统计学第三章---课后习题

1.略

2 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系

解:设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6

（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2

3.向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。

解：本题考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件． P(A)=+=

4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 `

解:设A ＝第1发命中。B ＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝ ＝×1＋×＝ 脱靶的概率＝1－＝

或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝×＝

5. 已知某产品的合格率是98%，现有一检查系统，它能以的概率准确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少 解：考虑两种情况，一种就是将合格品判断错误，概率为98%*（）=

另一种情况就是将不合格品判断错误，概率为（1-98%）*= 所以该检查系统产生错判的概率是+=

6. 有一男女比例为51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率 ）

954163

.0026725

.00.05

0.51P(B)

)

A ()P(A )P(A 026725.00.00250.490.050.51 )A ()P(A )A ()P(A P(B) 111221121=⨯=

=

=⨯+⨯=+====B P B B P B P B A A 抽到色盲抽到女性。抽到男性，解：

7.

根据这些数值，分别计算：

（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 解：离散型随机变量的概率分布

8. 已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少 解: 设A ＝活到55岁，B ＝活到70岁。所求概率为：

()()0.63

(|)0.75()()0.84

P AB P B P B A P A P A ＝

＝＝＝ 】

9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策

解:这是一个计算后验概率的问题。

设A ＝优质率达95％，A ＝优质率为80％，B ＝试验所生产的5件全部优质。 P(A)＝，P (A )＝，P (B|A )=， P(B |A )=，所求概率为：

6115.050612

.030951

.0)|()()|()()|()()|(＝＝＝

A B P A P A B P A P A B P A P B A P +

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

10. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％、30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％、5％、3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少

解:令A 1、A 2、A 3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B 表示次品。由题意得：P (A 1)＝，P (A 2)＝， P (A 3)＝；P (B |A 1)＝，P (B |A 2)＝，P (B |A 3)＝；因此，所求概率分别为：

（1）)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++＝ ＝×＋×＋×＝

;

（2）3506.00385

.00135

.00.030.450.050.300.040.2503.045.0)|(3＝＝＋＋＝

⨯⨯⨯⨯B A P

11. 某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是

相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。

解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p＝24/(24+36)＝。

设途中遇到红灯的次数＝X，因此，X～B(3，。其概率分布如下表：

12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：

（1）至少获利50万元的概率；

（2）亏本的概率；

（3）支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数＝X，X～B(20000，。

&

（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝。

（2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为：

P(X>20)＝1－P(X≤20)＝1－＝

（3）支付保险金额的均值＝50000×E(X)

＝50000×20000×（元）＝50（万元）

支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)

＝50000×(20000××1/2＝158074（元）

13. 对上述练习题的资料，试问：

（1）可否利用泊松分布来近似计算

（2）可否利用正态分布来近似计算

【

（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算

解:（1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np=20000×=10，即有X～P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。

（2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，

即有X ～N(10,。相应的概率为：

P(X ≤＝，P(X≤＝。

可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。

（3）由于p＝，假如n=5000，则np＝<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。

14. 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布求：

`

（1）晚班期间恰好发生两次事故的概率；