2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上． （1
）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩
在x 连续，则 (A) 12
ab =． (B) 12
ab =-
． (C) 0ab =． (D) 2ab =．
【答案】A
【详解】由0
11lim 2x b ax a +
→-==,得1
2
ab =.
（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则
(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.
【答案】C
【详解】2()
()()[]02
f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．
(C) 4．
(D)2 ．
【答案】D
【详解】方向余弦12
cos ,cos cos 33
=
==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．
【答案】C
【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T
E -αα不可逆． (B) T
E +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T
2E -αα不可逆．
【答案】A
【详解】可设T α=(1,0,
,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为
011,,,,因此T αα-E 不可逆.
（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．
(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B
【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以
A 可对角化,
B 则不行.
（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件
(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．
【答案】A
【详解】由(|)(|)P A B P A B >得
()()()()
()()1()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;
由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,
,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下
列结论不正确的是 (A)
2
1
()n
i
i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 2
12()n X X -服从2
χ分布．
(C)
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布． (D) 2
()n X -μ服从2
χ分布．
【答案】B
【详解】
22
2211
~(0,1)()~(),()~(1)1n n
i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 22
1~(,),()~(1);X N n X n
-μμχ2211()~(0,2),
~(1)2n n X X X X N --χ.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数2
1
(),1f x x
=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】24
2
1()1(11)1f x x x x x
=
=-++-<<+,没有三次项.
（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．
【答案】12e ()x
y C C -=+
【详解】特征方程2
230r r ++=
得1r =-,
因此12e ()x y C C -=+.
（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}
1),(2
2<+=y x y x D 内与路径无关，则=a
． 【答案】1-
【详解】有题意可得
Q P
x x
∂∂=
∂∂,解得1a =-. （12）幂级数
11
1
)
1(-∞
=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．
【答案】
2
1
(1)
x + 【详解】
1
1
2
1
1
1
(1)[()](1)n n n n n nx
x x ∞
∞
--=='-=--=
+∑∑.
（13）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩
为 ．
【答案】2
【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A
（14）设随即变量X 的分布函数4
()0.5()0.5()2
x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】0
0.54()d [0,5()()]d 222
x EX xf x x x x x +∞
+∞
-∞
-=
=+
=⎰
⎰
ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．
设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),x
y f x =求
2200
,x x dy
d y dx
dx
==.
【答案】
(e ,cos )x y f x =
()
''12'12''''''''''
11121212222
2''''
11122
sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dy
f e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴
=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．
求2lim
ln(1)n k k
n n
→∞+.
【答案】
21222112
0012202lim ln(1)1
122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)2
1111
ln(1)02211111
ln 2221n k n n k k n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dx
x x ∞
→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝
⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑
⎰⎰⎰101
1002111ln 2[(1)]
22111111
ln 2[()ln(1)]
002221111
ln 2(1ln 2)2224
dx
x
x dx dx x
x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰
（17）（本题满分10分）．
已知函数)(x y 由方程3
3
3320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】3
3
3320x y x y +-+-=①，
方程①两边对x 求导得：2
2
'
'
33330x y y y +-+=②，
令'
0y =，得2
33,1x x ==±.
当1x =时1y =，当1x =-时0y =.
方程②两边再对x 求导：'2
2
''
''
66()330x y y y y y +++=，
令'
0y =，2
''
6(31)0x y y ++=，
当1x =，1y =时''
32
y =-
，当1x =-，0y =时''
6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.
（18）（本题满分10分）．
设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0
()
lim 0x f x x
+
→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;
（II ）方程2
()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)
()
lim 0x f x x
+
→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零
点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.
(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，
()lim 0,'(0)0,x f x f x +
→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)
(0,1),'()010
f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．
设薄片型物体S 是圆锥面22y x z +=
被x z 22=割下的有限部分，
其上任意一点处的密度为2229),,(z y x z y x ++=μ，记圆锥面与柱面的交线为C ； （I ）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程；
（II ）求S 的质量M 。

【答案】(1)C 的方程为2
2z z x
⎧=⎪⎨=⎪⎩xoy 平面的方程为：22(1)1
0x y z
⎧-+=⎨=
⎩
(2)(,,)M u x y z dS
∑
∑
∑
===⎰⎰⎰⎰2cos 3220
2
2
8
1818cos 3d d π
π
θ
ππθθθ--==⎰⎰
⎰
3202
96cos 96(1)643
d π
θθ===⨯=⎰
（20）(本题满分11分)．
设3矩阵123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，3122ααα=+ （I ）证明：(A)2r =;
（II ）若123βααα=++，求方程组Ax β=的解.
【答案】
().
00121,,,
021*********的特征值是，故，A ==⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-∴=-+∴+=λααααααααα
又A 有三个不同的特征值，故01=λ为单根，且A 一定能相似对角化.
.
2)()(,
~=Λ=∴Λ∴r A r A
（2）由（1），0=Ax 的通解为()T
k 1,2,1-，
321αααβ++= ，故有()()ββααα==⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛T
A 1,1,1111,,321，即.
()).()1,1,1(1,2,1为任意常数的通解为k k Ax T T
+-=∴β
（21）（本题满分11分）．
设二次型222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换Qy x = 下的标准形为22
1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

