2012届高三文科数学选择题、填空题专项训练(4)

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新课标2012年高三年级高考模拟文科数学试题

正视图侧视图俯视图图1新课标2012年高三年级高考模拟文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合N x x x A ∈<≤=且30{}的真子集．．．的个数是( ) A ．16 B ．8C ．7D ．42．若复数)(13R x iix z ∈-+=是实数，则x 的值为( ) A. 3- B. 3C. 0D.33．曲线C ：x x y +=2在1=x 处的切线与直线 ax －y + 1 = 0 互相垂直，则实数a 的值为( ) A. 3B. －3C.31 D. －31 4．下列四个函数中,在区间(0,1)上为减函数的是( )A.2log y x =B.1y x =C.1(2xy =- D.13y x = 5．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+6. 下列命题：①若p ，q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件. ②若p 为：02,2≤+∈∃⨯x x R ，则p ⌝为：02,2>+∈∀⨯x x R . ③命题“032,2>+-∀x x x ”的否命题是“032,2<+-∃x x x ”. ④命题“若,p ⌝则q ”的逆否命题是“若p ，则q ⌝”. 其中正确结论的个数是A ．1 B. 2 C.3 D.47．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是A ．x y 2±=B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±=第9题图8．将函数）（3cosπ+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数的最小正周期为A ．πB ．2πC ．4πD ．8π9．阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 A ．1 B ．12CD10．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于 A.41 B. 87 C ．21-D.41-11. 数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1{}1n a +是等差数列，则11a =A. 0B.111C ．113-D.17-12．已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是A.),0[]1(+∞--∞B.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 . 14．已知幂函数()y f x =的图象过点1,22⎛ ⎝⎭，则2log (2)f =_______.15、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，2cos sin =+B B ，则∠A= 。

2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a ，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为() A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以21 2a=，213 122S=+=.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C 项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴AC=又1CC=AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为C H的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB=.∴||5CD==.∴2||25AD ==. ∴4544445()5555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m＝.∴m 又24c ==， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞1log 2=，121e2z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12， ∴2112KX =，∴X 2为HD 中点，2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x )8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r ＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin xx＝1π2(sin )2sin()23x x x =-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角，在△AEA 1中，2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ，故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-，整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，… a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =P A =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC = 从而PC FC =，ACEC =，因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC ．又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (220,0)，D 2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (23，0，23)，B 2b,0)．于是PC ＝(220，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b =-，n ＝(1，b-)．因为面P AB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b = 于是n ＝(1，－1)，DP ＝(2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ， P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1x2＝－1当x∈(－∞，－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－11时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x1－a)＋23ax1＝23(a－1)x1－3a.同理，f(x2)＝23(a－1)x2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----．由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |=，即2r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M=化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l的距离d ==.。

2012数学高考试题及答案

2012数学高考试题及答案[一、选择题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，且 A、B 两点的横坐标之和为 -1，则该函数 f(x) 的表达式为：A) f(x) = x^2 + x + 1 B) f(x) = x^2 + x - 1C) f(x) = x^2 - x + 1 D) f(x) = x^2 - x - 1答案：D2. 已知等差数列 {an} 的公差为 2，若 a1 + a2 + ... + a10 = 100，则a1 + a4 + a7 + ... + a28 =A) 252 B) 260 C) 268 D) 276答案：C3. 已知几何体的一个棱长为 2，且该几何体的其它各边长全都大于1，则这个几何体可以是：A) 正四面体 B) 正六面体 C) 正八面体 D) 正十二面体答案：C4. 已知函数 f(x) = log[size(base a)](3x - 2)，其中 a > 1，则 f^(-1)(3) =A) (a^3 - 2) / 3 B) a^3 - 2 C) a^3 + 2 D) (a^3 + 2) / 3答案：A[二、填空题]1. 某地区市场调查表明，70% 的家庭有电话，80% 的家庭有电视，60% 的家庭有汽车。

调查结果表明至少有一种物品的家庭占总数的百分之几？答案：90%2. 设 a = log[size(base 2)]7，b = log[size(base 3)]7，c = log[size(base 7)]2，则 a × b × c =答案：13. 在甲、乙两列数中，甲列为等差数列，乙列为等比数列，甲、乙两列的首项均为 1，且甲列的前 100 项的和等于乙列的前 100 项的积，则公比 q =答案：104. 设函数 f(x) = a^x + b^x + c^x + d^x，其中 a、b、c、d 为正数，且a > 1，b > 1，c > 1，d > 1，则 f(1) =答案：4[三、解答题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c，若其图像在直线 y = 3x 上方，则函数 f(x) 的图像与直线 y = 3x 交于一个实数解 x，求 b 的取值范围。

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

B．y=x2﹣1（x≥1）
C．y=x2+1（x≥0）
D．y=x2+1（x≥1）
3．（5 分）若函数
是偶函数，则 φ=（）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知 α 为第二象限角，
，则 sin2α=（）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x=﹣4，则该椭圆的方程为（）
数为（）
A．8
B．6
C．4
D．3
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在试卷上作答无效）
13．（5 分）
的展开式中 x2 的系数为．
14．（5 分）若 x，y 满足约束条件
则 z=3x﹣y 的最小值为．
15．（5 分）当函数 y=sinx﹣ cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ． 16．（5 分）已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC1 的中点，那么
18．（12 分）已知数列{an}中，a1=1，前 n 项和（1）求 a2，a3；（2）求{an}的通项公式．
19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，，PA=2，E 是 PC 上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BED；（Ⅱ）设二面角 A﹣PB﹣C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
B．z＜x＜y
，则（） C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
12．（5 分）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，
．定点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，

