机器人动力学
机器人学-第6章_机器人动力学
H 2 L2
0
0
CI
M 12
0 0
W2 H2 0
0
L2 W 2
Z
结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的
惯性主轴。
L X
H Y
W
6
刚体的牛顿-欧拉方程
在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动 。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚 体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。
m2 L1LC 2 s2
K
1
1 2
q&T
M
1
q&
0
m2
L1LC 0
2
s2
&&12
m2
L1LC
2
s2
&12 &1&2
M&q& 2mm22LL11LLCC22ss22&&22
m2
L1LC 0
2
s2&2
&&12
m2
L1LC
2
s2&2 12
1 0
&&12
m2L1LC2s2 2&1&2 &22 m2 L1LC 2 s2&1&2
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
第3章机器人动力学
若将关节力(矩)矢量看成是驱动装置的输入，在末端产生的广义力作为输出， 可以建立两者之间的关系。
令各关节的虚位移为 qi ，运动链末端操作器相应的虚位移为 D。
各关节所作的虚功之和为： w τTδq 1 q1 2 q2 ......... n qn 末端操作器所作的虚功为： w FTD fxdx fydy fzdz nxx nyy nzz
操作臂的动能可以写为：
Ek
(q, q&)
1 2
q&T
D(q)q&
D(q) 是 n n 阶的操作臂惯性矩阵。操作臂的动能 Ek 是其惯性矩阵的二次
型。由于动能 Ek 为正，因而 D(q) 是正定的矩阵。
连杆 i 具有势能为： Epi mi 0gT 0pci
式中， 0 g 是 31的重力加速度向量， 0 pci 是连杆 i 质心的位置矢量。
1 旋转关节的速度传递
ω i i 1
i ωi
i i 1
Rθ&i1
i
1
Zi
1
ω i1 i 1
i
1 i
R
i
ωi
θ&i1 i1 Zi1
vi i 1
i vi
i ωi
Pi i 1
v i1 i1
R i1 i
i vi i ωi i Pi1
2 移动关节的速度传递
ω i1 i 1
i
1 i
R
i
ωi
v i1 i1
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：
EP
i1
EPi
势能也为 q 的标量函数，记为 EP (q) 。
利用拉格朗日函数 L，系统的动力学方程（称第二类拉格朗日方程）为
机器人学中的动力学
机器人学中的动力学机器人学是研究制造、设计和运动控制机器人的学科，广泛应用于工业、医疗保健、国防、探险等领域。
机器人学中的动力学是机器人运动学的重要分支，掌握机器人运动学对于设计、控制机器人运动具有重要意义。
动力学的概念机器人学中的动力学是研究机器人运动的力学学科。
它主要关注如何对机器人的运动进行描述和控制。
机器人动力学包括机器人运动学和机器人力学的研究。
机器人运动学研究机器人的位置和位姿，而机器人力学研究机器人的力学特性和力学运动方程。
机器人学中的动力学主要涉及以下几个方面：- 机器人的运动轨迹和速度规划- 机器人的动力学建模和仿真- 机器人的力学特性和控制机器人的运动轨迹和速度规划机器人的运动轨迹和速度规划是机器人动力学的基本问题。
机器人的运动轨迹是机器人在空间中的运动路径，可以用各种运动学和动力学方法进行描述。
机器人的速度规划通常是在已知机器人的运动轨迹的条件下，确定机器人的运动速度以及加速度和减速度的大小和方向。
机器人的运动轨迹和速度规划在机器人控制中占据着重要的地位。
机器人的控制主要目的是使机器人完成特定的任务，如在制造车间中装配零件等。
在完成这些任务时，机器人需要根据任务的要求确定运动轨迹和速度规划，这样才能在短时间内完成高效的操作。
机器人的动力学建模和仿真机器人的动力学建模是机器人学中难点之一。
一个好的机器人动力学模型必须考虑机器人本身的特性和运动机理。
机器人的动力学模型可以用数学公式或者计算机模拟的方法进行描述。
此外，机器人的动力学模型需要考虑机器人的各种运动方式，如旋转、直线运动等。
机器人的仿真是指利用计算机模拟机器人运动状态和行为的过程。
机器人的仿真可以对机器人的运动轨迹、速度规划和控制逻辑进行模拟和测试，从而为机器人的设计和使用提供依据。
机器人仿真是一种低成本、高效率的机器人研究方法。
机器人的力学特性和控制机器人的力学特性和控制主要研究机器人在行动中的力学特性和控制方法。
机器人的力学特性包括机器人的质量、惯性、摩擦和发热等。
机器人动力学名词解释
机器人动力学名词解释机器人动力学是研究机器人运动和力学特性的学科。
它涉及到描述机器人运动的数学模型、力学原理和控制算法等方面的知识。
下面我将从多个角度对机器人动力学进行解释。
1. 机器人动力学的定义，机器人动力学是研究机器人运动学和力学学科的一部分，它主要关注机器人的运动规律、力学特性以及运动控制等方面的问题。
2. 机器人运动学和动力学的区别，机器人运动学研究机器人的几何特性和位置关系，而机器人动力学则研究机器人的运动过程中所涉及的力学原理和力的作用。
3. 机器人动力学的重要性，机器人动力学是实现机器人精确控制和运动规划的基础。
通过研究机器人动力学，可以了解机器人在不同工作状态下的运动特性，为机器人的控制算法和路径规划提供理论支持。
