四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理卷
四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学(理)试题
保密★启用前【考试时间2012年11月1日下午3:00〜5:00】：绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学 (理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷 3至4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题0标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第I卷（选择题，共60.分）—、选择题：本大题共彳2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目荽求的.1. 设集合，B={0, 1, 2}，则等于A. {0}B. {0，1}C. {0, 1， 2}D.2. 命题，则是A. B.C. D.3. 己知数列为等差数列，且，则的值为A. B. C. D.4. 设，，则A. c<b<aB. b<a<cC. c<a<bD. a<b<c5. 函数.的零点所在的区间为A. (-1，0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2，3)6. 如图，在，中，AD=2DB，DE=EC,若，则=A. B.C. D.7. 设函数的部分图象如下图所示，则/(力的表达式为A.B.C.D.8. 若函数在区间(O, 1)上单调递增，且方程的根都在区间[-2, 2]上，则实数b的取值范围为A. [O, 4]B.C. [2, 4]D. [3, 4]9. 已知定义在R上的奇函数/(X)是上的增函数，旦f(1)=2,f(-2)=-4,设.若是的充分不必要条件，则实数t的取值范围是A. B. C. D.10. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为A. .2400 元B. 2300 元C. 2200元D. .2000 元11. 已知函数则满足不等式.例X的取值范围为A. (0，3)B.C.D. (-1, 3)12. 已知定义在R上的函数f(X)满足且当,则等于A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 已知向量a=(2,1)，b=(x，-2)，若 a//b，则 x=______14. 已知偶函数在上是增函数，则n= _______15. 已知{a}是递增数列，且对任意的都有恒成立，则角θn的取值范围是_______16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M.给出下列命题：①所有奇数都属于M.②若偶数2k及属于M，则.③若，则,,④把所有不属于M的正整数从小到大依次择成一个数列，则它的前n项和其中正确命题的序号是_______•(写出所有正确命题的序号》三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）设向量，函数，.(I)求函数f(x))的最小正周期及对称轴方程；(I I )当时，求函数f(x)的值域. .18. (本题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差，且S 3+S 5=58，a 1,a 3,a 7成等比数列.(I)求数列{a n }的通项公式；(I I )若{b n }为等比数列，且记求T 10值.19. (本题满分12分）己知二次函数y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式f (x) <0的解集 是(O, 5). (I )求函数f(x)的解析式；(I I )设若函数在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. .20. (本题满分12分)在中，角A,B ，C 的对边分别是a,b,c,若(I)求角C 的值： (II) 若c=2，且,求的面积.21. (本题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且（其中t 为常数， 且t>0).(I )求证：数列{a n }为等比数列；(II )若数列{a n }的公比q= f(t},数列{b n }满足,求数列{b n }的通项公式；(III) 设’对（II )中的数列{b n }，在数列{a n }的任意相邻两项a k 与a k+1之间插 入k 个后，得到一个新的数列：记此数列为{c n }.求数列{c n }的前2012项之和.22. (本题满分14分）己知函数在;c=2处的切线斜率为.(I)求实数a 的值及函数f(x)的单调区间；(II) 设，，对使得成 立，求正实数的取值范围；(III) 证明：•绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x)=a ·b =(cos2x ，1)·(1==2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==，令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x)的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x)取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x)取得最小值f (2π)=-1．即f (x) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d+5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7， 即(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)，整理得a 1=2d ， 代入①得d=2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6) =5log 3(b 5·b 6) =5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y= f (x)是二次函数，且f (x)<0的解集是(0，5)，可得f (x)=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x)=ax(x-5)，代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a=1，∴ f (x)=x(x-5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h(x)= 2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x 3-(4k-10)x+5=x 3+2x 2-4kx+5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x=-2是h(x)的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h(x)=x 3+2x 2-4x+5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h(-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h(1)=13+2×12 -4×1+5=4， h(-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h(23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527，∴ h(x)的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分20．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………………………………8分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan 6π3，∴ S △ABC =123． ……………………10分若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．②联立①②，结合c=2，解得77∴ S △ABC =12absinC=1277×27．综上，△ABC 3或712分21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t-1)S 1=2ta 1-t-1，解得a 1=1， 由(t-1)S n =2ta n -t-1，得(t-1)S n+1=2ta n+1-t-1， 两式相减得(t-1)a n+1=2ta n+1-2ta n ，, ∴121n na t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21t t +为公比的等比数列．………………………4分（Ⅱ）∵ q= f (t)=21t t +，b 1=a 1=1，b n+1=21f (b n )=1n n b b +，∴11111n n nnb b b b ++==+，∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1nn b =， ∴ 1n b n=．………………………………………………………………………8分（III ）当t=13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =km c ，当k ≥2时，m k =k+[1+2+3+…+(k-1)]=(1)2k k +，∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=．设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62]显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n)2-(2n-1)2=4n-1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212．∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62)=1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x '=-，∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a=1．于是11()1x f x xx-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x)为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x)为减函数，即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g(x 2)成立， 只须f (x)max ≤g(x)max ．∵ 22()x kx kg x x++=2kx k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -+，∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分 （Ⅲ）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n nn --+++<+ (n∈N *，n ≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ，只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n nn --+++<+ ．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x)为减函数， f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx ≤x-1，∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n nnnn n nn -<=-<-=-+++，222222ln 2ln 3ln 23n n+++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n nn --+++<+ ．………………………………………14分。
绵阳市届高三第三次诊断考试数学试题及答案(理)
绵阳市高中2015届第三次诊断性考试（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第B卷2至4 页．共4页．满分150分考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则32ii-+等于（）A.－l＋iB. －1－iC. 1＋iD. 1－i2.已知向量为非零向量，则的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.己知函数的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A. 4B. 2C. 1D.1 24.一机器元件的三视图及尺寸如图示（单位：dm），则该组合体的体积为（）A. 80 dm3B. 88 dm3C. 96 dm}3D. 112 dm35.若则下列不等式成立的是（）A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D6.已知S为执行如图所示的程序框图愉出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A.－20B.20C.－203D.607.绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都到北京，则不同的出行安排有A. 180种B. 72种C. 216种D.204种8.已知函数给出如下四个命题：①f (x)在上是减函数；②在R恒成么③函数y＝f(x)图象与直线有两个交点．其中真命题的个数为（）A.3个B.2个C.1个D.0个9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长（）A.5B.6C. 7D.810.已知点是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足＝4，若AB 的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D第II卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
