锐角三角函数(特殊角)习题

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专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略(解析版)

专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略考点一正弦、余弦、正切的概念辨析考点二求角的正弦值、余弦值、正切值考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长考点四求特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析A ．sin BCA AB=B ．A．CDACB．BDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD 【详解】A．∵CD⊥AB，【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键．考点二求角的正弦值、余弦值、正切值【答案】5 5【分析】连接AC，根据格点特点得出答案．【详解】解：连接AC(1)求证：四边形OCEB 是矩形；(2)连接DE ，当5AB =，【答案】(1)见解析Q 四边形ABCD 是菱形，OA OC \=，OB OD =在Rt AOB △中，5AB =考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长Q ∠C ＝90°，AB ＝sin 8BC BC A AB \===解得：6BC =，故选：A ．【答案】5【分析】根据5sin13A=，可设【详解】解：∵5sin A=，sin【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．3．（2022·安徽宿州【答案】46【分析】首先根据考点四求特殊角的三角函数值A．1B．2【点睛】本题主要考查了求正切，勾股定理，三角形面积，正确求出5．（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）在那么下列结论正确的是（A．3sin4A=B．A．1 2【答案】C【分析】先证四边形90 BFE CÐ=Ð=°【答案】34##0.75【分析】作AB x ^轴，在Rt 【详解】解：如图，作AB ^在Rt AOB V 中，3tan 4AB OB a ==故答案为：34【点睛】本题考查了锐角三角函数、点的坐标与坐标轴的关系；根据点的坐标构造直角三角形是解题关键．【答案】12【分析】连接CA并延长与圆相交于点O（0，0）得到CD=6，CO=3，由圆周角定理得到【详解】解：连接CA并延长与圆相交于点∵CD为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，即x轴交⊙A于点∵直径为6的⊙A经过点C（0，3）和点∴CD=6，CO=3．∵∠OBC=∠CDO，∴∠OBC的正弦值为∠CDO的正弦值，31=【答案】533【分析】当F 与A 点重合时和∵四边形ABCD 为矩形，∴ABC ADC DAB Ð=Ð=Ð∵5AB =，60ACB Ð=°，∴5tan tan 60AB BC ACB ==Ð【答案】30°或90°故答案为：30°或90°．【答案】AC=4，sinA=【分析】根据勾股定理求出【详解】解：∵∠C＝90∴22=-=AC AB BC∴10cos 2b A c Ð==∵8c =，cos A Ð(1)求∠ABD的正弦值；(2)求BG的长．【答案】(1)613 65(2)5【分析】（1）过点（2）过点F作FP⊥BD于点∵∠C＝90°，又DG平分∠BDC，∴CF=FP，又∠DPF=90°，DF=DF ∴Rt△CDF≌Rt△PDF（∴CD=DP，【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理求三角形的边长，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数的求解，熟练掌握以上内容并熟练运用是解决问题的关键．20．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形步得出结果；（3）根据题意可得DCA CBE Ð=Ð，则△CDF 与△BCF 相似只有DCF CBF V V ∽或FCD CBF V V ∽2种情况，分类讨论即可求解．（1）解：∵四边形ABCD 是求真四边形，∴∠A +∠C =90°，∴∠C =90°-∠A =90°-α，∵AD ∥BC ，∴∠C +∠D =180°，∴∠D =180°-（90°-α）=90°+α；即90D aÐ=°+（2）证明：如图1，延长DE 至G ，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴∠DEF +∠AFG =90°，∵四边形ACDE 内接于⊙O ，∴∠AGE +∠DCF =90°，∵ CECE =，∴∠EAC =∠CBE ，∵∠DCA =∠CBE ，∴∠AEG =∠EAC ，∴DE ∥CF ，∴四边形DEFC 是“求真四边形”；（3）解：Q DCA CBE Ð=Ð，∵ CECE =，∴∠EAC =∠CBE ，。