2012高考湖南文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i3．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠D ．若tan α≠1，则π4α=4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg6．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c ca b>；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A ．32 B ．332 C ．362+ D ．3394+9．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________． 13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差()()()2222121[]n s x x x x x x n=-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ⋅=________.16．对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ×2k＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量 1至4件 5至8件 9至 12件 13至 16件 17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． (注：将频率视为概率)18．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ，ω＞0，π02＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间． 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD ．(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．21．在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．22．已知函数f (x )＝e x －ax 1，其中a ＞0.(1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1.又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”． 4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线by x a=上， ∴21ba=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为221205x y -=. 7． D ①()c c c b a a b ab--=，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()0c b a ab->. 即0c ca b->.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数．又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0，∴log ()lg()lg log ()lg lg()b a a c a c ab c b b c --=--. ∵lg()1lg()a c b c ->-，lg 1lg ab >， ∴lg()lg 1lg lg()a c ab bc ->-，故③正确． 8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·BC cos B ，即7=AB 2+4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB =－1(舍去)或AB =3.故BC 边上的高AD =AB ·sin B =3×sin60°=332. 9． B 由x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0可知：当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(π2，π)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．又∵x ∈[0，π]时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，可画出f (x )的草图为：对于y ＝f (x )－sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出y ＝sin x 的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1；把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上，即(22)2＋0＝a 2. 又∵a ＞0，∴22a =. 11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7. 12．答案：{x |2≤x ≤3}解析：∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0.∴2≤x ≤3. 13．答案：6.8解析：∵89101315115x ++++==，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511) 6.85s -+-+-+-+-==. 14．答案：4解析：i ＝1时，x ＝4.5－1＝3.5；i ＝1＋1＝2时，x ＝3.5－1＝2.5； i ＝2＋1＝3时，x ＝2.5－1＝1.5； i ＝3＋1＝4时，x ＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i ＝4. 15．答案：18解析：∵过C 作BD 的平行线，延长AP 交该平行线于点Q ，则AQ ＝2AP ＝6.故||||cos ,||||3618AP AC AP AC AP AC AP AQ ⋅=⋅=⋅=⨯=.16．答案：(1)3 (2)2解析：(1)由题意知2＝1×2，b 2＝1；4＝1×22，b 4＝1；6＝1×22＋1×2，b 6＝0；8＝1×23，b 8＝1，所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3.(2)①若n 为偶数，且b n ＝0，则n ＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20中a 0＝0，且a k ，a k －1，…a 1中有偶数个1，n ＋1＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋1×20，b n ＋1＝1 n ＋2＝a m ′ ×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋0×20，若b n ＋2＝0，此时c m ＝1；若b n ＋2＝1，则n ＋3＝a m ′×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋1×20，则b n ＋3＝0，此时c m ＝2.②若n 为奇数，n ＝a k ×2k ＋…＋1×20，且b n ＝0，则n ＋1＝a m ′ ×2m ＋…＋a 1′ ×21＋0×20，若b n ＋1＝0，此时c m ＝0.若b n ＋1＝1，则n ＋2＝a m ′×2m ＋…＋a 1′ ×21＋1×20，b n ＋2＝0. 此时，c m ＝1.综上所述，c m 的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020P A ==，2303()10010P A ==，3251()1004P A ==. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝33172010410++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π2T ω==，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<，从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=.又点(0,1)在函数图象上，所以πsin16A =，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)ππππ()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x =-+-++ ＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝132sin22(sin2cos2)22x x x -+＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以P A ⊥BD ．又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面P AC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面P AC ，而PC 平面P AC ，所以BD ⊥PC ．(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角，从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO 平面P AC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD ．因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，2222OD AD ==，所以PD ＝2OD ＝42，224PA PD AD =-=.故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12. 20．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]．整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解得13[()2]10001000(32)2332()12m m m m mm d +-⨯-==--，故该企业每年上缴资金d 的值为11000(32)32m m m m+--时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．21．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，其焦距为2c . 由题设知c ＝2，12c e a ==，所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且1212k k =. 由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得101021|2|21k y k x k +-=+，即[(2－x 0)2－2]k 12＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 02－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 02－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 02－2＝0的两个实根．于是20(2)20,0,x ⎧--≠⎨∆>⎩①且20122021(2)22y k k x -==--. 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩ 得5x 02－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2或0185x =. 由x 0＝－2得y 0＝±3；由0185x =得0575y =±，它们均满足①式，故点P 的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或1857(,)55，或1857(,)55-． 22．解：(1)f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a ，于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1.①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减．故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1. 因此，当且仅当a ＝1时，①式成立．综上所述，a 的取值集合为{1}．(2)由题意知，21212121()()e e x x f x f x k a x x x x --==---.令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x －2121e ex x x x --，则φ(x 1)＝121e x x x --[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝221e x x x -[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]，令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减；当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0.又121e 0x x x >-，221e 0x x x >-，所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．。