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四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .则下 列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)(5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD 内的概率为则BP BC .=A. 2B. 4C. 8 D . 168. 已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个A. 6B. 4C. 3D. 2第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y 2=4x 相交于A,B 两点，O 、F 分别为C 的顶点和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分）如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD 丄平面PAB(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.y=f(x)19. (本小题满分12分）已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值;n ∈N *恒成立的最大正整数m 的值；且与x 轴垂直，如图.(I)求椭圆C 的方程；为坐标原点)，且满足MQ PM t MQ PM .||||=+，求实数t 的取值范围.21. (本小题满分14分）绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 131415．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0∴ X的分布列为：∴X的数学期望0．∴ X………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，∵△PAB为等边三角形，∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ PO⊥AD．∵四边形ABCD是矩形，∴ AD⊥AB．②∵ AB与PO交于点O，由①②得：AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y 轴，OP所在直线为z AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(03)，D(-1，3，0)．∴DF=(2，-2，0)，AP=(1，0，AD=(0，3，0)，可求得平面ADP的法向量0，-1)，若直线DF与平面sinθ=|cos<n，DF>|=|||||DF nDF n⋅=⋅θ为锐角，∴…………………………12分18ω=2．∴∴即函数y=g(x)………………………………6分（Ⅱ）∵ 2sin∴∵ cos(A+B)=-cosC，，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，解得1（舍），∴于是由余弦定理得：∴ a2+b2=12-ab≥2ab，∴ ab≤4(当且仅当)．∴ S△ABC∴△ABC………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分∴∴n∈N*恒成立，∴化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分又∵y<1y>1．∵n∈N*，都有b n≤b4成立，∴，解得-6<a1<-4，即a1(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：C的短半轴长为半径的圆与直线相切，，解得b=1．再由a2=b2+c2∴分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ⋅=-4∉[，不成立；∵直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，直线的方程可设为：x=my+1，2+2my-3=0∴而OP OQ ⋅5≤4m +111(1)1PM x y m y =-+=+⋅；(MQ x =||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅∴11||||MQPM m +=∴ m 2≤1…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵ ()f x ' ∴ 当2x-1>0，即 f (x)∴ 当2x-1<0，即时，()f x '<0，于是 (x) ∵ ，∴ m+2>2．①mf (x)在m+2)上单增，∴f (x)min ②当 f (x)在m+2]上单调递增，∴min ∴ 综上所述：当 f (x)min =2e ；当 f (x)…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，()F x '，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x>1时，()F x '≥0，即F(x)在(1)+∞，上单增，∴ F(1)=e 2-2t≥0，即t②当t>e 2时，()F x '=0得．∴ F(x)在(1，+∞)上单增，∴ F(x)min ．∴不成立．∴ 综上所述：t 分x>0e ， ∴ ∴∴。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.554. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 210. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.【答案】A、详解：由题设有，选A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.详解：由题设有，故，所以的子集的个数为，选B.点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为.3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55【答案】B【解析】分析：题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算.详解：由题设有，故，解得，选B.点睛：本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点.4. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线过时，取最小值为6，选C.点睛：当题设条件给出的是关于的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.详解：在俯视图中，因为，所以，而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，又，所以在直角三角形中，，从而，，选C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解：，从而.而，所以，也就是，故所求概率为，选B.点睛：几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；又，所以，①正确；的中点为直线与直线的交点，又，.由得，故有，③正确，综上，选D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.11. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.详解：因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.又，因为，所以的最大值为，故，选B.点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有.令，.，当时，，在为单调增函数，所以的值域为.，当时，，当时，，当时，，所以当时，是减函数，当时，是增函数，当时，是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．【答案】16【解析】分析：展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.详解：的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.点睛：本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.详解：由题设有，从而有，为周期函数且周期为，所以 .点睛：一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．【答案】详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即，又，解得.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则，故，所以.点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.【解析】分析：（Ⅰ）题设给出了与的关系，从该关系可以得到或以及，故可得的两种不同的通项；（Ⅱ）数列为等差数列，其前项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可.详解：（Ⅰ）由已知，可得当时，，可解得，或，当时，由已知可得，两式相减得.若，则，此时数列的通项公式为.若，则，化简得，即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴综上所述，数列的通项公式为或.（Ⅱ）因为，故.设，则，显然是等差数列，由解得，∴当或，最小，最小值为.点睛：（1）一般地，如果知道，那么我们可以利用将前者转化为关于或的递推关系；（2）数列前项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.【解析】分析：（Ⅰ）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在吨到吨的概率为，而三年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.（Ⅱ）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为万元；方案二中，排列量在吨到吨的概率为，相应的经济损失为万，排放量不在此范围内的概率为，相应的经济损失为防治费万，故经济损失的数学期望为，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为万，故方案二较好.详解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.点睛：本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要从频率分布表中得到随机事件发生的概率，注意常见的离散型随机变量的概率分布（如二项分布、超几何分布等）.另外，这类问题还涉及到不同方案的选择，我们往往通过数学期望或方差来决定方案的优劣.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.（Ⅱ）取的中点为，可证，，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为， 故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点. 21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，设，.于是由，由得，于是，∴四边形最大值.点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由绝对值不等式知，当且仅当异号时等号成立，所以，故；（Ⅱ）原不等式等价于关于的不等式在有解，所以，由此解出的范围即可.详解：（Ⅰ），由已知，知，解得.（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.即，变形得，∴，∴.点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试(2013绵阳二诊)(word版)数学理
数学（理科）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 直线3x+y-1=0的倾斜角是 A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是 A. 0B. 1C. iD. i+13. 已知R b a ∈、,那么“ab<0”是“方程ax 2+by 2=l 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. 为了得到函数y= 3sin(2x+5π)图象上所有点的 A. 横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变2D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变5. —个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图 如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 A. 3B. 23C.4 3 D 636. 若log a (a 2+l)<log a 2a<0,则以的取值范围是 A. (O,21) B.(21，1) C. (O, 1)D. (O, 1)U(1, +∞)7. 现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位 女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 72 种8. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距为F ，右顶点为A ，抛物线y 2B,C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A.815 B.154 C.32 D.21 15 15329. 已知关于X 的一元二次方程x 2-2x+b-a+3=0,其中a 、b 为常数，点(a,b)是区域 Ω: ⎩⎨⎧≤≤≤≤40,40b a 内的随机点.设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2则x 1、x 2满足2110x x ≤≤≤的概率是169 10. 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径是 A. 3 或 8B. 8 或 11C. 5 或 8D. 3 或 11第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 《人再冏途之泰冏》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽 取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%,若按性别用分层抽样的方法 抽取釆访对象，则抽取的女观众人数为______人12. 右图表示的程序所输出的结果是 __________13.5的展开式的常数项是_____.(填写具 体数字）14. 我们把离心率之差的绝对值小于21的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线112422=+y x 与双曲线122=+ny m x 是“相近双曲线”,则m n 的取值范围是______15. 已知函数f (x),若对给定的三角形ABC,它的三边的长a 、b 、c 均在函数f (x)的定 义域内，都有f(a)、f (b ), f(c)也为某三角形的三边的长，则称f(x)是ΔABC 的“三角形函数”.下面给出四个命题： ①函数f1(x)= ∈ (0, + ∞)是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(O,+ ∞)上的周期函数f 2(x)的值域也是(0，+∞),则f 2(x)是任意三角 形的“三角形函数”；③若函数f 3(x)= x 3-3x + m 在区间（32m 的取值范围是(2762, +∞) ④若a 、b 、c 是锐角ΔABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则f 4(x) = x 2+ln;x (x>0)是 ΔABC 的“三角形函数”.以上命题正确的有_______(写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•16. (本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2- 2sin 2x (I)求f(x)的单调递减区间；(I I ) A 、B 、C 是ΔABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c.若f(8A )= 26,⋅=12 AC=129a=17. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 丄 底面ABCD, PD=DC ，点E 是PC 的中点，作EF 丄PB 交PB 于F. (I )求证：PA//平面EDB ；(II )求证：PB 丄平面EFD (III)求二面角C-PB-D 的大小.18. (本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为41 (I) 求甲投篮三次恰好得三分的概率；(II) 假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差，求随机变量X 的分布列.19. (本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项a 1=43,2a n+1a n =ka n -a n+1 N ∈N +,k 是不等于1的正常数). (I )试问数列是否成等比数列，请说明理由；(I I )当k=3时，比较a n 与5343++n n 的大小，请写出推理过程.点.(I )求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹五是什么图形？(II) 已知圆C 的圆心在原点，半径长为2是否存在圆C 的切线m,,使得m 与圆C 相切于点P,与轨迹E 交于A,B 两点，且使等式成立？若存在，求 出m 的方程；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=xlnx(x ∈(0,+ ∞) (I )求，g(x)=)),1((1)1(+∞-∈-++x x x x f 的单调区间与极大值；(II )任取两个不等的正数x 1,X 2,且X 1<X 2,若存在x 0>0使f ′(x 0)= 1212)()(x x x f x f --成立，求证：X 1<X 0<X 2(III) 己知数列{a n }满足a 1=1,求证:(e 为 自然对数的底数).绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减，解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+，即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4π，即sin(4A +4π，∴ 4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅ =c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分 17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=- ，，，，，．∴ 2=，这表明PA //EG ．而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴ PA //平面EDB ． ……………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB=(1，1，-1)．又11(0)22DE = ，，， 故110022PB DE ⋅=+-= ．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角．设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ，∵ PB FD ⋅ =0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =，∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =-- ，，，112()333FD =--- ，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ． ∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3，∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=．④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111(3n n a -=，即a n =331nn+=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x-3x -4(x ≥1)，则()F x '=3xln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅ =(OP PA + )۰(OP PB + )=2OP +OP PB ⋅ +PA OP ⋅ +PA PB ⋅，由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0．∴ OA OB ⋅ =2OP +PA PB ⋅ =2OP -AP PB ⋅=0．假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =代入椭圆22143x y +=，得y =． ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅ =0矛盾，故此时m 不存在．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴ |OP =b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k -+，x 1x 2=2241234k b -+，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=2241234kb -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()， ∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n+=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++- （1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯-- (- =1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++--- (- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理科数学试题 Word
2016届四川省绵阳市高三三诊考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=，则复数z 所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知{|{|2,1}x U x y M y y x ====≥，则U M =ðA. [1,2)B. (0,)+∞C. [2,)+∞D. (0,1]3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 为A. 4B. 6C. 7D. 84、“0x ∃>，使a x b +<”是“a b <”成立的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、已知实数[1,1],[0,2]x y ∈-∈，则点(,)P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩内的概率为A.34B.14C.18D.386．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）. 已知甲、乙均为得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有 A. 27种 B. 48种 C. 54种 D. 72种7．若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则()f x 的解析式可能是A. ()cos 8f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()sin 2cos2f x x x =-C. ()sin cos f x x x =D. ()sin 2cos2f x x x =+8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，P Q 、分别是棱1CD CC 、上的动点，如图，当1BQ QD +的长度取得最小值时，二面角11B PQ D --的余弦值的取值范围为 A. 1[0,]5B.C. 1[5D.9．设,M N 是抛物线24y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON =，过点()4,0A 作MN 的垂线与抛物线交于点P Q 、两点，则四边形MPNQ 面积的最小值为A. 80B. 100C. 120D. 160 10．已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是A.21(1,)21e e ---B. (1,)+∞C. 21(,2)21e e --D. 21(,)21e e -+∞-第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11．已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则______.t =12．若n⎛⎝的展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为________.13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润14．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,1A ，()0,4B . 若直线20x y m -+=上存在点P ，使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是__________.15．已知函数||,0()||,0a x a x f x x a a x --≥⎧=⎨+-<⎩，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数；②当4a ≥时，2()()f x a f x -≥对任意的x R ∈恒成立； ③()f x 的图像关于x a =和x a =-对称；④若对1(,2)x ∀∈-∞-，()2,1x ∃∈-∞-，使得12()()1f x f x =，则1(,1)2a ∈.其中正确的结论有_________. （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 16．（本小题满分12分）体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试. 现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(20,30]，第二组：(30,40]，……，第五组：(60,70]），并绘制成如右图所示的频率分布直方图. （I ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（II ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.17．（本小题满分12分） 已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足cos sin b a C c A =+. （I ）求A 的大小；（II ）若3cos ,55B BC ==，17BD BA =，求CD 的长18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足()2*12n n a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对*n N ∀∈恒成立，求实数λ的最小值. 19．（本小题满分12分） 如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形.在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相交于直线l .（I ）求证：l ⊥平面CDE ； （II ）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF 所成的角的正？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）直线1y kx =+与椭圆交于A B 、两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ，是否存在实数k ，使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）设函数()ln g x x =，()[(1)]()f x g x a g x λλλ=+--，其中,a λ是正常数，且01λ<<.（I ）求函数()f x 的最值；（II ）对于任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式00(1)|1|g x m x +-<成立？并说明理由；（III ）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对于任意正数12,a a 都有12121122a a a a λλλλ≤+.参考答案一、 选择题AADCD CBBAD 二、 填空题11. 212. -54013. 11.514 m -≤ 15.①②三、 解答题 16.（I ）第四组的人数为16人，中位数为47.5 （II ）据题意，第一组有2人，第五组有4人 于是0,1,2ξ=， ξ∴的分布列为E ∴17．（I ）在ABC ∆中，原式利用正弦定理可化简为sin sin cos sin sin B A C C A =+ 又()()()sin sin sin sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+cos sin sin sin A C C A ∴= 又sin 0C≠ sin cos A A ∴= 4A π∴=（II ）在ABC ∆中，4sin 5B ==由sin sin AC BCB A =，即45AC =AC = 又cos cos()C A B =-+2222cos49AB AC BC AC BC C ∴=+-= 7AB ∴=由17BD BA =，得1BD =2222cos 20CD BD BC BD BC B ∴=+-= CD ∴=18．（I ）当1n =时，()211114a a S +==，解得11a =当2n ≥时，()()22111144n n n n n a a a S S --++=-=-整理得()()1120n n n n a a a a --+--= 100n n n a a a ->∴+> 12n n a a -∴-=21n a n ∴=-（II ）1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭21n nT n ∴=+由题意得()221nn λ≥+对*n N ∀∈恒成立令()221n nb n =+，则()()()212221202321n n n b b n n +-++-=<++即1n n b b +<对*n N ∀∈恒成立即数列{}n b 为单调递减数列，最大值为119b =19λ∴≥，即λ的最小值为1919．（I ）证明：由题意，//AD EF EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF //AD ∴面BEF 又AD ⊂平面ABCD ，面ABCD 面BEF l = //AD l ∴ 由主视图可知，AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥，AD CD D =AD ∴⊥面CDE l ∴⊥面CDE（II ）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1,0,01,1,00,2,00,0,11,0,1A B C E F 、、、、()()1,0,0,0,1,1EF BF ∴==-则面BEF 的一个法向量为()0,1,1n = 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-cos ,MC n ∴<>==解得23m =或6m =（舍） 即存在满足题意的点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点） 20．（I ）设焦点(),0F c ，则2c a =222a c =由题意得，2211c a b⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得22b =，又222a b c =+，24a ∴=故椭圆的方程为22142x y +=（II ）依题意可知BC AC ⊥，且45BCO ACO ∠=∠=于是直线BC 的斜率1BC k =，直线AC 的斜率1AC k =- 设()()()11220,,,,0,A x y B x y C y 则2021BC y y k x -==，1011AC y y k x -==-联立可得()1221x x k x x +=-①联立22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2212420k x kx ++-= 12122242,1212k x x x x k k ∴+=-=-++②将①式平方，并将②式代入可得2412k +=或者20k =故存在满足条件的k 值，分别为12k =±或0k =21． （I ）()()'(1)()[1]x a f x x a xλλλλ--=+-0,10,0,0a x λλ>->>>∴当x a >时，'()0;0f x x a ><<时，'()0f x <()f x ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增。
四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试数学(理)试题
记此数列
·4·
HLLYBQ 整理
供“高中试卷网（） ”
(II) 设， 数的取值范围； (III) 证明：
，对
使得
成 立，求正实
•
绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． BCBCC AADDB AB
·3·
HLLYBQ 整理
供“高中试卷网（） ”
(I I ) 当
时，求函数 f(x)的值域.
