析其具体应用．１三角形中位线及其定理１．１三角形中位线在教材中,三角形的中位线是这样定义的:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．由此不难得知,一个三角形有三条不同的中位线．另外,三角形的中位线与三角形的中线不同:三角形中位线的两个端点分别是三角形两边的中点(如图１Ｇ１),而三角形的中线的两个端点,分别是三角形的顶点和这个顶角对边的中点(如图１Ｇ２)[１]．图１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１Ｇ２１．２三角形中位线定理在教材中,通过研究得到了 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ,这就是三角形中位线定理．由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系．(１)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图１Ｇ１中,有D EʊB C;(２)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图１Ｇ１中,有D E＝１２B C．２三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是初中数学几何部分非常重要的理论知识,对解答几何问题的帮助非常大[２]．下面结合例题分析三角形中位线定理的具体应用．２．１证明两条直线平行图２例１㊀(２０２２钦州)如图２,D E是әA B C的中位线,则әA D E与әA B C的面积比是．分析:由中位线可知D EʊB C,D E＝１２B C,则әA D EʐәA B C,相似比为１ʒ２．根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果．解:ȵD E是әA B C的中位线,ʑD EʊB C,且D E＝１２B C．ʑәA D EʐәA B C,且相似比为１ʒ２．ȵ相似三角形的面积比是相似比的平方,ʑәA D E与әA B C的面积的比为１ʒ４．点评:本题要熟悉中位线定理及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．图３变式１㊀如图３,D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,将әA B C沿着线段D E所在直线折叠,使点A落在点F处．若øB＝５５ʎ,则øB D F＝ʎ．解析:因为D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,所以D E是әA B C的中位线．根据三角形中位线定理,可知D EʊB C,进一步利用平行线的性质得到øB＝øA D E＝５５ʎ．最后,根据折叠前后的两个图形全等这一特点,易得øF D E＝øA D E＝５５ʎ．所以øB D F＝１８０ʎ－øF D E－øA D E＝７０ʎ．答案:７０．点评:本题用到的知识点比较多,如三角形中位线定理㊁平行线的性质㊁图形折叠的性质等,其中判断D E是әA B C的中位线且根据三角形中位线定理得到D EʊB C最关键．由此可见,证明两边互相平行的１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月下半月㊀㊀㊀方法不只有平行线的判定定理,还有三角形中位线定理．２．２证明线段的相等或倍分关系图４例２㊀如图４,在әA B C中,A D 为B C 边上的中线,F 为A C 边上一点,A F ＝１３A C ,连接B F 交A D 于点E ,E F ＝５c m ,求B F 的长．分析:因为A D 为B C 边上的中线,所以D 为B C 的中点,取C F 的中点M ,连接DM ,则DM 为әB C F 的中位线,可得DM ʊB F ,DM ＝１２B F ．再通过证明可得E F 为әA DM 的中位线,则E F ＝１２DM ,从而得到B F ＝４E F ,最后求出B F 的长．解:如图５,取C F 的中点M ,连接DM ．ȵD 为B C 的中点,ʑDM 是әB C F 的中位线．ʑDM ʊB F ,DM ＝１２B F ,即B F ＝２DM ．图５ȵA F ＝１３A C ,ʑA F ＝１２F C ．又ȵF M ＝１２F C ,ʑA F ＝F M ,即F 是AM 的中点．ȵE F ʊDM ,ʑE 为A D 的中点．ʑE F 是әA DM 的中位线．ʑE F ＝１２DM ,即DM ＝２E F ．ʑB F ＝２DM ＝２ˑ２E F ＝４E F ．ȵE F ＝５c m ,ʑB F ＝２０c m ．图６变式２㊀如图６,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,B A ,C D 的延长线分别与E F 的延长线交于点M ,N ．求证:øB M E ＝øC N E ．分析:受例２解题方法的启发,遇到中点就构造三角形的中位线,考虑E ,F 在不同的边上,所以在构造中位线时应连接B ,D ,使得E ,F 两个中点产生联系．解:如图７,连接B D ,取B D 的中点G ,连接G E ,G F ．ȵG ,F 分别是B D ,A D 的中点,图７ʑG F ＝１２A B ,G F ʊB M ．同理可证G E ＝１２C D ,G E ʊC N ．ȵA B ＝C D ,ʑG F ＝G E ．ʑøG F E ＝øG E F ．ȵG F ʊB M ,ʑøG F E ＝øB M E ．ȵG E ʊC N ,ʑøG E F ＝øC N E ．ʑøB M E ＝øC N E ．点评:已知三角形一边中点时,常取另一边的中点,或者连接某线段,构造出三角形的中位线．３总结通过以上几道题的分析和总结,不难发现三角形中位线定理在解决平行㊁线段数量关系中发挥着重要作用．教师在教学中要注意以下两个方面:首先, 遇中点,想中位线 ,让学生充分掌握作辅助线构造三角形中位线的方法．例２和变式２都采用了作辅助线的方法,但例２的方法比较简单,而变式２中的方法比较复杂．这就启示解题者 遇中点,想中位线 是解决这一类问题的通法[３]．当中点数量较多时,可连接某两个点形成一条线段并将之作为 桥梁 ,把若干个中点联系起来,如变式２中的B D ．其次,注重知识网络的构建,利用变式激发学生思维．三角形中位线定理会出现在许多几何题中,与之相关的知识点也非常多[４]．所以,为了结合三角形中位线定理顺利㊁高效地解决问题,一定要及时构建和完善知识网络[５]．当然,利用变式训练学生的思维也非常重要．参考文献:[１]张培恳．不同的课题与学生,需要不同的教法 谈 三角形中位线定理 一课的不同教法[J ]．数学教学通讯,２０１９(２３):３６Ｇ３７．[２]边锋．三角形中位线构造方法的探究与建议[J ]．中学数学,２０２０(２０):３８Ｇ４０．[３]赵蓉．基于问题解决能力提升的初中数学探究性教学策略研究 以 三角形中位线定理 教学为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):３４Ｇ３５．[４]廖志东,林艳霞．简约而不简单 剖析 三角形中位线定理 教学的重㊁难点突破[J ]．中国数学教育,２０２０(Z ３):７Ｇ１０．[５]王松．与三角形中位线相关的典型中考题[J ]．初中生学习指导,２０２１(１７):１４Ｇ１５．Z２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
