(word版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案,文档

抛
物
线
y22px y22px x22py x22py
(p0)(p0)(p0)(p0)
y y y
y l l l
F O
x
OF x F O x
O x F
l
定义
范围
对称性
焦点
顶点离心率
准线
方程
顶点到准线的距离焦点到准线的距离
焦半径
A(x1,y1)
焦点弦
长
AB
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MMF=点M 到直线l 的距离}
x
0,y R x
0,y R x
R,y 0 x
R,y 0
关于x 轴对称
关于y 轴对称
(p
,0) ( p
,0)
(0,p
)
(0, p )
2
2
2
2
焦点在对称
轴上 O(0,0) e=1
p
x
p
p
p
x
y
2 y
2
2
2
准线与焦点位于顶
点两侧且到顶点的距离相等。

p 2 p
p
AF
p
p
AF
p
AFx 1
x 1
AFy 1
y 1
2
2
2
2
(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p (x1 x2) p
焦点弦AB的几
条性质
A(x1,y1)
假设AB的倾斜角为
B(x2,y2)
切线
y0yp(xx0)方程
y
Ax1,y1
o F
x
x2,y2
以AB为直径的圆必与准线l相切
，那
么AB
2p
假设AB的倾斜角为
，那
么
2p sin2
AB
cos2 x1x2
p22
4
y1y2p
11AFBF AB2
AF BF AF?BF AF?BF p
y0y p(xx0)x0xp(yy0)x0x p(yy0)
一．直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线
，
，消y 得：
〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
〔2〕当k≠0时，
＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；
=0，直线l与抛物线相切，一个切点；
＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线l：y kxb抛物线，(p0)
①联立方程法：
y kx b
k2x22(kbp)xb20
y22px
设交点坐标为(,
y1)
,B(x2,y2)
，那么
有
0,
以及
x1x2,x1x2
，还可进一步求出
Ax1
y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，
y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方
相交弦AB的弦长
AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2
a
或AB1
1
y21
1
(y1y2)
2
4y1y21k
2
k
2y1
k
2
a
b.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y2
22
②点差法：
设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px1y222px2
将两式相减，可得
(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)
y1y22p
x1x2y1y2
a. 在涉及斜率问题时，k AB
2p
y1y2
在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2p p，
x1x2y1y22y0y0
即k AB p，
y0
同理，对于抛物线x22py(p
0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)
是弦AB的中点，那么有k AB
x1x22x0x0
2p2p p
〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕
抛物线练习及答案
1、点P在抛物线y2=4x上，那么点 P到点Q〔2，－1〕的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

〔1,－1〕
4
2、点P是抛物线y22x上的一个动点，那么点P到点〔0，2〕的距离与P到该抛物线准线的
距离之和的最小值为。

17
2
3、直线
y x3与抛物线y2
4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为P,Q ，那么梯形APQB的面积
为。

48
4、设O是坐标原点， F
uuur
o
是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，uuur
FA与x轴正
为。

5、抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部
分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，那么△AKF的面积是。

4 3
6、抛物线C:y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK
2AF，
那么AFK的面积为。

8
x2y2
7、双曲线1，那么以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程
4 5
为。

8、在平面直角坐标系 xoy中，有一定点A(2,1),假设线段OA的垂直平分线过抛物线
y22px(p 0)那么该抛物线的方
程是。

9xoy
中，抛物线关于x轴对称，顶点在
原点
O
，且过
点
P(2
，
4
)
，那么
该抛
、在平面直角坐标
系
物线的方程
是。

y28x
10、抛物线y x2上的点到直线
4x3y80距离的最小值是。

4
3
11、抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线
相交于
A(x1,y1),B(x2,y2)两
点，那么y1
2+y
22的最小
值
是。