. ，且 S 3+S 5=58，a1,a3,a7 成等比
18. (本题满分 12 分）已知等差数列{a n}的前 n 项和为 S n，公差 数列. (I)求数列{a n}的通项公式； ( I I ) 若{b n}为等比数列，且 记
第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
13. 已知向量 a=(2,1)，b=(x ，-2)，若 a// b ，则 x=______ 14. 已知偶函数 在 上是增函数，则 n= _______ 都有 恒成立， 则角θ
15. 已知{a n}是递增数列，且对任意的 的取值范围是_______
∴ S △ABC=
1 1 2 7 6 7 3 3 3 absinC= × × × = ． 2 2 7 7 2 7 2 3 3 3 或 ． ………………………………………12 分 3 7
综上，△ABC 的面积为
21．解： （Ⅰ）当 t=1 时，2an-2=0，得 a n=1， 于是数列{an}为首项和公比均为 1 的等比数列． ……………………………1 分 当 t≠1 时，由题设知(t-1)S 1=2ta1-t-1，解得 a1=1， 由(t-1)Sn=2tan-t-1，得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1， 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan， , ∴
四川省绵阳市2013届高三毕业班第三次诊断性考试理科综合(物理部分)解析版
A．在b、d两点的电势能相等
B．在a、c两点受到的电场力相同
C．从b点静止释放，将沿直线运动到h点，电势能保持不变
D．从f点静止释放，将沿直线运动到h点，电势能先减小后增大
②松手后，物体做_____。
A．半径更大的圆周运动B．半径更小的圆周运动
C．平抛运动D．直线运动
③若圆周运动的半径为0.4m，小物体质量0.3kg，每分钟匀速转300转，则细绳的拉力是______N
【解析】细绳作用在小物体的拉力沿绳指向圆心，提供小物体做圆周运动的向心力；松手后，小物体受重力和桌面支持力作用，合力为零，沿切向方向飞出，做匀速直线运动。由向心力公式知；[答案：①A，②B，③12π2]
5．一列简谐横波沿x轴负方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过四分之三个周期开始计时，则图乙描述的是
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
【解析】由题意，运用波形平移法或质点振动法画出之后的波形图如图所示（图中红色图像），
2．火星有两个卫星，分别叫做“火卫一”和“火卫二”。若将它们绕火星的运动看作匀速圆周运动，且距火星表面高度分别为h1和h2,线速度大小分别为v1和v2将火星视为质量均匀分布的球体，忽略火星自转影响，则火星半径为
A．B．C．D．
【解析】由万有引力提供向心力有：，则；同理可得：，则；联立解得：；[答案：A]
②为保护实验电路，在闭合开关S前，应将滑动变阻器的滑片拨在最大阻值处即b端，考虑待测电流表的量程，及题目要求，要有效控制电路，滑动变阻器应选R4；
四川省绵阳市高中高三第三次诊断性考试(数学理)
保密 ★ 启用前 【考试时间：2009年4月21日下午15:00—17:00】考生个人成绩查询请登录绵阳教育信息网（ ）绵阳市高中2009届第三次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷．全卷150分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡两部分一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用4B 或5B 铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用4B 或5B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）；如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(；正棱锥、圆锥的侧面积公式 cl S 21=锥侧，其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长；球的体积公式 334R V π=球，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．若集合P = { y ︱y = lg x ，x ＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，则 (R P )∩Q 等于A ．{－2，－1，1，2 }B ．（－∞，0）C ．（0，+∞）D ．{－2，－1 }2．设a = log 32，b = log 23，51log 21=c ，则A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 3．化简：=-+-+-22)1(1)1(1i ii i A ．i B ．－i C ．1 D ．－14．若向量a =（1, m ）和b =（2m + 3, －m ）共线，其中m ∈R ，则︱a －b ︱=A ．2或0B ．25C ．2或25D ．4或205．下列四个函数中，图象如右图所示的只能是A ．y = x + lg x （x ＞0） B ．y = x －lg x （x ＞0）C ．y =－x + lg x （x ＞0） D ．y =－x －lg x （x ＞0）6．若实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥,021,02,0y x y x y 则2x + 3y 的最大值为A ．2B ．6C ．8D ．97．计算：)221242(lim 2+-+-∞→n n n n n =A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－28．已知直线a 、b 、c 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是A ．a ⊥c 且b ⊥cB ．a ∥c 且b ∥cC ．a ∥α 且b ∥αD ．a 、b 与α 所成角相等9．从8名学生（其中男生6人，女生2人）中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛，若女生不排在最后一棒，则不同的安排方法种数为A ．1440 B ．960 C ．720 D ．36010．△ABC 中，角A 满足sin 4A －cos 4A ≤cos A －sin A ，则A ．0＜A ≤6π B ．0＜A ≤4πC ．4π≤A ≤43π D ．4π≤A ＜3π11．若椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率21=e ，右焦点为F （c ，0），方程ax 2+ 2bx +c = 0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P （x 1，x 2）到原点的距离为A ．2B ．27C ．2D ．4712．已知函数⎩⎨⎧<≥=.cos sin ,cos ,cos sin ,sin )(x x x x x x x f 给出函数f （x ）的下列五个结论：① 最小值为22-； ② 一个单增区间是（43π-，2π）；③ 其图象关于直线4ππ+=k x （k ∈Z ）对称； ④ 最小正周期为2π； ⑤ 将其图象向左平移4π后所得的函数是奇函数． 其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4绵阳市高中2009届第三次诊断性考试数 学（理科）第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．13．等比数列 { a n } 中，若a 1，a 7，a 4 成等差数列，则数列{ a n }的公比为 ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．14． 9)33(xx -的展开式中常数项等于 ．15．已知不平行于x 轴的直线y = kx + b （b ＞0）与抛物线x 2= 2py （p ＞0）交于A 、B 两点，点A 、B 到y 轴的距离的差等于2k ，则抛物线的焦点坐标为 ．16．设A 、B 、C 是球面上三点，线段AB = 2，若球心到平面ABC 的距离的最大值为3，则球的表面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）在△中，角，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．（1）若sin C + sin （B －A ）= sin 2A ，试判断△ABC 的形状；（2）若△ABC 的面积S = 33，且c =13，C =3π，求a ，b 的值．18．（本题满分12分）员）和参加义务植树的百姓植树种草、绿化环境的身影．某8人（5男3女）绿化组，为了提高工作效率，开展小组间的比赛，现分成A 、B 两个小组，每个小组4人．（1）求A 、B 两组中有一组恰有一名女绿化员的概率；（2）求A 组中女绿化员人数 ξ 的数学期望．19．（本题满分12分）中，侧面PAD ⊥底面ABCD ．ABCD 是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD ，∠APD = 90︒，E 、G 分别是BC 、PE 的中点． （1）求证：AD ⊥PE ；（2）求二面角E －AD －G 的大小； （3）求点D 到平面AEG 的距离．20．（本题满分12分）已知函数x xmx f -=)(，m ∈R ． （1）若f （x ）在（0，1] 内是减函数，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使x 在函数的定义域内取任意值时，f (x )≤－3恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．A PB C DG21．（本题满分12分）已知双曲线1222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两条渐近线互相垂直，F （2，0）是它的一个焦点．（1）求双曲线的方程；（2）过点F 作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1交双曲线于A 、B 两点，l 2交双曲线于C 、D FDFC ⋅的值．22．（本题满分14分）ln （1 + x ）与 x 的大小．（Ⅱ）已知数列 { a n } 中，a 1 = 1，对任意n ∈N *，211)211(n a a n n n ++=+． （1）当n ≥2时，求证：n nn a n a )21211(21++<+；（2）试利用（Ⅰ）中的结论证明：a n ＜e 2，其中e 是自然对数的底数．绵阳市高中2009级第三次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DABC BDAD CBAC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．q = 1或243-=q 14．－928 15．（0，21） 16．16π三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（1）由题意得 sin （B + A ）+ sin （B －A ）= sin 2A ，sin B cos A = sin A cos A ，即 cos A （sin B －sin A ）= 0，∴ cos A = 0 或 sin B = sinA A ． …………… 4分 因A ，B 为三角形中的角，于是2π=A 或B = A ．所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形． …………… 6分 （2）因为△ABC 的面积等于 33，所以33sin 21=C ab ，得 ab = 12． 由余弦定理及已知条件，得 a 2+ b 2－ab = 13．联立方程组⎩⎨⎧==-+,12,1322ab ab b a 解得⎩⎨⎧==,3,4b a 或⎩⎨⎧==.4,3b a …………… 12分18．（1）设“A 、B 两组中有一组恰有一名女绿化员”为事件A 1，则76)(4825234825231=+=C C C C C C A P ． …………… 4分（2）ξ 可取0，1，2，3． …………… 6分141)0(4845===C C P ξ，73)1(483513===C C C P ξ，73)2(482523===C C C P ξ，141)3(481533===C C C P ξ， …………… 10分所以 2314137327311410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …………… 12分19．（1）如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OE ，于是OP ⊥AD ．∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， ∴ OP ⊥面ABCD ． ∵ E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，∴ OE ∥AB ，∴ OE ⊥AD ，从而 AD ⊥PE ．……… 4分 （2）取OE 的中点F ，连结FG ，OG ，则 FG ∥OP ， ∴ FG ⊥面ABCD ，AD ⊥OG ，∴ ∠GOE 就是二面角E －AD －G 的平面角．∵ FG =21OP =21，OF =21CD =21，∴ ∠GOE = 45︒，即二面角E －AD －G 的大小为45︒． …………… 8分（3）由（1）知，O 是AD 的中点，所以点D 到面AEG 的距离等于点O 到面AEG 的距离h 的2倍．