控制工程第3章

响应曲线的斜率初始值为1/T， 随时间的推移而下降。 可用时间常数T度量系统输出 量的数值。 时间常数T越小，响应过程越 快。

一阶系统的单位斜坡响应

系统在单位斜坡信号作用下的输出 xi (t ) t X i ( s ) 12 X o (s) G(s) X i (s) 2 1 s s (Ts 1) 瞬态分量 t / T
解：
。 系统的闭环传递函数为
G ( s) 9 9 (s) 2 1 G ( s ) s ( s 1) 9 s s 9
系统为典型的二阶系统，其特性参数
tp
ts
n 1
6s
2
n 3rad / s,
1.062s
1/ 6
/ 1 2
ts 3 4
n
( 0.05)
ts
n
( 0.02)

一般取 0.707 作为最佳阻尼比，系统调整时 间短，超调量适度。
快速性
平稳性
峰值时间
响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
tp d n 1 2
延迟时间 振荡次数
响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间。 在调整时间内定义的，实测时可按响应曲线 穿越稳态值次数的一半计数。
衰减正弦 函数分量
bk ekk t sin( 1 k2 k t ck )
k 1
主导极点

定义：距离虚轴很近对系统的时间响应起主导作用 的极点。
说明：距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值 的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点。
K—开环增益；
T—时间常数。
2 n
X i (s)
E (s)
—
K s (Ts 1)
X o (s)
X o ( s) G( s) 2 2 X i ( s) s 2n s n
n 无阻尼固有频率 T

K
阻尼比
1 2 TK
特征方程
2 s 2 2n s n 0
该系统为一个典型的二阶系统，即有
2 n 600,
2n 70
可求得
n 600 24.5rad / s, 1.43
例
某数控机床的位置随动系统为单位反馈系统，其 开环传递函数为 G ( s ) 9 ，试计算系统的
M p , t p , ts , N
s ( s 1)
1 s 2 2 s s n
单位阶跃响应
xo (t ) 1 cos nt

平均值为1的正、余弦形 式的等幅振荡曲线，处 于临界稳定状态。
二阶系统的性能指标
上升时间

定义：响应曲线从零第一次到稳态值所需的时间。
过阻尼系统的上升时间指响应曲线从稳态值的 10% 上升到90%所需要的时间。
N
1.5 1 2

2 1 2
( 0.05)
N

( 0.02)
只与阻尼比 有关
例
已知系统的单位阶跃响应 xo (t ) 1 0.2e60t 1.2e10t ， 试求：（1）该系统的闭环传递函数； （2）系统的无阻尼固有频率 n 和阻尼比 。
1 s
ui(t)
duo (t ) uo(t) RC dt uo (t ) ui (t )
Uo (s) 1 1 G(s) Ui (s) RCs 1 Ts 1
一阶系统的单位脉冲响应

给系统非常短暂的冲击作用，作用时间小于T/10。
0 t
初始斜率 －1/T2

直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、
准确、易于接受；

可以提供系统时间响应的全部信息； 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
时间响应

定义：系统在输入信号作用下，其输出随时间的 变化而变化的过程。

瞬态响应：系统在输入信号作用下，输出量从初 始状态到稳定状态的响应过程。（快、稳）
稳态响应：时间趋于无穷时，输出的稳定状态。 （准）
两个根（闭环极点）
s1,2 n n 2 1

0 系统不稳定
0 无阻尼系统
0 1
பைடு நூலகம்
s1,2 jn
有阻尼振动 角频率
欠阻尼系统
s1,2 n jn 1 2 n jd

1 临界阻尼系统
s1,2 n

瞬态响应 稳态响应

xo (t )
xi (t )
0
t
输入信号选取原则

应反映系统工作大部分实际情况。 形式应尽可能简单，便于用数学式表达。 应选最不利的信号作为系统的典型输入信号。 如：室温（水位）调节系统—阶跃函数； 输入信号随时间变化的系统—斜坡函数。

通常以单位阶跃函数作为典型输入作用。
稳态分量

1 2(1 1 )
2 2
e
( 2 1)n t
两类瞬态 衰减分量

单调上升，无振荡，过渡 过程时间长，无稳态误差。
无阻尼状态 0
n2 n2 1 X o (s) 2 2 2 s 2n s n s s( s 2 n )
s1,2 n n 2 1

1 过阻尼系统
二阶系统的单位阶跃响应

输入信号 xi (t ) 1(t )
X i (s) 1 s
单位阶跃响应的拉氏变换
X o ( s) G ( s) X i ( s)
2 n 2 s( s 2 2n s n )
t0 t 0
1 X o ( s) G(s) X i (s) Ts 1
X i ( s) 1
xo (t )
1 t / T xo (t ) e T

T
1 t/T t / T xo (t ) e T T
一阶系统的脉冲响应为一单调 下降的指数曲线，其稳态响应 为零。 T越小，系统的惯性越小，响 应过程的快速性越好。
解： 系统的输入 X i ( s)
1 0.2 1.2 输出 X o ( s ) s s 60 s 10 系统的闭环传递函数
X o ( s) 600 ( s) 2 X i ( s) s 70s 600
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
（）当 1 T 0.1 ，K 10时, n 10rad / s, 0.5 （2）当T 0.1 ，K 20时, n 14.14rad / s, 0.345
高阶系统的响应分析