2012年陕西高考数学文科试卷带详解

2012陕西高考数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =…，则M N = （） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ． [1,2] 【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】解不等式，用描述法表示集合，求两集合的交集．【参考答案】C【试题解析】{}{}{}1,22,12, C.M x x N x xM N x x =>=-∴=< 故选剟?2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 【测量目标】函数单调性和奇偶性的判断．【考查方式】一一列举各种函数，直接考查函数的奇偶性和单调性．【参考答案】D【试题解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）第3题图A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 【测量目标】茎叶图．【考查方式】给出茎叶图直接计算平均数，众数，极差．【参考答案】A【试题解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56．所以选A ．4．设,a b ∈R ，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【测量目标】复数的基本概念，充分必要条件的逻辑关系．【考查方式】用复数的代数式直接考查充分必要条件．【参考答案】B【试题解析】当0ab =时，0a =或0b =，i b a +不一定是纯虚数，反之当iba +是纯虚数时，因此B 正确．5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（）A ． q =NM B ． q =MNC ． q =NM N +D ． q =MM N+【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】用算法计算及格和不及格的人数，补充算法中所需的条件．【参考答案】D【试题解析】因为执行判断框“是”计算的及格的总分数M ，“否”统计的是不及格的成绩，所以及格率.Mq M N=+选D ．6．已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（） A ．l 与C 相交 B ． l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能【测量目标】点，直线与圆的位置关系．【考查方式】给出圆的一般方程和过直线点的坐标，直接判断直线和圆的位置．【参考答案】A【试题解析】因为点P （3,0）在圆的内部，所以过点P 的直线必与圆相交．选A ． 7．设向量a =（1,cos θ）与b =（1-，2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（） A．2B ．12C ．0D ．1-【测量目标】平面向量的数量积运算，二倍角公式．【考查方式】给出向量坐标，根据向量垂直的关系式，利用2倍角公式转化，求值．【参考答案】C【试题解析】220,12cos 0cos22cos 10θθθ⊥∴=∴-+=∴=-= a b a b 正确的是C ． 8．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）图1 图2第8题图AB C D【测量目标】平面图形的直观图和三视图.【考查方式】通过观察想象图形的三视图，得出答案．【参考答案】B【试题解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中1D A 的正投影是正方形的对角线（实线），1B C 的正投影被遮住是虚线，所以B 正确．9．设函数2()ln f x x x=+ 则（） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x)的极小值点C ．x =2为 f (x )的极大值点D ．x =2为 f(x )的极小值点【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】对所给函数求导，判断导函数的单调性，求出极值点．【参考答案】C【试题解析】22212()x f x x x x-'=-+= ，当2x >时，()0f x '>；当2x <时()0f x '<，2x ∴=时极小值点．选C ．10．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a < b ），其全程的平均时速为v ，则（）A ．a <vB ．vC ．v <2a b + D ．v =2a b+ 【测量目标】基本不等式与应用．【考查方式】通过一个实际问题列出不等式，并用均值不等式求出题中代数的关系式．【参考答案】A【试题解析】设从甲地到乙地所走的路程为S ，则22221122,, A.2S ab v S S a b a ba bab a a b v a a v a b a==<=+++<∴=>=∴<<+ =二．填空题11．设函数发0()1,02x x f x x ⎧⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩…，则f （f （4-））=______【测量目标】分段函数值的求解．【考查方式】给出分段函数的解析式，直接求出函数值．【参考答案】4【试题解析】41(4)()16,((4))(16)42f f f f --==∴-== ．12．观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111512343+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 ____________________________ 【测量目标】合情推理．【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜出一般的规律，得到答案．【参考答案】2222211111111++.234566+++< 【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从1、2、3、4、5的平方依次增加1后的平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：2222211111111++.234566+++<13. 在三角形ABC 中，角A ,B ,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a =2 ，B =π6，c b =_______【测量目标】解三角形．【考查方式】给出两边和一角，利用余弦定理直接求出三角形一边长．【参考答案】2【试题解析】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理得b =2．14．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米【测量目标】抛物线的简单几何性质．【考查方式】用实际问题给出有关抛物线的数据，并计算出抛物线的标准方程，继而求出水面的宽度．【参考答案】【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A （2，2-）则抛物线方程为2222,2=2(2),2=2,2,x py p p x y =---∴=-代入得当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B （a ,3-)则代入抛物线方程得：a 因此水面宽15.A （不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-…成立，则实数a 的取值范围是____【测量目标】绝对值不等式．【考查方式】直接根据绝对值不等式的性质求出a 的取值．【参考答案】24a -剟【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得)(1)3,13,2 4.x a x a a ---∴--（剟剟15 B （几何证明选做题）在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB = 【测量目标】相似三角形的性质，相交弦定理．【考查方式】从圆中相似三角形得到相似比，再根据圆中相交弦定理得出结果．【参考答案】5【试题解析】22Rt Rt ,,=,=15 5. 5.DF DEDEF DEB DE DF BD DE BDDE AE EB DF BD ∴==⨯=∴= △△即又由相交弦定理得 15 C （坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为【测量目标】极坐标方程．