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Ch2 形式语言自动机理论基础
2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
例如， (1) 电梯的控制系统； (2) 人的大脑也是有限控制系统； （235） (3) 计算机自身也是有限控制系统。 注意： (1) DFA是具有离散输入、输出系统的一个纯数 学模型； (2) DFA的技巧在于状态的设置； (3) DFA映射的唯一性和初态的唯一性 。
S1 S1 S1
S2 S2 S2 S2
S3 S3 S3 S3
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
三 . FA的识别机制 例2.22:
有DFA M1，它可以识别偶数个0或(和)偶数个1。 DFA M1=({q0, q1, q2, q3}，{0,1}，f，{q0}，{q0}) 其中： f(q0，0)= q2 f(q1，0)= q3 f(q2，0)= q0 f(q3，0)= q1 f(q0，1)= q1 f(q1，1)= q0 f(q2，1)= q3 f(q3, 1)= q2
2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
综述：
(1) 对于Σ上的任何字α，如果存在一条从初态到 某一终态结的路径，且该路径上所有弧的标记符连 接成的字等于α , 则称α为DFA M所识别(接受)。
(2) 若DFA仅一个状态结，该状态结既是初 态又是终态，则空字集合{ε}为DFA M所接受。 (3) 一个DFA M所能接受的字的全体记为 L(M)。
定理2.1说明： 对任何一个NFA M，都存 在一个DFA M' ，由于M和M'所识别的字的全 体相同，所以 M' =M。
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
NFA确定化的算法 — 子集法。 定义2.26
假设I是NFA M' 状态集S的一个子集。（即I∈S） ，则定义ε-closure(I)为 ： (1) 若Si∈I，则Si ∈ε-closure(I)； (2) 若Si ∈I，则从Si出发经过任意条ε弧而能到达 的任何状态Sj ，则Sj ∈ε-closure(I)。
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
一. NFA的定义
DFA的确定性表现在其映射函数是一个单值函 数。但是实际问题中，映射函数往往是一个多值函 数。 例如，源程序中扫描到一个字母时，不同的语言 对应多种情况： FORTRAN中： 标识符/格式转换码：E、D…/ .AND./.OR./… C语言中：标识符/ %S / \n / if / switch ….
如下图所示。 ε start 0 ε 3 1 a 2 a
b
4
a
对字符串aaa的接受路径为0，1，2，2，2，接受 路径中边的标记是ε，a，a，a，它们的连接为字符串
aaa，ε在连接中消失。
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2.2.3 NFA确定化
定理2.1
对任何一个NFA M，都存在一个DFA M ' , 使 L(M' )=L(M)。
15
f
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2.2.1 确定的FA（DFA）
状态转换图表示
DFA S Σ f S0 Z 状态图 状态结点 弧上标记 有向边
S0 Z
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2.2.1 确定的FA（DFA）
例2.21: 一个单部电梯对3层楼进行控制的电梯控制 系统的DFA描述。 问题分析： 用户请求 （输入） 状态设置 （所处楼层） 上1、上2、上3 下1、下2、下3 1层 2层 3层 S1 S2 S3
Ia
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} { 3, 8} Φ 1 2
{ 3, 8}
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2.2.3 NFA确定化
例2.28: 有NFA M’如下图所示。
1
1
p
0|1 0
1
q
0|1
r
0
s
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2.2.3 NFA确定化
3
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
例2.23: 设有一个非确定的有限自动机M
NFA M=（{q0, q1, q2, q3, q4},{0,1}, f , {q0}, { q2,q4}） S ∑ S0 Z 其中状态转换函数f为： f（q0，0）= q0 f（q0，1）= q0 f（q1，0）= Φ f（q2，0）= q2 f（q3，0）= q4 f（q4，0）= q4 f（q0，0）= q3 f（q0，1）= q1 f（q1，1）= q2 f（q2，1）= q2 f（q3，1）= Φ f（q4，1）= q4
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
例如， + C语言中： ++ += ∴ NFA在实际中更具普遍性。
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
定义2.25
一个非确定的有限自动机M ( NFA M)是一个五 元组
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2.2.3 NFA确定化
定义2.27
（状态集合I的a弧转换Ia ）
设 NFA M' =(S，∑，f，S0，Z) 假定I ⊂ S，a∈∑，则定义Ia=ε-closure(J)， 其中J是所有从ε-closure(I)出发，经过一条a弧 而到达的状态集。
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
0,1 1
0
0
3
0
4
0,1
0
1
0 1 2*
{0,3}
{0,1} {2}
1
1
{2} {4}
{2}
2
0,1
3
4* {4}
状态子集
{4}
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
二. NFA和DFA的区别
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2.2.3 NFA确定化
综述— 求Ia步骤： (1) 求ε-closure(I)； (2) 求J； (3) 求ε-closure(J)； NFA确定化关键：
(1) 消去ε弧；
ε-closure(I) 求Ia
(2) 解决映射不唯一问题。
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I 0* 1 2 {p} {q, s} 1 3 3 6 7 8 8 6
I0 {q, s} {r} {r} {s} { q,r,s } { r,s } { r,s } {s}
I1 {q} 2 { q,r,p } 4 { q,r } 5 {p} 0 { q,r,p } 4 { q,r,p } 4 {p} 0 { q,r,p } 4 {p} 0
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2.2.1 确定的FA（DFA）
∑：输入字符的有限集合(或有穷字母表)。每个元 素是一个输入字符。 f：状态转换函数：从S×∑→S的部分映射。 例如, f（p,a）=q, q、p∈S, a∈∑。表示了状态 p在输入字符a之后转入状态q。 其中q也称为后继状态。 S0：M的惟一初态（也称开始状态），S0∈S。 Z： M的终态集（或接受状态） Z⊆S。
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2.2.3 NFA确定化
例2.27: 有NFA M’如下图所示。
ε ε ε
a 4 2 a 3 6
5 a 1
ε
8
ε
7
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2.2.3 NFA确定化
I
0 ε-closure(S0)={1,2} 1* 2* {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
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2.2.3 NFA确定化
子集法
对NFA M’ =（S, {∑1, ∑2, … , ∑n }, f, S0, Z） 设一矩阵形式的表：
I ε-closure(S0) I ∑1 I∑2 … I∑n
Step1:初始化
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2.2.3 NFA确定化
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2.2.1 确定的FA（DFA）
一. 确定的有限自动机（ DFA）
( DFA：Deterministic Finite Automata )
定义2.24
一个确定的有限自动机M ( DFA M)是一个五元组
M =（S, ∑, f, S0, Z）
其中： S：状态的有限集合，每个元素Si (Si ⊂S) 称为一 个状态。
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2.2.1 确定的FA（DFA）
DFA M1状态图 对1010:
1 q0 1 q1 0 q3 1 q2 0
q0
q0
0 0
1
q1 接受！
0 0
对11001:
q0 1 q1 1 q0 0 q2 0 q0 1
1
q2
1
q3
q1
拒绝！
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则 ε-closure({1,5})={1,2,5,6}
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