2015年高考真题——理科数学（河北省） Word版含答案

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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1） 设复数z 满足1+z
1z
-＝i ，则|z |＝
(A )1 (B (C (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝
(A ) (B (C )12- (D )12
(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为
(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312
(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2
212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个
焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是
(A )() (B )()
(C )(223-
，223) (D )(233-，23
3
) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有
委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则
(A ) 1433AD AB AC =-
+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 41
33
AD AB AC =-
(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为 (A )(
)，k
(b )(
)，k
(C )()，k (D )()，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝
(A )5 (B )6 (C )7 (D )8
（10）2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8
12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( ) A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [3
2e
，1)
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方
2r
r
正视图俯视图
r
2r
程为 .
(15)若x ，y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，
(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设
，求数列
}的前n 项和
(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，
DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x
y
w
8
i=1
∑
(x i －x )2
8
i=1
∑
(w i －w )2
8
i=1
∑
(x i －x )(y i －
y )
8
i=1
∑
(w i －
w )(y i －y )
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w i i x ，w ＝
1
8
8
i=1
∑
i w
A B C
F
E
D
年宣传费(千元)
年销售量
(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传
费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1()()
,()n
i
i
i n
i i u u v v v u u u βαβ==--=
=--∑∑
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2
4x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，
(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝31
,()ln 4x ax g x x ++=-
(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； (Ⅱ)用min
{}
,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数
}{()min (),()
(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E
（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，
求△C 2MN 的面积
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围
2015年普通高等学校招生全国统一考试
C
D A
E
B
O
理科数学试题答案
A 卷选择题答案 一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题
（13）1 （14） 22325
()24x y ±+= （15）3
（16）
二、
解答题
（17）解：
（I ）由2243n n n a a S +=+，可知2
11124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即
22
11112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-
由于0n a >可得1 2.n n a a +-=
又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，
所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+
111111
().(21)(23)22123
n n b a a n n n n +=
==-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则
12n n T b b b =++
+
11111
11()()(
)()2355
72123.3(23)
n n n n ⎡⎤=
-+-++-⎢⎥++⎣⎦
=+
（18）解：
（I ）连结BD ，设BD
AC=G ，连结EG ，FG ，EF.
在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，
可得AG=GC=3.由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以EG=3，且EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中， 可得BE=2故DF=
22.在Rt ∆FDG 中，可得FG=62
. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=
2
2
， 可得FE=32
2
.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.AC
FG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ⊂平面
所以平面AEC AFC ⊥平面
（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，
GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I ）可得2
(03,0),(102),(10),(03,0)A E F C -，，，，所以
2
(132),(13,
AE CF ==-，，故3cos ,AE CF AE CF AE CF
⋅=
=-⋅ 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为3
.
（19）解：
（I
）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。

……2分 （II
）令w =
y 关于w 的线性回归方程。

由于
1
2
1
()()
108.8
ˆ681.6
()
n
i
i
i n
i
i w w y y d
w w ==--==
=-∑∑ ˆˆ56368 6.8100.6c
y dw =-=-⨯=。

所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668y
w =+，因此y 关于x
的回归方程为ˆ100.6y
=+。

……6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值
ˆ100.6576.6y
=+= 年利润z 的预报值
ˆ576.60.24966.32z
=⨯-=。

……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值
ˆ0.2(100.620.12z
x x =+-=-++
13.6
6.82
=
=，即x=46.24时，ˆz
取得最大值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。

……12分
（20）解： （
I ）
有
题
设
可
得
),(),M a N a M -或（）.
又
2
=y 24x x y x '==，故在
处的导数值
为
，C 在
点)a 出的切线方程
为
a 0y x y a -=---=
2
4
x y x ==-在
，即0y a -+=.
00y a y a --=++= （III ） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k
2440.y kx a C x kx a =+--=代入的方程得 故12124,4.x x k x x a +==-
从而2440.kx a C kx a +--=代入的方程得x
12124,4.x x k x x a +==-故
12112
121212
b 22()()y y b
k k x x kx x a b x x x x --+=
++-+从而
()
k a b a
+=
当b=-a 时，有
120,=k k PM +=∠∠则直线的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ，所以点P(0,-a)符合题意
（21）解：
（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点000300
200(,0)()0,()01043013
,24
x f x f x x ax x a a ==⎧⎫
++=⎪⎪⎨⎬
⎪⎪+=⎩⎭
=-
则即
解得x
因此，当3
x y ()4
a f x =-=时，轴为曲线的切线
（II ）当
{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点
{}55
x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44
a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故
是
{}5
()a ,(1),(1)(1)0,1(4
h x f g f x h x
<-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是
的零点x (0,1)g()10.f x nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数
2i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调
15f (0),(1),f a f 44
f a =+≤≥所以当a -3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0
）没有零点()30,f ()0ii a x -<<若则在（0,1）中
()f x f x ==当取得最小值，最小值为
30.0,()4
3f a f ()(0,1)4
31530,3,(0),(1)4444
f a f x x f a f f a a >-<<<-<<-==+<<-①若即在（0,1）无零点；②若即=-则在有唯一零点③若即由于 5()f ()(0,1).4
f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3<a -时，在有一个零点 综上，当
3535a a<-()a a h()4444
h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44
a x -<<-当时，有三个零点
（22）解：
（I ）链接AE ，由已知得，AE BC ⊥AC AB ⊥
在Rt AEC ∆中，由已知得，DE=DC 故DEC DCE ∠=∠
链接OE ，则∠OBE=∠OEB 又∠ACB+∠ABC=90°所以∠DEC+∠OEB=90°
故90o OED ∠=，DE 是O 得切线
（II ）设CE=1，AE=X
，由已知得AB =
，BE =
由摄影定理可得，AE=CE.BE
，所以2x =即42120x x +-=
可得x =60o ACB ∠=
（23）解：
（I ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

……5分 （II ）将4π
θ=代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得122ρ=，22ρ=122ρρ-=，即2MN =
由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为
12。

……10分
（24）解：
（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->，
当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得
213
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。

所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。

……5分 （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为
()2213a +。

由题设得()22163
a +>，故2a >。

所以a 的取值范围为()2,+∞ ……10分
B 卷选择题
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C
（4）A (5) D (6) B (7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A。