∵ V P －AOE =31S △AOE ×OP =31×21AO ·OE · OP =61． 又 AE = AP = PE =2，∴ V O －AEP =31S △AEP · h =31×2)2(43⋅· h =63h , 从而由 V P －AOE = V O －AEP 得 h =33，故点D 到面AEG 的距离等于332．…………… 12分另解（2） 以O 为原点，OE 、OD 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－1，0），D （0，1，0），E （1，0，0），G （21，0，21），∴ 21(-=，1，21-），21(=，1，21）．设平面ADG 的一个法向量为n 1 =（x 1，y 1，z 1）， 则 02121111=-+-z y x 且 0212111=+z x ，于是y 1 = 0，令 x 1 = 1，得 n 1 =（1，0，－1）．显然平面ADE 的一个法向量可以为n 2 =（0，0，1）．∵ cos<n 1，n 2>=||||2121n n n n ⋅⋅=22-，∴ <n 1，n 2> = 135︒．由题图可知二面角E －AD －G 的大小为45︒．20．（1）函数 f （x ）的定义域为（0，+∞）．∵ )21(21)(2212xx m x x m x f +-=--='-，APBC GOF∴ 当 f （x ）在（0，1] 内是减函数，有f ′（x ）≤0， 即 )21(2x x m +-≤0，得m ≥2xx -，由于此式对任意的x ∈（0，1] 成立，所以m ≥0． …………… 6分（2）当m ＞0时，若x →0，则f （x ）→+∞，说明f （x ）≤－3不恒成立，故m 不能为正数． …………… 7分 当m = 0时，f （x ）=－x ，在x ∈（0，+∞），也不能使f （x ）≤－3恒成立，故m ≠0． …………… 8分当m ＜0时，因x ∈（0，+∞），所以f （x ）＜0．假设f （x ）≤－3恒成立，即x xm-≤－3，而 x ＞0，则 m ≤x x 323-．设 g （x ）=x x 323-，x ＞0，有g ′（x ）=32321-x = 0，得 x = 4．∵ 当x ∈（0，4）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（4，+∞）时，g ′（x ）＞0， ∴ g （x ）在x = 4时取得最小值g （4）=－4，从而 m ≤－4．…… 12分 21．（1）∵ 双曲线的渐近线方程为x ab y ±=，∴ 1)(-=-⋅a ba b ，得 a 2= b 2，于是 c 2= a 2+ b 2= 2a 2= 4，因此 a 2= 2，b 2= 2．所以双曲线的方程为12222=-y x ． …………… 3分 （2）① 当直线l 1、l 2其中一条与x 轴垂直，不妨设l 1⊥x 轴时， 则)2,2(A ，)2,2(-B ，)0,2(-C ，)0,2(D ．∴ 2)2,0()2,0(-=-⋅=⋅FB FA ，2)0,22()0,22(=-⋅--=⋅，∴122-=-=⋅FDFC ． …………… 5分 ② 当直线l 1、l 2都不与x 轴垂直时， 设l 1：y = k （x －2），k ≠0，则 l 2：)2(1--=x ky ． 由 ⎩⎨⎧=--=2),2(22y x x k y 消去y ，整理得（k 2－1）x 2－4k 2x + 4k 2 + 2 = 0． ∵ l 1与双曲线有两个交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴ 142221-=+k k x x ，1242221-+=k k x x ，且⎪⎩⎪⎨⎧>+--=∆≠-,0)24)(1(416,012242k k k k 得 k ≠±1．又 y 1y 2 = k (x 1－2) k (x 2－2)，),2(11y x FA -=，),2(22y x FB -=， ∴ =+--=⋅2121)2)(2(y y x x (1 + k 2)(x 1－2) (x 2－2)= (1 + k 2) [ x 1x 2－2(x 1 + x 2) + 4 ] =1)1(222-+-k k ． ………… 8分以k 1-代k 得 1)1(222-+=⋅k k ， ∴1-=．综合①②，1-=． …………… 12分22．（Ⅰ）设f （x ）= ln （1 + x ）－x ，x ＞－1． 则当0111)(=-+='xx f 时，有x = 0． ∴ 当 f ′（x ）＞0时，得－1＜x ＜0，表明函数f （x ）的增区间是（－1，0）；当 f ′（x ）＜0时，得x ＞0，表明f （x ）的减区间是（0，+∞），即函数f （x ）= ln （1 + x ）－x 在（0，+∞）上是减函数，∴ f （x ）＜ f （0），即 ln （1 + x ）－x ＜0，得 ln （1 + x ）＜x （x ＞0）． …………… 4分（Ⅱ）（1）要证n n n a n a )21211(21++<+，因为211)211(n a a nn n ++=+，则问题等价于只需证a n ＞2（n ≥2）．① 当n = 2时，有 a 2 =2251)211(1>=++a ，a n ＞2成立． ………… 6分 ② 假设当n = k （k ≥2）时，结论成立，即a k ＞2，则当n = k + 1时有211)211(k a a k k k ++=+，结合归纳假设a k ＞2， 得221122212)211(kk a k k k ++=+⋅+>+＞2，所以a k +1＞2．由①②可知：当n ≥2时，有a n ＞2成立，也即n nn a n a )21211(21++<+． …………… 9分（2）a 1 = 1＜e 2显然成立．∵ n n n a n a )21211(21++<+，∴ n nn a n a ln )21211ln(ln 21+++<+， 所以 nn n n n n a a 2121)21211ln(ln ln 221+<++<-+，n ≥2． 又 21215.2ln 1ln 25ln ln ln 12+<=-=-a a ．当n ≥2时，有222321221ln ln +⨯<-a a ， 323421321ln ln +⨯<-a a ， …………12121)1(21ln ln --+-<-n n n n a a ， 将上述n －1个不等式相加，得)21212121(])1(131211[21ln ln 1322221-+++++-++++<-n n n a a ．因为 112)1121()3121()211(1)1(131211222--=---++-+-+<-++++n n n n , 113221121212121---=++++n n ， 所以 221)1(212ln ln 11<---<--n n n a a ，即 ln a n ＜2，所以a n ＜e 2．…………… 14分。
四川省绵阳市高三数学第三次诊断性考试试题理(扫描版)
绵阳市高2013级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．-540 13．11.514．-52≤m ≤52 15．①② 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（I ）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分 （II ）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人， 于是ξ=0，1，2，∴ P (ξ=0)=513634=C C ，P (ξ=1)=53362412=C C C ，P (ξ=2)=51361422=C C C ， ∴ ξ的分布列为ξ 0 1 2P51 53 51 (10)分∴ E ξ=0×51+1×53+2×51=1． ………………………………………………12分17．解：（I ）在△ABC 中，由正弦定理有，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ， 代入b =a cos C +c sin A 中，即得2R sin B =2R sin A cos C +2R sin C sin A ，∴ sin B =sin A cos C +sin C sin A ．…………………………………………………3分 ∵ sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )， ∴ sin(A +C )=sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A ， 整理得，cos A sin C =sin C sin A ， 由sin C ≠0，可得cos A =sin A ，∴ A =4π． ………………………………………………………………………5分（II ）在△ABC 中，sin B =54cos 12=-B ， 由A BCB AC sin sin =即22554=AC ，解得AC =24，………………………………7分 又∵ cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B=-5322⨯+5422⨯=102， ∴ AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C =32+25-2×24×5×102=49，∴ AB =7， ……………………………………………………………………10分于是由BA BD 71=可得BD =1，∴ CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos B =1+25-2×1×5×53=20，∴ CD =52．…………………………………………………………………12分18．解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=4)1(21+a ，整理得(a 1-1)2=0，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n -1-n S =4)1(4)1(212+-+-n n a a ， 整理得0)1()1(212=+---n n a a ，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ∵ a n >0，∴ 1-+n n a a >0， ∴ 21=--n n a a ，∴ {a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………5分（II ）)121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n n n a a n n ， ∴ T n =211a a +321a a +…+11+n n a a=)]121121()5131()311[(21+--+⋅⋅⋅+-+-n n=)1211(21+-n=12+n n， …………………………………………………………………8分由题知12+n n≤λ(2n +1)对∀n ∈N *恒成立，即 λ≥2)12(+n n对∀n ∈N *恒成立， …………………………………………9分 令b n =2)12(+n n ，则222221)12()32(2)12()12()32(1++++-=+-++=-+n n n n n n n b b n n ， ∵ 对∀n ∈N *，2n +1≥3，∴ -(2n +1)2+2<0，即01<-+n n b b ，于是n n b b <+1，∴ {b n }是单调递减数列， ……………………………………………………11分即数列{b n }的最大值为b 1=91，∴ λ≥91，即λ的最小值为91．………………………………………………12分19．（I ）证明：由题意，AD //EF ，∵ EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴ AD //面BEF ． ………………………………………………………………2分 又∵ AD ⊂面ABCD ，面ABCD ∩面BEF =l ，∴ AD //l ， ………………………………………………………………………3分 由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知，DE ⊥AD ， ∵ CD ∩AD =D ， ∴ AD ⊥面CDE ．∴ l ⊥面CDE ．……………………………………………6分 （II ）如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，∴ EF =(1，0，0)，BF =(0，-1，1)，……7分 设面BEF 的一个法向量n =(x ，y ，z )，E F z M则由EF ·n =0，BF ·n =0可得 ⎩⎨⎧=+-=，，00z y x 令y =1，则z =1， ∴ n =(0，1，1)， …………………………9分 设M (0，0，m )，则MC =(0，2，-m )， ∴ cos<MC ，n >=554222=+⋅-m m ， 解得m =32或m =6（舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）．……12分 20．解：（I ）设焦点F (c ，0)，则22=a c ，从而a 2=2c 2， 由题意有11)(22=+ba c ，即11212=+b ，解得b 2=2，又由a 2=b 2+c 2，于是2c 2=2+c 2，解得c 2=2，a 2=4，∴ 椭圆E 的方程为12422=+y x ． ………………………………………………4分（II ）依题意可知BC ⊥AC ，且∠BCO =∠ACO =45º，于是直线BC 的斜率为k BC =1，直线AC 的斜率为k AC =-1， ………………6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，y 0)，则1101-=-=x y y k AC ，1202=-=x y y k BC ， ∴ x 1=y 0-y 1=-k (x 1-1)+y 0，x 2=y 2-y 0=k (x 2+1)-y 0， 相加得x 1+x 2=k (x 2-x 1)． ………………8分联立⎩⎨⎧=++=，，42122y x kx y 消去y ， 整理得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴ x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2212k+-．