机器人动力学
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若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z 轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转 动惯量I。
因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速 度和角加速度关系分别为：
AC AB BAR BC
AC AB BARBC S(AB )BARBC
注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量， 如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
I
yz
I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx， Iyy，Izz，其余元素为惯性积。
惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
例：如图所示的1自由度机械手。 假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
6.1 连杆的速度和加速度分析
由前面的知识可知
A p ApBo BAR Bp
将上式两边对时间求导，得
A pApBo BARBpBARBp 或 Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
其中
A B
R
S( AB
) BAR
0
S ( )
z
z
0
y
x
y x 0
一、 刚体的速度和加速度
计算各偏导数
将以上结果代入Lagrange方程
d dt
Ek q•
Eqk
E p q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程
得
果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连 杆，质量为m，长度为L，结 果会怎样？
操作空间动力学方程：
F
V
(q)x
u(q,
q)
p(q)
它反映了操作力F与末端加速度 x之间的函数关系。
Class is over. Bye-Bye!
d dt
L q•
L q
或
d dt
Ek q•
Eqk
Eqp
Ek 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和 m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得 到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
fi ifi1
mi
i
g
0
i
ni
i
ni1
ipi1i
fi1
irci
mi
iwk.baidu.com
g
0
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反 向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。
该微段产生的转动惯量为
。
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。 解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
D(q) 为惯性矩阵；h(q,为q) 离心力和哥氏力向量；G (q) 为重力矢量。
将前面的线速度关系
Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
两边对时间求导，得线加速度关系
Avp AvBo BARBvp 2S(AB )BARBvp S(AB )BARBp S(AB )S(AB )BARBp
根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行 简化，简化的结果参见书P74。
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
6.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
一、牛顿-欧拉方程 如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
i fi i1iRi1fi1
i
ni
i1iRi
1ni1
ipi1i
fi
对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i iniT i zi
对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i
ifiT
i
zi
6.3 Newton-Euler递推动力学方程
6.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 ，惯 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
二、惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于 该坐标系｛c｝，惯性张量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
Ixx c I I xy
I xz
Ixy I yy I yz
Ixz
mg
z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量
得到：
••
I z mgLc cos
6.4 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。
利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i1i1 ii1Rii i1 i1 zi1
i
1vi1
i
i1R(i
vi
ii
i
pi
1
)
线加速度和角加速度传递关系为：
i1i1ii1Rii ii1Rii i1i1zi1 i1i1zi1
i1vi1
ii1R[i
vi iii
pi1
ii
(ii
i
pi1)]
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转 动惯量I。
因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速 度和角加速度关系分别为：
AC AB BAR BC
AC AB BARBC S(AB )BARBC
注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量， 如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
I
yz
I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx， Iyy，Izz，其余元素为惯性积。
惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
例：如图所示的1自由度机械手。 假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
6.1 连杆的速度和加速度分析
由前面的知识可知
A p ApBo BAR Bp
将上式两边对时间求导，得
A pApBo BARBpBARBp 或 Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
其中
A B
R
S( AB
) BAR
0
S ( )
z
z
0
y
x
y x 0
一、 刚体的速度和加速度
计算各偏导数
将以上结果代入Lagrange方程
d dt
Ek q•
Eqk
E p q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程
得
果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连 杆，质量为m，长度为L，结 果会怎样？
操作空间动力学方程：
F
V
(q)x
u(q,
q)
p(q)
它反映了操作力F与末端加速度 x之间的函数关系。
Class is over. Bye-Bye!
d dt
L q•
L q
或
d dt
Ek q•
Eqk
Eqp
Ek 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和 m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得 到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
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mi
i
g
0
i
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i
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ipi1i
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0
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反 向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。
该微段产生的转动惯量为
。
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。 解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
D(q) 为惯性矩阵；h(q,为q) 离心力和哥氏力向量；G (q) 为重力矢量。
将前面的线速度关系
Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
两边对时间求导，得线加速度关系
Avp AvBo BARBvp 2S(AB )BARBvp S(AB )BARBp S(AB )S(AB )BARBp
根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行 简化，简化的结果参见书P74。
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
6.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
一、牛顿-欧拉方程 如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
i fi i1iRi1fi1
i
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1ni1
ipi1i
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对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i iniT i zi
对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i
ifiT
i
zi
6.3 Newton-Euler递推动力学方程
6.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 ，惯 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
二、惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于 该坐标系｛c｝，惯性张量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
Ixx c I I xy
I xz
Ixy I yy I yz
Ixz
mg
z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量
得到：
••
I z mgLc cos
6.4 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。
利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i1i1 ii1Rii i1 i1 zi1
i
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i
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ii
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)
线加速度和角加速度传递关系为：
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pi1
ii
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i
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