人教版八年级下册18数学章菱形的性质与判定大题专练(解析版)

专题18.11菱形的性质与判定大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共27小题）
1．（2020春•海淀区校级期末）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ．连接AF ，CE ，EF 平分∠AEC ．
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若∠DAC ＝60°，AC ＝2，求四边形AFCE 的面积．
【分析】（1）由“AAS ”证△AOE ≌△COF ，得OF ＝OE ，证出四边形AFCE 是平行四边形，再证CE ＝CF ，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE =√3AO =√3，则EF ＝2OE ＝2√3，由菱形面积公式即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD ∥BC ，AO ＝CO ，
∴∠AEF ＝∠CFE ，
在△AOE 和△COF 中，{∠AEF =∠CFE
∠AOE =∠COF AO =CO
，
∴△AOE ≌△COF （AAS ），
∴OF ＝OE ，
∵AO ＝CO ，
∴四边形AFCE 是平行四边形；
∵EF 平分∠AEC ，
∴∠AEF ＝∠CEF ，
∴∠CFE ＝∠CEF ，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO=1
2AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE=√3AO=√3，∴EF＝2OE＝2√3，
∴四边形AFCE的面积=1
2AC×EF=
1
2
×2×2√3=2√3．
2．（2020•南宁一模）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由ASA即可得出结论；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论；
（3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═√42−22=2√3，即可得出答案．【解析】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△AOD和△COB中，{∠DAO=∠BCO AO=CO
∠AOD=∠COB
，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=√BE2−DE2=√42−22=2√3，=12AC⋅BD=12×2×2√3=2√3．
∴S
菱形ABCD
3．（2018秋•龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；
（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．
【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）由直角三角形的性质可得AD＝CD＝DB，即可证四边形CDBF是菱形；
（3）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；
【解析】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA），
∴CF＝BD，且CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，
∴四边形CDBF是菱形，
（3）如图，作EM⊥DB于点M，
在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2√2，
∴BM＝2√2
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM=√3ME＝2√6，
∴BD＝2√6+2√2
∴△BDE面积=1
2
×BD×ME=12×2√2×（2√6+2√2）＝4+4√3
4．（2019春•许昌期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC 到点E，使得CE＝DC，连接BE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）填空：
①当∠ADC＝60°时，四边形ACEB为菱形；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝4√2．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠AFB＝∠CFD，
∴△AFB≌△CFD（ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，
∵∠ADC＝60°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BE，
∴四边形ACEB为菱形，
故答案为：60；
②当∠ADC＝90°，BE＝4时，
DE＝4√2，
故答案为：4√2．
5．（2019春•门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；
（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根据平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．
【解析】（1）四边形EBCF是矩形，
证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵DF＝AE，
∴DF+DE＝AE+DE，
即：EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF＝90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝CD．
∵四边形EBCF是矩形，
∴∠F＝90°，
∵AF＝9，CF＝3，
∴设CD＝x，则DF＝9﹣x，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得：x＝5，
∴CD＝5．
6．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF＝∠DAE．（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【分析】（1）首先利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；
（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，求出△AEF为等边三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
{∠B =∠D AB =AD ∠BAE =∠DAF
，
∴△ABE ≌△ADF （ASA ），
∴AE ＝AF ；
（2）解：连接AC ，
∵AE 垂直平分BC ，AF 垂直平分CD ，
∴AB ＝AC ＝AD ，
∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，
∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，
∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°，∠CAF ＝∠DAF ＝30°，
∴∠EAF ＝∠CAE +∠CAF ＝60°，
又∵AE ＝AF ，
∴△AEF 是等边三角形．
7．如图，将一张直角三角形ABC 纸片沿斜边AB 上的中线CD 剪开，得到△ACD ，再将△ACD 沿DB 方向平移到△A 'C 'D '的位置，若平移开始后点D '未到达B 时，A 'C '交CD 于点E ，D 'C '交CB 于点F ，连接EF ，CC '．
（1）证明：在平移的过程中，△A 'DE 总是等腰三角形；
（2）甲判断：在平移的过程中．总有四边形CEFC '是菱形．
乙判断：在平移的过程中，当且仅当A '是AD 的中点时，四边形CEFC '是菱形．你认为谁的判断正确，请说明理由．
【分析】（1）先证明CD＝DA＝DB，得到∠DAC＝∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E＝∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状；
（2）同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，得出EC＝C'F，证出四边形CEFC'是平行四边形，又由C'C＝EC，即可得出四边形CEFC'是菱形．
【解析】（1）证明：∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵A′C′∥AC，
∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，
∴∠DA′E＝∠DEA′，
∴DA′＝DE，
∴△A′DE是等腰三角形；
（2）解：甲的判断正确；理由如下：
同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，
∴EC＝C'F，
∵CD∥C'D'，
∴四边形CEFC'是平行四边形，
又∵C'C＝EC，
∴四边形CEFC'是菱形．
8．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，点E是AB中点，求EF的长．
【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得AB ∥CD ，OA ＝OC ，继而证得△AOE ≌△COF ，则可证得结论．
（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO ＝CO ，AB ∥CD ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ．
在△OAE 和△OCF 中，
{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AEO =∠CFO
，
∴△AOE ≌△COF ，
∴AE ＝CF ；
（2）∵E 是AB 中点，
∴BE ＝AE ＝CF ．
∵BE ∥CF ，
∴四边形BEFC 是平行四边形，
∵AB ＝2，
∴EF ＝BC ＝AB ＝2．
9．（2018春•越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．
（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形．
（2）若AC ＝16，BD ＝12，求△ADE 的周长．
【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；
（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出AD＝CD=√AO2+DO2=10，再由平行四边形的性质得出AE ＝CD＝10，DE＝AC＝16，进而求出△ADE的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°．
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，
∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=√AO2+DO2=√82+62=10．
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．
10．（2020秋•漳州期中）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．
（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．
【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；
（2）连接AC 交BD 于H ，先由菱形的性质可得AB ＝AD ，AC ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ＝30°，然后利用直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝CB ，
在△ABE 和△CBE 中，
{AB =CB ∠ABE =∠CBE BE =BE
，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE ＝CE ，
又∵AE ＝DE ，
∴DE ＝CE ．
（2）解：如图，连接AC 交BD 于H ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ，AC ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，
∴∠ABD ＝∠ADB ，
∵AE ═ED ＝1，
∴∠DAE ＝∠EDA ，
∴∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ，
∵∠DAE +∠ADE +∠BAE +∠ABD ＝180°，
∴∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ＝30°，
∴BE ＝2AE ＝2，
∴BD ＝BE +DE ＝3，
∴BH ＝DH =32，
∵∠ABD ＝30°，AH ⊥BD ，
∴AB ＝2AH ，BH =√3AH ， ∴AH =√32，AB ＝2AH =√3，
即菱形的边长为√3．
11．（2019春•武昌区期中）如图，△ABC 中AB ＝6，AC ＝8，D 是BC 边上一动点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．
（1）若BC ＝10，判断四边形AEDF 的形状并证明；
（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF 是正方形，求BD 的长；
（3）若∠BAC ＝60°，四边形AEDF 是菱形，则BD ＝ 6√137
．