………………………………………10分 把x 1+x 2=k (x 2-x 1)两边同时平方，可得(x 1+x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]，代入可得(2214k k +-)2=k 2[(2214k k +-)2-4×(2212k+-)]， 化简可得4k 2+1=2，或k 2=0，解得k =21±，或k =0，即存在满足条件的k 值，k =21±，或k =0．…………………………………13分21．解：（I ）xa x a x x a x x f ])1([))(1()1()(λλλλλλλλ-+--=--+='，∵ a >0，1-λ>0，λ>0，x >0，∴ 当x >a 时，)(x f '>0；0<x <a 时，)(x f '<0．∴ f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增，∴ f (x )有最小值f (a )=(1-λ)ln a ，没有最大值． ………………………………4分（II ）对∀m >0，∃x 0>0，使得1)1(00-+x x g <m 成立．其理由如下：………5分 x y CB A O令h (x )=ln(x +1)-x ，则1)(+-='x xx h ， 显然当x ≥0时，)(x h '≤0，所以h (x )在[)∞+，0上单调递减， ∴ h (x )≤h (0)=0，即ln(x +1)-x ≤0，于是可得当x >0时，ln(x +1)<x ，则01)1ln(<-+xx ，故1)1(-+xx g <m 等价于ln(x +1)+(m -1)x >0． ………………………………7分 设)(x ϕ=ln(x +1)+(m -1)x ，m >0，x >0，则1)1(111)(++-=-++='x m x m m x x ϕ， 当m ≥1时，)(x ϕ'>0，)(x ϕ在(0，+∞)上单调递增， ∴ 对∀x 0>0均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立，当0<m <1时，由)(x ϕ'>0可得0<x <m m -1，由)(x ϕ'<0可得x >mm-1，于是)(x ϕ在(0，m m -1)上是增函数，在(m m-1，+∞)是减函数，∴ 对∀x 0∈(0，mm-1)均有φ(x 0)> φ(0)=0恒成立．综上，对任意正数m ，都存在正数x 0满足条件． ………………………10分 （Ⅲ）证明：由（I ）知，对∀x >0，a >0，0<λ<1时， 都有ln[λx +(1-λ)a ]-λln x ≥(1-λ)ln a ．即ln x λ+λ-1ln a ≤ln[λx +(1-λ)a ]，令λ1=λ，λ2=1-λ，a 1=x ，a 2=a ，则)ln(2121λλa a ≤)ln(2211λλa a +， ∵ y =ln x 在(0，+∞)上是增函数，∴ 2121λλa a ≤2211λλa a +．……………………………………………………14分。
四川省绵阳市高中2013届第三次诊断性考试物理试题(绵阳二模, 物理,有解析)
绵阳市高2010级第三次诊断性考试 理科综合能力测试 物理参考答案及评分意见选择题（本题共7小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1.D2.A3. B4.D5.C6. BC 7 .AD非选择题（共68分）8．（1）①A （2分）；②D （2分）；③12π2（2分）。
（2）①如图（4分）；② b ，R 4（每空2分）； ③221111I r I R I r -=（3分）。
三．计算题 9．解：（1）设小物块在木板上滑落的过程中，小物块的加速度是a 1，位移为s 1，木板的加速度是a 2，位移为s 2，则ma 1＝μm g………（2分）21112o s t a t υ=-………（2分） s 2＝s 1－L………（1分） 21222s a t =………（2分） Ma 2＝μm g………（2分）解得a 1＝2m/s 2，s 1＝4m ，s 2＝0.5m ，a 2＝1m/s 2 M =2kg………（1分）（2）设摩擦力对木板所做的功为W ，则 W ＝μm gs 2………（2分） W P t=………（2分） 解得P ＝1W………（1分）10.解：(1) 导体棒ab 沿导轨匀速下滑时，设其中的电动势为E ，回路中的电流为I ，则 E ＝BL v ………（2分） E ＝I (R 1＋R 2) ………（2分） m 0g sin θ＝BIL ………（2分） 解得v ＝10 m/s………（2分）(2)设金属板M 、N 之间的电压为U ，带电微粒质量为m ，电荷量为q ，打在极板上的速度为v 2，则v 0＝v 2cos60º………（2分）2220111222q U m m υυ=-………（3分） U ＝IR 2 ………（2分）已知q m =4×106C/kg ，解得U ＝3V ，I ＝2A所以v 0＝2×103m/s………（2分）（另解：tan 60o y o υυ=，222d y a υ=⋅，q E ma =，U dE =，四式各1分）11．解：（1）设粒子经电场加速后的速度为v ，则212q U m υ=………（2分）设粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为R 1，则 L ＝R 1sin53º，即514R L =………（1分） 211q B mR υυ=………（2分）解得1B =………（1分）（2）设粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动轨道对应的圆心角θ1，则 θ1＝53º………（1分） 111R t θυ=………（1分）设粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动的圆心是O 2，半径为R 2，轨道对应的圆心角θ2，则222q B mR υυ= ………（1分）所以258R L=O如图，过O 2做AB 的垂线交AB 于C ，则 AC ＝R 2sin53º＝0.5L………（1分）即C 点是AB 的中点，所以粒子从B 点穿出Ⅱ区。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学理试题 Word版含答案
保密★启用前【考试时间：2013年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2召铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 直线3x+y-1=0的倾斜角是 A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是 A. 0B. 1C. iD. i+13. 已知R b a ∈、,那么“ab<0”是“方程ax 2+by 2=l 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. 为了得到函数y= 3sin(2x+5π)图象上所有点的 A. 横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变2 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变5. —个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图 如右图所示，则这个正三棱柱的体积为A. 3B. 23C.4 3 D 636. 若log a (a 2+l)<log a 2a<0,则以的取值范围是 A. (O,21) B.(21，1) C. (O, 1)D. (O, 1)U(1, +∞)7. 现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位 女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 72 种8. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为F ，右顶点为A ，抛物线y 2椭圆交于B,C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A.815B.154 C.32 D.21 15 15329. 已知关于X 的一元二次方程x 2-2x+b-a+3=0,其中a 、b 为常数，点(a,b)是区域 Ω:⎩⎨⎧≤≤≤≤40,40b a 内的随机点.设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2则x 1、x 2满足2110x x ≤≤≤的概率是169 10. 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径是 A. 3 或 8B. 8 或 11C. 5 或 8D. 3 或 11第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 《人再冏途之泰冏》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽 取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%,若按性别用分层抽样的方法 抽取釆访对象，则抽取的女观众人数为______人12. 右图表示的程序所输出的结果是 __________)5的展开式的常数项是_____.(填写具 体数字） 14. 我们把离心率之差的绝对值小于21的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线112422=+y x 与双曲线122=+ny m x 是“相近双曲线”,则m n 的取值范围是______15. 已知函数f (x),若对给定的三角形ABC,它的三边的长a 、b 、c 均在函数f (x)的定 义域内，都有f(a)、f (b ), f(c)也为某三角形的三边的长，则称f(x)是ΔABC 的“三角形函数”.下面给出四个命题：①函数f 1(x)= (0, + ∞)是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(O,+ ∞)上的周期函数f 2(x)的值域也是(0，+∞),则f 2(x)是任意三角 形的“三角形函数”；③若函数f 3(x)= x 3-3x + m 在区间（32m 的取值范围是(2762, +∞) ④若a 、b 、c 是锐角ΔABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则f 4(x) = x 2+ln;x (x>0)是 ΔABC 的“三角形函数”.以上命题正确的有_______(写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•16. (本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2- 2sin 2x (I)求f(x)的单调递减区间；(I I ) A 、B 、C 是ΔABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c.若f(8A )= 26,⋅=12 AC=129 a=17. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 丄 底面ABCD, PD=DC ，点E 是PC 的中点，作EF 丄PB 交PB 于F.(I )求证：PA//平面EDB ； (II )求证：PB 丄平面EFD (III)求二面角C-PB-D 的大小.18. (本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为41(I) 求甲投篮三次恰好得三分的概率；(II) 假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差，求随机变量X 的分布列.19. (本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项a 1=43,2a n+1a n =ka n -a n+1 N ∈N +,k 是不等于1的正常数). (I )试问数列是否成等比数列，请说明理由；(I I )当k=3时，比较a n 与5343++n n 的大小，请写出推理过程. 20. (本小题满分13分）动点M(x,y)与定点F(l,0)的距离和它到直线l: X =4的距离之比是常数21，O 为坐标原点. (I )求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹五是什么图形？(II) 已知圆C 的圆心在原点，半径长为2是否存在圆C 的切线m,,使得m 与圆C 相切于点P,与轨迹E 交于A,B 两点，且使等式成立？若存在，求 出m 的方程；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=xlnx(x ∈(0,+ ∞) (I )求，g(x)=)),1((1)1(+∞-∈-++x x x x f 的单调区间与极大值；(II )任取两个不等的正数x 1,X 2,且X 1<X 2,若存在x 0>0使f ′(x 0)= 1212)()(x x x f x f --成立，求证：X 1<X 0<X 2(III) 己知数列{a n }满足a 1=1,求证:(e 为 自然对数的底数).绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xx+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分 17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)，且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明PA //EG ．而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴ PA //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111(3n n a -=，即a n =331nn+=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n n n n --++，令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++；②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =代入椭圆22143x y +=，得y =． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ，∴ |OP =b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k +-，∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234kb -++22231234b k k +-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -，于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n+=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市高三数学第三次诊断性考试试题 理(扫描版
四川省绵阳市2017届高三数学第三次诊断性考试试题理（扫描版）绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CDABA ABDDC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．415．120 16．9三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）把(a +c )2=b 2+3ac 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理有cos B =2122222==-+ac ac ac b c a ，∴ B =3π． ………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，故sin B =sin(A +C )， 由已知sin B +sin(C -A )=2sin2A 可得sin(A +C )+sin(C -A )=2sin2A ， ∴ sin A cos C +cos A sin C +sin C cos A -cos C sin A =4sin A cos A ，整理得cos A sin C =2sin A cos A ． ………………………………………………7分 若cos A =0，则A =2π， 于是由b =2，可得c =332tan 2=B ， 此时△ABC 的面积为S =bc 21=332． ………………………………………9分 若cos A ≠0，则sin C =2sin A ， 由正弦定理可知，c =2a ，代入a 2+c 2-b 2=ac 整理可得3a 2=4，解得a =332，进而c =334， 此时△ABC 的面积为S =B ac sin 21=332． ∴ 综上所述，△ABC 的面积为332． ……………………………………12分 18．解：(Ⅰ)补全的列联表如下：∴ 083.24016080120)206020100(20022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K >2.072，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． ………………6分(Ⅱ) 由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为=⨯%1002002010%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵ X ~B (3，0.1)，X =0，1，2，3， ∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，243.0)1.01(1.0)1(213=-⨯⨯==C X P ，027.0)1.01(1.0)2(223=-⨯⨯==C X P ，001.01.0)3(3===X P ，∴ X 的分布列为∴ X 的数学期望)(X E 12分 19．解：(Ⅰ) 作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点．………………………………………………………2分证明：连接PN ，∵ N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴ PN //AF ，又PN ⊂平面MNC ，AF ⊄平面MNC ， ∴ 直线AF //平面MNC ．………………5分 ∵ PE //AD ，AD //BC ， ∴ PE //BC ， ∴2BM BCME PE==．………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知PN ⊥AD ，又面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF ∩面ABCD =AD ，PN ⊂面ADEF ，所以PN ⊥面ABCD ． …………………………………………………………8分 故PN ⊥ND ，PN ⊥NC ．………………………………………………………9分以N 为空间坐标原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系N -xyz ，∵ ∠ADC=3π，AD =DC =2， ∴ △ADC 为正三角形，NC =3，∴ N (0，0，0)，C (3，0，0)，D (0，1，0)，E (0，1，1)，∴ =(0，1，1)，=(3，0，0) ，=(0，0，1)，=(3，-1，0) ， 设平面NEC 的一个法向量n 1=(x ，y ，z )，则由n 1•=0，n 1•=0可得⎪⎩⎪⎨⎧==+，，030x z y 令y =1，则n 1=(0，1，-1) ． 设平面CDE 的一个法向量n 2=(x 1，y 1，z 1)，则由n 2•=0，n 2•DC =0可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，030111y x z 令x 1=1，则n 2=(1，3，0) ． 则cos< n 1，n 2>=2121n n n n ⋅=46223=，设二面角N -CE -D 的平面角为θ，则sin θ=2)46(1-=410， ∴ 二面角N -CE -D 的正弦值为410．………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由题意知，|ME |+|MF |=|MP |+|MF |=r =6>|EF |=4，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a =3，短半轴长为b =52322=-，∴ 曲线C 的方程为：15922=+y x ． …………………………………………4分(Ⅱ)由题知F (2，0)，若直线AB 恰好过原点，则A (-3，0)，B (3，0)，N (0，0)， ∴ NA =(-3，0)，=(5，0)，则m =53-， =(3，0)，BF =(-1，0)，则n =-3，∴ m +n =518-． ………………………………………………………………2分 若直线AB 不过原点，设直线AB ：x =ty +2，t ≠0，A (ty 1+2，y 1)，B (ty 2+2，y 2)，N (0，-t2)．则=(ty 1+2，y 1+t2)，AF =(-ty 1，-y 1)， NB =(ty 2+2，y 2+t2)，=(-ty 2，-y 2)，由NA mAF =u u u r u u u r，得y 1+t 2=m (-y 1)，从而m =121ty --；由NB nBF =u u u r u u u r，得y 2+t2=n (-y 2)，从而n =221ty --；故m +n =121ty --+(221ty --)=21212122)11(22y y y y t y y t +⨯--=+--． ……8分联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，159222y x ty x 整理得(5t 2+9)y 2+20ty -25=0，∴ y 1+y 2=95202+-t t ，y 1y 2=95252+-t ， ∴ m +n =212122y y y y t +⨯--=252022t t ⨯--=-2-58=518-． 综上所述，m +n =518-．………………………………………………………12分 21．(Ⅰ)证明：由题知x x x x x f e e 4ln )(--+=，于是xx x x x x x x x f x xx )e e 1)(1(e )1(e 1e )1(e 11)(-+=+-+=+-+='， 令x x x e e 1)(-=μ，则0e )1(e )(<+-='x x x μ(x >0)， ∴ )(x μ在(0，+∞)上单调递减． 又)0(μ=1>0，)e1(μ=1e 1e -<0， 所以存在x 0∈(0，e1)，使得)(0x μ=0， 综上f (x )存在唯一零点x 0∈(0，e1)． ………………………………………3分 解：当x ∈(0，x 0)，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在(0，x 0)单调递增； 当x ∈(x 0，+∞)，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在(x 0，+∞)单调递减． 故00000max 4ln )()(x e ex x x x f x f --+==，又000()1e e 0xx x =-=μ，001e e x x =，0x =01ln e x =0ln 1x --，故max )(x f 4)ln 1(ln 00---+=x x -01e e x x ⋅=-5-1=-6．……………………6分 (Ⅱ) 解：()p x >()q x 等价于ln 4e xx x ax +->．ln 4ln 4ln 4e e e x xxx x x x x x ax a x x +-+-+->⇔<=，…………………………7分令ln 4()e x x x h x x +-=，则2(1)(ln 5)()e xx x x h x x ++-'=-，令5ln )(-+=x x x ϕ，则011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在(0，+∞)上单调递增． 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴ 存在t ∈(3，4)，使得0)(=t ϕ．……………………………………………9分∴ 当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ0()()h x h x '⇒>⇒在(0，t )单调递增； 当x ∈(t ，+∞)， 0)(>x ϕ0()()h x h x '⇒<⇒在(t ，+∞)单调递减． ∵ 3(1)0e h =-<，2ln 22(2)02e h -=<，3ln31(3)03e h -=>， 且当x >3时，0)(>x h ， 又3(1)e h =，22ln 2(2)2e h -=>3ln31(3)3e h -=，42ln 2(4)4e h =，故要使不等式()p x >()q x 解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为3ln313e -≤22ln 22e a -<．…………………………………………………………12分22．解：(Ⅰ) 将C 1的参数方程化为普通方程为(x -1)2+y 2=3，即x 2+y 2-2x -2=0∴ C 1的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=. …………………………………2分将C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. ……………………5分（Ⅱ）将3πθ=代入C 1：22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得：12ρ=，即|OA |=12ρ=.∵ 曲线C 2是圆心在原点，半径为1的圆， ∴ 射线θ=3π(ρ≥0)与C 2相交，则21ρ=，即|OB |=21ρ=. 故12AB ρρ=-=2-1=1． ……………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ)当x ≤13时，f (x )=7-6x ，由f (x )≥8解得x ≤16-，综合得x ≤16-， 当13<x <2时，f (x )=5，显然f (x )≥8不成立， 当x ≥2时，f (x )=6x -7，由f (x )≥8解得x ≥52，综合得x ≥52， 所以f (x )≥8的解集是15(][)62，，-∞-+∞U ． ………………………………5分（Ⅱ）()336f x x a x =-+-≥(3)(36)6x a x a ---=-，()21g x x =-+≥1，∴ 根据题意|6-a |≥1，解得a ≥7，或a ≤5． ……………………………………………………10分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1- 【答案】D2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 【答案】A3.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.9B.9log 8C.5D.5log 8 【答案】B4.已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=，则=+y x ( ) A.2 B.1 C.0 D.21 【答案】C 【解析】5.已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a6.已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为( )A.21 B.31 C.41 D.51 【答案】A 【解析】7.若抛物线x y C 4:21=的焦点F 恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则双曲线2C 的离心率为( )A.12+B.122-C.223+D.226+ 【答案】A【解析】考点：抛物线、双曲线的几何性质.8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】B 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(文)试题(原卷版).docx