32
12、假设曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，那么k、b分别应满
足的条件
是。

k=0,-1<b<1
13、抛物线y-x2+3上存在关于
直线
x+y=0对称的相异两点A、B，那么|AB|
等于〔〕C B.422
14、抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线
上，且2x2x1x3，那么有
〔〕Ｃ
Ａ．FP
1FP2FP3Ｂ．FP
1
222
FP2FP3
Ｃ．2FP
2FP1FP3Ｄ．FP
2
2
FP1·FP3
15、点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y22px(p 0)上的两个动点,O是坐标原点,
uuuruuur uuur uuur uuur uuur
y2(x1x2)x(y1y2)y0。

向量OA,OB满足OA OB OA OB.设圆C的方程为x2
证明线段AB是圆C的直径;
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值
为25
时，求p的
值。

5
解：
uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
uuu
r2uuur uuur2
(1)证明1:QOA OB OA OB,(OA OB)(OA OB)，
uuur2 uuuruuur uuur2
uuur2 uuuruuur uuur
OA 2OAOB OB OA
2OAOB OB
2uuuruuur
0，x1x2
，整理得:OAOB y1y20，
M(x,y)是以段AB
uuu
r uuur
0，直径的上的任意一点,MA MB
即(xx1)(xx2)(y y1)(yy2)0，整理得:x2y2(x1x2)x(y1y2)y0，故段AB是C的直径。

uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r
uuu
r
2，
明2:QOA OB OA OB,(OA OB)2(OA OB)
uuur2 uuuruuur uuur2
uuur2 uuuruuur uuur
OA 2OAOB OB OA 2OAOB OB 2uuuruuur
，，整理得:OAOB
x1x2y1y20⋯⋯..(1)
(x,y)是以段AB直径的上即y y2y y1
1(xx1,xx2)，x x2x x1
去分母
得:(x x1)(xx2)(yy1)(y y2)0，
点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)足上方程,展开并将(1)代入得: x2y2(x1x2)x(y1y2)y0，
故段AB是C的直径。