【分析】（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形； （2）首先根据面积法求得DE 的长，然后利用勾股定理求得BD 的长即可；
（3）根据面积求得BD ：CD ＝3：4，然后求得BD 的长．
【解析】解：（1）AEDF 是矩形，理由如下
∵AB 2+AC 2＝62+82＝BC 2＝102，
由勾股定理得∠BAC ＝90°
∵DE ∥AF 、DF ∥AE ，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
又∵∠BAC ＝90°，
∴四边形AEDF 是矩形；
（2）由（1）得，当DE ＝DF 时，四边形AEDF 是正方形．
设DE ＝DF ＝x ，建立面积方程S △ABC =12AC •BD =12
DE （AB +AC ）；
即：12×6×8=12x ×（6+8）， 解得：x =24
7，
∴DE ＝AE =247，BE ＝AB ﹣AE =187，
在Rt △DEB 中，由勾股定理得：BD =√BE 2+DE 2=√(187)2+(247)2=307
； （3）依题意得，当AD 是∠BAC 角平分线时，四边形AEDF 是菱形．
点B 作AC 的垂线段交于点G ，
又∵∠BAG ＝60°，
∴AG ＝3，CG ＝5，BG =3√3，
由勾股定理得：BC =2√13，
∵AD 平分∠BAC ，
∴S ▲ABD ：S ▲ACD ＝AB ：AC ＝BD ：CD ，
即BD ：CD ＝3：4．
∴BD =6√137
， 故答案为：
6√137． 12．（2020春•鄂城区校级月考）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AE ＝AF ，连接并延长EF ，与CB 的延长线交于点G ，连接BD ．
（1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；
（2）连接AG ，若∠FGB ＝30°，GB ＝AE ＝2，求AG 的长．
【分析】（1）连接AC ，再根据菱形的性质得出EG ∥BD ，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A 作AH ⊥BC ，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解析】证明：（1）连接AC ，如图1：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠DAB ，且AC ⊥BD ，
∵AF ＝AE ，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝2，
∴AB＝AD＝4，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝2√3，BH＝2．
∴GH＝4，
∴AG=√AH2+GH2=√16+12=2√7．
13．（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，E是BC上的点，连接AE且AE＝AC．
（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的长；
（2）如图2，过C作CH⊥AB于H，F为CD上一点，连接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求证：3AH＝AB．
【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=1
2∠BCD＝75°，过点E作EF⊥AB于F，
则∠BEF＝60°，由AE＝AC，得出∠ACE＝∠AEC＝75°，则∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝45°，
推出△AEF是等腰直角三角形，得出AE=√2EF，由含30°直角三角形的性质得出EF=1
2BE＝2，即可
得出结果；
（2）在线段AB上取点G，使BG＝BE，由ASA证得△BAE≌△DAF，得出BE＝DF，AE＝AF，推出BG ＝DF，由SAS证得△CBG≌△BAE，得出CG＝AE＝AC，由等腰三角形的性质得出AH＝HG，证出AH ＝HG＝BG，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝30°，
∴∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=1
2∠BCD=
1
2
×（180°﹣30°）＝75°，
过点E作EF⊥AB于F，如图1所示：
则∠BEF＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝75°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=√2EF，
在Rt△BEF中，EF=1
2BE=
1
2
×4＝2，
∴AC＝AE＝2√2；
（2）证明：在线段AB上取点G，使BG＝BE，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC，
在△BAE和△DAF中，{∠B=∠D
AB=AD
∠BAE=∠DAF
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，
∴BG＝DF，
在△CBG和△BAE中，{BG=BE ∠B=∠B BC=AB
，
∴△CBG≌△BAE（SAS），
∴CG＝AE＝AC，
∵CH⊥AB，
∴AH＝HG，
∵AH＝DF，BG＝DF，
∴AH＝HG＝BG，
∴3AH＝AB．
14．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE=√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；
（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD
∠A =∠A AE =AF
，
∴△ABE ≌△ADF （SAS ）；
（2）解：连接BD ，如图：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ，∠A ＝∠C ＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∵点E 是边AD 的中点，
∴BE ⊥AD ，
∴∠ABE ＝30°，
∴AE ＝√33
BE ＝1，AB ＝2AE ＝2， ∴AD ＝AB ＝2，
∴菱形ABCD 的面积＝AD ×BE ＝2×√3=2√3．
15．（2020•新华区校级一模）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是CD 边上一点，作等边△BEF ，连接AF ．
（1）求证：CE ＝AF ；
（2）EF 与AD 交于点P ，∠DPE ＝46°，求∠CBE 的度数．
【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°和等边△BEF ，可以证明△F AB ≌△ECB ，进而可得CE ＝AF ；
（2）延长F A 交BE 于点G ，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD ＝∠BFE +∠DPE +∠CBE ，即可求出∠CBE 的度数．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴∠FBA＝∠EBC，