专题28.17 锐角三角函数(中考常考考点专题)(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级

专题28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（）A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α=D ．sin AC AB α= 2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ≠，则下列比值中等于sin A 的是（）．A ．AD AB B ．BD ADC ．BD BC D ．DC BC【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（）A B C ．2 D ．124．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90,2C BC AC ∠=︒=，则sin B =（）A ．12 B ．2 C D 【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC =米，44PCA ∠=︒，则小河宽PA 为（）米A ．50sin44︒B ．50cos44︒C ．50tan 44︒D ．50tan46︒【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（）A ．12 B C ．2 D 8．（2021·广东深圳·中考真题）计算|1tan 60|-︒的值为（）A ．1B ．0C 1D ．1【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·()101α+︒=，则锐角α的度数为（）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知cos A A =∠是锐角，则A ∠的度数为（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：202122sin 60|1(1)2-︒----的结果是（）A ．74B ．4C ．14D ．1412．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣2|）0的结果是（）A ．6B ．12C ．2D ．2＋【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在ABC 中，若A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =，则ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（） A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．52B ．3C ．D ．103【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港口沿北偏西60︒方向出发，2h 后相遇在点P 处，如图所示．问A 港与B 港相距（）海里．A．B ． C ．10+D ．2018．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D 处水平向前走14米到A 点处，再沿着坡度为0.75的斜坡AB 走一段距离到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B 点观察到观景塔顶端的仰角为45︒再往前沿水平方向走27米到C 处，观察到观景塔顶端的仰角是22︒，则观景塔的高度DE 为（）（tan22°≈0.4）A ．21米B ．24米C ．36米D ．45米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯AB ，扶梯总长为度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°，从E 点看D 点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长则DE 段扶梯长度约为（）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan 36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD ．若六角星纸板的面积为2，则矩形ABCD 的周长为（）A ．18cmB ．C ．（）cmD ．（）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（）A ．8(3B ．8(3+C ．6(3D ．6(3+22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A 测得海岛B 在其北偏东60°方向上，测得海岛C 在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B 出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C 海岛到观测点A 的距离是（）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）B．（15）海里A．C．（）海里D．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（）A．10m B．C．5m D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为︒≈︒≈︒≈）（）．（sin370.6,cos370.8,tan370.75A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（）A ．12sin α米B ．12cos α米C ．12sin α米D ．12cos α米 28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα- 二、填空题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A 点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B 点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝AB＝10，则△B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin△BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin A＝45，则cos B＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角ABC中，90C∠=︒，根据作图痕迹，若3cmCA=，3tan4B=，则DE=________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___． 36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：sin 45︒=________．【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则△α等于_____________度． 38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sin A ＝12，则tan A ＝_____．【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：)02112sin 45()2-+-︒--=________．【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在ABC ∆中,若21 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC 中，（cos A ﹣12）2+|tan B ﹣1|＝0，则△C ＝_____．【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD．若2AB=，则AD的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则O分斜边AB为BO：OA=1△AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度BD=___________m． 1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，同时在地面C处分别测得A处的仰角为75︒，B处的仰角为30︒．则这架无人机的飞行高度大约是_______m 1.732≈，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”） 1.732）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米， 1.41≈ 1.73）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30︒，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60︒方向，距离灯塔30海里的A 处，它沿北偏东30︒方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东67︒方向上的B 处，此时与灯塔P 的距离约为________海里．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A 的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m ，则迎水坡面AB 的长度为 ____m ．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A 到桥的距离是40米，测得△A ＝83°，则大桥BC 的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：△BC△AC，△△ABC 是直角三角形， △△ABC =α， △sin ACABα=，故选：D ．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角△A 的对边与斜边之比叫做△A 的正弦，记作sin△A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得△A =△DBC ，根据正弦三角函数的定义判断即可；解：△△ABD +△A =90°，△ABD +△DBC =90°， △△A =△DBC ， A ．ADAB=cos A ，不符合题意； B ．BDAD=tan A ，不符合题意； C ．BDBC=cos△DBC =cos A ，不符合题意； D ．DCBC=sin△DBC =sin A ，符合题意；故选： D ．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以△A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．解：连接BD ，如图所示：根据网格特点可知，BD AC ⊥， △90ADB ∠=︒，△BD AD =△在Rt△ABD 中，tan A ＝BD AD 12=，故D 正确．故选：D ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB 与BC 的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．解：△△C =90°，2BC AC =，△AB ，sinAC B AB ==C 正确．故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB 与AC 的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB 的长，再用勾股定理求出BC. 解：△sinB=ACAB=0.5， △AB=2AC ， △AC=6， △AB=12，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长. 6．C【分析】在直角三角形APC 中根据△PCA 的正切函数可求小河宽P A 的长度．解：△P A △PB ， △△APC =90°，△PC =50米，△PCA =44°，△tan44°=PA PC，△小河宽P A=PCtan△PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：△将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．△根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=12故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：|1tan60||11-︒==故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：（α+10°）=1，△tan（α+10°）△α为锐角，△α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：△cos A A =∠是锐角， △A ∠=30°，故选A ．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式121)(1)4=--- 1114=+-74=．故选：A ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝1-⎝⎭﹣（2+3+1＝．故选：D ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键. 13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断30A ∠=︒，=60B ∠︒，从而可求出90C ∠=︒，即证明ABC 的形状是直角三角形．解：△A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =， △30A ∠=︒，=60B ∠︒，△180180306090C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，△ABC 的形状是直角三角形．故选D ．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：△sin A =cos B ， △△A =△B =45°，△△ABC 是等腰直角三角形．故选：C ． 15．D【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ．解：△26BD CD ==， △3CD =，△直角ADC 中，tan 2C ∠=， △tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，△直角ABD △中，由勾股定理可得，AB = 故选D ．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN 垂直平分AD ，AB =10，则有AD =4，AF =2，然后可得4cos 5AC A AB ∠==，进而问题可求解．解：由题意得：MN 垂直平分AD ，6BD BC ==， △1,902AF AD AFE =∠=︒， △BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，△10AB =，△AD =4，AF =2，4cos 5AC AF A AB AE ∠===， △5cos 2AF AE A ==∠；故选A ．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作PC AB ⊥于点C ，根据甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，求出PAC ∠和AP ，从而得出PC 的值，得出BC 的值，即可求出答案．解：作PC AB ⊥于点C ，甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，45PAC ∴∠=︒，5210AP =⨯=，PC AC ∴==乙货船从B 港沿西北方向出发，60PBC ∴∠=︒，BC ∴=AB AC BC ∴=+=，答：A 港与B 港相距海里，故选：B ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口.18．A【分析】作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,根据AB 的坡度，设3,4,BN k AN k ==表示出144,3,MB DN k DM BN k ==+==414,CM k =+在Rt EBM 中，144,EM BM k ==+ 在Rt ECM 中，根据tan 0.4,EM C CM == 列出式子，求出k 的值，即可求解.解：如图，作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,:3:4,BN AN =可以假设3,4,BN k AN k ==则，144,3,MB DN k DM BN k ==+== 414,CM k =+在Rt EBM 中， 90,45,EMB EBM ∠=∠=144,EM BM k ∴==+在Rt ECM 中， tan 0.4,EM C CM== 1440.4,414k k +∴=+ 解得：1,k =3,18,DM EM ∴==21.DE DM EM =+=答：观景塔的高度DE 为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG ，即可得解.解：作AH△EB 于H ，延长DC 交AH 于N ，作DG△EB 于G ，如图所示：△△ACD=135°△△ACN=45°在Rt△ACN 中，AC=△ACN=45°△AN=CN=18在Rt△ABH 中，AB=AH ：BH=3:2，设3,2AH k BH k ==△()()(22232k k +=解得15k =或15k =-（不符合题意，舍去）△AH=45△HN=AH -AN=45-18=27△四边形DGHN 是矩形△DG=HN=27在Rt△DEG 中，sin sin 36.5DG DEB DE ︒==∠ △274535DE ≈≈故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E 作EF△AB 于点F ，设AE=x cm ，则AD=3x ,则=AB ,然后利用AB•AD=x 的值，即可得到AD,AB 的长度，则周长可求．解：如图，过点E 作EF△AB 于点F ，△六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，△设AE=x cm ，则AD=3x ，△△AEB=120°，△△EAB=30°，△AB=2AF=2cos30x︒，△六角星纸板的面积为2，△AB•AD=3393x x=解得x△AD=AB=3，△矩形ABCD的周长=3)26)⨯=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD 中，用△B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，△CD=AD=x，△BD=16-x，在Rt△BCD中，△B=60°，△tanCDBBD =，即：16xx= -解得8(3x=，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，△95mOB OA AB=-=，△135==150mtan0.9OAONN=∠，95=136mtan0.7OBOMM=≈∠，△286mMN OM ON=+=；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：△ABD=△EAB=60°，进而得出△ABC=△BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：△EAC=80°，△EAB=60°，△DBC=40°，BC=40×2=80（海里），△△BAC=80°-60°=20°，△BCA=60°，△AE△BD，△△ABD=△EAB=60°，△△DBC=40°，△△ABC=60°-40°=20°，△△ABC=△BAC=20°，△BC=AC=80（海里）．△C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x+2x＝AB，可得：x，可知AS＝（15）海里．解：过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，△AS ＝DS ，△△CDS ＝△CAS ＝30°，△△ABS ＝15°，△△DSB ＝15°，△SD ＝BD ，设CS ＝x 海里，在Rt △ASC 中，△CAS ＝30°，△AC（海里），AS ＝DS ＝BD ＝2x （海里），△AB ＝30海里，+2x ＝30，解得：x △AS ＝（15）海里．故选：B ．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出AC 的长，再利用勾股定理得出AB 的长．解：△i =5BC m =， △5BC AC AC ==解得：AC =，则10AB m =．故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键． 26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ △6BC =米 △6100.60.6BC AB ===米故选：D ．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt △ACB 中，利用正弦定义，sin α=BC AB ，代入AB 值即可求解．解：在Rt △ACB 中，△ACB =90°，△sin α=BC AB， △BC = sin α⋅AB =12 sin α（米），故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD △CD ，△△BCD =α，△ACD =45°．在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°=m ×cos α×tan45°=m cos α，△AB =AD -BD=（m cos α-m sin α）=m （cosα-sin α）．故选：A ．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．100tan tan tan tan αββα- 【分析】由正切的定义分别确定tan ,tan αβ的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD 为树高，点C 为树顶，则,CAD CBD αβ∠=∠=，BD =AD -100△依题意，有tan tan 100CD AD CD AD αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩①② 由△得tan CDAD α=③将△代入△，解得100tan tan =tan tan CD αββα- 故答案为：100tan tan tan tan αββα-．【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，△sinB ＝AC AB == △△B ＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．23【分析】利用CD ∥AB ，得到△BAC =△DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，可得sin△ACD =AD AC =23，从而可得答案．解：如图：△CD ∥AB ，△△BAC ＝△DCA ．△同圆的半径相等，△AC ＝AB ＝3．在Rt ACD △中，sin△ACD ＝23AD AC ． △sin△BAC ＝sin△ACD ＝23．故答案为：23．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．45【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45．解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△sin A ＝BC AB ＝45， △cos B ＝BC AB ＝45．故答案为：45．【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若△A +△B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．33．158【分析】先解直角三角形ABC 求出BC 的长，从而求出AB 的长，再由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，即可得到BE 的长，再解直角△BED 即可得到答案．解：△△C =90°，AC =3cm ，3tan =4B ， △3tan ==4AC B BC ， △BC =4cm ，△AB ，由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，△DE △AB ，522AB AE BE cm ===， △3tan =4DE B BE =， △31548DE BE cm ==，故答案为：158．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE 是线段AB 的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==165AE ∴=125DE ∴=== DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×12＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：sin 45︒=．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：△sin （α+15°）=1，△α+15°=90°，△α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出△A 的度数，然后求出tanA 的值．解：△sinA ＝12，△△A ＝30°，则tanA【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．394##42+ 【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，+4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：sin 452=°，()10p pa a a -=≠． 403【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式124=-14=3=．3．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出△A和△B的角度，即可得出答案.解：△210 2sinA tanB-+⎛⎝⎭=△12sinA=，tanB=△△A=30°，△B=30°△△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：△（cos A﹣12）2+|tan B﹣1|＝0，△cos A﹣12＝0，tan B﹣1＝0，则cos A＝12，tan B＝1，△△A＝60°，△B＝45°，△△C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出△BAD=90°，△D=30°，解直角三角形即可求得．解：△ABC∆是等边三角形，△60B BAC ACB︒∠=∠=∠=，△CD AC=，。

