直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时

直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时
●教学目标
(一)教学知识点
1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.
2.直线的倾斜角和斜率.
3.斜率公式
(二)能力训练要求
1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.
2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.
3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.
4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的相互联系.
2.用联系的观点看问题.
●教学重点
直线的倾斜角和斜率概念.
●教学难点
斜率概念理解与斜率公式.
●教学方法
学导式
本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.
引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.
在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.
●教具准备
投影片三张
第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）
第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?
［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.
［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.
［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.
［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?
［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.
［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.
因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，
它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.
由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.
［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课
1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的
这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.
下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.
2.直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.
［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.
关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；
D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.
E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝
33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2
π，但斜率不存在，也就谈不上相等.
［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)
说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；
②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；
③倾斜角是90°的直线没有斜率.
［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.
3.斜率公式：
经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝
1
212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)
推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1
212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.
［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.
4.例题讲解：
［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.
分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而
直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2
＝
α1＋90°，然后再求tan α2即可.
解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝3
3，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.
评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.
［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )
A.20°
B.４0°
C.50°或70°
D.120°
参考公式：
sin α－sin β＝2cos 2
β
α+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2
β
α-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.
解：设l 的倾斜角为α，
则tan α＝?
-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3
)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?
-??
-?=
又α∈［0，π］∴α＝120°
故选D.
［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾
斜角变化时，斜率的变化情况.
Ⅲ.课堂练习
1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)α＝0°；（2）α＝60°
(3)α＝90°；（４）α＝4
3π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.
解：(1)∵tan0°＝0
∴倾斜角为0°的直线斜率为0；
(2)∵tan60°＝3
∴倾斜角为60°的直线斜率为3；
(3)∵tan90°不存在
∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；
(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4
π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：
(1)0°＜α＜90°
解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察
可知：
当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增
大，｜y ｜也不断增大.
所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线
斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.
(2)90°＜α＜1８0°
解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图
象观察可知：
当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y
＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.
所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α
的不断增大，直
线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.
［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，
理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P 37习题7.1
1.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：
l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0
l 2：2x －3y ＋6＝0
2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝
65π；（４）α＝3
2π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为3
3；(2)∵tan ４5°＝1，
∴直线的斜率为1；
(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－3
3，∴直线斜率为－3
3；(4)∵tan 32π＝－tan 3
π＝－3，∴直线斜率为－3；
(5)∵tan ８9°＝57.29，
∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，
∴直线的斜率为－2.1８４.
(二)1.预习内容：斜率公式
2.预习提纲：
尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。