∴△F AB≌△ECB（SAS），
∴CE＝AF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
延长F A交BE于点G，
根据三角形的外角定义可知：
∠GAD＝∠AFP+∠APF，
∠BAG＝∠AFB+∠ABF，
∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，
∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，
∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，
即120°＝60°+46°+∠CBE，
∴∠CBE＝14°．
答：∠CBE的度数为14°．
16．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD ＝30°，求CE 的长．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO ＝CO ，对边平行可得AD ∥BC ，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE ＝∠OCF ，然后利用“角边角”证明△AOE 和△COF 全等；
（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO ＝30°，然后求出∠AEF ＝90°，然后求出AO 的长，再求出EF 的长，然后在Rt △CEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，
∴∠OAE ＝∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中，{∠OAE =∠OCF
AO =CO ∠AOE =∠COF
，
∴△AOE ≌△COF （ASA ）；
（2）解：∵∠BAD ＝60°，
∴∠DAO =12∠BAD =
12×60°＝30°， ∵∠EOD ＝30°，
∴∠AOE ＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEF ＝180°﹣∠DAO ﹣∠AOE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO ＝30°，
∴OD =12AD =12×2＝1，
∴AO =√AD 2−OD 2=√22−12=√3，
∴AE ＝CF =√3×√32=32，
∵菱形的边长为2，∠BAD ＝60°，
∴高EF ＝2×√32=√3，
在Rt △CEF 中，CE =√EF 2+CF 2=√(32)2+(√3)2=√212．
17．（2019春•睢县期中）如图，四边形ABCD 为菱形，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交AE 于点F ，连接BE ．
（1）如图1，求证：∠AFD ＝∠EBC ；
（2）如图2，若DE ＝EC ，且BE ⊥AF ，求∠DAB 的度数．
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE ≌△BCE （SAS ），即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB 的度数．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，
∴DC ＝CB ，
在△DCE 和△BCE 中
{DC =CB ∠DCE =∠BCE EC =EC
，
∴△DCE ≌△BCE （SAS ），
∴∠EDC ＝∠EBC ，
由DC ∥AB 得，∠EDC ＝∠AFD ，
∴∠AFD ＝∠EBC ；
（2）解：∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝x°，则∠CBF＝2x°，
由BE⊥AF得：2x+x＝90°，
解得：x＝30°，
∴∠DAB＝60°．
18．（2020•鄞州区模拟）如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF与EC 平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；
（2）根据四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，可以证明△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，根据特殊角三角函数即可求出AG的长，进而求出▱ABCD的面积．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴EC＝AF，
又∵EC∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
∵BE＝CE＝4，
∴AE＝BE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AG⊥BE于点G，
∴AG ＝AB •sin ∠B ＝2√3，
∵BC ＝BE +EC ＝8，
∴▱ABCD 的面积＝BC •AG ＝8×2√3=16√3．
19．（2020•文成县二模）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC ，CD 上，且CE ＝CF ．
（1）求证：△ABE ≌△ADF ．
（2）若∠BAE ＝∠EAF ＝40°，求∠AEB 的度数．
【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△ADF ；
（2）由（1）可得：∠BAE ＝∠DAF ＝40°，由菱形的性质可求∠B ＝60°，进而可求出∠AEB 的度数．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，AB ∥CD ，
∵CE ＝CF ，
∴BE ＝DF ，
在△ABE 和△ADF 中
{AB =AD ∠B =∠D BE =DF
，
∴△ABE ≌△ADF （SAS ）
（2）∵△ABE ≌△ADF ，
∴∠BAE ＝∠DAF ＝40°，
∴∠BAD ＝∠BAE +∠DAF +∠EAF ＝120°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠B ＝180°﹣∠BAD ＝60°，
∴∠AEB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAE ＝80°．
20．（2017秋•高新区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝5cm ，点E 从点A 出发沿射线AD 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．
（1）连接EF ，当EF 经过BD 边的中点G 时，求证：△DGE ≌△BGF ；
（2）四点A 、C 、F 、E 能否组成平行四边形？若能，求出t 值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由题意得到BG ＝DG ，再由AD 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；