uuur uuur uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuuruuur
2，
明3:QOA OB OA OB,(OA OB)2(OAOB) uuur2uuuruuur uuur2uuur2uuuruuur uuur2
OA2OAOB OB OA2OAOB OB，
uuuruuur
整理
得:OAOB0，x1x2y1y20⋯⋯(1)
以段AB直径的的方程
(x x1x2)2(y y1y2)21[(x1x2)2(y1y2)2]，224
展开并将(1)代入
得:x2y2(x1x2)x(y1y2)y0，
x故段AB是C的直径
xi解法1:C的心C(x,y),
xii x1x2
2
y y1y2
2
22
2px2(p0)y12y22
，又因x1x2y1y20，
Qy12px1,y2，x1x2
4p2
x1x2y1y2，y1y2y12y22，Qx1x20,y1y20，y1y24p2，
4p2
x x1x21(y12y22)1(y12y222y1y2)y1y21(y22p2)，24p4p4p p
所以圆心的轨迹方程
为y2px2p2，
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,那么
|x2y||1(y22p2)2y|
|y22py2p2||(yp)2p2|
d
p
555p5p
，
当y=p时,d有最小
值p ,由题设得
5
解法2:设圆C的圆心为
C(x,y),那么p25，p2. 55
x
x1 x2
2
y y1y2
2
22
2px2(p0)，x1x2y12y22
x2y1y20，x1x2y1y2，
Qy12px1,y2
4p
2，又因x1
y1y2y12y22，Qx1x20,y1y20，y1y24p2，
4p2
x x1x21(y12y22)1(y12y222y1y2)y1y21(y22p2)，24p4p4p p
所以圆心的轨迹方程
为y2px2p2，
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为25,那么m2，因为x-2y+2=0与y2px2p2无公5
共点,
所以当x-2y-2=0与
y2px2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25
5 x2y20L(2)
y2px2p2L(3)
将(2)代入
(3)得y22py2p22p0，4p24(2p2
Qp0 2p)0，
2
.
p
解法3:设圆C的圆心为C(x,y),那么
x1x2
x
2
y1y2
y
2
心C到直x-2y=0的距离d,
d |x1x2(y1y2)| 2
5
Qy122px1,y222px2(p0)，x1x2y12y22，又因
x1x2y1y20，x1x2y1y2，
4p2
y1y2y12y22，Qx1x20,y1y20，y1y24p2，4p2
|1(y2y2)(y y)|
|y12y222y1y24p(y1y2)8p2| d
4p1212
545p
(y1y22p)24p2
45p
，
当y1y22p,d有最小p p25
p2.
,由得
55
，
5
16、
1x2y2
1,抛物
2
(y m)
2
2px(p
1
、
C
2
的公共弦AB C
1 C:
3
C:0),且C
4
的右焦点.x求m、
(1 )当
AB
⊥
p
的，并判断抛物
C
2
的焦点是否在
直
AB
上
；
,
(2)是否存在m、p的，使抛物C2的焦点恰在直AB上？假设存在，求出符合条件
的m、p的
；假设不存在，明理由.
解：〔1〕当AB⊥x，点A、B关于x称，所以m＝0，直AB的方程x=1，从而点A 的坐〔1，3〕或〔1，－3〕.因点A在抛物上，所以92p，即p9.此C2的焦2248
点坐〔9，0〕，焦点不在直AB上.
1
6
〔2〕解法一
当C2的焦点在AB，由〔Ⅰ〕知直AB的斜率存在，直AB的方程
y
k(
x1).
y k(x 1
)
消去y得(34k2)x28k2x4k2
由x2y2120.⋯⋯①
43
1
y
A、B的坐分〔x1,y1〕,〔x2,y2〕,A
x1,x2是方程①的两
根，x1＋x2＝8k2
.
x 2O
34k
因AB既是C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的
弦，
B
所以AB (
21x1)(21x2)41(x1x2)，且222
AB(x1p)(x2p)x1x2p.
22
从而
x1x2p41(x1x2).
2
所以
x1x246p8k246p
.
3
，
即
34k23
解得k26,即
k 6.
因C2的焦点F(2,m)在直y k(x1)上，所以m1k.
33即m6或m6.
33
当m6，直AB的方程y6(x 1 )；
3
当m6，直AB的方程y6(x 1 ).
3
解法
二当C2的焦点在AB，由〔Ⅰ〕知直AB的斜率存在，直AB的方程
y k(x1).
由(y m)28x消去y
得
(
kxk m
28
x
.
3⋯⋯①
)
3
y
k(
1)
x
因C2的焦点F(2,m)在直y k(x 1)上，
3
所以m k
(21)，即m1
k.代入①有
(kx2k)28x.
3333
即k2x24(k22)
x4k20.⋯⋯②
39
A、B的坐分〔x1,y1〕,〔x
2
,y
2
〕
,
x1,x2是方程②的两
根，x1＋x2＝4(k22).
3k2
y k(
x1)
由x2y2消去y得(34k2)x28k2x4k2120.⋯⋯③43
1
由于
x1,x2x1＋
x2
8k2
也是方程③的两根，
所以＝
3
2. 4k
从而4(k 2
2
2)＝8k2
2.解得k
2
6,即
k 6. 3
k34k
因C2的焦点F(2,m)在直y k(x1)上，所以m1k.
33即m6或m6.
33
当m6，直AB的方程y6(x 1 )；
3
当m
6
，直AB 的方程y
6(x 1) .
3
解法三
A 、
B 的坐分〔x1,y1〕,〔x2,y2〕,
因AB
既C1的右焦点F(1,0)，又是C2 的焦点F( 2
，
,m
)
3
所以AB
(x
1
p
)(x 2
p
1
x 1)(2
1
x 2).
2)x 1x 2p(2
2
2
2
即xx
2
2 (4 p) 16.
⋯⋯①
1 3
9
由〔Ⅰ〕知
x
x ，于是直AB 的斜率k
y 2
y 1m0
3m ， ⋯⋯②
1
2
x2 x
1 2
1
3
且直AB 的方程是y
3m(x1),
所以y1
y2
3m(x
1
x2 2m
⋯⋯③
2).
3
3x 12 4y 12 12
y
2 y
又因
，所以3(x 1x 2)
4(y
1
y 2)
1
0.
⋯⋯④
3x 22
4y 22
x 2 x 1
12
将①、②、③代入
m 22，即m
6或m
6.
④得
333
当m6，直AB的方程y6(x 1 )；
3
当m6，直AB的方程y6(x 1 ).
3
17、如，斜角a的直抛物y28x的焦点F，且与抛物交于A、B两点。

