人教版九年级数学上册 二次函数单元试卷(word版含答案)

人教版九年级数学上册

二次函数单元试卷（word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

⎧

-⨯++

⎪

⎨

⎪=

⎩

＝

,

解得：12b c =⎧⎨=⎩

. ∴y=-12

x 2+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

得12

x 2+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-，

x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩

得12

x 2+(m-1)x-2=0， ∴124b x x a

⋅=-=- 即x p•x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩

得x N =21

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）.

设直线QG 的解析式为y kx m =+，

将点()2,2Q 代入y kx m =+

得22k m =+

22

m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n y x n -=+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

得221=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4， 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

， 得12

x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a

∴⋅=-

= 即x D x E =4， 即（m-2）•（n-2）=4

∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.

2．如图1，抛物线y ＝mx 2﹣3mx +n （m ≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），在线段OA 上有一动点E （不与O 、A 重合），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．

（1）分别求出抛物线和直线AB 的函数表达式；

（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，当123625

S S = 时，求点P 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转的到OE ′，旋转角为α

（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+

2

3

E'B的最小值．

【答案】（1）抛物线y＝﹣

3

4

x2+

9

4

x+3，直线AB解析式为y＝﹣

3

4

x+3；（2）P（2，

3

2

）；（3）

410

3

【解析】

【分析】

（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；

（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出

6

5

PN

AN

=，以此列出方程求解即可解决问题；（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝

4

3

，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+

2

3

E′B的最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），

则有

3

30

n

m m n

⎧

⎨

⎩++

＝

＝

，解得4

3

3

m

n

⎧

⎪

⎨

⎪

-

⎩

＝

＝

，

∴抛物线2

39

3

44

y x x

=-++，

令y＝0，得到2

39

3

44

x x

-++＝0，

解得：x＝4或﹣1，

∴A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则

3

40

b

k b

+

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，