4. 机器人动力学模型，机器人动力学模型是描述机器人运动和力学特性的数学模型。
常用的机器人动力学模型包括欧拉-拉格朗日方程、牛顿-欧拉方程等。
这些模型可以描述机器人的运动学和动力学特性，并用于机器人的控制设计和仿真研究。
5. 机器人动力学的应用领域，机器人动力学广泛应用于工业机器人、服务机器人、医疗机器人等领域。
在工业机器人中，机器人动力学可以用于路径规划、轨迹控制和碰撞检测等任务。
在服务机器人和医疗机器人中，机器人动力学可以用于实现精确的操作和运动控制。
6. 机器人动力学的挑战和研究方向，机器人动力学研究面临着复杂的多体动力学问题、非线性控制问题和实时性要求等挑战。
当前的研究方向包括机器人动力学建模与仿真、动力学控制算法设计、力觉反馈控制等。
总结起来，机器人动力学是研究机器人运动和力学特性的学科，涉及机器人的运动规律、力学特性和运动控制等方面的内容。
它在机器人控制、路径规划和仿真等领域具有重要的应用价值。
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
机器人学_第6章_动力学
(i 1,2,..., n) ( 6 60 )
i 1 i i i i 1 i 1 N N p f p I ω ω (I ω ) 0 (i 1,2,. n)( 6 6 ) i i 1 cii ci f i i i i i i 1
－ifi＋1为杆件i＋1对杆i的作用力；
i-1N 为杆件i-1对杆i的作用力矩； i
－iNi＋1为杆件i＋1对杆i的作用 力矩；
ci为杆i的质心;
Vci杆质心的平移速度 Wi杆的角速度向量
根据力、力矩平衡原理有：
i 1 i f f m g m v 0 i i 1 i i ci
2 2 d d Cos ( ) Cos ( )( ) 1 2 1 12 1 1 2
2 2 d d Sin ( ) Sin ( )( ) 1 2 1 12 1 1 2
2 2 2 2 2 2 d d ( 2 ) 2 d d Co ( )( ) 1 1 1 11 2 2 1 2 2 1 1 2
y d Cos ( ) d Cos ( ) 2 1 1 2 1 2
x d Sin ( ) d Sin ( ) 2 1 1 2 1 2
(6.5)
(6.6)
速度的直角坐标分量为
x d Cos ( ) d Cos ( )( ) 2 1 1 1 2 1 2 1 2
d L L F i dt q q i i
(6.2)
i 是速度，而Fi是对应的力或 q 其中，qi是表示动能和势能的坐标值， 力矩，Fi 是力还是力矩，这取决于qi 是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
机器人的动力学
机器人的动力学是研究机器人运动和力学特性的学科。
它涉及了描述机器人运动、力和力矩之间关系的原理和方法。
机器人动力学的主要内容包括以下几个方面：
运动学：机器人运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及描述机器人末端执行器（如机械臂）的位姿和运动轨迹，以及描述机器人关节的运动参数。
动力学：机器人动力学研究机器人在外部作用力或力矩下的运动行为。
它涉及描述机器人的质量、惯性、力和力矩之间的关系，以及机器人的运动响应和稳定性。
控制：机器人动力学与机器人控制密切相关。
动力学模型可以用于设计机器人控制算法，以实现所需的运动、力量和精度。
力觉传感：机器人动力学可以应用于力觉传感技术。
力觉传感器可以用于测量机器人末端执行器的外部力和力矩，以实现机器人与环境的交互、力量控制和安全操作。
动力学模拟和仿真：动力学模型可以用于机器人动力学的模拟和仿真。
通过在计算机中建立机器人动力学模型，可以预测机器人在特定任务和环境中的运动行为和性能。
机器人动力学的研究对于机器人设计、控制和运动规划等方面都具有重要意义。
它可以帮助优化机器人的运动性能、提高机器人的精度和效率，并为机器人在各种应用领域中的安全操作和协作提供基础。
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学
机器人动力学机器人动力学是机器人领域中的一个重要研究方向，它主要研究机器人的运动学和动力学行为。
机器人动力学涉及到机器人的运动、力学、控制等方面知识，对于机器人的设计、运动控制和任务完成等都有着重要的影响。
本文将从机器人动力学的基本概念、运动学和动力学模型、以及应用场景方面进行阐述。
一、机器人动力学的基本概念机器人动力学是机器人技术中的一个重要分支领域，它主要研究机器人在运动过程中的力学行为及其控制。
机器人动力学的基础是牛顿运动定律和动力学原理，通过建立机器人的运动学和动力学模型，来描述机器人在不同力场中的运动过程。
二、机器人动力学的运动学模型机器人的运动学描述了机器人末端执行器在空间中的位置和姿态随时间的变化规律。
机器人的运动学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度或长度，来求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的位置和姿态，来求解机器人关节角度或长度。
三、机器人动力学的动力学模型机器人的动力学描述了机器人在运动时所受到的力和力矩，以及机器人关节的运动学参数和动力学参数之间的关系。
机器人的动力学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度、速度和加速度，来求解机器人末端执行器的力和力矩。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的力和力矩，来求解机器人关节角度、速度和加速度。
