(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测(答案解析)(4)

一、选择题
1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）
A ．54°
B ．36°
C ．28°
D ．72°
2．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为
（ ）
A ．(21):1+
B ．(221):1-
C ．2∶1
D ．5∶2
3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE
的值为（ ）
A ．512
B ．725
C ．718
D ．524
4．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（ ）
A．10 B．5 C．10
3
D．
5
3
5．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE BC
⊥，PQ AB
⊥，垂足分别是E，Q，则PE PQ
+的值是（）
A．32B．3 C．32
2
D．
3
2
7．如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A B C D A
----方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为,x PCD
∆的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（）
A．12 B．24 C．20 D．48
8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
9．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）
A ．6
B ．7
C ．3
D ．5
11．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（ ）
A ．6cm
B ．12cm
C ．24cm
D ．48cm
12．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（ ）
A ．24︒
B ．32︒
C ．30
D ．26︒
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，如果EF ＝5，那么菱形ABCD 的周长_____．
14．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，P 是AC 上的一个动点，过点P 分别作AB 和BC 的垂线，垂足分别是点F 和E ，若菱形的周长是12cm ，面积是6cm 2，则PE +PF 的值是_____cm ．
15．如图，长方形台球桌面ABCD 上有两个球P 、Q ．//PQ AB ，球P 连续撞击台球桌边AB ，BC 反射后，撞到球Q ．已知点M 、N 是球在AB ，BC 边的撞击点，4PQ =，30MPQ ∠=︒，且点P 到AB 边的距离为3，则MP 的长为__________，四边形PMNQ 的周长为________
16．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，点E 在BC 上，连接AE ，2，EC=7，∠C=2∠DAE ，则BD=__．
17．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 18．如图所示，在正方形ABCD 中，E 是AC 上的一点，且AB ＝AE ，则∠BEC 的度数是_____度．
19．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 都是ABC 的中线，点M 是CE 的中点，若1CM =，则CD =______．
20．菱形ABCD 周长为52cm ，它的一条对角线长为10cm ，则另一条对角线长为__________cm ．
三、解答题
21．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．
（1）求证：AEF ≌DEB ；
（2）证明四边形ADCF 是菱形．
22．已知点(0,4)A 、(4,0)B -分别为面直角坐标中y 、x 轴上一点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，连接AC 、BC ．
（1）如图1，若60AOC ∠=︒，求ACB ∠的度数；
（2）若60AOC ∠=︒，AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，如图2，求证：
OD BD CD +=；
（3）若30AOC ∠=︒，过A 作AE AC ⊥交BC 于E ，如图3，求BE 的长． 23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，//DE BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接,BE DF ．若BE DE =，求证：四边形EBFD 是菱形．
24．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数323y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A 和点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ；过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．
（1）线段AC 的长为______，ACO ∠=______度．
（2）将图2中的ABC 折叠，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图②，求线段AD 的长；
（3）点M 是直线AC 上一个动点（不与点A 、点C 重合）．过点M 的另一条直线MN 与y 轴相交于点N ．是否存在点M ，使AOC △与MCN △全等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．综合与探究
如图是一个正方形纸片ABCO ，如果将正方形纸片ABCO 绕点C 逆时针旋转角度
α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF ，ED 交AB 于点G ，ED 的延长线交0A 于点H ，连接CH 、CG ．
（1）求证：CG 平分∠DCB ；
（2）直接写出线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；
（3）连接BD ，AD ，AE ，BE ，试探究在旋转过程中，四边形AEBD 能否成为矩形？请说明理由．
26．综合与实践
问题情境：
如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形
BC=．
OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC
=，30
∠=︒，2
E
（1）OC的长度为________；
操作证明：
∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF
相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；
探究发现：
∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEF
