(人教版)哈尔滨八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》经典习题(含答案解析)

一、选择题
1．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）
A ．10±
B ．20±
C ．10
D ．20B
解析：B
【分析】
由4a 2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m 的值．
【详解】
解：∵4a 2+ma+25是完全平方式，
∴4a 2+ma+25=（2a±5）2=4a 2±20a+25，
∴m=±20．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
2．从边长为 2a +的正方形纸片中剪去一个边长为1a -的正方形纸片()1a >，则剩余部分的面积是（ ）
A ．41a +
B ．43a +
C ．63a +
D ．2+1a C 解析：C
【分析】
根据题意列出关系式，化简即可得到结果；
【详解】
根据题意可得： ()()
()()()2221212132163a a a a a a a a +--=++-+-+=+=+；
故答案选C ．
【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确分析计算是解题的关键．
3．下列运算正确的是（ ）．
A ．()2326ab a b =
B ．()325a a =
C ．236a a a ⋅=
D ．347a a a += A 解析：A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．
【详解】
A 选项：()2326ab a b =，正确，符合题意；
B 选项：()326
a a =，错误，不符合题意；
C 选项：235a a a ⋅=，错误，不符合题意；
D 选项：347a a a +≠，错误，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
4．若关于x 的方程250x a b ++=的解是3x =-，则代数式6210a b --的值为（ ） A ．6-
B ．0
C ．12
D ．18A
解析：A
【分析】
将方程的解代回方程得56a b +=，再整体代入代数式求值即可．
【详解】
解：把3x =-代入原方程得650a b -++=，即56a b +=，
则()62106256126a b a b --=-+=-=-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查代数式求值和方程解的定义，解题的关键是掌握方程解的定义，以及利用整体代入的思想求值．
5．如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ）
A ．22()()x y x y x y -=-+
B ．222()2x y x xy y +=++
C ．222()2x y x xy y -=-+
D ．22()()4x y x y xy +=-+ B
解析：B
【分析】 观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
【详解】
解：图中大正方形的边长为：x y +，其面积可以表示为：2
()x y + 分部分来看：左下角正方形面积为2x ，右上角正方形面积为2
y ，
其余两个长方形的面积均为xy ，
各部分面积相加得：222x xy y ++， 222()2x y x xy y ∴+=++
故选：B ．
【点睛】
本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．
6．如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的x 的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……以此类推，第204次输出的结果是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5A
解析：A
【分析】
根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解
【详解】
解：由数据运算程序得，如果开始输入的x 的值为10，那么：
第1次输出的结果是5
第2次输出的结果是16
第3次输出的结果是8
第4次输出的结果是4
第5次输出的结果是2
第6次输出的结果是1
第7次输出的结果是4
……
综上可得，从第4次开始，每三个一循环
由()2043367-÷= 可得第204次输出的结果与第6次输出的结果相等
故选：A
【点睛】
本题实为代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律
7．下列运算正确的是（ ）
A ．3m ·4m =12m
B ．m 6÷m 2= m 3（m≠0）
C ．236(3)27m m -=
D ．（2m+1）（m-1）=2m 2-m-1D 解析：D
【分析】
利用同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式的运算法则计算即可判断．
【详解】
A 、 347·m m m =，该选项错误；
B 、624m m m ÷=，该选项错误；
C 、236(3)27m m -=-，该选项错误；
D 、(()2
21)121m m m m +-=--，该选项正确； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方、幂的乘方，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．计算()()20202021323
2 -⨯的结果是( ) A ．32- B ．23- C ．2
3 D ．32
D 解析：D
【分析】
利用积的乘方的逆运算解答．
【详解】
()()202020213232 -⨯ =20202020233322⎛⎫⎛⎫-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2020233322⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭
=32
． 故选：D ．
【点睛】
此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．
9．下列各式中，正确的是（ ）
A ．2222x y yx x y -+=
B ．22445a a a +=
C ．()2424m m --=-+
D ．33a b ab += A
解析：A
【分析】
根据同类项的定义与单项式的乘法法则，分别判断分析即可．
【详解】
解：A.2222x y yx x y -+=，故A 正确；
B.22245a a a +=，故B 不正确；
C.-2(m-4)=-2m+8，故C 不正确；
D.3a 与b 不是同类项，不能合并，故D 不正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号．注意，去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
10．下列运算正确的是（ ）．
A ．236x x x =
B ．2242x x x +=
C ．22(2)4x x -=-
D ．358(3)(5)15a a a --= D
解析：D
【分析】
根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．
【详解】
A 、235x x x =，故该项错误；
B 、2222x x x +=，故该项错误；
C 、22(2)4x x -=，故该项错误；
D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键． 二、填空题
11．2007200820092
()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键
解析：-1.5
【分析】
首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．
【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭ ＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
＝﹣1.5，
故答案为-1.5 ．
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．