四、机器人动力学的应用场景机器人动力学在许多实际应用中发挥着重要作用。
例如，在工业自动化领域，机器人动力学模型可用于控制机器人的姿态和位置，以完成各种生产任务。
在医疗领域，机器人动力学模型可用于辅助手术和康复训练等。
此外，机器人动力学模型还可应用于空间探索、军事作战、环境清理等领域。
总结机器人动力学是机器人技术中的一个重要研究方向，它研究机器人在运动过程中的力学行为和控制方法。
通过建立机器人的运动学和动力学模型，可以描述机器人在不同力场中的运动过程，并应用于工业自动化、医疗领域、空间探索等各个领域。
3.5机器人动力学
f m , R m1
T T
1 , , n , R n1
如果施加在机械手上的力作为手爪力的反 力（-F）时，机械手的虚功可表示为：
W F r
T T
应用虚功原理：
F r 0
T T
手爪的虚位移 r 和关节虚位移 之 间的关系，可用雅可比矩阵表示：
3.5 机器人的动力学概述
了解机器人动力学，即了解机器人 动态特性的运动方程式，动力学方程
机器人静力学
1 虚功原理
例：已知作用与杠杆一端的力FA，试用虚功 原理求作用于另一端的力FB，杠杆长度已知
当力FA向下取正，FB向上为正，此时， 假设FA为正值（向下），根据上式， FB 为负值，即FB方向向下。
1 0rad ,
2 2 rad
利用上面推导的静力学关系式
L1sin1 L2 sin(1 2 ) L2 sin(1 2 ) -L2 -L2 J L L1cos1 L2cos(1 2 ) L2cos(1 2 ) 1 0
代入下式
r J
F r 0
T T
得：
T
T
F J 0
T
上式对任何的 都成立，即：
F J0
T T
J F
J F
T
上式表示产生手爪力F的驱动力
例：在图示位置时，求生成手爪力 FA、 FB 的驱动力τ A 、τ B
驱动力大小为手爪力与手爪力到作用线距离乘积
3 惯性矩的确定
动力学不仅与驱动力有关，与绕质 心的惯性矩有关。
力F作用到质量为m的 质点，质点的平移运动 看作是运动方向的标量
第五章 机器人动力学
1 1 2 2 &2 2 Ek = (m1l1 + I yy1 + I yy 2 + m2 d 2 )θ1 + m2 d 2 2 2
(3)系统势能 (3)系统势能 因为： 因为：
g = [0 g 0]
则：
T
T
pc1 = [l1c1 l1s1
0]T
E p1 = m1 g pc1 = m1 gl1s1
i
q 和关节速
& q
的函数，因此，从上式可知， 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记 的动能是关节变量和关节速度的标量函数， 为 Ek ( q, q ) ，可表示成： & 可表示成：
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
式中， nxn阶的机器人惯性矩阵 式中， D ( q ) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
Байду номын сангаас
1 1 i Ti i T Eki = miν ciν ci + ω i I i ω i 2 2
系统的动能为n个连杆的动能之和，即： 系统的动能为n个连杆的动能之和，
Ek = ∑ Eki
i =1
n
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
由于 ν 度
ci
和 iω 是关节变量
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时， 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i 对杆i的作用力， ifi+1为杆i+1对杆 的作用力， 为杆i+1对杆i 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件 为杆件i 对杆i的作用力矩， iNi+1为杆i+1对杆 为杆i+1对杆i 1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 ci为杆 质心。 为杆i 矩，ci为杆i质心。
机器人动力学
机器人动力学机器人动力学是机器人学的一门子领域，主要研究的是机器人系统的动作行为方面的问题，与机械结构和电气控制等方面紧密联系。
机器人动力学的发展和计算机的出现密不可分，其历史可以追溯到上世纪八十年代。
机器人动力学的研究内容主要涉及机器人系统动作行为动态建模、控制、优化与仿真，包括系统动力学与控制、机器人控制体系、学习与生物动力学、以及机器人系统仿真分析技术等。
系统动力学与控制主要研究机器人系统在动作行为变化过程中的物理特性，如建立机器人系统的动力学模型、设计机器人的控制算法，利用系统动力学的理论分析机器人的运动学特性，以及进行控制系统调试与优化等工作。
机器人控制体系研究通过机器人感知、计算、控制、规划、实施等环节，构建机器人控制系统，可以实现机器人智能化控制。
学习与生物动力学研究机器人智能化控制技术，可以实现动力学模型的自适应变化，学习机器人的运动规律，以及协调自然运动行为的研究。
机器人系统仿真分析技术研究机器人系统的复杂性，构建仿真系统，以模拟机器人运动行为在不同环境中的变化情况，掌握并优化机器人运动行为，以及开展精准分析等工作。