【考查方式】将给出极坐标化成普通方程，再由勾股定理求弦长．【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线三．解答题：16.已知等比数列{}n a 的公比为q =12-．（1）若3a =14，求数列{}n a 的前n 项和；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ，k a ，2k a +，1k a +成等差数列【测量目标】等比数列的前n 项和及等差数列的性质．【考查方式】给出公比和数列一项求出首项，再求出等比数列前n 项和；并根据等比数列的概念和通项公式进行证明．【试题解析】解：（1）由通项公式可得2311111()1,(1)241111()2()22.131()2n n n a a a S -=-==⎡⎤⨯--+-⎢⎥⎣⎦==--得步骤再由等比数列求和公式得：（步骤2）（2）证明：112111112121121,2()2()11(21)(2()()1)0,222()0,k k k k k k k k k k k k a a a a q a q a q a q q q a q a a a +-++--++∈∴-+=-+=--=----=∴-+=∴+N 成等差数列.（步骤3）17．（本小题满分12分）函数π()sin()16f x A x ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，（1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【测量目标】三角函数的图象和性质、由函数图象求解析式．【考查方式】根据图象的性质求出函数的各项系数，得到三角函数解析式；利用解析式和三角函数的关系判断出所给角度的大小．【试题解析】1)132π2π,π.222π()2sin(2) 1.6A A T T Tf x x ω+=∴=∴==∴==∴=-+ 解：（，，又函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期，，（步骤1）（步骤2）ππ12()2sin()12,sin(),2662ππππ0,,2663πππ,.663f ααααααα=-+=∴-=<<∴-<-<∴-=∴= （）（步骤3）（步骤4）（步骤5）18．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C - 中，1AB AA =，π2CAB ∠=．（1）证明11CB BA ⊥；（2）已知2AB =，BC =，求三棱锥11C ABA -的体积．【测量目标】垂直关系的证明，直三棱柱体积的计算．【考查方式】由线面垂直到线线垂直之间的不断转化.体积公式求解三棱柱体积．【试题解析】（1）如图，连结1AB , ∵111ABC A B C -是直三棱柱，π2CAB ∠=．， ∴AC ⊥平面11ABB A ，∵1BA ⊂平面11ABB A ∴1AC BA ⊥．（步骤1）又∵1AB AA =，∴四边形11ABB A 是正方形，∴11BA AB ⊥，又1CA AB A = ， ∴1BA ⊥平面1CAB ，∵1CB ⊂平面1CAB ，∴11CB BA ⊥．（步骤2）（2）∵12AB AA ==，BC =，∴111AC AC ==．（步骤3）由（1）知，11AC ⊥平面1ABA ， ∴1111111221333C ABA ABA V S AC -==⨯⨯= △．（步骤4） 19．（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：甲品牌乙品牌（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【测量目标】频率分布直方图．【考查方式】通过频率直方图直接计算概率，据总体计算出甲达到要求的数量计算所求概率．【试题解析】5+2011200=10041200.4解：（）根据题意知：甲品牌产品寿命小于小时的频率为，因为用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于小时的概率为 2+=751515=.1452929（）有抽样结果，寿命＞200小时的产品有7570145个，其中甲品牌产品75个，因而在样本中寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，由此估计概率为 20．（本小题满分13分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率．（1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点,A B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线的方程，直线与椭圆的位置关系．【考查方式】给出一个椭圆的标准方程求另一个与之有相同离心率的椭圆方程，根据点在直线上，点在椭圆上的坐标关系求出过两点的直线标准方程．【试题解析】（1）由已知可设椭圆2C 的方程为2221(2)4y x a a +=>，（步骤1）∵椭圆1C 和椭圆2C的离心率为2，=4a =． ∴椭圆2C 的方程为221164y x +=．（步骤2）（2）设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由2OB OA =及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，∴可设直线AB 的方程的方程为y kx =．（步骤3）∴椭圆2C 的方程为221164y x +=，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得212414x k =+，由221164y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222164x k =+，（步骤4）由2OB OA = ，得22214x x =，即221616414k k =++，解得1k =±，∴直线AB 的方程为y x =或y x =-．（步骤5） 21．（本小题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c =++∈∈*N R ．（1）设2,1,1n b c ==-…，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1,(1)1f f -剟，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，求b 的取值范围．【测量目标】函数零点的求解和判断，求函数的最大最小值，函数性质的综合应用．【考查方式】通过问题条件解出函数解析式，根据原函数单调性确定零点；计算具体函数值的代数形式，依靠不等式判断代数和的大小；以及利用分析推理论证，运算等方式解决更深层次的函数导数问题．【试题解析】(1)当2,1,1n b c ==-…时，()1n n f x x x =+-， ∵111()(1)(())10222nn n f f ⋅=-⨯<，（步骤1） ∴()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．又∵1(,1)2x ∈，1()10n n f x nx -'=+>，（步骤2）∴()n f x 在区间1(,1)2上是单调的，∴()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点．（步骤3）（2）由题意，知(1)1(1)1f b cf b c -=-+⎧⎨=++⎩，∴(1)(1)2f f b --=，(1)(1)12f f c +-=-，（步骤4）∴32(1)(1)3b c f f +=+--，∵1(1)1,1(1)1f f ---剟剟，∴630b c -+剟，∴3b c +的最小值为6-，最大值为0．（步骤5）（3）当2n =时，22()f x x bx c =++．对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，（步骤6）等价于2()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值之差4M …,据此分类讨论如下：（ⅰ）当12b >，即2b >时，22(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾；（步骤7）（ⅱ）当102b -<-<，即02b <…时，（步骤8） 222(1)()(1)422b b M f f =--=+…恒成立；（ⅲ）当012b -剟，即20b -剟时， 222(1)()(1)422b b M f f =---=-…恒成立；综上可知，22b-剟．（步骤9）。