=．
EM EB
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=72°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∠DAC=36°．
∴∠EAF=1
2
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-36°=54°，
∴∠α=54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 2．A
解析：A
【分析】
由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．
【详解】 解：正方形ABCD ，
AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，
22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，
CF DG ⊥，
67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，
67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，
OCE ODG ∴∠=，
又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，
()DOG COE ASA ∴∆≅∆，
OG OE ∴=，
设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，
2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12
BCE S BE OC ∆=，OD OC =，
::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．
3．C
解析：C
【分析】
利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴CO ＝12AC ＝3，BO ＝12
BD ＝4，AO ⊥BO ，
∴BC
5，
∵S 菱形ABCD ＝12
AC•BD ＝BC×AE ， ∴AE ＝16825
⨯⨯＝245． 在Rt △ABE 中，BE
75 ， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝5﹣75＝185
， ∴7
75==18185
BE CE 的值为718
， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．
4．B
解析：B
【分析】
作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12
DCG EDC S S =△△，最后根据12
EDC S CD EF =△求解即可． 【详解】
∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，
∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，
∴AE=BE=DE ，
∵CD =AE ，CD =5，
∴AB=2AE =10，
在Rt △ABD
中，由勾股定理可得：AD =
∴AD =8，
作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线， ∴142
EF AD ==， 又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ，
∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =
△△， ∵11541022EDC S CD EF =
=⨯⨯=△， ∴11052
DCG S =
⨯=△， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；
【详解】
如图，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，连接点E 、F 、G 、H ，
∵点E 、F 、G 、H ， 分别为各边的中点，
∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON 是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH 是矩形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∠BCD=45°
∴∠ABC=90°，∠ACB=1
2
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴四边形PQBE是矩形，
∴PQ=BE
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠PCE=45°，
又∠PEC=90°
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=CE
∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．
7．B
解析：B
【分析】
根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【详解】
由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，
当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD 的面积为：AB•BC=6×4=24．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．
【详解】
解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，
∵AE BC ⊥，
∴90AEC AEB ∠=∠=︒，
∵AF CD ⊥，
∴90AFC ∠=︒，
∵90C ∠=︒，
∴四边形AECF 是矩形，
∴90EAF ∠=︒，
∵BAD EAF ∠=∠，
∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，
在ABE △和ADF 中，
BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABE ADF AAS ≅，
∴AE AF =，
∴四边形AECF 是正方形，
∵ABE ADF S S ，
∴216ABCD AECF S S AE ===．
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
9．C
解析：C
【分析】
由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明
90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBE CEF S S =可得：13CBE ABCD S S =，可得：
2,3
BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④．
【详解】
解：①∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，
AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴EF=CF ，故②正确；
③∵EF=FM ，
EFC CFM S S ∴=，