随着计算机技术和机器人技术的不断发展，机器人动力学研究也发生了很大变化，从传统的计算机指令系统开发转变为新的机器人智能化控制系统，使机器人动力学的发展取得了长足的进步。
未来机器人动力学研究将围绕智能化控制、动力学特性优化以及自主机器人系统建模与控制等研究方向发展，机器人动力学也将进一步发展，这将为机器人技术的未来应用研发发展提供基础和支持。
机器人动力学研究与应用对智能机器人的创新应用具有重要的意义，它为机器人技术的发展提供了技术保障。
未来，机器人动力学的研究将越来越受到人们的关注，机器人技术的应用也将受益于机器人动力学。
第四章机器人的动力学
n
1
v Ci
v Ci
1 2
i Ii i )
T
1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T
1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N
——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA
机器人动力学
式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封 闭形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节 变量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节
的机器人D，(q) 是n×n正定对称矩阵，是q的函数，
称为机器人惯性矩阵H；(q, q) 是n×1的离心力和哥氏
力向量；G(q) 是n×1重力矢量，与机器人的形位
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的操作运动之间的关
系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
I yy1 I yy2
m2d
2 2
)12
1 2
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
则：
E p1 m1gT pc1 m1gl1s1
E p2 m2gT pc2 m2gd2s1
总势能为：
E p g(m1l1 m2d2 )s1
关节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τl和力f2。
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2 (d2212
机器人动力学
机器人动力学
机器人动力学是一门包含机器人控制、力学、运动学等多个专业的交叉学科，其目的在于研究复杂的机械系统和机器人的运动行为和控制方法。
机器人动力学的研究方向涉及机器人的：机械学、运动学、控制学、信息学、人机交互、现代制造技术等。
这种复合学科专门用于分析、模拟和控制机器人、机床以及其他机械系统的运动行为。
机器人动力学的基本内容简述如下：
首先，它涉及机器人的运动学理论和控制理论，包括机器人体系结构，构型及其各部分之间的相互作用，如关节、驱动器和传感器等。
其次，它还包括机器人机械动力学理论，涉及机器人的运动特性，比如建模、仿真和控制，同时也涉及力学的本质、特性和应用，以及计算力学在机器人动力学中的应用。
最后，它也涉及信息学，指的是研究机器人行为的算法、传感器和感知、人机交互以及数据挖掘和处理。
机器人动力学应用于工业机器人、生产机械、软件和控制系统等多个领域，主要帮助提高机器人和机械设备的性能，从而提高工业生产效率、节省能源以及降低生产成本。
在精密加工领域尤其具有重要作用，比如机器视觉、机器雕刻和抛光，甚至是金属精加工等，在这些领域都能够发挥机器人动力学的优势。
另外，机器人动力学也可以应用于服务机器人、家用机器人，以及智能制造等行业。
现在，家用机器人如洗地机器人、清洁机器人等已经广泛应用，可以节省家庭劳动力；而在智能制造和服务机器人方面，它也有着广泛的应用，可以有效解决行业内的生产管理、库存管
理、仓储管理和技术支撑等问题。
未来，机器人动力学将继续发展壮大，有望成为一门具有世界水平的学科。
在未来，机器人动力学将继续发挥重要作用，将推动机器人和机器技术发展，为未来工业化生产提供必要的技术支持。
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z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量
得到：
••
I z mgLc cos
6.4 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。
利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：
因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速 度和角加速度关系分别为：
AC AB BAR BC
AC AB BARBC S(AB )BARBC
注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量， 如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
d dt
L q•
L q
或
d dt
Ek q•
Eqk
Eqp