〔1〕求抛物的焦点F的坐及准l的方程；
〔2〕假设a角，作段AB的垂直平分m交x于点P，明|FP|-|FP|cos2a定，并求此定。

〔1〕解：抛物的准方程y22px，2p 8，从而p 4.因此焦点F(p,0)的坐〔2，
2
0〕.
又准方程的一般式x p。

从而所求准l的方程x 2。

2
答〔21〕图
〔2〕解法一：如图〔21〕图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，那么由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，那么|FA|＝|AC|
＝x x
p p p
解
得
|FA|cosa
2
|FA|cosa4
22
|FA|
4
，1cosa
类似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|
4。

cos
a
1
记直线m与AB的交点为E，那么
|FE||FA||AE||FA||FA||FB|1(|FA|
22
|FE|4。

故|FP||FP|cos2a 所以|FP|
sin2
cosa a |FB|
)1444cosa，21cosa1cosa sin2a 4
(1cos2a)
4·2sin2a
8。

sin2sin2a
a
解法二：设A(x A,y A)，B(x B,y B)，直
线AB的斜率为k tana
，那么直线方程
为y k(x2)。

将此式代入y28x,得k2x24(k22)x4k20，故x A x B k(k22)。

k2
记直线m与AB 的交点为E(x E,y E)，那么
x E x A x B2(k22)
k(x E2)
4412k24 2k2
，y E，故直线m的方程为y
k
x
k2
.
k k
2k244故|FP|x P4(k2
1
4。