12．若26x x m ++为完全平方式，则m =____．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的
解析：9
【分析】
完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ，则中间项为x 2倍，即可解得m 的值．
【详解】
解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，
可写成(2x +，
则中间项为x 2倍，
故62x =
∴m =9，
故答案填：9．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．
13．计算：248(21)(21)(21)(21)1+++++=___________．216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)根据平方差公式进行计算即可求解【详解】原式======216故答案是：216【点睛】本题主要考查有理数的运算掌握平方差公式是解题的关键 解析：216
【分析】
在原来的算式前面乘上(2-1)，根据平方差公式，进行计算，即可求解．
【详解】
原式=248(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++
=2248(21)(21)(21)(21)1-++++
=448(21)(21)(21)1-+++
=88(21)(21)1-++
=16(21)1-+
=216．
故答案是：216．
【点睛】
本题主要考查有理数的运算，掌握平方差公式，是解题的关键．
14．若21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则20202021x y 的值为_________．【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值再由幂的运算法则进行计算【详解】解：∵且∴即∴故答案是：【点睛】本题考查幂的运算解题的关键是掌握幂的运算法则 解析：12
【分析】
根据绝对值和平方式的非负性求出x 和y 的值，再由幂的运算法则进行计算．
【详解】
解：∵20x +≥，2102y ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，且21202x y ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭， ∴20x +=，102y -=，即2x =-，12
y =， ∴()
202120202020202020211111222222x y ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案是：
12
． 【点睛】 本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
15．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．
【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方
形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式
解析：22ab a b --+
【分析】
可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
【详解】
解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，
∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．
故答案是：22ab a b --+．
【点睛】
本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．
16．如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________．【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍由此得到答案【详解】∵∴b=故答案为：【点睛】此题考查完全平方式掌握完全平方式的构成特点是解题的关键
解析：4±
【分析】
多项式的首项和末项分别是x 和2的平方，那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍，由此得到答案．
【详解】
∵222(2)444x x x x bx ±±=+=++，
∴b=4±，
故答案为：4±．
【点睛】
此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．
17．已知228a ab +=-，2214b ab +=，则2262a ab b ++=________．20【分析】将变形为然后利用整体思想代入求解【详解】解：∵∴原式=故答案为：20【点睛】本题考查代数式求值掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键
解析：20
【分析】
将2262a ab b ++变形为22
22(2)a ab b ab +++，然后利用整体思想代入求解．
【详解】
解：2222226222+422(+2)a ab b a ab b ab a ab b ab ++=++=++
∵228a ab +=-，2214b ab +=
∴原式=821420-+⨯=
故答案为：20．
【点睛】
本题考查代数式求值，掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关
键．
18．已知23x y -=，则432x y --=________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3
【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键
解析：3
【分析】
把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．
【详解】
解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．
19．+1﹣1）的结果等于_____．6【分析】根据平方差公式计算
【详解】（+1）（﹣1）=7-1=6故答案为：6【点睛】此题考查平方差计算公式：熟记公式是解题的关键
解析：6
【分析】
根据平方差公式计算．
【详解】
﹣1）=7-1=6，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查平方差计算公式：22()()a b a b a b +-=-，熟记公式是解题的关键． 20．已知4222112x x +-⋅=，则x ＝________3【分析】利用同底数幂乘法的逆运算求解即可【详解】∵∴即：∴∴故答案为：3【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆运算灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键
解析：3
【分析】
利用同底数幂乘法的逆运算求解即可．
【详解】
∵()4411312222222172x x x x x x +++++-⋅-=⋅=⋅-=，
∴172112x +⋅=，即：142162x +==，
∴14x +=，
∴3x =，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查同底数幂乘法的逆运算，灵活运用同底数幂乘法法则是解题关键．
三、解答题
21．因式分解
（1）m 3﹣36m
（2）（m 2+n 2)2-4m 2n 2
解析：（1）m (m +6)(m -6)；（2）（m +n ）2（m -n ）2
【分析】
（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
解：（1）m 3﹣36m
= m （m 2﹣36）
=m(m+6)(m-6)
（2）（m 2+n 2）2-4m 2n 2
=（m 2+n 2）2-（2mn ）2
=（m 2+n 2+2mn ）（m 2+n 2-2mn ）
=（m+n ）2（m-n ）2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22．先化简，再求值：2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦，其中1x =-，2y =． 解析：25x y -；-12
【分析】