2012年高考数学试题及答案

2012年高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项为1, 3, 5，求该数列的公差d。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标。

A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A4. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标。

A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B5. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。

A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. 3 + 4iD. -3 - 4i答案：A6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。

A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 10C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 10答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与b的点积。

A. 11B. 14C. 10D. 12答案：B8. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 4}D. {1, 3, 4}答案：B9. 已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)D. -cos(x)答案：A10. 已知等比数列{a_n}的前三项为2, 4, 8，求该数列的公比q。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。

2012年高考文科数学试卷及答案(新课标)word版

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2012年全国高考(新课标-)文科数学试卷及参考答案-2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标文科数学试卷及参考答案）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ 2.复数z ＝－3+i2+i的共轭复数是（）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）14.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角E 的离心率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455.已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值是（）（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（）（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的何体的三视图，则此几何体的体积为（）（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）188.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π9.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x 条相邻的对称轴，则φ=（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π410.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（）（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）811.当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 12.数列{a n }满足a n +1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（）（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 第Ⅱ卷二．填空题13.曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为________14.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15.已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=16.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____三、解答题17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c 18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ．其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数53i4i+=-( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i2．设变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．33．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为()A ．8B ．18C ．26D ．80 4．已知a ＝21.2，0.81()2b -=，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 5．设x ∈R ，则“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．e e 2x xy --=，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A ．13 B ．1 C ．53D ．2 8．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2．设点P ，Q 满足AP u u u r ＝λAB u u u r ，AQ uuur ＝(1－λ)AC u u u r ，λ∈R ．若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r，则λ＝( )A ．13B ．23C ．43D ．2第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为__________．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知双曲线C 1：22221x y b -=(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：221416x y -=有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F 0)，则a ＝__________，b ＝__________．12．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，c =cos 4A =-． (1)求sin C 和b 的值； (2)求cos(2A ＋π3)的值．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC =1，PC =，PD =CD =2．(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．19．已知椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0)，点P (5a ，2a )在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．20．已知函数f (x )＝13x 3＋12a -x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间［t ，t ＋3］上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值．1． C 2253i (53i)(4i)205i 12i 3i 1717i=1i 4i (4i)(4i)16i 17+++++++===+--+-． 2． B 由约束条件可得可行域：对于目标函数z =3x －2y ，可化为3122y x z =－，要使z 取最小值，可知过A 点时取得．由220,240,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得0,2,x y =⎧⎨=⎩即A(0,2)，∴z =3×0－2×2=－4．3． C n ＝1，S ＝0＋31－30＝2，n ＝2； n ＝2＜4，S ＝2＋32－31＝8，n ＝3； n ＝3＜4，S ＝8＋33－32＝26，n ＝4； 4≥4，输出S ＝26． 4． A a ＝21.2，b ＝(12)－0.8＝20.8， ∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1． ∴c ＜b ＜a ．5． A ∵2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或12x >， ∴“12x >”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件． 6． B 对于A 项，y ＝cos2x 是偶函数，但在区间(1，π2)内是减函数，在区间(π2，2)内是增函数，不满足题意．对于B 项，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C 项，()e e e e ()()22x x x xf x f x -------===-， ∴e e 2x xy --=是奇函数，不满足题意．对于D 项，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 7． D f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y =sin ［ω(x －π4)］．又所得图象过点(3π4,0)， ∴3ππsin ()044ω=［－］． ∴πsin 02ω=． ∴ππ2k ω=(k ∈Z )． ∴ω=2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2． 8． B 设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0．()()BQ CP AQ AB AP AC ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝［(1－λ)b －a ］·(λa －b )＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴23λ=． 9．答案：－3解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5，∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3． 10．答案：30解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．∴几何体的体积V ＝V 棱柱＋V 长方体＝(12)12+⨯×4＋4×3×2＝6＋24＝30(m 3)． 11．答案：1 2解析：∵C 1与C 2的渐近线相同，∴2b=．又C 1的右焦点为F 0)，∴c =a 2＋b 2＝5．∴a 2＝1，b 2＝4，∴a ＝1，b ＝2． 12．答案：3解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2=∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16． l 与x 轴交点A (1m，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴111111||||6322||2AOB S m n mn ∆=⋅=⋅≥⨯=． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==，由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==．由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =．14．答案：(0,1)∪(1,2)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩ 函数y =kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k ＜1或1＜k ＜k OC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜2．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以31()155P B ==．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A =，可得sin A =．又由sin sin a cA C=及a ＝2，c =sin C =．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0．因为b ＞0，故解得b ＝1．所以sin C =，b ＝1．(2)由cos 4A =-，sin 4A =，得cos2A ＝2cos 2A －1＝34-，sin2A ＝2sin A cos A ＝所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝38-+．17．解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD =BC 且AD∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan 2PDPAD AD∠==．所以，异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2．(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故A D ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB ．由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线．故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，23PC =，可得∠PCD ＝30°．在Rt △PEC 中，PE ＝PC sin30°3．由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ，因此BC ⊥PC ．在Rt △PCB 中，2213PB PC BC =+=在Rt △PEB 中，39sin 13PE PBE PB ∠== 所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为3913． 18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2证明：由(1)得 T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1．② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6(12)12n ⨯--－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1．所以，T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ＞2．19．解：(1)因为点P (55a ，22a )在椭圆上，故2222152a a a b+=，可得2258b a =．于是222222318a b b e a a -==-=，所以椭圆的离心率64e =．(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故0221a x k-=+，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·22a b ＋4．由(1)知2285a b =，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5．所以直线OQ 的斜率5k =±．20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0．当x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值极小值． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当(2)0,(1)0,(0)0,f f f -<⎧⎪->⎨⎪<⎩解得0＜a ＜13．所以，a 的取值范围是(0，13)． (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1．由(1)知f (x )在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增．①当t ∈［－3，－2］时，t ＋3∈［0,1］，－1∈［t ，t ＋3］，f (x )在［t ，－1］上单调递增，在［－1，t ＋3］上单调递减．因此，f (x )在［t ，t ＋3］上的最大值M (t )＝f (－1)＝13-，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈［－3，－2］时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在［－3，－2］上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝53-，所以g (t )在［－3，－2］上的最小值为154(2)()333g -=---=． ②当t ∈［－2，－1］时，t ＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t ，t ＋3］．下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小．由f (x )在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝53-，f (－1)＝f (2)＝13-，从而M (t )＝f (－1)＝13-，m (t )＝f (1)＝53-．所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43．综上，函数g (t )在区间［－3，－1］上的最小值为43．。