)
令y=0,得P的横坐标x P
k22
k2sin2a
从而|FP||FP|cos2a
4
(1
cos2a
)
4·2sin2a
sin2a
8为定值。

sin2a
18、正三角形OAB的三个顶点都在抛物
线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB
的
内接圆〔点C为圆心〕
〔1〕求圆C的方程；
〔2〕设圆M的方程为(x47cos)2(y7cos)21，过圆M上任意一点P分别作圆C
的
uuuruuur
两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小值．
〔1〕解法一：
设A，B两点坐标分别为y12，y1，y22，y2，由题设
知
22
y122
y12
2
y12y22
2
y22y22(y1y2)2．
2222
解得y12y2212，所以A(6，23)，B(6，23)或A(6，23)，B(6，23)．
设圆心C的坐标为(r，0)，那
么r264，所以圆C的方程为
(x4)2y216．
3
解法二：设A，B两点坐标分
别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知
x12y12x22y22．又因为y122x1，y222x2，可得x122x1x222x2．即
(x1x2)(x1x22)0．由x10，x20，可知
x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以
3r，3r3
r
2
3r，
圆心C在x轴上．设C点的坐标为(r，0)，那么A点坐
标为，于是有2
2222
解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216．
ECF uuu
r
uuu
r uuur uuur
16cos232cos216．
〔2〕解：设2a，那么CEgCF|CE|g|CF|gcos2
在Rt△PCE中，cos
x4，由圆的几何性
质得
|PC||PC|
|PC|≤|MC|1718，|PC|≥|MC|1716，
所以1≤cos2uuu
r
uuu
r uuuruuur
16
≤，由此可
得8≤CEgCF≤16
．那么CEgCF的最大
值为，最小值为
2399 8．
19、假设A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB〔不平行于y轴〕的垂直平分线
与x轴相交于
点P，那么称弦AB是点P的一条“相关弦x>2时，点P〔x,0〕存在无穷多条“相关弦x0>2.
〔1〕证明：点P〔x0,0〕的所有“相关弦〞的中点的横坐标
相同；
〔2〕试问：点P〔x0,0〕的“相关弦〞的弦长中是否存在最大值？假设存在，求其最大值〔用x0表
示〕：
假设不存在，请说明理由.
解:〔1〕设AB为点P〔x0,0〕的任意一条“相关弦〞，且点A、B的坐标分别是
〔x1,y1〕、〔x2,y2〕
〔x1x2〕,那么y21=4x1,y22=4x2,两式相减得〔y1+y2〕〔y1-y2〕=4〔x1-x2〕.因为
x1x2,所以y1+y20.
y1y242设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M〔xm,ym〕,那
么k=
x2y1y2.
x1y m
从而AB的垂直平分线l的方程
为y y m y m(x x m).
2
又点P〔x0,0〕在直
线l上，所以y m ym(x0x m).
2
而y m0,于是x m x0
2.故点P〔x0,0〕的所有“相关弦〞的中点
的横坐标都是x0-2.
(2)由(1)知，弦AB 所在直线的方程
是y y m k(x x m)，代入y24x中，
整理得k2x22[k(y m kx m)2]x(y m kx m)20.〔·〕
那么x1、x2是方程〔·〕的两个实
根，且x1x2(y m kx m)2
.
k2
设点P的“相关弦〞AB的弦长为
l，那么
l2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)2
(1k2)[(x1x2)24x1x2]4(1k2)(x m2x1x2)
4
(y m2x m)2 2y m
4(
1ym2)[x m4]
y m2
(4y m2)(4x m y m2)y m44y m2(x m1)16x m
4(x m1)2[y m22(x m1)]24(x01)2[y m22(x03)]2 .
因为0<y m2
<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是
设t=y m2
,那
么t(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x
0-3)]2+4(x0-1)2.，假设
x0>3,那么2(x0-3)
(0,4
x
0-8),所以当t=2(x0-
3),即y m2=2(x0-3)时,l
有最大值2(x0-1).假设2<x0<3,
那么2(x0
-
3)
0,g(t)在区间〔0，4x0-8〕上是减
函数，所以
0<l2<16(
x0-2),l
不存在最大值.
综上所述，当x0>3时，点P
〔x0
,0〕的“相关弦〞的弦长中存在最大值，且
最大值为2〔x0-1〕；当
2<x03时，点P
〔x0
,0〕的“相关弦〞的弦长中不存在最
大值.
20、曲线C是到点P〔135
是过点Q〔-1，0〕,〕和到直线y
距离相等的点的轨
迹。

2 8
8
M
的直
线，
y
M 是C 上〔不
在
上〕的动点；A 、B 在
上，MA
,MB
x 轴〔如
图〕。

l
B A
QB 2
Q
x
〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕求出直线 的方程，使得
为常
数。