（2）分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE ＝CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDG ＝∠FBG ，∠DEG ＝∠BFG ，
∵G 为BD 的中点，
∴BG ＝DG ，
∵在△GDE 和△GBF 中，
{∠EDG =∠FBG ∠DEG =∠BFG BG =DG
，
∴△DGE ≌△BGF （AAS ）；
（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，
则CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣2t （cm ），
∵AD ∥BC ，
∴当AE ＝CF 时，四边形AFCE 是平行四边形，
即t ＝5﹣2t ，
解得：t =53；
②当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），
∵AD∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝2t﹣5，
解得：t＝5；
综上可得：当t=5
3或5s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
21．（2018秋•天心区校级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE ＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBF；
（2）求∠CGE的度数．
【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BF，然后利用“边角边”证明即可；
（2）由（1）知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E＝∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，
∵BE＝AF，
∴BE+BC＝AF+AB，
即CE＝BF，
在△ACE和△CBF中，{CE=BF
∠ACB=∠ABC BC=AC
，
∴△ACE≌△CBF（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∵∠BAE＝∠F AG，
∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，
∴∠CGE＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CGE＝60°．
22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE．（1）如图1，①求证：∠DPE＝60°．
②求证：AP＝CE，
③求证：CP+CE＝CD；
（2）在图2中，（1）中的三个结论是否仍都成立？请说明理由．
【分析】（1）①只需说明∠CEP＝∠CDP即可；②连接DE，证明△ADP与△CDE全等即可；③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF，依次去证明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．
（2）①②证明方法与（1）大致相同，③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF，然后依次去证明△ADP ≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC与△ADC均为等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC＝60°，AC＝CD＝DA＝AB＝BC，
②如图1，连接BP，则BP＝DP，∠CBP＝∠CDP，
∵PD ＝PE ，
∴PB ＝PE ，
∴∠CBP ＝∠CEP ，
∴∠CEP ＝∠CDP ，
∴∠DPE ＝∠DCE ＝180°﹣∠BCD ＝60°．
连接DE ，则△PDE 是等边三角形，
∴DE ＝DP ，∠PDE ＝60°＝∠ADC ，
∴∠ADP ＝∠CDE ，
在△ADP 和△CDE 中：
{AD =CD ∠ADP =∠CDE DP =DE
∴△ADP ≌△CDE （SAS ），
∴AP ＝CE ．
③延长CE 至F ，使EF ＝CP ，连接DF ．
∵∠PDE ＝60°，∠PCE ＝120°，
∴∠PDE +∠PCE ＝180°，
∴∠DPC +∠DEC ＝180°，
∵∠DEC +∠DEF ＝180°，
∴∠DPC ＝∠DEF ，
在△DPC 和△DEF 中：
{DP =DE ∠DPC =∠DEF PC =EF
∴△DPC ≌△DEF （SAS ），
∴DC ＝DF ，
∵∠DCE ＝60°，
∴△DCF 是等边三角形，
∴DC ＝CF ＝CE +EF ＝CE +CP ．
（2）结论①②仍然成立，结论③变为CE ＝CP +CD ．
①如图2，连接PB ，则PB ＝PD ，∠PBC ＝∠PDC ，
∵PD ＝PE ，
∴PB ＝PE ，
∴∠PBC ＝∠PCE ＝∠PDC ，
∴∠DPE ＝∠DCE ＝60°．
②连接DE ，则△PDE 是等边三角形，
∴DP ＝DE ＝PE ，∠PDE ＝60°，
∵∠ADC ＝60°，
∴∠ADP ＝∠CDE ，
在△ADP 和△CDE 中：
{AD =CD ∠ADP =∠CDE DP =DE
∴△ADP ≌△CDE （SAS ），
∴AP ＝CE ．
③延长CD 至F ，使DF ＝CP ，连接EF ．
∵∠DEP ＝60°，∠DCP ＝∠DCE +∠PCE ＝∠ACB +∠DCE ＝120°，
∴∠DEP +∠DCP ＝180°，
∴∠CDE +∠CPE ＝180°，
∵∠CDE +∠EDF ＝180°，
∴∠EDF ＝∠EPC ，
在△EPC 和△EDF 中：
{EP =ED ∠EPC =∠EDF PC =DF
∴△EPC ≌△EDF （SAS ），
∴EF ＝EC ，
∵∠ECF ＝60°，
∴△ECF 为等边三角形，
∴CE ＝CF ＝CD +DF ＝CD +CP ．
23．（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若∠ABC ＝120°，连结BG 、CG 、DG ，如图2所示，
①求证：△DGC ≌△BGE ；
②求∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝14，M 是EF 的中点，如图3所示，求DM 的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE ，根据等角对等边可得CE ＝CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG ＝120°＝∠DCG ，再判断出AB ＝BE ，进而得出BE ＝CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE ＝60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM ＝BM ，∠DMC ＝∠BME ，再根据∠BMD ＝∠BME +∠EMD ＝∠DMC +∠EMD ＝90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三