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

特殊角的三角函数试题汇编

2016年12月14日特殊角的三角函数一．填空题（共30小题）1．计算cos60°=．2．tan60°=．3．求值：sin60°﹣tan30°=．4．2cos30°=．5．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=度．6．计算：sin60°﹣cot30°=7．若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为．8．在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=．9．计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=．10．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．11．计算cos245°+tan60°cos30°的值为．12．计算：|sin60°•tan30°﹣1|=．13．计算：1﹣2sin30°=．14．计算sin30°+cos245°=．15．∠A是锐角，若cosA=，则∠A的余角度数为．16．若2cosα=1，则锐角α=度．17．计算：sin230°+cos60°•sin30°=．18．计算sin230°﹣cos45°tan60°+﹣tan45°．19．已知锐角A满足关系式4sin2A﹣1=0，则sinA的值为．20．若θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，则tanθ=．21．计算：sin245°+cot60°•cos30°=．22．计算：cot30°+cot45°=．23．计算：2sin60°+tan45°=．24．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=．25．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为．26．°=．27．如果锐角α满足2cosα=，那么α=．28．sin60°的值为．29．计算：cos30°﹣sin60°=．30．∠A的余角为60°，则∠A的补角为°，tanA=．2016年12月14日特殊角的三角函数参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2016•湘潭）计算cos60°=．【分析】根据记忆的内容，cos60°=即可得出答案．【解答】解：cos60°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这是需要我们熟练记忆的内容．2．（2016•黔东南州）tan60°=．【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．【解答】解：tan60°的值为．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．3．（2016•闸北区一模）求值：sin60°﹣tan30°=．【分析】根据sin60°=，tan30°=得到原式=﹣，然后通分合并即可．【解答】解：原式=﹣=﹣=．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．4．（2016•淮阴区校级二模）2cos30°=．【分析】根据cos30°=，继而代入可得出答案．【解答】解：原式=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．5．（2016•厦门校级一模）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=30度．【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．6．（2016•杨浦区一模）计算：sin60°﹣cot30°=【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式=﹣=﹣．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．7．（2016•富顺县校级一模）若tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为20°．【分析】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．【解答】解：∵tan（x+10°）=1，∴tan（x+10°）==，∴x+10°=30°，∴x=20°．故答案为：20°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角对应的函数值是解题关键．8．（2016•洪泽县一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB=1．【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得∠B，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．9．（2016•抚顺县一模）计算：sin45°+cos45°﹣tan30°sin60°=﹣．【分析】把特殊角是三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式=+﹣×=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值的计算，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．10．（2016•普陀区一模）计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．11．（2016•河西区模拟）计算cos245°+tan60°cos30°的值为2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：cos245°+tan60°cos30°=（）2+×=+=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．（2016•江西模拟）计算：|sin60°•tan30°﹣1|=0.5．【分析】结合特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：原式=|•﹣1|=|﹣1|=|﹣0.5|=0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．13．（2016•封开县二模）计算：1﹣2sin30°=0．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=1﹣2×=1﹣1=0，故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（2016春•沂源县期中）计算sin30°+cos245°=1．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式=+（）2=+=1，故答案为：1．【点评】本题考查的是特殊角是三角函数值的计算，熟记30°、45°、60°角的各种三角函数值是解题的关键．15．（2016春•淮安校级期中）∠A是锐角，若cosA=，则∠A的余角度数为60°．【分析】结合特殊角的三角函数值进行求解即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且cosA=，∴∠A=30°，∴∠A的余角的度数为：90°﹣30°=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．16．（2016春•会宁县校级月考）若2cosα=1，则锐角α=60度．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵2cosα=1，∴cosα=，∴α=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．17．（2016秋•道外区校级月考）计算：sin230°+cos60°•sin30°=．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入数据得出答案．【解答】解：sin230°+cos60°•sin30°=+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（2016秋•安丘市校级月考）计算sin230°﹣cos45°tan60°+﹣tan45°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式=（）2﹣×+﹣1=﹣+﹣1=【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是关键．19．（2016秋•江阴市校级月考）已知锐角A满足关系式4sin2A﹣1=0，则sinA的值为．【分析】利用直接开平方法求得sinA=±，结合A是锐角可以推知sinA=．【解答】解：4sin2A﹣1=0，sin2A=，∴sinA=±，∴A是锐角，∴sinA＞0，∴sinA=．故答案是：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时，注意∠A的取值范围，以防误解为sinA=±．20．（2016春•丰台区校级月考）若θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，则tanθ=．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由θ为三角形的一个锐角，且2sinθ﹣=0，得θ=60°．tanθ=tan60°=，故答案为：．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．21．（2016春•丰台区校级月考）计算：sin245°+cot60°•cos30°=1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：sin245°+cot60°•cos30°=（）2+×=+=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2016春•上海校级月考）计算：cot30°+cot45°=+1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．23．（2015•闸北区一模）计算：2sin60°+tan45°=+1．【分析】根据特殊三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×+1=+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．24．（2015•锦江区一模）已知α是锐角，且tan（90°﹣α）=，则α=30°．【分析】先求出90°﹣α的度数，然后求出α的度数．【解答】解：∵tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．25．（2015•青岛模拟）已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为30°．【分析】先根据α为锐角及tan60°=解答即可．【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．26．（2015•冷水江市校级模拟）°=．【分析】分别根据绝对值、0指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣+1﹣+2×=2﹣+1﹣+=．故答案为：．【点评】本题考查的是绝对值、0指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知以上运算法则是解答此题的关键．27．（2015•石河子校级模拟）如果锐角α满足2cosα=，那么α=45°．【分析】先求出cosα的值，然后根据特殊角的三角函数值求出α的度数．【解答】解：∵2cosα=，∴cosα=，则α=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．28．（2015•武侯区模拟）sin60°的值为．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．29．（2015•徐汇区一模）计算：cos30°﹣sin60°=0．【分析】根据特殊三角函数值，可得实数，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了特殊三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．30．（2015•武进区一模）∠A的余角为60°，则∠A的补角为150°，tanA=．【分析】根据余角的定义，可得∠A，根据补缴的定义，可得∠A的补角，根据正切函数的定义，可得正切函数值．【解答】解：由∠A的余角为60°，得∠A=30°．∠A的补角为150°，tanA=，故答案为：150，．【点评】本题考查了余角、补角，利用了余角的定义、补角的定义，熟记特殊角三角函数值是解题关键．。

锐角三角函数的经典测试题及答案

锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。

如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。

C地在A地北偏东75°方向。

且BD=BC=30m。

从A地到D地的距离是（）A。

303mB。

205mC。

302mD。

156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。

详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。

因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。

因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。

所以，从A地到D地的距离是156m。

故选D。

点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。

2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。

1/5B。

5/5C。

35/5D。

9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。

详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。

点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。

【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =，解得，AC ＝33，由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=，解得，3x =（米)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1）故选D ．【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

锐角三角函数专题训练

333 锐角三角函数与特殊角专题训练计算：（1）已知a 为锐角①若sina=3/5，求cosa 、tana 的值。

②若tana=3/4，求sina 、cosa 的值。

（1） ③若tana=2，求（3sina+cosa ）/（4cosa-5sina ）（2）在△ABC 中，角A, 角B,角C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ：b ：c=9:40:41，求tanA,1/tanA 的值.（3）求下列各式的锐角。

①2sina=1，②,2tana ·cosa= ，③ tan 2a+（1+ ）tana+ =0（4）在△ABC 中AB=15，BC=14，S △ABC=84.求tanc ，sina 的值。

（5）等腰三角形的面积为2，腰长为根号5，底角为a ，求tana 。

（6）锐角a 满足cosa=3/4，则∠a 较确切的取值范围（）A.0°＜a ＜45°B. 45°＜a ＜90°C. 45°＜a ＜60°D. C. 30°＜a ＜45° （7）计算：020*********sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++一、填空题：1. =︒+︒30sin 30cos ___________，2.sin 21= cos = 。

3.若21sin =θ，且︒<<︒900θ，则θ=_______，已知23sin =α，则锐角α=__________。

4．在_________cos ,,60,90,==∠=∠B A C ABC Rt 则中∆ 5．在ABC ∆，_________cos ,5,3,90====∠B AB AC C 则6．_________sin ,5,3,90,====∠A AB BC C ABC Rt 则中∆7．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，b a 33=，则A ∠=_________，A sin =_________8．在ABC ∆Rt 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（）9．在ABC ∆中，若0cos 2322sin 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ，A ∠，B ∠都是锐角，则C ∠的度数是（）10.（1）如果α是锐角，且154sin sin 22=+ α，那么α的度数为（）（2）．如果α是锐角，且54cos =α，那么)90cos(α-的值是（） 11．将︒21cos ，︒37cos ，︒41sin ，︒46cos 的值，按由小到大的顺序排列是_____________________12．在ABC ∆中，︒=∠90C ，若51cos =B ，则B 2sin =________ 13． 30cos 30sin 22+的值为__________， ________18sin 72sin 22=+14．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（） 15．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（） 16．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中17．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为，高为。

2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，，，则 sin B 的值为（）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，，，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由；（3）AQ ＝，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ；（2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15．如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ；（2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标；（2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；（3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1）（2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2）（3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数；（2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值；（3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。

特殊角的三角函数值练习题

知识点1 特殊角的三角函数值1．计算：(1)sin30°＋cos45°； (2)cos30°·tan30°－tan45°；(3)sin 260°＋cos 260° (4)22sin45°＋sin60°·cos45°. 知识点2 由三角函数值求特殊角 2．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则α＝ . 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A ＝．4．(邵阳中考)在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinA －12＋(cosB －12)2＝0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．如果在△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形6．在△ABC 中，∠A ＝75°，sinB ＝32，则tanC ＝( ) A.33 B. 3 C ．1 D.327．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°8．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是( )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．29．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，2)C ．(2＋1，1)D ．(1，2＋1)10．(重庆中考)如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为A ，AB 为⊙O 的直径，连接CB.若⊙O 的半径为2，∠ABC ＝60°，则BC ＝．11．若a ＝3－tan60°，求(1－2a －1)÷a 2－6a ＋9a －1的值。