定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。 高阶系统的闭环传递函数
X o ( s ) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm ( s) X i ( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s an
若单位反馈系统的开环传递函数 G ( s )
频率 n 和阻尼比 。
解： 单位反馈系统的闭环传递函数为
G( s) K K /T ( s) 2 1 G(s) Ts s K s 2 1 s K T T
根据二阶系统传递函数的标准形式
n
K T
2 n G( s) 2 2 s 2 s n n 1 2 TK
典型输入信号

定义：指根据系统常遇到的输入信号形式，在数 学描述上加以理想化的一些基本输入函数。
一阶系统

定义：能用一阶微分方程描述的控制系统。
传递函数
X o ( s) 1 G( s) X i (s) Ts 1
X i (s)
T：时间常数
E (s)
—
例
R i(t) C
1 Ts
X o (s)
单位阶跃响应
xo (t ) 1 ent ntent 1 ent (1 nt )
稳态分量

瞬态分量
单调上升，无振荡、无超 调、 无稳态误差。
过阻尼状态 1 单位阶跃响应
xo (t ) 1 1 2(1 1 )
2 2
e
( 2 1)n t
第三章 时域分析
学习要求

掌握典型输入信号的时域、复数域数学表达形式； 熟悉一、二阶系统在典型输入信号作用下的时间响应； 熟悉时域主要性能指标的计算方法； 掌握稳态性能指标的物理意义和计算方法； 了解MATLAB软件对系统时域分析的方法。


时域法的作用和特点
时域法是最基本的分析方法，是学习复域 法、频域法的基础。
（3-37）

单位阶跃输入二阶 系统的超调量仅与 阻尼比有关，与固 有频率ω n无关。
/ 1 2

Mp e
100%
调整时间

定义：在响应曲线的稳态值处取±△（一般为5% 或2%）作为允许误差范围，响应曲线到达并保持 在这一误差范围内所需要的时间。 在欠阻尼状态下 0 0.8
一阶系统 q
二阶系统 (m n, q 2r n) r 2 2 ( s p ) ( s 2 s j k k k)
i 1 j 1 k 1
K ( s zi )
m
单位阶跃的时间响应 指数分量
xo (t ) 1 a j e
j 1 q p jt r
tr d
（3-34）
1 2
将 d n 1 2 , arctan
arctan
tr


代入
1 2

n 1 2
（3-35）
上升时间是系统响应速度的一种度量。
超调量

定义：响应曲线的最大峰值与稳态值的差和稳态 值之比的百分数，即
Mp xo (t p ) xo () xo () 100%

单位阶跃响应
2 n xo (t ) L1[ X o (s)] L1[ 2 ] 2 s(s 2n s n )
欠阻尼状态 0 1 单位阶跃响应
xo (t ) 1 e nt 1
2
瞬态分量
sin(d t )
稳态分量

d n 1 2 arctan
xo (t ) (t T ) Te
稳态分量

瞬态分量为衰减非周期函数。 稳态分量与输入斜坡函数斜 率相同，但时间滞后T，即 存在稳态跟踪误差，其值等 于时间常数T。
重要性质

时间常数T是反映一阶系统特性的重要参数，T越 小，系统的响应速度越快。 等价关系：线性定常系统对输入信号导数（积分） 的响应等于系统对该输入信号响应的导数（积分）。
Mp e
N
100% 53.8%
( 0.05)
3
ts
n 4
( 0.05)
1.5 1 2

3
n
8s
( 0.02)
N
2 1 2

4
( 0.02)
例
K ， s (Ts 1) 试求：当T=0.1及K=10和20时，系统的无阻尼固有

T
2T
3T
4T
一阶系统的单位阶跃响应

阶跃输入：对测试系统突然加载或突然卸载
0 t 0 1 xi (t ) X i (s) s 1 t 0

X o ( s) G( s) X i ( s)
xo (t ) 1 et / T
1 s(Ts 1)
响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值1的非周期 曲线（稳态误差为零）。

1 2

阻尼比 主要影响超调量和振荡次数。
通常 0.6 ~ 0.8 ， 最大超调量不超过 2.5%~10%，达到稳态 的时间最短，稳态误差 范围2%~5%。

固有频率ωn越高， 系统响应越快。
临界阻尼状态 1
2 2 n n 1 1 X o ( s) 2 2 2 s 2n s n s ( s n ) s 2 n 1 1 s s n ( s n )2
输 入 信 号 输 出 响 应 t0 1 t / T e T

(t )
1(t )
t
1 et / T
(t T ) Te t / T
1 2 t 2
1 2 t Tt T 2 (1 e t / T ) 2
二阶系统

定义：能用二阶微分方程描述的控制系统。
传递函数
X o ( s) K K G( s) 2 X i (s) s(Ts 1) K Ts s K