O
QA
2 2
〔1〕解：设N(x ，y)为C 上的点，那么|NP| x
1
y
3
，
2
8
2
2
N 到直线y
5 的距离为y 5 ．由题设得 x 1 y
3 y 5．
8
8
2
8
8
化简，得曲线C 的方程为y 1(x 2
x)．
2
〔2〕解法
一：
设
x 2 x ，直线l:y kx k ，那么B(x ，kx k)，从
而
2
，
|QB|1k|x1|．
Mx
2
在Rt△QMA中，因为|QM|2(x1)21x2，|MA|2(x1)2k
41k2
所以|QA|22
|MA|
2(x1)2
(k
x2)
2 |QM|
4(1
2
)
.
k
|x1|g|kx2|，|QB|22(1k2)1k2x1 |QA|21k2|QA||k|g x2．
k
当k2时，|QB|255，从而所求直线l方程
为2xy20．
|QA|
解法二：
设
M
x2x
，直线l:y kx
k，那么B(x，
kx
k)，从
而
，
x
2
|QB|1k2|x1|．y
过Q(1，0)垂直于l 的直线
l1:y1(x1)．
1
k l
因为|QA||MH|，所以|QA||x1|g|kx2|，H
21k2
Q
2
x
2
．
M
l
A
B
x O
|QB|22(1k2)1k2x1
|QA||k|g2．
x
k
l y
2时，|QB|2
当k55，从而所求直线l方程为2x y20．
|QA|
F
21、如图，点F(10)，，直线l:x1，P为平面上的动
点，
1O1x
l uuur
uuu
r uuuruuur
过
P 作直
线
的垂线，垂足为
点
Q
，且QPQF FPFQ
．
g g
〔1〕求动点P的轨迹C的方
程；
uuur uuur uuur uuur 〔2〕过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，MA1AF，MB2BF，求12的值；
解法一：〔1〕设点P(x，y)，那么Q(
uuuruuur uuuruuur 1，y)，由QPQF FPFQ
g g得：
(
x1，0)g(2，y)(x1，y)g(2，y)，化简得C:y24x．〔2〕设直线AB的方程为：
x my 1(m 0)．
设A(x
1，y1)，B(x2，y2)，又M1，
2，
y
m
y 2
，
联立方程组
，消去x
得：Q P x my
，B
1
y24my40，(4m)2120，故OF x
A
y1y2
，
4m
M
y1y24．
uuur uuur uuu
r uuur
由MA
1AF ，MB
2BF
得：
y12
1y1，y2
2
2y
2
，整理
得：m m
1
2
1
2
1，2，
my1my2
122211
22g y1y222g4m0．my1y2my1y2m4
一、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
例2、(2021·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的
焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，那么y
的取值范围是
() ||
A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例、抛物线y2＝pxp的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B 32(>0)
两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，假
设BC＝
2
|
BF，且AF |||||
＝4，那么△AKF的面积是()
A．4B．33C．43D．8
例、过抛物线y2＝pxp的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，42(>0)
BC＝
2
|BF，且AF＝
3
那么此抛物线的方程
为
()
假设|||||
232
x 292
．y＝x．y＝
C．y＝x
D
．y＝x
A
2B9
2
3
三、抛物线的综合问题
(1)例5、(2021·江西高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线
于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
(2)求该抛物线的方程；
uuur uuur uuur
O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设OC＝OA＋λOB，求λ的值．
例6、(2021·湖南高考)(13分)平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于
1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，
uuuruuur
l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值
例7、点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的
焦点F的距离
1
(1)为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．
(2)2
(3)求抛物线C的方程；
(4)假设以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．
例题答案解析
一、抛物线的定义及其应用
例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F x＝－
1. (1,0)，准线是
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A－
1,1)
的距离与点P到F
(
(1,0
)
的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，那么所求的最小
值为
|AF，即为
5. |
如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|
PF≥PB＋PQ＝BQ＝
4
.即PB＋PF的最小值为
4.
＋|||1||1|||||||
例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝，根据只要FM
即
可．根