特殊锐角的三角函数值

B
c
a
A b
C
1、如图所示在 Rt△ABC中，∠C=90°。（1 ）a、b、c三者之间的关系是 ∠A+∠B= 。（2）sinA= ， cosA= ， tanA= 。 sinB= ， cosB= ， tanB= 。（3）若∠ A=30°，则a与c的关系是 2、等腰直角三角形的每个锐角都等于
，
。
增大，
。
减小，
。
增大，
。
自我检测
• 1、 cos30°=( C) 1 • A 2 B 22 C
D
3 2
3
• 2、已知在Rt △ABC中， ∠C=
90°，
，则cosA=（ B ） 3 2 1 • A B 2 C 2 D 1 2 • 3、 tan60°+2 sin45°-2 cos30°的结果是（ C ） 1 2 • A 2 B C D 3
巩固训练
3、（1）阅读例1应注意：
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.
（2）阅读例1，完成课本 P13知识技能1 4、阅读例2，完成课本P13问题解决4
拓展探究
1、若在△ABC中，∠A 、∠B 满足
1 1 2 sin A cos B cos B 0 ， 2 4
2 2
若sinA=
自我检测
• 4、 tan60°× tan30°=（ 1 ） • 5、令a=sin60°，b= cos45°， • c =tan30°，则用“﹤”将a，b，c连接 c﹤b﹤a 2 • 起来为。 2 C • 6、锐角 α满足0﹤cosα﹤ ，则的取值范围（） • A 0°﹤α﹤45° B 60°﹤α﹤90° • C 45°﹤α﹤90° D α﹤30°

锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册知识讲练

专题1.5 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（专项练习）一、单选题 1．tan45°＝（） A ．1B ．22C 3D 323）． A ．cos30︒B ．tan30︒C ．cos45︒D ．sin30︒3．点()sin60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）． A ．132⎛- ⎝⎭B ．13,2⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．33⎝⎭4．已知()3tan 903α︒-=α的度数是（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°5．在△ABC 中，∠C =90°，AB 2BC =1，则∠A 的度数为（） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得sin15︒的值是（）A 62+B 62-C 32-D 31-7．若)23A 32cos B 30-+=，则ABC 的形状是（）A ．含有60°直角三角形B ．等边三角形C ．含有60°的任意三角形D ．等腰直角三角形82x 0（x ≠0），cos30°38 ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥交AB 于F ，DE DF ⊥交AC 于E ．若8AE =，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．210．如果∠A 为锐角，cos A 3∠A 取值范围是（） A ．0°＜∠A ≤30° B ．30°＜∠A ≤45° C ．45°<∠A<60° D ．60°＜∠A ＜90°二、填空题11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于______12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是______．13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，90,A DE ∠=︒交AB 于点P ，E 在斜边BC 上移动，斜边EF 交AC 于点Q ，32,10BP BC ==，当BPE 是等腰三角形时，则AQ 的长为___________．14．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，5BC =，4sin 5CBA ∠=，一次函数4y x =-的图象经过点A 、C ，反比例函数ky x=的图象经过点D ，则k =________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝8，∠B ＝120°，点O 是对角线AC 的中点，OE ∠CD 于点E ，则OE 的长为 __．16．如图，在∠ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将∠ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．17．如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．18．如图，已知线段4AB =，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，160∠=，P 点是直线l 上一点，当APB ∆为直角三角形时，则BP =_____．三、解答题19．计算：(1) 3tan30tan 452sin30︒+︒+︒； (2) 2cos 30tan 30sin 60245︒︒︒︒+⨯． 20．计算 (1) 013131(2007)()3tan 3084π-+---︒(2) 2cos 6045tan 30cos30︒+︒+︒⋅︒．21．计算与化简题(1) 计算：11351220224sin 603-⎛⎫-⨯++︒ ⎪⎝⎭(2) 先化简，再求代数式21691224a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值，其中4cos303tan 45a =︒+︒．22．如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t，请解决下列问题：(1)若点P在边AC上，当t为何值时，APQ为直角三角形？(2)是否存在这样的t值，使APQ的面积为3 2 ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF 是菱形，并说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将∠BCD沿直线BD翻折得到∠BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案1．A【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．解：tan45°＝1，故选：A ．【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．解：A 、cos30︒3B 、tan30︒3C 、cos45︒＝22，不符合题意； D 、sin30︒＝12，不符合题意；故选A ．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∠sin60°3cos30°3∠33y 轴对称的点的坐标是（33．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．A【分析】根据3tan 30︒=9030α︒-=︒即可求解．解：∠()3tan 903α︒-=，α为锐角，∠9030α︒-=︒， ∠60α=︒，故选：A ．【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5．B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．解：∠∠C =90°，AB 2BC =1，∠sin A =22BC AB = ∠∠A =45°．故选：B ．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．B【分析】根据()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒，代入特殊三角函数值计算即可．解：()sin15sin 4530︒=︒-︒sin45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒23212=62-=故选：B ．【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．7．A333,cos A B ==，从而得到60,30A B ∠=︒∠=︒，即可求解．解：解∠∠)23A 32cos B 30-+=，330,2cos 30A B -==，333,cos A B =， ∠60,30A B ∠=︒∠=︒， ∠∠C =90°，∠ABC 是含有60°直角三角形．故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．8．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 2x 0（x ≠0）=1，3cos30°382382，x 0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B ．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．B【分析】过D 点作DG ∠AC 于G 点，通过DF ∠AB ，DE ∠DF ，可得AB ED ∥，进而有∠BAD =∠ADE ，∠DAE =∠ADE =15°，即可得AE =DE =8，易证得AFD AGD ≅△△，即可求解DF =DG =4．解：过D 点作DG ∠AC 于G 点，如图，∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =30°， ∠∠BAD =∠CAD =15°，又∠DF ∠AB ，DE ∠DF ，∠AB ED ∥，∠AFD =∠AGD =90°， ∠∠BAD =∠ADE ， ∠∠DAE =∠ADE =15°， ∠∠AED 是等腰三角形，∠AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，在Rt∠DEG中，有1sin sin302 DGDEGDE=∠==，∠DG=4，∠∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠AFD AGD≅△△，∠DF=DG=4，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．10．C【分析】分别求出60°和45°角的余弦值，由此得到答案．解：∠cos60°＝12，cos45°2，且1322∠45°＜∠A＜60°．故选C．【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键．11．1 2解：∠OA=OB=AB，∠∠ABC是等边三角形，∠∠AOB=60°，∠cos∠AOB=cos60°=12．故答案是：12．12．1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．解：连接AB，由勾股定理得：AB 221310+AO 221310+OB 222425+= ∠AB ＝AO ，(22222101020OA AB OB +=+==，∠△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∠tan tan 451AOB ∠︒=＝，故答案为：1．【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．13．8210322【分析】解答时，分BE =PE ，PB =PE 和BP =BE 三种情况求解即可．解：当BE =PE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =45°，∠BEP =90°，∠QEC =45°，∠EQC =90°，∠PE =BE =BPsin 45°=232，EQ =CQ =ECsin 45°=272(103)- ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =723252= 当PB =PE 时，根据前面计算，得到BH =PH =3，∠BH =HE =3，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠EQC =45°，∠CEQ =90°，EC =EQ =BC -BE =10-6=4，∠CQ =4=42sin 452CQ =， ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =52422当BP =BE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =∠BEP =∠QEC =∠EQC ，∠PE =BE =32EQ =CQ =BC -BE =(1032)-，∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=522⨯ ∠AQ =AC -QC =52(1032)8210-=，综上所述AQ 的长为8210232，故答案为：8210232【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．14．4【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D 的坐标即可求解；解：如图，过点D 作DE ∠AB将y =0代入y =x -4中记得x =4∠A (4，0)在平行四边形ABCD 中，∠∠OAD =∠CBA∠4sin 5DE OAD AD ∠== ∠AD =BC =5∠DE =4，AE =3∠OE =OA -AE =4-3=1∠D （1，4）∠144k x y =⋅=⨯=故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．23【分析】连接OB ，由菱形的性质得BC ＝AB ＝8，BO ∠AC ，再由等腰三角形的性质得∠ACB ＝∠ACD ＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC ＝3最后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：连接OB，如图所示：∠四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，∠BC＝AB＝8，BO∠AC，∠∠ACB＝∠ACD12=（180°﹣120°）＝30°，在Rt∠BOC中，OC＝cos30°•BC3=8＝3∠OE∠CD，∠∠CEO＝90°，在Rt∠COE中，OE12=OC12=⨯33故答案为：3【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．1633【分析】过E点作EH∠BC于H，证明∠ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt∠HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH∠BC于H，∠BC=7，CD=3，∠BD=BC-CD=4，∠AB=4=BD，∠B=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠∠ADB =60°，∠∠ADC =∠ADE =120°，∠∠EDH =60°，∠EH ∠BC ，∠∠EHD =90°．∠DE =DC =3，∠EH =DE 333 ∠E 到直线BD 33 33 【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．17．15【分析】如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN 即可得到答案．解：如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，四边形ABCD 为矩形，10BC =，30ABD ∠=︒，10,20,cos303,AD BD AB BD ∴===•︒= ,AG BD AD AB •=•2010103,AG ∴=⨯53,2103,AG AE AG ∴===,,,AE BD EN AB EMG BMN ⊥⊥∠=∠30,E ABD ∴∠=∠=︒3cos3010315,EN AE ∴=•︒== 15,AM MN ∴+=即AM MN +的最小值为15.故答案为：15.【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 18．2或2327【分析】分90APB ∠=、90PAB ∠=、90PBA ∠=三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．解：如图：∠2AO OB ==，160∠=∠当2BP =时，90APB ∠=，当90PAB ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 23AP OA AOP =⋅∠=， ∠2227BP AB AP +=当90PBA ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 123BP OB =⋅∠=故答案为2或2327【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．19．3 2 (2)14【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝331+212⨯ 3=1+13=2；（2）解：原式＝23⎝⎭33223142=+-1 14=．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．(1)2-；(2)32【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．（1）解：原式3311432=+-- 323=2=-．（2）解：原式122332=111222=++ 32=．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．(1)3-(2)23a -3【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．(1) 解：原式＝3335314-⨯+-+951=-++ 3=-；(2)21691224a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2222123a a a a ---=⨯-- ()()222323a a a a --=⨯-- 23a =-； 4cos303tan 45a =︒+︒3431=⨯ 33=；原式323333==+-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．(1)1.2s 或3s ； (2)存在，(35)s 或4s【分析】（1）当APQ 为直角三角形时，∠A =60度，所以可能只有∠APQ =90°或∠AQP =90°，当∠APQ =90°时，∠AQP =30°，AP =12AQ ，求出t =1.2秒；当∠AQP =90°时，∠APQ =30°，AQ =12AP ，求得t =3秒；（2）当点P 在AC 上时，边AQ =6-t ，算出AQ 上的高PD 3t ，即可写出12（6-t ）3t =23t =35P 在BC 上时，算出AQ 边上的高PF )36t -，即可写出12（6-t ）)36t -=23t =4．（1）解：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC =CA =6，∠A =∠B =∠C =60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP =2t ，AQ =6-t ，当∠APQ =90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6-t ），解得t =1.2，当∠AQP =90°时，AQ =12AP ，即6-t =12×2t ，解得t =3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，∠APQ 为直角三角形；（2）存在∠当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ∠AB 于点D ，在Rt∠APD 中，∠A =60°，AP =2t ， ∠sin A =PD AP ，即sin60°=2PD t 3 ∠PD 3t ，S △APQ =12AQ ●PD =12（6-t ）3t ，由12（6-t ）3t =23135t =，235t =∠当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ∠AB 于点F ，在Rt∠BPF 中，∠B =60°，BP =12-2t ， ∠sin B =PF BP，即sin60°=122PF t -3 ∠PF )36t -，S △APQ =12AQ ●PF =12（6-t ）)36t -，由12（6-t ）)36t -=3()1248t t ==，不合题意，舍去因此，当t 为(35s 或4s 时，∠APQ 的面积为3【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．23．（1）60︒；（2）证明见解析；（3）32BD DF =，理由见解析【分析】（1）先证明,BAE DAF ≌可得,ABE ADF ∠=∠再证明30,30,ABE ADB 从而可得答案；（2）先证明2,DEDF 再证明90,EFD FDC ∠=∠=︒90,FEC ∠=︒ 从而可得结论；（3）先证明2,DF DE 结合,BE DF = 可得3,BD DE 从而可得答案.【详解】解（1）四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，120BAD ∴∠=︒,由旋转可得：120,,EAF AE AF120,BAD EAF ,,BADBAE EAD EAF EAD DAF ,BAE DAF又∠四边形ABCD 是菱形，,AB AD ∴=,BAE DAF ≌,ABE ADF ∴∠=∠又∠四边形ABCD 是菱形，60,ABC ∠=︒30,30,ABE ADBBDC30,ADF ∴∠=︒ 60.BDF ADB ADF （2）由（1）可得：60,BDF30,CDB90,CDF ∴∠=︒由（1）可得：,BAE DAF ≌,BE DF ∴= 33,DB DF BE DE BE2,DE DF60,30,BDF BDC 90,FDC ∴∠=︒1cos cos60,2EDF ∠=︒= 1cos ,2DF EDF DE ∴∠== EDF ∴是直角三角形，90,EFD180906030,FED ∴∠=︒-︒-︒=︒120,,EAF AE AF ∠=︒=30,AEF AFE ∴∠=∠=︒60,AED ∴∠=︒由菱形的对称性可得：60,DEC DEA ∠=∠=︒306090,FEC ∴∠=︒+︒=︒ 而90,EFD FDC ∠=∠=︒∴ 四边形ABCD 为矩形.（3）3,2BD DF 理由如下：如图，四边形AEGF 是菱形，120,EAF ∠=︒1120,302EGF EAF FEG GFE AEG 60,BDF 90,FED2,DF DE,BE DF =2,BE DE3,BD DE 3,2BD DF3.2BD DF 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24．（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）【分析】（1）根据抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC 长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC ，再根据角平分线求出∠DBC ，解直角三角形可以求得点C '和点D 的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即抛物线的函数表达式是y =x 2﹣2x ﹣3；（2）∠与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠BC =3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x =132-+=1，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ，则点H 的坐标为（1，0），∠BH =2，∠将∠BCD 沿直线BD 翻折得到∠BC ′D ，点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，∠BC =BC ′=4，∠C ′HB =90°，∠C ′BD =∠DBC ，∠OC 2242-3cos∠C ′BH ='BH BC =24=12， ∠C ′的坐标为（1，3，∠C ′BH =60°，∠∠DBC =30°，∠BH =2，∠DBH =30°，∠OD =BH 323 ∠点D 的坐标为（123），由上可得，点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。