2012年山东高考数学文科试卷(带答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(2i)117i(i z -=+为虚数单位)，则z 为（）. A.3+5i B.3－5i C.－3+5i D.－3－5i 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】复数的除法运算，化简，直接求得答案. 【参考答案】A【试题解析】由题目可知，()()()()117i 2i 117i 1525i35i 2i 2i 2i 5z +⋅+++====+--⋅+，故答案选A.2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为（）. A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 【测量目标】集合的含义和集合的基本运算. 【考查方式】集合的补集(列举法). 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，{}0,4U A =ð,故而，{}0,2,4U A B = ð故而选择答案选C. 3.函数1()ln(1)f x x =++ （）.A.[2,0)(0,2]-B.(1,0)(0,2]-C.[2,2]-D.(1,2]- 【测量目标】函数定义域的.【考查方式】分式定义、对数定义、根式定义，三者联立求解. 【参考答案】B【试题解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩…或02x <….4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则,A B 两样本的下列数字特征对应相同是（）. A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差【测量目标】统计中常见的数字特征.【考查方式】根据题目,算出B 的样本数据,再与A 进行比较，算出结果. 【参考答案】D【试题解析】根据特征数的定义和特征是公式已知标准差始终没有改变. 5. 设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为π2；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称.则下列判断正确的是 ( ). A.p 为真 B.q ⌝为假 C.p q ∧为假 D.p q ∨为真【测量目标】简单逻辑连接词，判断命题的真假判断.【考查方式】分别判断命题是否为真命题,对A 、B 、C 、D 四个选项依次进行判断. 【参考答案】C【试题解析】命题p 中,函数sin 2y x =最小正周期应为2ππ2T ==,故而命题p 是假命题, 命题q ：函数cos y x =的图象关于直线0x =对称,关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,故而命题q 也是假命题.所以q ⌝为真,p q ∨为假,p q ∧为假,故而正确选项为C.6. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………则目标函数3z x y =-的取值范围是（）.A.3[,6]2-B.3[,1]2--C.[1,6]-D.3[6,]2-【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据约束条件,画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解.采用了数学中数形结合的思想. 【参考答案】A【试题解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，而目标函数可以看做3y x z =-，截距最小时z 值最大，当截距最大时z 值最小，(步骤1)根据条件242220x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，(步骤2)故当目标函数过()2,0时，取到z 的最大，max 6z =，（步骤3）由1412243x y x x y y ⎧-=-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩，当目标函数经过1,32⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取到最小值， min 32z =-，故而答案为A.（步骤4）7. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（）. A.2 B.3 C.4 D.5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行循环结构的流程图，直至结束，求解. 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，当第一次执行循环体时，1,3P Q ==，这时，1n =；（步骤1）当第二次执行循环体时，145,2317,P Q =+==⨯+=这时，2n =；（步骤2）当第三次执行循环体时，214421,27115P Q =++==⨯+=，这时，3n =.（步骤3）而此时Q P <,故而程序结束，这时3n =，故答案选B.（步骤4） 8. 函数ππ2sin (09)63x y x⎛⎫=- ⎪⎝⎭剟的最大值与最小值之和为（）.A.2B.0C.－1D.1--【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】将函数进行，由定义域限制直接求得结果. 【参考答案】A【试题解析】 09x剟,πππ7π3636x ∴--剟，（步骤1）结合函数图象易知ππsin 163x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,（步骤2）即2y , 故最大值为2,而最小值为所以最大值与最小值之和为2（步骤3）9. 圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（）. A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】画出两圆图象,确定位置关系，直接得到答案. 【参考答案】B【试题解析】由题意可知,两个圆的圆心分别为()122,0,(2,1)O O -, 对应的半径为122,3r r ==, （步骤1）两个圆圆心距为12O O ==，所以211212r r OO r r -<<+，故而两个圆相交.（步骤2） 10. 函数cos622x xxy -=-的图象大致为 ( ).A BC D【测量目标】函数图象的判断. 【考查方式】根据函数cos622x xxy -=-，代入特殊点，观察图像的大致走向.【参考答案】D【试题解析】根据条件cos(6)cos 6()()2222x x x xx xf x f x ----==-=---，所以函数为奇函数，排除选项A,（步骤1）又因为，当x 取很小的正数时有cos60,220,x x x ->->故而()0f x >，故而排除B,（步骤2）当x 取很大的正数时，分母为非常大的正数，而分子始终[]1,1-之间，故而排除C,所以选D. （步骤3）11. 已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( ).A. 2x y =B.2x y =C.28x y =D.216x y = 【测量目标】双曲线的几何性质、点到直线的距离公式.【考查方式】由点到直线的距离公式与双曲线方程联立求解抛物线方程. 【参考答案】D【试题解析】双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，（步骤1）抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线焦点到渐近线距离：22a pd c ==⋅=，（步骤2） 48p e ⇒==故而抛物线方程为216x y =.（步骤3） 12. 设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是（）. A.12120,0x x y y +>+>. B.12120,0x x y y +>+<. C.12120,0x x y y +<+>. D.12120,0x x y y +<+<. 【测量目标】函数零点的求解和判断.【考查方式】求出函数零点，比较系数，直接得出结果. 【参考答案】B【试题解析】设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12x x 、.（步骤1）由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，（步骤2）因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b =（步骤3）不妨设12x x <，则223x b ==所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -=，故1x =120x x +>，（步骤4）由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B.（步骤5）第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为.【测量目标】多面体体积公式.【考查方式】转换三棱锥顶点，求解三棱锥体积. 【参考答案】16【试题解析】由题意可知，11111111113326A DED E DD A D DA V V DC S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.14. 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【测量目标】茎叶图、频率分布直方图.