若,CBE CEF S
S = 则13CBE ABCD S S = 11,23
BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴=
2,3
BE AB ∴= 与已知条件不符， 故CBE CEF
S S =不一定成立，故③错误； ④设∠FEC=x ，
,EF CF =
∴∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-，
∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，
∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-
∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
∵AB⊥AF，
∴∠FAB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=1
2
BC=4，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，
∵∠AEB=2∠B，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴AE=AD=4，
∵
，EF⊥AF，
∴==3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=1
2AC，OD=OB=
1
2
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=24，
∴AC=BD=12cm，
∴OA=OB=6cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．
12．D
解析：D
【分析】
由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．
【详解】
解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=122°，
∴∠BEF=∠DEF=58°，
∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．
故选D．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
二、填空题
13．40【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解【详解】解：∵EF分别是ACBC的中点∴EF是△ABC的中位线∴AB＝2EF＝
解析：40
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【详解】
解：∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝2×5＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
14．2【分析】连接BP根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可【详
解】解：连接BP ∵四边形ABCD 是菱形
解析：2
【分析】
连接BP ，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝12ABCD S 菱形，S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12
BC•PE 把相应的值代入即可． 【详解】
解：连接BP ，
∵ 四边形ABCD 是菱形，且周长是12cm ，面积是6cm 2
∴AB ＝BC ＝
14
×12＝3（cm ）， ∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴ S △ABC ＝S △ABP ＋S △BPC ＝
12ABCD S 菱形＝3（cm 2）， ∴S △ABP ＋S △BPC ＝
12AB•PE ＋12BC•PE ＝3（cm 2）， ∴12×3×PE ＋12
×3×PF ＝3， ∴PE ＋PF ＝3×
23
＝2（cm ）， 故答案为：2．
【点睛】 此题考查菱形的性质，S △ABP ＋S △BPC ＝S △ABC ＝
12ABCD
S 菱形是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 15．16【分析】作PE ⊥AB 于E 则PE=3延长PQMN 交于点Q 证出Q 与Q 关于BC 对称MP=2PE=6由轴对称的性质得出NQ=NQ 证出∠Q=30°=∠MPQ 得出MQ=MP=6即可得出答案【详解】解：作PE
解析：16
【分析】
作PE ⊥AB 于E ，则PE=3，延长PQ 、MN 交于点Q ，证出Q 与Q'关于BC 对称，MP=2PE=6，由轴对称的性质得出NQ'=NQ ，证出∠Q'=30°=∠MPQ ，得出MQ'=MP=6，即可
得出答案．
【详解】
解：作PE⊥AB于E，则PE=3，延长PQ、MN交于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB⊥BC，
∵PQ//AB，
∴PQ⊥BC，∠EMP=∠MPQ=30°，∠Q'=∠BMN，
∴Q与Q'关于BC对称，MP=2PE=6，
∴NQ'=NQ，
由题意得：∠BMN=∠EMP=30°，
∴∠Q'=30°=∠MPQ，
∴MQ'=MP=6，
∴四边形PMNQ的周长=MP+PQ+NQ+MN=MP+PQ+NQ'+MN=MP+PQ+MQ'=6+4+6=16；
故答案为：6，16．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
16．13【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出ABBE的长再利用勾股定理得出BD的长【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠C=90°AD∥BC∵∠C=2∠DAE∴∠DAE=45
解析：13
【分析】
直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC，
∵∠C=2∠DAE，
∴∠DAE=45°，
∴AB=BE，
∵2，
∴AB=BE=5，
∵EC=7，
∴AD=BC=12，
∴．
故填：13．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB ，BE 的长是解题关键．
17．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设 解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）
【分析】
命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．
【详解】
解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，
逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，
故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
18．5【分析】根据正方形的性质AC 平分∠BAD 可得∠BAE ＝45°再根据AB ＝AE 由等腰三角形的性质即可求出∠BEC 的度数【详解】解：在正方形ABCD 中AC 平分∠BAD ∴∠BAE ＝45°而AB ＝AE ∴∠
解析：5．
【分析】