角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG=1
2∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵{BE=CD
∠BEM=∠DCM EM=CM
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2√65，
∴DM=√2
2BD=√130．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH=1
2CF＝3，
∴MH=1
2CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM=√112+32=√130．
24．（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为
△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，GF=1
2OA，同理：EH∥OC，EH=
1
2OC，得出
EH＝GF，EH∥GF，即可得出结论；
（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出四边形GEHF是菱形；（3）①由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，得出GH＝AB，证出GH＝EF，即可得出四边形GEHF 是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，则AM∥GN，证出GN是△ADM的中位线，得出GN=12AM，证出
∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM=1
2AB＝1，AM=√3BM=√3，得出GN=
√3
2，求出△EFG
的面积=1
2EF×GN=
√3
2，即可得出结果．
【解析】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF=1
2OA，
同理：EH∥OC，EH=1
2OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB=1
2BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，
∵G是AD的中点，
∴GN是△ADM的中位线，
∴GN=1
2AM，
∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，
∴BM=1
2AB＝1，AM=√3BM=√3，
∴GN=√3 2，
∵BD＝2AB＝4，
∴EF=1
2BD＝2，
∴△EFG的面积=1
2EF×GN=
1
2
×2×√32=√32，
∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积=√3．
25．（2018春•江都区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．
（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；
（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．
【分析】（1）想办法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；
（2）想办法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，
∵BC＝AC，BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，
∵AB＝BC，∠EAF＝120°，
∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，
∵∠FEC＝60°，
∴∠AEF+∠CEM＝60°，
∵∠CEM+∠ECM＝60°，
∴∠AEF＝∠ECM，
∴△ECM≌△FEA（ASA），
∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
26．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的长．
【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解析】（1）证明：连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝3，
∴AB＝AD＝6，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝3√3，BH＝3．
∴GH＝6，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG=√AH2+GH2=3√7．
27．（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【分析】（1）（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC 即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，
∴∠BAC ＝60°，
∵△AEF 是等边三角形，
∴∠EAF ＝60°，
∴∠1+∠EAC ＝60°，∠3+∠EAC ＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD ＝120°，
∴∠ABC ＝60°，
∴△ABC 和△ACD 为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC ＝AB ，
∴在△ABE 和△ACF 中，
{∠1=∠3AB =AC ∠ABC =∠4
，
∴△ABE ≌△ACF （ASA ）．
∴BE ＝CF ；
（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的周长发生变化．理由如下： 由（1）得△ABE ≌△ACF ，
则S △ABE ＝S △ACF ，
故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值，
作AH ⊥BC 于H 点，则BH ＝2，
S 四边形AECF ＝S △ABC =12BC ⋅AH =12BC ⋅√AB 2−BH 2=4√3．
△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +EF ＝BC +EF ＝BC +AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．
故△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，△CEF 的周长会最小＝4+√AB 2−BH 2=4+
2√3．。