28_1_3 特殊角的三角函数值基础训练(解析版)

28.1.3 特殊角的三角函数值基础训练一、单选题：1）A．cos30︒B．tan30︒C．cos45︒D．sin30︒2．已知()tan90α︒-α的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°3．在ABC中，90C∠=︒，若1sin2A=，则cos B的值为（）A．12B C．2D 【答案】A4．下列各式中不成立的是（）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=5．若2(tan 1)|2cos 0A B -+=，则ABC ∆的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．式子2cos30tan45︒-︒的值是（）A．0B．C．2D．2-7．若菱形的周长为2，则菱形两邻角的度数比为（）A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1菱形的周长为AB CD//C∴∠=135∴∠∠C B:故选：D．二、填空题：8．已知α是锐角，tan0α-=，则α＝______；cosα=______．##0.5【答案】60°##60度129．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin ABC∠＝____．##0.5【答案】12【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得sin ABC ∠的10．已知()2sin 453α+=α=________．15)453=)3452=【详解】解：()2sin 453α+=)3452=， 4560=，15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．11．计算：()22cos 60sin 45︒+︒︒=___________．【答案】34##0.75 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．12．0111()()23--+|tan45°＝_____．13．在ABC 中，若()2sin tan 10A B -= ，则C ∠的度数为__________ 【答案】75︒##75度∠的正切值是______．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB三、解答题：15．计算：(1)()012260cos60-+-π︒-︒；(2))021sin 4520226tan302︒+︒．16．先化简，再求值：22231393a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中2sin603tan 45a =︒+︒.17．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧AC 上一动点且不与点A ，C 重合，AG DC ，的延长线交于点F ，连结BC ．CD =2BE =．(1)求半径长．(2)求扇形DOC 的面积．设O 的半径为Rt OEC 中，32COE ∠=60COE =︒，再由垂径定理可得扇形的面积公式求解即可．）解：如图，连接OC ．设O 的半径为R ．Rt OEC 中，22OC OE =＋()222R =-。

锐角三角函数与特殊角试题与答案

锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（）A ．B ．2C ．D ．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．【解答】解：作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan ∠CDO==，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故选：C ．2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin AD B AB=()B sin AC B BC =()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =答案：C解析：考查正弦函数的概念。