整式的混合运算，中括号内利用完全平方公式和平方差公式展开，合并，再计算多项式除以单项式，然后代入求值．
【详解】
解：2()(2)(2)()x y x y y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦
=22222(4)()x xy y x y y ⎡⎤-+--÷-⎣⎦
=2222(2+4)()x xy y x y y -+-÷-
=2(25)()xy y y -+÷-
=25x y -
当1x =-，2y =时，原式=2(1)5221012⨯--⨯=--=-
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
23．小王购买了一套一居室，他准备将房子的地面全部铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含m ，n 的代数式表示地面的总面积S ；
（2）已知 1.5n =，且客厅面积是卫生间面积的6倍与厨房面积的和，如果铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？
解析：（1）S =6m +2n +18；（2）4500元．
【分析】
（1）根据总面积等于四个部分矩形的面积之和列式整理即可得解；
（2）根据题意求出m 的值，把m ，n 的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）S=2n+6m+3×4+2×3=6m+2n+18．
（2）n=1.5时2n=3
根据题意，得6m=8×3=24，m=4，
∵铺1平方米地砖的平均费用为100元，
∴铺地砖的总费用为：
100（6m+2n+18）=100×（24+3+18）=4500．
答：铺地砖的总费用4500元．
【点睛】
本题考查了列代数式，准确表示出各部分矩形的长和宽是解题的关键．
24．计算：（1）23262x y x y -÷
（2）()23322
1688x y z x y z xy +÷
（3）运用乘法公式计算：2123124122-⨯
解析：（1）23y -；（2）22xyz x z +；（3）1 【分析】
（1）利用单项式除以单项式法则计算；
（2）运用多项式除以单项式法则计算；
（3）先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-，利用平方差公式计算，再计算加减法．
【详解】
解：（1）23262x y x y -÷=23y -；
（2）()23322
1688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +；
（3）2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=． 【点睛】
此题考查整式的计算法则：单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式，熟记法则是解题的关键．
25．如图，在长8cm ，宽5cm 的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为 cm x 的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
解析：()
32342640cm x x x -+ 【分析】
这个盒子的容积=边长为8-2x,5-2x 的长方形的底面积乘高 x ，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意，得()()8252x x x --
()24016104x x x x =--+
()242640x x x =-+
3242640x x x =-+，
答：盒子的容积是()323
42640cm x x x -+．
【点睛】
本题主要考查单项式乘多项式，多项式乘多项式，解决本题的关键是找到表示长方体容积的等量关系．
26．a b c 是ABC 的三边，且有2241029a b a b +=+-
（1）求a 、b 的值
（2）若c 为整数，求c 的值
（3）若ABC 是等腰三角形，求这个三角形的周长
解析：（1）2a =，5b =；（2）4c =或5c =或6c =；（3）12
【分析】
（1）由a 2+b 2=4a+10b−29，可得：（a−2）2+（b−5）2=0，利用非负数的性质求解a ，b ； （2）再利用三角形三边的关系得到c 的取值范围；
（3）分两种情况讨论，当a=2为腰时，当b=5为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．
【详解】
解：（1）2241029a b a b +=+- ()()224410250a a b b -++-+=
()()22
250a b -+-=
2a =，5b =
（2）a 、b 、c 是ABC 的三边
37c ∴<<
又c 为整数
4c ∴=，5c =，6c =
（3）ABC 是等腰三角形，2a =，5b =
根据三边关系可知，只有当c=5时三角形才为等腰三角形， 5c ∴=
25512ABC C ∴=++=△
故周长为：12
【点睛】
本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．
27．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（
12x +4）（2x +5）（3x ﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：
12x •2x •3x ＝3x 3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？ 根据尝试和总结她发现：一次项就是：12
x ×5×（﹣6）+2x ×4×（﹣6）+3x ×4×5＝﹣3x ． 请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：
（1）计算（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ； （2）若计算（x +1）（﹣3x +m ）（2x ﹣1）（m 为常数）所得的多项式不含一次项，求m 的值；
（3）若（x +1）2021＝a 0x 2021+a 1x 2020+a 2x 2019+…+a 2020x +a 2021，则a 2020＝ ． 解析：（1）15x 3，﹣11x ；（2）m ＝－3；（3）2021
【分析】
（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x ，3x ，5x ，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．
（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m 表示，列出等式，求出m ； （3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值．
【详解】
（1）由题意得：
（x +2）（3x +1）（5x ﹣3）所得多项式的最高次项为x ×3x ×5x ＝15x 3，
一次项为：1×1×（﹣3）x +2×3×（﹣3）x +2×1×5x ＝﹣11x ，
故答案为：15x 3，﹣11x ；
（2）依题意有：1×m ×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m ×2＝0，
解得m ＝﹣3；
（3）根据题意可知2020a 即为2021(1)x +所得多项式的一次项系数，
∵2021(1)x +展开之后x 的一次项共有2021个，且每一项的系数都为
2021(111)1⨯⨯⨯=， ∴20202021202120212021(111)+(111)(111)2021a =⨯⨯
⨯⨯⨯⨯+
+⨯⨯⨯=
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
28．因式分解
（1）x 3﹣x ；
（2）m 3n ﹣2m 2n +mn
解析：（1）(1)(1)x x x +-；（2）2
(1)mn m -．
【分析】
（1）先提公因式，然后由平方差公式因式分解，即可得到答案；
（2）先提公因式，然后由完全平方公式因式分解，即可得到答案．
【详解】
解：（1）32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=+-；
（2）32222(21)(1)m n m n mn mn m m mn m -+=-+=-； 【点睛】
本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．。