（21）【答案】二次型的矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=a A 14111412，
因为二次型在正交变换下的标准形为22
1122y y λλ+，故A 有特征值0，
0=∴A ，故2=a .
由0)6)(3(2
1
411
1
4
12
=-+=---+---=-λλλλλλλA E 得特征值为
0,6,3321==-=λλλ.
解齐次线性方程组()0=-x A E i λ，求特征向量.
对31-=λ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=--0001101015141214153A E ,得⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=1111α；
对62=λ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000101014141714146A E ,得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=1012α；
对03=λ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0002101012141114120A E ,得⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1213α；
因为123,,ααα属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令()()()T T T 1,2,16
1,1,0,121,1,1,131
3222111=-==-=
=
βααβααβ， 所求正交矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
-=612
13
16
2031
6121
31Q ,对应标准形为2
22163y y f +-=. （22）（本题满分11分）．
设随机变量X 与Y 相互独立，且X 的概率分布为1
{X 0}{X 2}2
P P ====，Y 的概率密度为2,01
()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他.
（I ）求{Y EY}P ≤
（II ）求Z X Y =+的概率密度。

22、【答案】（1）32
d 2d )(10
=⋅==
⎰⎰+∞
∞-y y y y y yf EY Y ， {}9
4d 2d )(320
32
=
==≤∴⎰⎰∞
-y y y y f EY Y P Y . （2）Z 的分布函数为
{}{}{}{}{}{}{}[][])2()(2
1
22
1
2202,0,)(-+=
-≤+≤=≤+=+≤===≤++=≤+=≤=z F z F z Y P z Y P z Y X P z Y X P X z Y X P X z Y X P z Z P z F Y Y Z ，， 故Z 的概率密度函数为
[]⎪⎩⎪
⎨⎧<≤-<≤=⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<≤<=-+='=其它,03
2,210,3,
032,221,010,0,
0)2()(21)()(z z z z z z z z z z z z f z f z F z f Z Z .
（23）（本题满分11分）．
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量
μ是已知的.设n 次测量结果n X X X ,,21相互独立且均服从正态分布),(2σμN .该工
程师记录的是n 次测量的绝对误差),,2,1(n i X Z i i =-=μ.利用n Z Z Z ,,21估计
σ.
（I ）求i Z 的概率密度；
（II ）利用一阶矩求σ的矩估计量； （III ）求σ的最大似然估计量.
【答案】1Z 的分布函数为{}{}
⎭
⎬⎫⎩
⎨
⎧≤
-=≤-=≤=σσ
μμz X P z X P z Z P z F Z 111)(1， .
12)(,0;
0)(,011-⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ=>=≤σz z F z z F z Z Z 时时 所以i Z
的概率密度均为2
22e ,0()()0,
z Z Z
z f z F z -⎧>'==⎩
其他
σ.
（2）πσπσπ
σσ
πσ
σ2222d 22d 220
20
2
20
12
22
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=
⋅=
∞
+-∞
+-
=-
∞
+⎰
=
⎰
t t z t z e t te
z
e
z EZ 令， 令Z EZ =1，即
Z =π
σ
22，得σ的矩估计量为：
Z 22ˆπσ
=，其中∑==n
i i Z n Z 1
1. （3）记n Z Z Z ,,,21 的观测值为n z z z ,,,21 ，当),,2,1(0n i z i =>时，
似然函数为∑⋅⋅===
=-
---==∏
∏n
i i i z n n n z n
i n i i
e
e z
f L 1
2
2
22
212
21
1
)2(222
);()(σ
σσπσ
πσσ，
∑=-
--=∴n
i i
z
n n n L 1
2
2
21
ln )2ln(22ln )(ln σσπσ，
令∑∑====+-=n i i n i i z n z n d L d 12123101)(ln σσσσσ，得 ∑==∴n i i Z n 1
2
1ˆσσ的最大似然估计量为.
1、最困难的事就是认识自己。

22.4.274.27.202219:5519:55:14Apr-2219:55
2、自知之明是最难得的知识。

二〇二二年四月二十七日2022年4月27日星期三
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。

19:554.27.202219:554.27.202219:5519:55:144.27.202219:554.27.2022
4、与肝胆人共事，无字句处读书。

4.27.20224.27.202219:5519:5519:55:1419:55:14
5、三军可夺帅也。

Wednesday, April 27, 2022April 22Wednesday, April 27, 20224/27/2022
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。

7时55分7时55分27-Apr-224.27.2022
7、人生就是学校。

22.4.2722.4.2722.4.27。

2022
年4月27日星期三二〇二二年四月二十七日 8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。

19:5519:55:144.27.2022Wednesday, April 27, 2022
亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。

在那桃花盛开的地方，在这醉
人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。