《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】

第5章函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第2课时函数的概念和图象
1. 了解构成函数的要素；
2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；
3.能求简单函数的定义域和值域．
教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．
教学难点：求简单函数的定义域．
课件．
PPT
一、新课导入
问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？
2．函数的三要素是指什么？
师生活动：学生先回忆总结，老师补充．
预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
2.定义域、值域与对应关系．
【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？
设计意图：承上启下，引入新课．
引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）
【探究新知】
问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数2
3()1
12x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：由2
3()112x f x x x =+
+-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩
， 解得：1
2
x <
，且1x ≠- ， ∴函数23()1
12x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛
⎫-∞-- ⎪⎝⎭，
故答案为：()1,11,2⎛
⎫-∞-- ⎪⎝
⎭．
追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2
(1)y f x =+的定义域；
（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；
预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．
∴2011x +≤≤，∴0x =，即2
(1)y f x =+的定义域为{0}．
（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
【巩固练习】
例1. 作出下列函数的图象．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1，0，1，2}．
∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，
∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．
∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．
反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；
(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．
设计意图：明确函数的图象的画法．
例2. 求下列函数的定义域：
(1)y＝
2
(1)
1
1
x
x
x
+
-
+
；(2)y
5x
-
.
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
10,
10,
x
x
+≠
⎧
⎨
-
⎩≥
解得x≤1且
x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
50,
||30.
x
x
-
⎧
⎨
-≠
⎩
≥
解得x≤5且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝21
3
x
x
+
-
．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．
(3)(分离常数法)y＝21
3
x
x
+
-
＝
2(3)7
3
x
x
-+
-
＝2＋
7
3
x-
，显然
7
3
x-
≠0，所以y≠2．故
函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
设计意图：明确函数的值域的求法．
【课堂小结】
1．板书设计：
5.1.1函数的概念和图象
1. 函数的图象的画法例1
2. 求函数的定义域例2
3. 求函数的值域例3
2．总结概括：
问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？
2. 求函数值域的方法是什么？
3.如何求复合函数定义域？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：
1.求函数的定义域应关注四点：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；
（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；
（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】
1. 函数()1
x f x 的定义域为（ ）
A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪
⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
设计意图：巩固函数的定义域的求法。

2. 下列各图中，是函数图像的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
设计意图：巩固函数的图象的画法．
3. 若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函
数2
()1f x x =+，{0,1}x ∈的“孪生函数”个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
设计意图：巩固函数的值域的求法。

4．函数35
53
x y x -=
+的值域为（ ） A ．3,5
y y y ⎧
⎫
≠-∈⎨⎬⎩⎭R
B ．5,3
y y y ⎧
⎫
≠-∈⎨⎬⎩⎭
R
C ．5,3y y y ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭
R
D ．3,5y y y ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭
R
设计意图：巩固函数的值域的求法．
5. 已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-
B ．[]3,7-
C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
设计意图：巩固复合函数的定义域的求法． 参考答案：
1. 函数()121x f x x +有意义，则必有2100
x x +⎧⎨≠⎩≥，解得1
2x -≥且0x ≠． 函数()121x f x x =+的定义域为()1,00,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．故选：C ．
2.根据函数的定义可知，定义域内的每一个x 只有一个y 和它对应，满足条件的只有BD ．故选：BD ．
3. 根据题意，2()1f x x =+，定义域为{0,1}的“孪生函数”的定义域的情况有
{0,1},{0,1,1}
--，共2个．故选：C．
4.
()
33434
53
353
555
5353553
x
x
y
x x x
+--
-
===+
+++
，因为
34
50
53
x
-
≠
+
，所以
3
5
y≠，所以函数的值域
为
3
,
5
y y y
⎧⎫
≠∈
⎨⎬
⎩⎭
R，故选：D．
5. 因为函数()
f x的定义域是[]
2,3
-，所以23
x
-≤≤，
要使()
23
f x-有意义，只需2233
x
--
≤≤，解得
1
3
2
x
≤≤．所以()
23
f x-的定义域是
1
,3
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.故选：C．。