由正弦函数的定义，知：A 、B 正确，又∠CAD ＝∠B ，所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D 也正确，故不正确的是C 。

3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4,3），那么cos α的值是（）A 、34B 、43C 、35D 、45 答案：D考点：三角函数，勾股定理。

解析：过点A 作AB 垂直x 轴与B ，则AB ＝3，OB ＝4，由勾股定理，得OA ＝5，所以，4cos 5OB OA α==，选D 。

4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin∠E 的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【解答】解：连接OC ，∵CE 是⊙O 切线，∴OC⊥CE，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，∴sin∠E=sin30°=．故选A ．αo xyA5．（2016·山东烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P 从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y 与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．7．（2016•辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A． B．4 C．8D．4【考点】解直角三角形．【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．8. (2016兰州，4,4分)在Rt △ ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则 AB＝（）。

锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值练习题九年级数学下册

锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值一、单项选择1．tan30°的值等于( )A ．33B ．22C ．1D ．2 2．sin60°的倒数为( )A ．2B ．32C ．33D ．2333．已知α为锐角，且sin α＝12，则α等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．若cos(α＋10°)＝12，则锐角α等于( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60°5．如果在△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．锐角三角形6．用计算器计算cos 44°的值为( )(结果精确到0.01)A ．0.90B ．0.72C ．0.69D ．0.667．已知tan α＝0.324 9，则α约为( )A ．17°B ．18°C ．19°D ．20°8．已知α为锐角，且关于x 的方程x 2－tan α·x ＋14＝0有两个相等的实根，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．如图所示的运算程序，能使输出的y 的值为12 的是A ．α＝60°，β＝45°B ．α＝30°，β＝45°C ．α＝30°，β＝30°D ．α＝45°，β＝30°二、填空题10．计算：(1)tan60°－12 ＝；(2)tan45°＋cos60°＝．11．比较大小：2sin60°＋tan45° 4cos60°.(填“＞”“＝”或“＜”)12. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，1－2sinB ＝0，则cosA 等于．13. 用计算器求下列锐角三角函数值(结果精确到0.000 1)：(1)tan63°27′≈ ；(2)cos18°59′27″≈ ；(3)sin67°38′24″≈ ．14. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则cosA ＝．15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝ 3 ，则sin A 2＝ .16.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为．三、解答题17．求下列各式的值：(1)4sin 60°－3tan 30°＋2cos 45°；(2)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°；(3) 4 ＋(－1)0＋|π－2|－ 3 tan 30°.18. 要求tan 30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：在Rt△ABC中，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝ 3 ，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan 15°的值，请画出你添加的辅助线，并求出tan15°的值．答案;一、1-9 DAACC BBBC二、10. (1) －3(2) 3211. ＞12. 1213. (1) 2.0013(2) 0.9456(3) 0.9248 14. 3215. 1216. 12三、17. 解：(1) 原式＝4×32 －3×33 ＋2×22 ＝ 3 ＋ 2(2) 原式＝22 ×22 ＋32 ×22 ＝2＋64(3) 原式＝2＋1＋π－2－3 ×33 ＝2＋1＋π－2－1＝π18. 解：延长CB 至点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，图略．则∠D ＝15°，tan 15°＝ACCD ＝12＋3 ＝2－ 3。

2019年全国各地中考数：锐角三角函数与特殊角(含解析)

锐角三角函数与特殊角一.选择题1. （2019•浙江金华•3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；2. （2019•湖北孝感•3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．3. （2019•湖南怀化•4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．4. （2019•湖南湘西州•4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．【点评】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．二.填空题1. （2019•湖北孝感•3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2. （2019•湖南衡阳•3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．3.（2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D 分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。