高中数学学习材料唐玲出品第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M ( )A.{}1B.{}1,1-C.{}1,0D.{}1,0,1-2.复数25-i 的共轭复数是( ) A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -23.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的体积为( )A.8B.6C.4D.34.已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( )A.2=aB.1=aC.0=aD.R a ∈5.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为( )A.5B.5log 8C.9D.9log 86.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1＜PA 的概率为( ) A.41 B.21 C.4π D.π 7.函数4ln )2()44ln()2()(2--+--=x x x x x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.08.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 左移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A.)2cos()(x x g π= B.)2cos()(x x g π-= C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g 9.已知椭圆)0(1222＞＞n m ny m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，它的面积S 满足)(5222c a b S --=，则椭圆的离心率为( ) A.41 B.51 C.22 D.42 10.设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，12222=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为( ) A.2 B.310 C.316 D.320 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.12．设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ,则y x z -=2的最大值为________. 13.已知幂函数)(x f y =的图像经过点)22,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________. 14.已知,a b 是两个单位向量，且3ka b a kb +=-，若,a b 的夹角为60°则实数=k ___.15.对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为m .如048.0=，164.0=，1495.1=，........,若2332x x <-+>=，则=x ________. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）证明：582,,a a a 成等差数列.17.（本小题满分12分）绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田的概率.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB= 4π，且(,)62ππα∈. （Ⅰ）若cos(α+3π)147-=，求1x 的值； （Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2.设f(α)=S 1+S 2,求函数f(α)的最大值.19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足AD=DC=CB=a AB =21在直角梯形ACEF 中，︒=∠90,21//ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角. （Ⅰ）求证：AF BC ⊥；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积. 甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙 10 30 47 27 46 14 26 10 44 4620.（本小题满分13分）已知函数,221ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a . （Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值；（III ）试着讨论)(x f 的单调性.21.（本小题满分14分） 已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x 轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FB FA 32=.（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.。
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绵阳市高中2010级第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x ≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x ≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .则下 列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)(5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD 内的概率为BP=2,则BP BC .=A. 2B. 4C. 8 D . 168. 已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个A. 6B. 4C. 3D. 2第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______15.若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n成立，记这样的m的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做 数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小題满分12分） 绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分） 如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD :AB=3: 2, ΔPAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD丄平面PAB(II)求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值.y=f(x)19. (本小题满分12分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8.(I)求公差d的值;恒成立的最大正整数m的值；且与x轴垂直，如图.(I)求椭圆C的方程；21. (本小题满分14分）绵阳市高2010级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 13．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0∴ X 的分布列为：∴ X 的数学期望∴ X 12分17．解：（Ⅰ）取AB 的中点为O ，连接OP ，∵ △PAB 为等边三角形， ∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥平面ABCD ， ∴ PO⊥AD．∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD⊥AB．②∵ AB 与PO 交于点O ， 由①②得：AD ⊥平面PAB ，∴ 平面PAD ⊥平面PAB ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB 的中点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，过O 平行于BC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，，D(-1，3，0)．∴DF =(2，-2，0)，AP =(1，AD=(0，3，0)，可求得平面ADP 的法向量0，-1)，若直线DF 与平面PADsin θ=|cos<n ，DF>|=θ为锐角，∴cos θ…………………………12分18ω=2．∴∴………………………………6分∴∵ cos(A+B)=-cosC ，，，即cosC=2cos 2C-1，整理得2cos 2C-cosC-1=0，解得1（舍），∴于是由余弦定理得：∴ a 2+b 2=12-ab ≥2ab ，∴ ab ≤4(时等号成立)．∴ S △ABC∴ △ABC ………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，∵ S 4=2S 2+8，即4a 1+6d=2(2a 1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分∴∴n ∈N*恒成立，∴化简得：m 2-5m-6≤0，解得：-1≤m ≤6．∴ m 的最大正整数值为6．……………………………………………………8分 （Ⅲ）由d=2，得 a n =a 1+2n-2，又∵y<1y>1．∵ n ∈N*，都有b n ≤b 4成立，∴，解得-6<a 1<-4，即a 1(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得： C 的短半轴长为半径的圆与直线相切，，解得b=1．再由 a 2=b 2+c 2分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ ⋅=-4∉[，不成立；∵ 直线的斜率不为0，设P(x 1，y 1)(y 1>0)，Q(x 2，y 2)(y 2<0)， ，22+2my-3=0∴ y 1+y 2y 1y 2而x 1x 2=(my 1+1)(my 22∴m2≤113分21．解：（Ⅰ）∵()f x' =∴当2x-1>0，即时，()f x'>0，于是f (x)∴当2x-1<0，即时，()f x'<0，于是 (x)∵ m+2>2．①m0<mf (x)上单减，在m+2)上单增，∴f (x)min②当 f (x)在[m，m+2]上单调递增，∴f (x)min∴综上所述：当0<m f (x)min=2e；当……………………………………………………………………4分（Ⅱ）构造()F x' =，①当t≤e2时，e2x-t≥0即F(x)在(1)+∞，上单增，∴F(1)=e2-2t≥0，即t②当t>e2时得．∴ F(x)在(1，+∞)上单增，∴ F(x)min．∴不成立．∴综上所述：t9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0e，∴∴∴14分。