工程光学习题解答(第1章)

第一章
1．举例说明符合光传播基本定律的生活现象及各定律的应用。

答：（1）光的直线传播定律
影子的形成；日蚀；月蚀；均可证明此定律。

应用：许多精密的测量，如大地测量（地形地貌测量），光学测量，天文测量。

（2）光的独立传播定律
定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播。

说明：各光束在一点交会，光的强度是各光束强度的简单叠加，离开交会点后，各光束仍按各自原来的方向传播。

2．已知真空中的光速c ≈3×108m/s ，求光在水(n=1.333)、冕牌玻璃(n=1.51)、火石玻璃(n=1.65)、加拿大树胶(n=1.526)、金刚石(n=2.417)等介质中的光速。

解：v=c/n
(1) 光在水中的速度：v=3×108/1.333=2.25×108 m/s
(2) 光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108 m/s
(3) 光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108 m/s
(4) 光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108 m/s
(5) 光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108 m/s
＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。

那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。

除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。

3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm ，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm ，求屏到针孔的初始距离。

解：
70
6050=+l l ⇒ l =300mm 4．一厚度为200mm 的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm 的金属片。

若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少?
解：本题是关于全反射条件的问题。

若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。

(1) 求α角：nsin α=n ’sin90 ⇒ 1.5sin α=1 α=41.81︒
(2) 求厚度为h 、α=41.81︒所对应的宽度l ： l =htg α=200×tg41.81︒=179mm
(3) 纸片最小直径：d min =d 金属片＋2l=1+179×2=359mm
5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时，发生全反射的可能性。

6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。

7．如图1-15所示，光线入射到一楔形光学元件上。

已知楔角为α，折射率为n，求光线经过该楔形光学元件后的偏角δ。

解：
(1)求折射角θ：nsinα=n’sinθ
若α、θ角度较小，则有：nα=n’θ⇒θ=nα
(2)求偏转角δ：δ=θ－α=nα-α=(n-1) α
8．如图1-6所示，光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2，光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径(即n0sinI1，其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角)。

9．有一直角棱镜如图1-16所示，其折射率为n。

问光线以多大的孔径角θ0入射时，正好能够经其斜面全反射后出射。

如果棱镜用冕牌玻璃K9（n=1.51630网上获得）制造，试计算θ0的值。

解：孔径光线中最上面的光线是临界点，所以只要该条光线能够全反射，则其它光线都可以满足。

（1）求满足全反射条件的角α：nsinα=n’sin90 ⇒sinα=1/n
（2）求第一折射面的折射角θ1：θ1=180-α-(180-45)=45-α
（3）求第一折射面的入射角θ0：n’sinθ0=nsinθ1
sinθ0=nsin(45-α)
（4）当棱镜用冕牌玻璃K9时，计算可得：sinα=1/n=1/1.5163 ⇒α＝41.26︒
θ1=180-α-(180-45)=45-α＝45－41.26=3.74︒
sinθ0=1.5163×sin3.74=0.1 ⇒θ0=5.67︒
10．由费马原理证明光的折射定律和反射定律。

11．根据完善成像条件，证明无限远点与有限远点的等光程反射面为抛物面。

12．导出对一对有限远共轭点成完善像的单个折射面的面形方程。

13．证明光学系统的垂轴放大率公式(1-40)和式(1-41)。

14．一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从前表面看到此物点的像正好位于无穷远，试求该玻璃球的折射率n。

解：即从玻璃球前看到的是平行光线。

(1)已知条件：n 为折射率，n ’=1，l =2r ，l ’=-∞，
(2)利用近轴物像位置关系公式：r n n l n l
n -=-''' 将已知条件代入： r
n r n -=-12 ⇒ n=2 （与书后答案不同，本答案正确，可参考16题）
15．一直径为20mm 的玻璃球，其折射率为3，今有一光线以60︒入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况。

16．一束平行细光束入射到一半径为r=30mm 、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。

如果在凸面镀上反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处?反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。

解：
（1）已知条件：n ＝1，n ’=1.5，r=30，l =-∞，l ’=?
r n n l n l n -=-''' 代入有： 3015.15.1'-=l
l ’=90mm 实像（没有考虑第二个折射面） （2）已知条件：n ＝1，n ’=－1，r=30，l =-∞，l ’=?
r l l 211'=+ 代入有： 3021'=l
l ’=15mm 虚像 （3）在第（1）步的基础上进行计算，
已知条件：n ＝1.5，n ’=－1.5，r=－30，l =90-60＝30，l ’=?
r l l 211'=+ 代入有： 30
23011'-=+l l ’=-10mm 实像 （4）在第（3）步的基础上进行计算，
已知条件：n ＝1.5，n ’=1，r=30，l =60-10＝50，l ’=?
r n n l n l n -=-''' 代入有： 305.11505.11'-=-l
l ’=75mm 虚像
17．一折射球面r ＝150mm ，n ＝1，n ’=1.5，问当物距分别为-∞、-1000mm 、-100mm 、0、100mm 、150mm 和200mm 时，垂轴放大率各为多少?
18．一直径为400mm ，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个
根据正弦定理：)
sin(sin ''I I r I L -= ⇒ L=199.332 实际光线的像方截距为：L ＋r=299.332mm
与高斯像面的距离为：300－299.332＝0.668mm
说明该成像系统有像差。

20．一球面镜半径r=-100mm ，求β=0、-0.1×、-0.2×、-1×、1×、5×、10×、∞时的物距和像
距。

21．一物体位于半径为r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像、放大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？
解：
r
l l 211'=+ （1）4'
-=-=l
l β ⇒ l ’=4l 代入上式，可得：l =5r/8 （2）4'
=-=l
l β ⇒ l ’=－4l 代入上式，可得：l =3r/8 （3）4
1'-=-=l l β ⇒ l ’=l /4 代入上式，可得：l =5r/2 （4）4
1'=-=l l β ⇒ l ’=－l /4 代入上式，可得：l =-3r/2
22．有一半径为r 的透明玻璃球，如果在其后半球面镀上反射膜，问此球的折射率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？
解：
（1）经过第一折射面时，n=1，l =-∞，n ’=n x ，r=r
r n n l n l n -=-''' ⇒ r n l n x x 1'
-= ⇒ 1'-=x x n r n l （2）经过第二反射面时，n=n x ，n ’=-n x ，r=-r ， 1
2-+-=x x n r n r l 代入公式： r
l l 211'=+ ⇒ ()32'--=x x n n r l （3）经过第三折射面时，n=n x ，n ’=1，r=-r ， 3
)2(2--+-=x x n n r r l ， l ’=-∞ 代入公式：r n n l n l n -=-''' ⇒ n=2。