广西南宁市第三中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

广西南宁市第三中学2017-2018学年高二上学期期中考试
数学试题
1. 不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
∵
∴ 或
∴ 不等式的解集为，故选D.
2. “”是“直线和直线平行”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，直线即3x＋2y＋6＝0，直线，即
，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线与直线平行时，能得出或．综上所述，选A．
3. 已知命题；命题，则下列结论正确的是（）
A. 命题是假命题
B. 命题是真命题
C. 命题是真命题
D. 命题是真命题
【答案】C
【解析】命题中，的最大值为，所以为假命题；命题中，判别式小于，所以为真命题，所以命题是真命题，命题是假命题，命题是真命题，命题是假命题．故选C.
4. 在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】由三角形的性质及正弦定理知，
，又∵，∴，故选D.
5. 的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为成等比数列，所以有，且，由余弦定理推论得，故正确答案是C.
6. 设是等差数列的前n项和，已知，则等于（）
A. 13
B. 35
C. 49
D. 63
【答案】C
【解析】试题分析：依题意有，解得，所以. 考点：等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式
，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
7. 在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（）
A. 3
B. 9
C. 27
D. 81
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质可得，，故选C.
8. 下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
学##...
学##...学##...学##...
9. 已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为，则，
∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，故所求的轨迹方程为.故选C.
10. 已知数列满足，则的通项公式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，∴
，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.
11. 在△ABC中，若，则△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】试题分析：
,
，，
．是等腰三角形．故A正确．
考点：1正余弦定理；2两角和差公式．
12. 若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，即，且，
在同一坐标系中，画出和的图象，
当函数的图象的左支经过点时，
求得，当函数的图象的右支和
的图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故
，解得，所以实数的取值范围是，故选B．
点睛：本题涉及分段函数，二次函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.
13. 若满足约束条件则的最小值为_____________．【答案】
【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．
【考点】简单的线性规划问题
14. 已知函数，若对任意的都有，则实数a的取值范围是
__________________．
【答案】
【解析】根据题意得，即，解得.故填.
15. 在中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值
是__________．
【答案】
【解析】由，得因为在三角形中，所以即，=，，所以。

填1.
16. 已知M是内的一点，且，若和的面积分
别为，则的最小值是_________.
【答案】18
【解析】解：由题意知三角形的面积为1，x＞0，y＞0，且x+y=，∴2x+2y=1，
=（）（2x+2y）=10+,又x＞0，y＞0, 10+,当x=取等号，故填写18.
17. 已知命题p：对任意实数x都有恒成立；命题q：关于x的方程有
实数根，如果命题p与命题q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】试题分析：首先求得命题p,q为真命题时的a的取值范围，由与中有且仅有一个为真命题，分情况讨论两命题的真假得到a的取值范围
试题解析：对任意实数都有恒成立
；………………………………………………3分
关于的方程有实数根；……………5分
如果正确，且不正确，有；……………8分
如果正确，且不正确，有．…………11分
所以实数的取值范围为……………………………………12分
考点：三个二次关系及复合命题真假的判定
18. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据条件使用余弦定理，即可求出；（2）先有正弦定理，得，再有余弦定
理即可求出.
试题解析：（1）由余弦定理得：，∵∴.
（2）由，得，∵，由余弦定理得
解得，∴.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
19. 某中学初一年级500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中
随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样
本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】．
【解析】试题分析：（1）用频率代替概率，即从分布直方图中找分数少于70的人数的频率；（2）利用条件求出样本中男女生人数，用样本中男女比例估计总体男女比例.
试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，
样本中分数不小于70的频率为，
所以样本中分数小于70的频率为.
所以从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4；
（2）样本中分数不小于70的学生人数为；
∵样本中分数不小于70的男生人数为，∴样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为；
∴根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.
20. 已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）.（2）
【解析】试题分析：（1）根据前n项和与通项的关系，即可求出；（2）根据数列的通项公式特点，采用裂项相消法求和.
试题解析：
（1）当时，；
当时，，也符合，
∴数列的通项公式为.
（2），
∴
点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.
21. 如图，和所在平面互相垂直，且，
分别为AC、DC、AD的中点
（1）求证：平面BCG；
（2）求三棱锥D-BCG的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（）根据等腰三角形三线合一的性质，利用中点得垂直，再根据中位线的性质即可证出；（2）作出，交的延长线于O，可证明平面，又G为AD的中点，故可求出
三棱锥的高，底面积根据面积公式求出即可.
试题解析：（1）由已知得，是的中位线，故，
则可转化为证明平面BCG．易证，
则有，则在等腰三角形和等腰三角形中，是中点，
故，．从而平面BCG，进而平面BCG；
（2）在平面内，作，交的延长线于O，由平面平面，
知平面.又∵ G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离
是AO长度的一半；在中，；
∴
点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.
22. 已知等差数列的前n项和，且，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，，试问是否存在最大值，若存在，求出
最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在最大值为.
【解析】试题分析：（1）根据条件解方程即可求出等差数列的通项公式，再由条件构造等比数列
求出；（2）采用错位相乘法求出，代入)，利用作差法判断其增减性，即可求出其最值.
试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，
则
由题意得，∴数列是等比数列，且首项和公比都是，.
（2）由（1）得，，
两式相减得：，；
；
当时，；当时，；
∴存在最大值为.
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
11。