【考查方式】统计中的茎叶图，是解答本题的关键. 【参考答案】9【试题解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.15.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿. 【测量目标】利用函数单调性研究最值. 【考查方式】函数单调性与最值问题. 【参考答案】14【试题解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =. 若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为 .【测量目标】三角函数与向量知识的综合运用.【考查方式】由参数方程，求解点坐标，典型的数形结合法思想. 【参考答案】()2sin 2,1cos2--【试题解析】方法一：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转了221=弧度，（步骤1）此时点P 的坐标为：π2cos 22sin 22p x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，π1sin 21cos 22p y ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，（步骤2）()2sin 2,1cos 2OP =--.（步骤3）方法二：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为2cos 1sin x y y θθ=+⎧=⎨=+⎩，且2,PCD θ∠==3π22-，则点P 的坐标为3π2cos 22sin 223π1sin 21cos 22x y ⎧⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即()2sin 2,1cos 2OP =--.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.(本小题满分12分)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .【测量目标】等比数列、三角恒等变换、余弦定理.【考查方式】根据题设，化简，求解三边之间的等式关系；由Ⅰ中的三边关系和余弦定理进一步求解三角形面积.【试题解析】(Ⅰ)由已知得，sin sin sin sin sin cos cos cos cos A C A CB AC A C⎛⎫+=⎪⎝⎭, sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C ⇒+=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，（步骤1）再由正弦定理可得：2b ac =，（步骤2）所以,,a b c 成等比数列. （步骤3） (Ⅱ)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，（步骤4）sin B ==，（步骤5）∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=（步骤6）18.(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. 【测量目标】古典概型的应用. 【考查方式】根据取卡次数，分类列举.【试题解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.19.(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 【测量目标】空间几何中量的关系，线面平行的判定.【考查方式】用已知线线关系推出未知结果，利用线线平行推出线面平行.【试题解析】(Ⅰ)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，（步骤1）又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE .（步骤2）所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线，（步骤3）所以BE DE =.（步骤4）(Ⅱ)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，（步骤5） ∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.（步骤6）由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥，所以ND ∥BC ，（步骤7）所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .（步骤8）20.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a = (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .【测量目标】等差、等比数列的通项公式；等比数列的前n 项求和.【考查方式】根据题设，算出1,a d ，直接求出通项公式.再根据,n m a b 关系列式求出m S .【试题解析】Ⅰ.由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==,（步骤1）所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=.（步骤2）Ⅱ.由277m n a n =…，得217m n -…，即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==，∴{}m b 是公比为49的等比数列，(步骤3) ∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.（步骤4）21.(本小题满分13分) 如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 【测量目标】椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】椭圆的基本性质求解标准方程和最值问题.【试题解析】(Ⅰ)22234c a b e a a -===……①（步骤1）矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②(步骤2)由①②解得：2,1a b ==，∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.（步骤3） (Ⅱ)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，（步骤4）设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.（步骤5）||PQ .（步骤6）当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，（步骤7）||||PQ ST 3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .（步骤8）②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST （步骤9）③当11m -剟时，||ST =||||PQ ST =，由此知，当0m =时，||||PQ ST .（步骤10）综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST .（步骤11）22.(本小题满分13分) 已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e =2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【测量目标】利用导数求函数的单调区间、解决不等式问题.【考查方式】利用导数求单调区间，证明不等式.【试题解析】(Ⅰ)1ln ()e x x k x f x --'=，由已知，1(1)0ek f -'==，∴1k =.（步骤1） (Ⅱ)由(Ⅰ)知，1ln 1()e xx x f x --'=.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，（步骤2）由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，（步骤3）当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.（步骤4）综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（步骤5） (Ⅲ)由Ⅱ可知，当1x …时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x << 时成立.（步骤6）当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >， ∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--.（步骤7）设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+，（步骤8）当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， ∴当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F --=+e .（步骤9） ∴2()()1e g x F x -<+….综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.（步骤10）。