根据正方形的性质，AC 平分∠BAD ，可得∠BAE ＝45°，再根据AB ＝AE ，由等腰三角形的性质即可求出∠BEC 的度数．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝45°,
而AB ＝AE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ＝
180452
︒-︒＝67.5°， 又∵∠AEB +∠BEC ＝180°，
∴∠BEC ＝180°﹣67.5°＝112.5°，
故答案为112.5．
【点睛】 本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质．熟记正方形的对角线平分线一组对角，并且
将这组对角分成四个45°的角是解决此题的关键．
19．1【分析】证明△BCE 是等边三角形求出BE=CE=BC=2由D 是BC 的中点可得结论【详解】解：在中∵是的中线∴∵∴是等边三角形∴∵点是的中点且∴∵是边上的中线∴故答案为：1【点睛】此题主要考查了等边
解析：1
【分析】
证明△BCE 是等边三角形，求出BE =CE =BC =2，由D 是BC 的中点可得结论．
【详解】
解：在ABC 中，90C ∠=︒，
∵CE 是ABC 的中线， ∴12
==
CE BE AB ∵60B ∠=︒， ∴BCE ∆是等边三角形
∴BC CE =
∵点M 是CE 的中点，且1CM =，
∴22CE CM BC ===
∵AD 是BC 边上的中线， ∴112122
CD BC =
=⨯= 故答案为：1．
【点睛】 此题主要考查了等边三角形的判定和三角形中线的性质，证明BCE ∆是等边三角形是解答此题的关键．
20．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD 中BD=10∴AC ⊥BD ∵菱形的周长为
52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这
解析：24
【分析】
根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．
【详解】
如图，菱形ABCD 中，BD=10，
∴AC ⊥BD ，
∵菱形的周长为52，BD=10，
∴AB=52÷4=13，BO=5，
∴
AO=2
213512
∴AC=24．
则这个菱形的另一条对角线长为24cm ．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO 的值是解题的关键． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用平行线的性质，补充一组对应角相等即可；
（2）利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
（1）∵//BC AF ，
∴AFE DBE ∠=∠，
∵E 是AD 中点，AD 是BC 边上的中线，
∴AE DE =，BD CD =，
在AFE △和DBE 中，
AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AFE △≌DBE （AAS ）．
（2）由（1）知AFE △≌DEB ，
则AF DB =，
∵DB DC =，
∴AF CD =，
∵//BC AF ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 中点， ∴12
AD DC BC ==
， ∴四边形ADCF 是菱形．
【点睛】 本题考查了三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握判定三角形全等原理和菱形的判定定理是解题的关键．
22．（1）45︒；（2）见解析；（3）4．
【分析】
（1）将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，OA=OC=4，可证△AOC 为等边三角形，由OB=OC=4，可求∠OBC=∠BCO=15°，可求∠ACB=∠ACO-∠BCO=45°即可； （2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，由AOB ∠的平分线OD ，可得
∠BOD=∠DOA=45°，可求∠DOH=60°，OB=OC=4，利用等边对等角∠DBO=∠HCO ，又∠BOD=∠HOC=45°，可证△BOD ≌△COH(ASA)，由性质OD=OH ，BD CH =，可证△DOH 等边三角形即可退出结论 ；
（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB 由OC EF =；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，可得正方形AFBO ，由30AFE AOC OBE ∠=∠=∠=︒，可求60EFB EBF ∠=∠=︒可证EFB △是等边三角形即可．
【详解】
（1）∵将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，(0,4)A ，
∴OA=OC=4，
∴△AOC 为等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵(4,0)B -，
∴OB=OC=4，
∴∠OBC=∠BCO=12
（180°-90°-60°）=15°， ∴∠ACB=∠ACO-∠BCO=60°-15°=45°，
∴∠ACB =45︒；
（2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，
∵AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，
∴∠BOD=∠DOA=45°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠DOH=150°-∠BOD -∠COD=90°-45°-45°=60°，
∵OB=OC=4，
∴∠DBO=∠HCO ，
∠BOD=∠HOC=45°，
∴△BOD ≌△COH(ASA)，
∴OD=OH ，BD CH =， ∴DOH 是等边三角形，
OD DH ∴=，
OD BD CD ∴+=；
（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB ，
OC EF ∴=；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，
∴正方形AFBO ，
30AFE AOC OBE ∴∠=∠=∠=︒，
60EFB EBF ∴∠=∠=︒，
EFB ∴△是等边三角形，
∴4BE BF OB ===．
【点睛】
本题考查旋转，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形全等，正方形判定与性质，掌握旋转的性质，会利用旋转和夹角60°证等边三角形，等边三角形的判定方法与性质，等腰三角形的判定方法与性质，角平分线的性质，三角形全等判断方法与性质，正方形判定与性质是解题关键．
23．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质，可以得到AD=CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE=∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED=∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到DE=BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE=DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB ，AD ∥CB ，