初中数学锐角三角函数练习、解直角三角形练习及详细解答

初中三角函数练习及解答1.锐角三角函数1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．15．求sin18︒的值．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．2解直角三角形1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．6．已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC ．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC ．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD 的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？1.锐角三角函数（详细解答）1.比较下列各组三角函数值的大小：（1）sin19︒与cos70︒；（2）cot 65︒与cos40︒；（3）cos1︒，tan 46︒，sin88︒和cot 38︒．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将cos70︒化sin 20︒，再与sin19︒比大小．因为()cos70cos 9020sin 20︒=︒-︒=︒，而sin19sin 20︒<︒，所以sin19cos70︒<︒．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．32cot 60cos 4532︒=<︒=，再将cot 65︒，cos40︒分别与cot 60︒，cos45︒比大小．因为cot 65cot 60︒<︒=，cos 40cos 45︒>︒>，所以cot 60cos45︒<︒，所以cot 65cos40︒<︒．（3）tan 451︒=，显然cos1︒，sin88︒均小于1，而tan 46︒，cot 38︒均大于1．再分别比较cos1︒与sin88︒，以及tan 46︒与cot 38︒的大小即可．因为()cos38cot 9052tan52︒=︒-︒=︒，所以tan52tan 46tan 451︒>︒>︒=．因为()cos1cos 9089sin89︒=︒-︒=︒，所以sin88sin891︒<︒<，所以cot 38tan 46cos1sin88︒>︒>︒>︒．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30︒，45︒，60︒的三角函数值．2.化简求值：（1）tan1tan 2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒ ；（2sin83︒；（3）2222tan sin tan sin αααα⋅-；（4cos 79sin 79-︒-︒；解析（1）原式=tan1tan 2tan3tan 44tan 45cot 44cot 43cot 3cot 2cot1︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ ()()()tan1cot1tan 2cot 2tan 44cot 44tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒ 1111=⋅⋅⋅= ．（2）原式1cos7cos71cos7=︒=⋅︒=︒．（3）原式()22442242222sin sin sin sin cos 1sin sin sin 1cos sin cos ααααααααααα⋅====--．（4）原式sin11cos11sin11cos11sin11cos110-︒-︒=︒-︒-︒-︒=．3.若tan 3α=求2sin sin 13sin cos αααα-+的值．原式2222sin cos sin sin cos sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααααααα--==+++2222tan tan 336tan 13tan 313319αααα--===-++++⨯．4.下列四个数中哪个最大：A ．tan 48cot 48︒+︒B ．sin 48cos48︒+︒C ．tan 48cos48︒+︒D ．cot 48sin 48︒+︒解析显然0sin 481<︒<，0cos481<︒<0<cos48°<1．因此有：sin 48sin 48tan 48cos 48︒︒<=︒︒，cos 48cos 48cot 48sin 48︒︒<=︒︒所以A 最大．5.设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，求sin cos x x ．解析我们将sin 3cos x x =代入22sin cos 1x x +=，得到210cos 1x =，并且x 是锐角，因此cos x=所以sin x =．因此3sin cos 10x x =．6.已知sin cos αα+=，求sin cos αα的值．解析由sin cos αα+=两边平方得()22sin cos αα+=．又22sin cos 1αα+=，所以12sin cos 2αα+=，得1sin cos 2αα=．7．已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根．求44sin cos αα+的值．解析由根与系数的关系知1sin cos 3αα=．则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-=．8．设A 、B 是一个直角三角形的两个锐角，满足2sin sin 2A B -=．求sin A 及sin B 的值．解析由于90A B +=︒，故由互余关系得()sin sin 90cos B A A =︒-=．因此条件即为sin cos A A -=，①将上式平方，得221sin cos 2sin cos 2A A A A +-=，由正、余弦的平方关系，即有12sin cos 2A A =，所以()2223sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2A A A A A A A A +=++=+=，因sin A 、cos A 均为正数，故sin cos 0A A +>．因此由上式得sin cos A A +=，②由①、②得sin A =，cos A =sin B =9．已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +--+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．解析设方程的两个实根1x 、2x 分别是直角三角形ABC 的锐角A 、B 的正弦．则()22222212sin sin sin cos 190x x A B A A A B +=+=+=+=︒，又122112m x x m -+=+，12122x x m =+，所以()2222111212211242122m x x x x x x m m -⎛⎫+=+-=-= ⎪++⎝⎭．化简得224230m m -+=，解得1m =或23．检验，当1m =时，()()22114820m m =--+<△；当23m =时，()()22114820m m =--+△≥．所以23m =．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和22sin cos 1αα+=列方程求解．要注意最后检验方程有无实数根．10．已知方程2450x x k -+=的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求k ．解析根据韦达定理，有12125 , 4.4x x k x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22121x x +=．于是有()2222121212512244k x x x x x x ⎛⎫=+=+-=--⨯ ⎪⎝⎭．解得98k =．11．若直角三角形中的两个锐角A 、B 的正弦是方程20x px q ++=的两个根；（1）那么，实数p 、q 应满足哪些条件？（2）如果p 、q 满足这些条件，方程20x px q ++=的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A 、B 的正弦？解析（1）设A 、B 是某个直角三角形两个锐角，sin A 、sin B 是方程20x px q ++=的两个根，则有240p q =-△≥．①由韦达定理，sin sin A B p +=-,sin sin A B q =．又sin 0A >，sin 0B >，于是0p <，0q >．由于()sin sin 90cos B A A =︒-=．所以sin cos A A p +=-，sin cos A A q =，所以()()22sin cos 1sin cos 12p A A A A q -=+=+=+，即221p q -=．由①得21240q p q -=-≥，则12q ≤．故所求条件是0p <，102p <≤，221p q -=．②（2）设条件②成立，则24120p q q -=-≥，故方程有两个实根：α==，β==．由②知p -=p <=-，所以0p p <--+，故0βα>≥．又()2222221p q αβαβαβ+=+-=-=，故01αβ<<≤．12．已知方程()24210x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．解析设题中所述的两个锐角为A 及B ，由题设得()241160 , 1cos cos , 2cos cos .4m m m A B m A B ⎧=+-⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩△≥因为cos sin B A =，故()2, 1cos sin , 2cos sin , 410m A A m A m m A ++==⎧=-⇒⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩可△≥取任意实数①②①式两边平方，并利用恒等式22sin cos 1A A +=，得()()221cos sin 12sin cos 4m A A A A ++=+=．再由②得()21124m m ++=，解得m =．由cos 0A >，sin 0A >及②知0m >．所以m =．13．不查表，求15︒的四种三角函数值．解析30︒、45︒、60︒这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15︒角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则1152D BAD ABC ∠=∠=∠=︒．设1AC =，则2AB =，3BC =2BD =，所以 23CD CB BD =+=+所以()()())2222123843242323123162AD AC CD =++++++=+=+．所以162sin15462AC AD -︒===+，2362cos15462CD AD ++︒===+1tan152323AC CD ︒===-+cot1523CDAC︒==．评注将15︒角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30︒角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75︒角的四种三角函数值．14．求22.5︒角的正切值（不查表，不借助计算器）．解析4522.52︒︒=，所以设法构造一个含22.5︒角的直角三角形，用定义求值．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，45B ∠=︒，延长CB 到D ，使BD BA =，则122.52D B ∠=∠=︒．设AC b =，有222AB b b b =+=，()21DC DB BC b =+=+．故()tan 22.52121ACDCb︒==+．15．求sin18︒的值．解析构造一个顶角A 为36︒的等腰ABC △，AB AC =，如图，作内角平分线则36ABD DBC ∠=∠=︒，设1AC =，BC x =．由于36DBA DAB ∠=∠=︒，72BDC BCD ∠=∠=︒，故CB BD DA x ===，而CAB △∽CBD △（36CAB CBD ∠=∠=︒），故AC BC BC DC =，故11xx x=-，有512x -=（舍去512-）．再作AH BC ⊥于H ，则18CAH ∠=︒，514CH -=．所以1sin184-︒=．评注本题所构造的等腰三角形是圆内接正十边形的相邻顶点与圆心确定的三角形，利用它可以求出半径为R 的圆内接正十边形的边长．16．若x 、y 为实数，221x y +=，α为锐角，求证：sin cos x y αα+的绝对值不大于1．解析由221x y +=，22sin cos 1αα+=，得()()2222sin cos 1x y αα++=，即22222222sin cos cos sin 1x y x y αααα+++=，加一项减一项，得22222222sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 1x xy y x xy y αααααααα+++-+=．即()()2sin cos cos sin 1x y x y αααα2++-=，因为()2cos sin 0x y αα-≥，所以()2sin cos 1x y αα+≤，故sin cos 1x y αα+≤．2解直角三角形（详细解答）1．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，且CD =，DB =求ABC △的三边长．解析由角平分线想到对称性，考虑过D 作DE AB ⊥，交AB 于E ，则由90C ∠=︒得CD DE ==．在直角三角形BDE 中，1sin 2DE B DB ==，则60B ∠=︒，所以3tan3AC BC B ==+⋅=，2sin ACAB AC B===，BC CD DB =+=．故ABC △的三边长分别为，．2．在Rt ABC △中（如图），D 、E 是斜边AB 的三等分点，已知sin CD x =，()cos 090CE x x =︒<<︒．试求AB 的长．解析作DF AC ⊥于F ，EG AC ⊥于G ；DP BC ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ．令BP PQ QC a ===，AG GF FC b ===．则2DF a =，EG a =．在Rt CDF △和Rt CEG △中，由勾股定理，得()2222sin a b x +=，及()2222cos a b x +=，两式相加得()2251a b +=，2215a b +=．所以35AB BD ===．3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，6AC =，AD 是BAC ∠的平分线，求点B 到直线AD 的距离BH ．解析已知Rt ABH △中，10AB =，要求BH ，可求出BAH ∠的正弦值，而BAH CAD ∠=∠，因而可先求出DC 的长．作DE AB ⊥于E ，有6AE AC ==，ED CD =．设3DC k =，由三角形内角平分线性质有106BD DC =，则5BD k =．Rt BDE △中，222DE BE BD +=，即()()()22231065k k +-=，得1k =．33CD k ==，AD ==sin10BHDAC ∠==，故BH =．4．已知ABC △是非等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB BC CE ==，连结AD 、AE ．已知45BAD ∠=︒．求tan CAE ∠的值．解析如图，过B 、C 两点作BM AC ∥、CN AB ∥分别交AD 、AE 于M 、N ．易知2AC BM =，2AB CN =，tan BM BAD AB ∠=，tan CNCAE AC∠=，从而，1tan tan 4BAD CAE ∠∠=．因为tan 1BAD ∠=，则1tan 4CAE ∠=．5．设有一张矩形纸片ABCD （如图），3AB =，4BC =．现将纸片折叠，使C 点与A 点重合，试求折痕EF 的长．解析设O 是矩形对角线AC 的中点．连结CF ，由折叠知CF AF =，故FO AC ⊥，即EF AC ⊥．由3AB =，4BC =，得5AC =，从而1522AO AC ==．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，故tan OF AO FAO =⋅∠．又由Rt ADC △得3tan tan 4DC FAO DAC AD ∠=∠==，所以5315248OF =⋅=，1524EF OF ==．7.已知三角形两边之和是10，这两边的夹角为30︒，面积为254，求证：此三角形为等腰三角形．解析由题意可设10a b +=，30α=︒，则125sin 24S ab α==△，即1125224ab ⋅=，得25ab =．于是，由10a b +=，25ab =，得a 、b 是方程210250x x -+=的两个根．而此方程有两个相等的根，所以5a b ==，即此三角形为等腰三角形．评注也可以直接由()()2240a b a b ab -=+-=，得a b =．7．在ABC △中，90C ∠=︒，其周长为2+，且已知斜边上的中线长为1．如果BC AC >，求tan A的值．解析由于斜边长是斜边上中线长的2倍，故2AB c ==．于是，由题设及勾股定理，得224. a b a b ⎧++==⎪⎨⎪⎩①②把①式两边平方，得2226a ab b ++=．再由②得1ab =．③由①、③知，a 、b 分别是二次方程210u +=的两根，解得622u ±=．因为BC AC >（即a b >），故12BC =，12AC =，所以tan 2BC A AC ===+．8．已知a 、b 、c 分别是ABC △中A ∠、B ∠，C ∠的对边，且a 、b 是关于x 的一元二次方程()()2 424x c c x ++=+的两个根．（1）判断ABC △的形状；（2）若3tan 4A =求a 、b 、c ．解析（1）根据题意，尝试从边来判断．因为4a b c +=+，()42ab c =+，所以()2222a b a b ab +=+-()()224242c c c =+-⨯+=，从而知ABC △是直角三角形，90C ∠=︒．（2）由90C ∠=︒，3tan 4A ∠=，得34a b =．令3a =，()40b k k =>，则5c k =，于是754k k =+，得2k =，从而有6a =，8b =，10c =．9．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12ABC S m =△，且两直角边长满足条件32a b m +=．（1）证明：24m ≥；（2）当m 取最小值时，求ABC △中最小内角的正切值．解析（1）由题设得 , 32.ab m a b m =⎧⎨+=⎩消去b ，得32m a a m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故实数a 满足二次方程2320x mx m -+=．①所以()224240m m m m =-=-△≥．因为0m >，所以24m ≥．10．如图所示．90A BEF EBC ECD ∠=∠=∠=∠=︒，30ABF ∠=︒，45BFE ∠=︒，60ECB ∠=︒且2AB CD =．求tan CDE ∠的值．解析因为tan CECDE CD∠=，已知2AB CD =，因此，只需求出AB 与CE 的比值即可．不妨设1CD =，则2AB =．在Rt ABF △中，90A ∠=︒，30ABF ∠=︒，所以cos30AB BF ==︒．在Rt BEF △中，90BEF ∠=︒，45BFE ∠=︒，所以2cos 452BE BF =︒==在Rt BEC △中，90EBC ∠=︒，60ECB ∠=︒，42sin 603BE CE ===︒，所以42tan 3CE CDE CD ∠==．11．如图所示．在锐角ABC △中，4sin 5B =，tan 2C =，且10ABC S =△．求BC．解析作AD BC ⊥于D ，设AD x =，在Rt ABD △中，因为4sin 5B =，所以3cos 5B ==，所以sin 4tan cos 3B B B ==，所以43AD BD =，34BD x =．在Rt ADC △中，因为tan 2AD C DC ==，所以22AD x CD ==，所以35424x BC BD CD x x =+=+=．①因为1102ABC S BC AD =⨯=△，所以151024x x ⨯⋅=，所以4x =．由①知5454BC =⨯=．评注在一般三角形中，在适当位置作高线，将其转化为直角三角形求解，这是解斜三角形常采用的方法．12．如图所示．在ACD △中，45A ∠=︒，5CB =，7CD =，3BD =．求CBD ∠及AC．解析作CE AD ⊥于E ，设CE x =，BE y =，则有()2222225 , 37. x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩①②②-①得22697524y +=-=，所以52y =．因为2x =，所以512cos 52BE CBE CB ∠===，所以60CBE ∠=︒，18060120CBD ∠=︒-︒=︒，所以5356sin 4522CE AC ==︒．13．如图，已知ABC △中，1AB =，D 是AB 的中点，90DCA ∠=︒，45DCB ∠=︒．求BC 的长．解析作BE AC ⊥B ，交AC 的延长线于E ，设BC x =．则sin 45BE BC =⨯︒=，cos 45CE BC =⋅︒=由DC BE ∥，D 是AB 的中点，知2AE EC ==．而222AE BE AB +=，得221+=．即x =，所以BC =．评注通过构造直角三角形，使用三角函数、勾股定理等知识将边角联系起来是求线段长的常用方法．14．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：33AE AC BF BC =．解析ADE ACD B ∠=∠=∠，而tan AE ADE DE ∠=，tan ED ACD EC ∠=，tan DFB BF=，所以tan AE ED DFB DE EC FB===，又DF EC =，所以3tan AE ED EC B DE EC BF ⋅⋅=，所以3tan AEB BF=．又tan ACB BC=，所以33AE AC BF BC =．15．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边的中点，AD 垂直于BM 且交BC 于D ．求证：AMB CMD ∠=∠．解析作DF AC ⊥于F ，不妨设3AB =，因AD BM ⊥，90BAM ∠=︒，所以DAF ABM ∠=∠．又112tan 2AC MA ABM AB AB ∠===．1tan 2DF DAF FA ∠==．又90BAC ∠=︒，AB AC =，45C ∠=︒，而90DFC ∠=︒，故FC FD =．由于12FC FA =，而3FC FA +=，1FC =，2FA =，而32MC =，31122FM =-=，1FD =，即1tan 212FD CMD FM ∠===，又tan 2AB AMB AM ∠==，AMB ∠，CMD ∠是锐角．因此AMB CMD ∠=∠．16．如图（a ），正方形ABCD的边长E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别交DE 、DB 于点M 、N ，求DMN △的面积．解析记正方形ABCD 的边长为2a ．由题设易知BFN △∽DAN △，则有21AD AN DN BF NF BN ===，得2AN NF =，所以23AN AF =．在直角ABF △中，2AB a =，BF a =，则AF ==，于是cos 5AB BAF AF ∠==．由题设可知ADE △≌BAF△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒．于是cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，从而415MND AFD S MN S AF ==△△．又()()212222AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△．因a =8MND S =△．17．已知a 、b 、c 是ABC △三边的长，其中b a c >=，且方程20ax c +=两根的差的绝对值等．求ABC △中最大角的度数．解析由已知条件b a c >=可知，这是一个等腰三角形，且底边b 最长，则最大角为B ∠，求出ABC △中的底角A （或C ）即可．我们可以先求角A （或C ）的三角函数值，再确定角的大小，如图所示．由图知2cos 2b AD b A AB c c===，则关键是求出b 与c 的比值．通过一元二次方程中的条件，可得到关于c 、b 的方程，则问题得到解决．因为a c =，所以方程为20cx c +=．设1x 、2x 为方程的两个根，则有122b x x c +=，121x x =．因为12x x -=，()2122x x -=，即()2121242x x x x +-=，所以2242c ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，c =，b c =，所以cos 22b A c ==，所以30A ∠=︒，所以1803030120B ∠=︒-︒-︒=︒．评注这是一道方程与几何知识的综合题．三角形的边是一元二次方程的系数，利用方程条件导出边的关系，由边的关系再进一步求角的大小．18．如图，AB 是圆的直径，弦CD AB ∥，AC 与BD 相交于E ，已知AED θ∠=，试求:CDE ABE S S △△．解析由AB CD ∥，得CDE △∽ABE △．所以22::CDE ABE S S DE BE =△△．连结AD ，则90ADB ∠=︒．故由Rt ADE △，有cos DE AEθ=，又AE BE =，所以2:cos CDE ABE S S θ=△△．19．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上．如果CD 与地面成45︒，60A ∠=︒，4m CD =，(m BC =-，求电线杆AB 的长（精确到0.1m ）．解析如图，延长AD 交地面于点E ，过点D 作DF CE ⊥于点F ．因为45DCF ∠=︒，60A ∠=︒，4CD =，所以2sin 4542CF DF CD ==︒=⨯=，tan 60EF DF =︒==．因为3tan 303AB BE =︒=，所以(()8.5m 33AB BE ==++⨯=≈．20．如图，某岛S 周围42海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时15海里的速度航行，在、A 处测得S 在北偏东60︒，2小时后在B 处测得S 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向行驶，才能避免触礁危险，说明理由．解析若设船不改变航向，与小岛S 的最近距离为SC ．则有tan 60tan 45152SC SC ︒-︒=⨯，解得1542SC =<．因此需要改变航向，以免触礁．21．如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为h ，截面积为S ，试求当倾角θ为多少时造价最小？解析要使造价最小，只需考虑AD DC CB ++最小，故首先设法用h 、S 、θ表示AD DC CB ++．()()()1122cot cot 22S AB CD h CD h h CD h h θθ=+=+=+．有cot S CD h h θ=-，则2AD DC CB AD CD ++=+2cot sin h S h θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2cos sin h S hθθ-=+．因S 、h 为常数，则要求AD DC CB ++的最小值，只需求2cos sin m θθ-=的最小值．设2cos sin m θθ-=，两边平方整理得()()2221cos 4cos 40m m θθ+---=，cos θ=由上式知()2230m m -≥，解得m m =时，2cos sin θθ-有最小值．当m =时，221cos 12m θ==+，从而得60θ=︒，此时排污渠造价最小．。