Ek 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和 m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 ，惯 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
二、惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于 该坐标系｛c｝，惯性张量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
Ixx c I I xy
I xz
Ixy I yy I yz
Ixz
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。
该微段产生的转动惯量为
。
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。 解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则
操作空间动力学方程：
F
V
(q)x
u(q,
q)
p(q)
它反映了操作力F与末端加速度 x之间的函数关系。
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i fi i1iRi1fi1
i
ni
i1iRi
1ni1
ipi1i
fi
对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i iniT i zi
对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i
ifiT
i
zi
6.3 Newton-Euler递推动力学方程
6.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
6.1 连杆的速度和加速度分析
由前面的知识可知
A p ApBo BAR Bp
将上式两边对时间求导，得
A pApBo BARBpBARBp 或 Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
其中
A B
R
S( AB
) BAR
0
S ( )
z
z
0
y
x
y x 0
一、 刚体的速度和加速度
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
6.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
一、牛顿-欧拉方程 如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度 、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i1i1 ii1Rii i1 i1 zi1
i
1vi1
i
i1R(i
vi
ii
i
pi
1
)
线加速度和角加速度传递关系为：
i1i1ii1Rii ii1Rii i1i1zi1 i1i1zi1
i1vi1
ii1R[i
vi iii
pi1
i这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z 轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运 动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转 动惯量I。
将前面的线速度关系
Avp AvBo BARBvp S(AB )BARBp
两边对时间求导，得线加速度关系
Avp AvBo BARBvp 2S(AB )BARBvp S(AB )BARBp S(AB )S(AB )BARBp
根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行 简化，简化的结果参见书P74。
计算各偏导数
将以上结果代入Lagrange方程
d dt
Ek q•
Eqk
E p q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程
得
果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连 杆，质量为m，长度为L，结 果会怎样？
I
yz
I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx， Iyy，Izz，其余元素为惯性积。
惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
例：如图所示的1自由度机械手。 假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
D(q) 为惯性矩阵；h(q,为q) 离心力和哥氏力向量；G (q) 为重力矢量。
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得 到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
fi ifi1
mi
i
g
0
i
ni
i
ni1
ipi1i
fi1
irci
mi
i
g
0
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反 向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：