4||>4
据抛物线定
|FM＝y＋
2
由y＋，解得y，故y
的取值范围是
(
2
，＋∞．|002>40>2)
二、抛物线的标准方程和几何性质
Ax1，y1
)，其中y1由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为
B
1
.
那么
有
|
BF
例3、设点(>0.|
＝
|BB|；又|CB＝2|FB CB＝2|BB|，cos∠CBB |BB1|1
CBB
πBC＝，∠
111
||21
3
π
AF＝AK pπ
＝，因
即直线AB与x轴的夹角为
3.又|
＝x1＋＝，因此y1＝
4sin32
|||243
此△AKF的面积等于1
AK
1
＝
2|
·y1＝××
|24234 3.
例．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由条件
|BC＝
4|
BF得BC＝
2
|BB
1
|
，∴∠BCB＝°，又
|
AA
|
＝AF＝，
2||||
130
1
||3
∴|AC＝
2
|
AA1
|
＝，∴CF＝AC－AF＝－＝，∴F为线段AC的中点．故点F |6||||||633
到准线的距离为p＝1
AA1
32
x 2|
＝，故抛物线的方程为y＝|2 3.
三、抛物线的综合问题
例、直线AB的方程是y＝x－p，与y2＝px联立，从而有x2－px＋p2＝，
5(1)22
(2)2450
x1＋x2＝p
AB＝x1＋x2＋p＝，
所以：5，由抛物线定义得：
|
4
|9
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，
y2＝
4
，从而A，－B；2(122)，(4,42)
uuur
设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．
即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.
例、
(1)设动点P的坐标为
(
x，y，由题意有x－
1
2y2－x＝
1.
化简得y2＝
6)＋||
2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，那么l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1
，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.(7分) y2＝x
4
Ax1，y1，Bx2，y2
，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于
是
4
)
x1＋x2＝＋
2，
x1x2
设()(2
k ＝1.(8分)
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1Dx3，y3
)，Ex4，y4
)
，那么同理可
得
k.设((
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)·(x4＋1)
＝x1x2＋x1＋x2＋＋x3x4＋x3＋x4＋1(11分)
()1()
4
k 2
＋＝＋
212
·
1
＝1＋(2＋k 2
)＋1＋1＋(2＋4)
k＋2≥＋×k
k
2
＝
16.
184(k)842
21
uuur uuur
当且仅当k＝k2，即k＝±1时，AD·EB取最小值16.例、抛物线y2＝pxp
p
7
(1
)
的准线为x＝－，由抛物线定义和条件可知
2(>0)
2
MF＝－－
p p
故所求抛物线C的方程为y2＝x
|2)
＝＋＝，解得p＝
2,
|1(122 4.
1
y＝－x＋b，
联立
2
消去x并化简整理得
2
＋y－b＝
(2
)
y
0.
88
y2＝x
4
依题意应有
＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝－8，
y1y
2
＝－8b Qx0
y
)，那么应
用
x
＝
x1＋x2y0y1＋y2
，设圆心(，
2
，＝
2
＝－4.
因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝y0＝
4.
||
又|AB＝x1－x22＋y1－y22＝＋
4
y1－
y22＝|1
5[y1＋y22－4y1y2]＝564＋32b
所以|AB＝r＝
5
＋
32
b＝，解得b＝－8 |26485.
48
所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝5，
242422那么圆心Q的坐标为(5，－4)．故所求圆的方程为(x－5)＋(y＋4)＝16.练习题
．抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝的上焦点，那么a等
于
()
12
A．1B．4C．8D．16
．抛物线y＝－x2上的一点M到焦点的距离为，那么点M的纵坐标是
() 241
1715715
A．－16B．－16 C.16 D.16
3．(2021·辽宁高考)F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF| BF＝，那么线段AB的中点到y轴的距离为
()
＋||3
357 A.4B．1C.4 D.4
4．抛物线y2＝
px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是
() 2
A．相离B．相交C．相切D．不确定
．
(2021·宜宾检测
)
F为抛物线y2＝x的焦点，过F且斜率为
1
的直线交抛物
58
线于A、B两点，那么FA
－|FB的值等于
||||| ()A．42B．8C．82D．16
．在y＝x2上有一点P，它到A 的距离与它到焦点的距离之和最小，那么
点P的
62(1,3)
坐标是() A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)
．设抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如78
果直线AF的斜率为－PF＝
()
3，那么||
A．43B．8C．83D．16
．
(2021·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－
2
，那么抛物线的方
程
8
是()
y＝－x
B ．y＝x
C
