线性代数选择填空试题及答案

一． 填空题（每小题3分，共15分）
1. 设
4512312
1231
22,x x x D x x x
x
=
=
则的系数
2. 设1
243 2 0
201
3,,,A R(A)=B ⎡⎤
⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是矩阵且A 的秩而 =R(AB)则 2
二．1200 ,
,,),矩阵 ,AB =则(B)
(c)
00A B ==或(d)0A B +=
4.s 维向量组12,,
,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是(C)
(a)存在一组不全为零的数12,,,n k k k ,使得11220n n k k k ααα++
+≠
(b)12,,,n ααα中存在一个向量,它不能由其余向量线性表出 (c)12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d)12,,
,n ααα中任意两个向量都线性无关
5.设A 为n 阶方阵,且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解,
则
0Ax =的通解为(AB)
(a)1k α(b)2k α(c)1
2()k αα-(d)12()k αα+
1．下列矩阵中，（?????）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦(B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C)100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)100012001⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A （C 3．设A (A)A -4．设
A （
B ）若5．若n （A 1．
010n n
-。

2．
A 为3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
4120α⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4．已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，
234444ηη⎛⎫
⎪ ⎪
+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为。

5．设
23111503A a -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a = 。

1．选B 。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。

A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关；B 中的向量组与1α，2α，
3α等价,其秩为3，B 向量组线性无关；C 、
D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。

由052
=-+E A A ⇒
()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=，
()1
12()
A E A E -⇒+=-4C 错
5,
,)n QBQ λ=,A B 都
234η5n s ij ⨯4．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3231
2221
1211
a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵
A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)
1.设
A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

①n
2 ②1
2
-n
③1
2
+n ④4
2.n 维向量组s ααα，，， 21（3?s ?n ）线性无关的充要条件是（）。

①s ααα，，
， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，
， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，，
， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，
， 21中不含零向量 3.下列命题中正确的是()。

4.设
5.若1.1.5 5.
A -1.③ 1.
1.若
02
2
1
501
31
=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
00321
321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵
n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3231
2221
1211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵
A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)
1.设
A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

①n
2 ②1
2
-n
③1
2
+n ④4
一、1.③1应填：1．
2．已知矩阵⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=k k k k 111
111111
111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 应填：3-． 3．已知线性方程组 有解，则=a
___________．
应填：1-
4．设A 是n 阶矩阵，0≠A
，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()
1
*2-A 必有一个特征值是_________________．
应填：
A
2λ
．
5．若二次型
()32212
3222132122,
,
x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围是
______________．应填：22<<-a
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项1．设
()A .2．设A ()A .()B .()C .必有一列向量是其余列向量的线性组合；()D .3．设A ()A .A 的列向量线性无关；
()B .线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；
()C .线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D .线性方程组B AX =有唯一解．
4．设矩阵A 是三阶方阵，0λ是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴
()
T
2,3,1-，
()
T
3,1,4-，
()
T
0,0,0；
⑵()
T
1,1,1，
()
T
0,1,
1，
()
T
1,0,
0；
⑶()T
2,1,1-，
()T
4,2,2-，
()
T
6,3,3-；
⑷
()
T
0,0,
1，
()
T
0,1,
0，
()
T
1,0,0；
肯定不属于0λ的特征向量共有【】．
()A .1组；()B .2组；()C .3组；()D .4组．
1.设
0,A n A =为阶方阵则的必要条件是(B)
(a)A 的两行(或列)元素对应成比例 (b)A 中必有一行为其余行的线性组合 (c)A 中有一行元素全为零 (d)任一行为其余行的线性组合 2.设n 维行向量112200 2 (,,
,,),,,T T A E B E α
αααα==-=+矩阵
,E n AB =其中为阶单位矩阵则(B)
(a)0(b)E(c)–E(d)E+T
αα
3.设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有(C)
(a)
00A B ==或(b)0A B +=(c)00A B ==或(d)0A B +=
4.s 维向量组12,,
,n ααα(3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是(C)
(a)存在一组不全为零的数12,,,n k k k ,使得11220n n k k k ααα++
+≠
(b)
(c)(d),
,n α中任意两个向量都线性无关为n 阶方阵,且秩(a)1．已知
应填：12应填：3．应填：4．设A 是n 阶矩阵，0≠A
，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()
1
*2-A 必有一个特征值是_________________．
应填：
A
2λ
．
5．若二次型
()32212
3222132122,
,
x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围是
______________． 应填：22<<-
a ．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=133312
3211
31131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1010100012P ，
()A 2．()A ()B ()C ()D 3．()A ()B ()C ()D .线性方程组B AX =有唯一解．
应选：
()B ．
4．设矩阵A 是三阶方阵，0λ是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴()T
2,3,1-，
()
T
3,1,4-，
()
T
0,0,0；
⑵()
T
1,1,1，
()
T
0,1,
1，
()
T
1,0,
0；
⑶
()T
2,1,
1-，
()T
4,2,2-，
()
T
6,3,3-；
⑷
()
T
0,0,1，
()
T
0,1,0，
()
T
1,0,0；
肯定不属于0λ的特征向量共有【】．
()A .1组；()B .2组；()C .3组；()D .4组．
应选：
()B ．
5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【】．
()A .BAB ；()B .ABA ；()C .()2AB ；()D .2AB ．
应选：
一、 1.A.m+n C.n -2.A.1300⎛⎝
C.1300⎛⎝
3.设矩阵A =101214--⎝ ⎭
⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A.–6 B.6 C.2 D.–2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（） A.A =0
B.B ≠C 时A =0
C.A ≠0时B =C
D.|A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μs
βs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（）
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η
9.设
A.秩
C.
10.设
A.
B.
C.A
D.如α1，α2，α3
11.设
A.k
12.设
A.|A|
C.A-
13.设
A.A
B.A
C.A
D.A
14.
A.
2 3⎛⎝
C.
100
023
035
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
D.
111
120
102
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
第二部分非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

错填或不填均无
分。

15.111 356 92536
=.
16.设A=
1
1
1
1
1
1
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪，B=
1
1
2
2
3
4
--
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪.则A+2B=.
17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则
(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=.
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.
23.
24.
1.D
6.D
11.A
15.6
16.
3 1-⎛⎝
17.4
18.–10
19.η1
20.n-r
21.–5
22.–2
23.1
24.z12+。