2012年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是（A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）−1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45（5）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（A ）A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和（B ）2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数（C ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数（D ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π （9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。

2012年高考数学辽宁卷文科解析(完整版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学( 文科 )第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

（1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴= ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 =)(B C A C u u ）（(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U {7,9}。

故选B【解析二】集合)()(B C A C U U 即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

（3）复数11i =+ (A) 1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +【答案】A 【解析】11111(1)(1)222i i ii i i --===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。

（4）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B【解析】48111(3)(7)210,a a a d a d a d +=+++=+21011121048()(9)210,16a a a d a d a d a a a a +=+++=+∴+=+=，故选B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。

2012年高考新课标全国卷文科数学试题附答案

学习资料收集于网络，仅供参考 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符一、选择题：本大题共12小题，每小题5 合题目要求的。

2 |?1<x<1}，则?x?2<0}，B={xx|A={（1）已知集合x??∩B=?（D）A （C）A=B （A）AA B （B）B??i?3?＝的共轭复数是（2）复数z i2?i1???i1?i?2?i2 C （））（D（A）（B）不全相等）的,xx,x,…，…，（x，y）（n≥2，，（3）在一组样本数据（x，y），（xy）n121nn12211y??x 上，则这组样本）(i=1,2,…,n)都在直线，散点图中，若所有样本点（xy ii2数据的样本相关系数为11）（D ）0 （C）B?（A）1 （222yxa b?FFE是椭圆＞：0=1（（4）设）的,＞2122baa3PFF?x P上一点，△为直线左、右焦点，122030E的离心率为的等腰三角形，则是底角为4231D.（B）C（A））（5423ABC在第一象限，若点（x，y）在△）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C（5y??x?z内部，则的取值范围是3) (0，1+ （D）（C）(3－1，2) 2) B (1（A），－32) （）(0，NN和实2)≥（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(aaaBA，输出，数，，则，…，N12aaa BA+的和为，，…，（A）N12BA?aaa，…，B（），的算术平均数为N122aaa BA中的最大数，…，）（C和分别为，N12和最小数学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考aaaBA，（D）中的最小数和最大数和，…，分别为N12，粗线画出的是）如图，网格上小正方形的边长为1（7某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6B）9 （）12 （C18（D）??，则此球的体积2到平面(8)平面的距离为截球O的球面所得圆的半径为1，球心O 为（D）π6C（）346π（A（）6πB）43π??5?????xx)x?f(?x?)?sin(0图像的两条=是函数，直线9）已知和>0，=（44?=相邻的对称轴，则3ππππ（D））（C A（）（B）44322x CC x16y?A、的中心在原点，焦点在轴上，的准线交于与抛物线（10）等轴双曲线C34|AB|B两点，=，则的实轴长为2228 D））（（C）4 （A）（B1x xxlog4?，则a的取值范围是(11)当0<时，≤2a222) ，）( （D1) ，（C）2(1（A）(0，，) （B）2) (22n aa1n??1)a?2a?(项和为的前，则{60}（12）数列{}满足nnn1n?1830 D）（）（C1845 （A）3690 （B）36605分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷含答案(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B.4 C.4 D.69.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A.,B.,C.(1,D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=()的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是,(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.=-=-1+i,=-1-i,故选D.2.D z=-=(-)(-)()(-)评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2-,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=()=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S 3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin-=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4即·2p·p=4解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,||||=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<-+x(x>0).①令g(x)=-+x,则g'(x)=--(-)+1=(--)(-).由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A ,,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-,, ,,-,.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。

2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅2、复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 （4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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1
B
A
E
D C F
高三文科数学训练四
一．选择题
1．设集合{}{}
,61,,5,A x x Z x B x x Z x =∈-≤≤-=∈>则()R A C B 中元素个数为
A ．9
B ．11
C ．12
D ．14 2．函数)2(sin )(2
x x f =的最小正周期是
（）
A ．4
π B ．
2
π
C ．π
D ．π2
3．已知定点A ，B ，且4AB =，动点P 满足3PA PB -=，则PA 的最小值为（）
A ．2
1
B ．2
3
C ．2
7
D ．5
4．已知直线y kx =是曲线2
1ln 2
y x x =+在x e =处的切线，则k 的值为（）
A ．2e
B ．0
C ．e
e 1
+ D ．e e 1-
5．已知椭圆
2
2
22
1(0)x y a b a b +=>>的短轴一个顶点与两个焦点连线构成等边三角形，则离心率为（）
A ．
2
1
B ．13
C ．14
D ．15
6．已知函数θθcos 3sin 2
1)(2
x x x f +=，其中R ∈θ，则)1(')(f g =θ的取值范围是
A .]1,1[-
B .]2,2[-
C .]3,3[-
D .]2
13
,213[-
7．设====-+=+)(,,2,1)),(()(),()(,11)(201011x f k x f f x f x f x f x
x
x f k k 则又记（）
A ．x
B ．x
1-
C ．
11+-x x D ．x
x
-+11 8．在A B C ∆中，O 为外心，P 是平面内一点，且满足OP OC OB OA =++，则P 是ABC
∆的（） A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
9．对函数)()(2
3
t g x c bx ax x x f =+++=作代换，则总不会改变函数)(x f 的值域的代
换是（）
A ．t t g 3
1
log )(= B ．t t g 2)(= C ．t t g sin )
(=
D ．3
1
)(x t g =
10．已知两点)4
5,4(),45,1(--N M ，给出下列曲线方程：①;0124=-+y x ②;32
2
=+y x
③;122
2=+y x ④12
22=-y x 。

在这些曲线上存在点P 满足||||NP MP =的所有曲线方程是（）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
选择题答题栏
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二．填空题
11．已知a 为第二象限角，且1sin ,3
α=那么sin 2α= ；
12．已知关于x 的方程322
210x ax ax a --+-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围
是；
13. 如图，矩形ABCD 中边长2,1AB BC ==，E 为BC 的中点，若F 为矩形内（含边界）
任意一点，则AE AF ⋅
的最大值为； 14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =,
当 n S a n n n =+≥-122时，则2011S = ；
15．对于函数①1()45f x x x
=+-；②21
()log ()2x
f x x =-；③
()cos(2)cos f x x x =+-；
命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；
命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <. 能使命题甲、乙均为真命题的函数序号是 . 三．解答题
16.已知集合P=()
22log 22122+-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤x ax y x x
，函数的定义域为Q ．（1）若P ∩Q ≠的取值求实数a ,φ范围；
（2）若方程()
内有解，
，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=+-221222log 22x ax 求实数的取值a 的取值范围．
班级_______________姓名_________________考号_____________________得分_____________
………………………………………………密…………………………封…………………………线………………………………………………
2
3
文科数学训练四答案
一．选择题答案1-10CBCCA BBDAD 二．填空题答案 11.42
9
-
；12. 34a <；13. 92；14. 1006；15. ①②
三．解答题答案
16．解：（1）由已知{
}
0222
>+-=x ax x Q ,
若P ∩Q ≠⎥⎦
⎤⎢⎣⎡221,，则说明在φ内至少有一个x 值，使不等式0222
>+-x ax ，即，
在min 222
222221u a x
x u x x a x >-=->⎥⎦
⎤⎢⎣⎡，则只需成立，令值，使内至少有一个
，． .
421422112212121122
->∴⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a u x x x u 的取值范围是，
，，从而，时，，，当又（2）∵方程()内有解，
，在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=+-221222log 2
2x ax .122312231221211223221212112222210224222
2
222⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤∴≤-⎪⎭⎫
⎝⎛+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=--=+-∴，的取值范围是，即，的值，使上式恒成立，
上有，，在，得
与内有解，分离，在即a a x x x x x a x a x ax x ax。