．y＝－x
D
．y＝x
A．28282424
9．(2021·永州模拟)以抛物线x2＝y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的16
方程为________．
10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距
离是5，那么抛物线的方程为________．
11．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那
uuur uuur
么|FA|＋|FB|＝________.
．过抛物线y＝x的焦点作直线交抛物线于Ax，y
1)，Bx，y
2)
两点，假设
x
1
1224(1(2
(1)x2＝6，那么|AB|等于________
(2)13．根据以下条件求抛物线的标准方程：
(3)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(4)过点P(2，－4)．
14．点A(－1,0)，
B(1，－1)，抛物线C：
y2＝4x，O为坐标原点，
过点A的动直
uuuur u uur 线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OM与OP的夹
π
角为4，求△POM的面积．
练习题：
1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为
a
(0，4)，双曲线的上焦点为(0,2)
，依题
a
a＝
意那么
有4＝2解得8.
．解析：抛物线方程可化为x2＝－y，其准线方程为y＝1设Mx0，y0
)，那么由抛物线
2416.( 115
的定义，可知16－y0＝1?y0＝－16.
1 3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：2(|AF| |BF|)－14＝32－14＝54.
．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，
A1、B1分别为A、B在直线l上的4
11射影，那么|AA|＝|AF|，|BB|＝|BF|，于是M到l的距离d＝
2(|AA|＋|BB|)＝2(|AF| 1111 BF＝1AB＝半径，故相切．
＋
||)2||
y＝x－，
5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由
2
，消去y得x2 2
y＝x
8
－x＋＝设Ax1，y1
)，Bx2，y2，那么
|
|
FA－FB＝
|
(
x1
＋
2)
－
x2
＋
2)|＝
|
x1
－
1240.(()||||( x
2 |＝
(
x1＋
x2
)
2－x1x2＝－＝
2.
4144168
6．解析：如下图，直线l为抛物线y＝x2的准线，F为其焦
2
点，
PN⊥l，AN⊥l，由抛物线的定义知，PF＝PN，∴AP＋1
||||||
PF＝AP＋PN≥AN1
|，当且仅当A、P、N三点共线时取等
|||||||
号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为
1
，那么可排
除、、
D.
答案：
B
AC
．解析：设抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为
垂
78
足．如果直线AF的斜率为－
3，那么|PF＝
() |
A．43B．8
C．83D．16
8．解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在 x轴正，半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x
9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，那么圆心为(0,4)，半径r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.
．解析：设抛物线方程为x2＝aya≠，那么准线为y＝－a∵Q－，m在抛物线上，
10(0)4.(3)
am而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，∴m－－a
＝
9
∴9＝4)| 5.将m＝代入，
.|(a
得|9a22＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，∴所求抛物线的方程为x＝±2y，或x
a4
＝±18y.
y2＝4x
2
11．解析：
由，消去y，
得x－5x＋4＝
0(*)，方程(*)
的两根为A、B
uuur
两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以| FA|＋|
uuur x1
＋＋x2
＋＝
|＝(1)
1
)7 (
FB
．解析：因线段AB过焦点F，那
么AB＝AF＋BF又由抛物线的定义知AF＝x
1
12||||||.|| BF＝x＋，故AB＝x＋x＋＝
＋1，||21||1228.
x2y2
13．解析：双曲线方程化为9－16＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为2p2
y
＝－2px(p>0)，那么－2＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为
y＝－12x.
由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴
为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx
或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.
22
y1y2 14．解：设点M(4，y1)，P(4，y2)，P，M，A三点共线，
∴k AM＝kPM，
y1y1
－y2y11
即2＝22，即2＝，∴y1y2＝4.
y1y1y2y
1＋4y1＋y2
4＋14
－4
uuuur uuur y1
2y22
uuuu
r uuurπ
∴OM·OP＝4·4＋y1y2＝5.∵向量OM与OP的夹角为4，
uuuur uuurπ△P OM1
∴|OM|·|OP|·cos
4＝5.∴S＝|
2
uuu
ur
OM
uuur
π＝5.
|·|OP|·sin
42。