∴∠DAE=∠BCF ，
∵DE ∥BF ，
∴∠DEF=∠BFE ，
∴∠AED=∠CFB ，
在△ADE 和△CBF 中，
DAE BCF AED CFB AD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△CBF （AAS ），
∴DE=BF ，
又∵DE ∥BF ，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵BE=DE ，
∴四边形EBFD 为菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．（1）4；30．（2）AD =3
；（3）M 点的坐标为（-2，
−
【分析】
（1）先确定出OA =2，OC AC =4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD -AD ，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M 的坐标．
【详解】
解：（1）∵一次函数y =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，
∴令0x =，则y =0y =，则2x =，
∴A （2，0），C （0，
∴OA =2，OC
∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC =90°，
∴四边形OABC 是矩形，
∴AB =OC =8，BC =OA =4，
在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，4AC ==
=， ∴∠ACO =30°．
故答案为：4；30．
（2）由（1）知，BC =2，AB
由折叠知，CD =AD ，
在Rt △BCD 中，BD =AB -AD AD ，
根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2，
即：AD 2=4+（AD ）2，
∴AD （3）①如图1，MN ⊥y 轴，若△AOC ≌△MNC ，则CN =CO ，
∴M 点的纵坐标为43，代入y =-3x +23得，x =-2，
∴M (−2，43)．
②如图2，MN ⊥AC ，MP ⊥y 轴，
∵2323MCN AOC S S ∆∆⨯==
= ∴CN =AC =4， ∴2323PM ⨯== ∴M 33y 3x 3得，y 3或y 3 ∴M 3−333）．
综合以上可得M 点的坐标为（-2，33−333
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
25．（1）见解析；（2）HG=OH+BG ；（3）能，理由见解析
【分析】
（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD=CB ，∠CDG=∠CBG=90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG=∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；
（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG=DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH=HD ，再根据线段间的关系即可得出HG=HD+DG=OH+BG ；
（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．
【详解】
证明：（1）正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ．
,90CD CB CDG CBG ︒∴=∠=∠=，
在直角三角形CDGC 和直角三角形CBG 中．
CD CB CG CG =⎧⎨=⎩
， CDG CBG ∴≅，
DCG BCG ∴∠=∠，
即CG 平分∠DCB ．
（2）HG=OH+BG ．
由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，
∴BG=DG ，
在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，
CH CH CO CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），
∴OH=HD ，
∴HG=HD+DG=OH+BG ；
（3）如图，当点G 为AB 中点时，四边形AEBD 为距形，
因为点G 为AB 中点，
所以BG=GA=12
AB ， ∵CDG CBG ∆≅∆， ∴1122
DG BG AB DE ==
=， 所以BG=GA=DG=GE ， 所以四边形AEBD 是平行四边形，
因为AB=DE ，
所以四边形AEBD 是矩形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG=DG 、OH=HD ；（3）掌握矩形的判定方法．
26．（1）2；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析
【分析】
（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；
（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；
（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，
2BF OF ==，再根据45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，EBM EMB ∠=∠，即可得证．
【详解】
解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，
∴OC=OB ，OC ⊥OB ，
∵BC=2，
∴OC 2=BC 2-OB 2，
2OC 2=BC 2，
2OC 2=4，
即OC=2；
（2）OM ON =；
证明：如图，连接OB ，OC ，
∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，
∴OB OC =，45OBM OCN ∠=∠=︒，
∵90BOF MOB BOF NOC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴MOB NOC ∠=∠，
在BOM ∆和CON ∆中OBM OCN OB OC MOB NOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()BOM CON ASA ∆∆≌，
∴OM ON =；
（3）连接OB ，OC ，
∵OF OC =，OB OC =，
∴OB OF =，
∵在Rt OEF ∆中，30E ∠=︒，
∴60F ∠=︒，
∴OBF ∆为等边三角形，
∴60OBF F ∠=∠=︒，2BF OF ==
又∵45OBC ∠=︒，
∴45OBM ∠=︒，
∵180180456075EBM OBM OBF ∠=-∠-∠=--︒︒=︒︒︒，
∴180180753075EMB EBM E ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒，
∴EBM EMB ∠=∠，
∴EM EB =．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题关键．。