四边形三角形的中位线ppt
四边形三角形的中位线具有一些特殊的性质，例如它们交于 一点，且该点也是四边形两条对角线的交点。
目的和意义
通过研究四边形三角形的中位线，可以更深入地了解四边形 的性质和特点，进一步理解几何学中的基本概念和原理。
本课题的研究可以为几何学的教学提供更多的素材和案例， 帮助学生更好地掌握四边形的性质和应用。
四边形中位线的应用
应用1
通过四边形中位线可以证明两 个三角形全等。
应用2
四边形中位线可以用于求解一 些几何题。
应用3
四边形中位线在几何作图中有 重要应用，如在作平行四边形
时。
03
三角形的中位线
三角形中位线的定义
三角形中位线是指连接三角形任意两顶点并平行于第三边的直线。 三角形中位线将三角形分成面积相等的两部分。
三角形中位线的性质
三角形中位线平行 于第三边。
三角形中位线的长 度等于第三边上的 中线长度的一半。
三角形中位线将三 角形周长分成相等 的两部分。
三角形中位线的应用
1 2
判断三条直线是否共点
通过三角形中位线可以判断三条直线是否共点 。
证明两个三角形相似
利用三角形中位线的性质可以证明两个三角形 相似。
四边形中位线与对角线有关， 而三角形中位线与对角线无关
。
比较应用
在几何测量中，四边形中位线可以用来计算四边形的周长和 面积。
三角形中位线定理可以用来证明一些几何题和解决一些几何 问题。
05
中位线的应用
在几何中的应用
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。
梯形中位线定理
在作图中的应用
利用中位线定理作图
中点四边形的判定和性质
中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。
又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。
2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。
因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。
3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。
由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。
4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《三角形中位线定理应用——中点四边形的讨论》
教学目标：1、学生能利用三角形中位线的性质判断中点四边形的形状，通过图形的变
换掌握简单添加辅助线的方法。
2、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。
3、通过学生通过小组合作交流与探究，培养学生的参与意识及合作精神，激
发学生探索数学的兴趣
教学重点：探究各类四边形的中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系
教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括
教学技术与学习资源应用：多媒体、基本教具
教学过程：
一、知识梳理
1、中点四边形的定义
如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
2、“一般四边形”的中点四边形
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、
BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。
二、合作探究——“特殊四边形”的中点四边形的形状
1、思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？
变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
3、思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？（合作探究）
结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
三、归纳总结
规律：
（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为___________
（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为______________
（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为_____________ 四、实践操作
1．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外
做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA
中点。
猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
2．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等腰
直角三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
猜
测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想
改：分别以AB、AC为边向⊿ABC形外作正方形ABDE、正方形
ACGF，M、N、P、Q分别是EF、BC、EB、FC的中点。
猜测四边形
MPNQ的形状，试证明你猜想的结论。
五、知识小结：
六、作业及拓展
1、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到
第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为.
2、如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…如此继续下去得到四边形A n B n C n D n
（1）证明四边形A1B1C1D1是矩形．
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积．
（3）写出四边形A n B n C n D n的面积．……。