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25.2.2 锐角三角函数
主备人：姜春霞
◆随堂检测
1、若cot β
，则锐角β等于（）．
A ．0°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，，则sinA 的值等于（）． A ．12
B C ．1 3、已知：如图，BC ：AB=1：2，延长AB 到B 1，使AB 1=2AB ，延长AC 到AC 1，使AC 1=2AC ，• 则sinA 的值是（）．
A ．1
B ．
12 C ．14 D ．无法判断
4、计算：
（1）sin30°·cos60°-sin 245°；（2）2cos60°-sin60°-│-cot30°│．
◆典例分析
已知在△ABC 中，sinA=2，cosB=2
，且AC=10cm ，求△ABC 的面积．解：∵sinA=2， cosB=2
，∴∠A=45°，∠B=30°．如图:过C 作CD ⊥AB 于D ，由∠A=45°，AC=10，
知．
在Rt △BCD 中，∠B=30°，．
∴BD=cot30°·， ∴，
∴S △ABC =12·AB ·CD=12
（）× 点评：解答此类问题关键是通过做辅助线构造出直角三角形.
◆课下作业
●拓展提高
1 ）．
A ．1-3
B -1
C ．3
-1 D ．
2（A+10°）-3=0，则∠A 的值为（）．
A ．40°
B ．50°
C ．20°
D ．70°
3、tan30°的值等于（）．
A ．12
B ．2
C ．3 D
4、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AB=1，则点A 1的坐标是（）．
A ．（2，32）
B ．（2，3）
C ．（32，2）
D ．（12，2）
5、计算：sin45°+12°+tan45°）+6tan30°．
6、在△ABC 中，若│cosA-
2│+（2-cosB ）2=0，求∠C 的度数． ●体验中考
1、（2009年天津市）2sin 30°的值等于（）
A ．1
B
C
D ．2
2、（2009湖北省荆门市）104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．
3、（2009眉山）计算：131(tan 60)||20.1252
-︒-+⨯ 4、（2009年崇左）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭
°°．。