第二章 运筹学

多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？ model: max=300*x1+500*x2; x1<=4; 2*x2<=13; 3*x1+2*x2<=17; end
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
目标函数中价值系数 cj 的变化分析
先考虑只有一个系数 cj 改变：门的单位利润由原来的 300 元提升到 500 元，最优解如何变化呢？
改变参数
最优解未变
总利润增加
(500 – 300) ×2 = 400
最优解变了
再改变参数
那么，保持最优解不变的价值系数允许变化范围？
看图解法
max Z 300 x1 500 x 2 x1 4 2 x 12 2 s .t . 3 x1 2 x 2 18 x1 , x 2 0
2 x2 6
可行域 （利润） z 300 4 500 3 2700
LINGO
Options General Solver
Dual Computations 下拉菜单中选择： Prices & Range
（计算对偶值和灵敏度）
激活灵敏度计算
OK
Lingo 的对偶价格
在 LINGO 的求解报告中，除了前面提到的迭代次数， 最优解和目标函数值外，还有松弛系数（Slack or surplus）、 递减费用（Reduced Cost）和对偶价格（Dual Price）三栏。
Lingo 的灵敏度分析
输出 报告 LINGO Range
目标函数中 x1 变量原来的费用系数为300，允许增加 （Allowable Increase）=450、允许减少（Allowable Decrease） =300，说明当它在 [0, 750] 范围变化时，最优基保持不变， 可以类似解释 x2变量。由于此时约束没有变化（只是目标函 数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思 也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了 变化，所以最优值会变化）。 第 2 行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS） 原来为 4，当它在 [2，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、 4 行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即 使不变，最优解、最优值也会发生变化。
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.3333333 Dual Price 1.000000 0.1000000 20.00000
Lingo 程序和计算结果
Row Slack or Surplus 1 5000.000 2 0.000000 3 0.000000
求解结果：每天生产稿纸1000捆，日记本2000打，练习本0箱 最大利润 5000元 灵敏度报告：第二个约束的影子价格为 20 元，大于临时工每 天费用 15 元，所以每招一名临时工，工厂多盈利 5 元，允许 增量 200 人
Objective value:
2 5000.000
model: max=x1+2*x2+3*x3; (x1+4*x2+8*x3)*10/3<=30000; (x1+x2+x3)/30<=100; end
Variable X1 X2 X3
Value 1000.000 2000.000 0.000000
“Reduced Cost” （递减成本）表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。即当变量 xj 增加一个单位时，目标函 数减少的量（max型问题）。 它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进 多少，才能得到该决策变量的正数解。在最大化问题中， “改进”指增加，最小化问题中指减少。 “Slack or Surplus”（松弛系数）表示对应约束行在最优解下还 剩下多少资源。（第一行是目标函数行）
（1）怎样安排生产，才能使利润最大？ （2）若增加1公斤原材料甲，总利润增加多少？ （3）设原材料乙的市场价格为1.2元/公斤，若要转卖原材料乙， 工厂应至少叫价多少？为什么？ （4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变？ （5）由于市场变化，产品B、C的单位利润变为2、4元，这时应 如何调整生产计划？
“DUAL PRICE”（对偶价格，即影子价格）输出结果中对应 于每一个约束有一个对偶价格。 表示对应约束中不等式右端 项若增加 1 个单位，目标值将增加的数量（max型问题）。 如：车间2：12→13，总利润变化量 = 影子价格 = 150 元； 车间3：18→17，总利润变化量 = - 影子价格 = - 100 元
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 3300.000 Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 0.000000 X2 6.000000 0.000000
百分之百法则
如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量的百分 比，然后将各系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过 100%，则最优解不会改变；反之，则不能确定。 前面的例子。
13 12 100% 16.67% b2: 12→13 占允许增加量的百分比 = 6 18 17 100% 16.67% b3: 18→17 占允许增加量的百分比 = 6 总和 = 33.33% < 100%，故影子价格 没有改变。
若 b2: 12→15 ， b3: 18→15 ，总和 = 100% < 100%，仍未变。
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Current Allowable Variable Coefficient Increase X1 1.000000 0.2500000 X2 2.000000 2.000000 X3 3.000000 0.3333333 Ranges Allowable Decrease 0.5000000 0.1428571 INFINITY
第二章 线性规划灵敏度分析
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灵敏度分析的概念和内容 资源数量变化的分析 目标函数中价值系数变化的分析 影子价格的经济意义和应用
灵敏度分析的概念
线性规划问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估 计值或预测值。 市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
在影子价格有效的范围里，总利润的变 化量可以直接用影子价格来计算。
影子价格
资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条件下 市场价格 < 影子价格， 买进该资源 市场价格 > 影子价格， 卖出该资Baidu Nhomakorabea 影子价格随之改变，逐渐趋向市场价格。
影子价格 = 0，该资源未充分利用 影子价格 ≠ 0，该资源已消耗殆尽。 产品的隐含成本 = ∑单位资源消耗量×影子价格
产品产值 > 隐含成本， 生产该产品有利 产品产值 < 隐含成本，生产该产品不利，应该转产
影子价格的应用。
某文教用品厂利用白坯纸生产稿纸、日记本和练习本。 该厂有工人100人，每天白坯纸的供应量为30000千克。每个 工人每天可单独生产稿纸30捆或日记本30打或练习本30箱。 三种产品消耗白坯纸：每捆稿纸需10/3千克，每打日记本需 40/3千克，每箱练习本需80/3千克。分别盈利为1元、2元和3 元。试讨论在现有条件下，使该厂盈利最大的方案？ 如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时，可从市场上招收 临时工，临时工费用为每人每天15元，该厂是否招临时工及 招多少人为宜？ 解：设决策变量为该厂每天生产量：
稿纸 x1 捆，日记本 x2 打，练习本 x3 箱。
数学模型为
max z x1 2 x2 3 x3
总利润最大
40 80 10 每天白坯纸 x x x 30000 3 1 3 2 3 3 供应约束 工人数 s .t . x1 x2 x3 3000 x 0 ( i 1,2,3) 非负 1 Global optimal solution found at iteration:
修改了参数 最优解也变了
右端值变化，也改变了可行域。在一定范围内，车间的 约束右端值增加 1，交点（最优点）上移，利润增长。 最优解(2,6)
3 b2 9
最优解不变
2 x2 18 z 300 0 500 9 4500（利润） 2 x2 12
（利润） z 300 2 500 6 3600
多个费用系数同时变动分析
例如，门的单位利润涨到 450元，窗的利润降到 400元，是 否会导致最优解发生变化呢？ model: max=450*x1+400*x2; x1<=4; 2*x2<=12; 3*x1+2*x2<=18; end
最优解没有发生变化，总利润 由于产品单位利润的变化相应改变
(450 - 300)×2 + (400 – 500) ×6 = -300
Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 3650.000 Variable Value Reduced Cost X1 1.333333 0.000000 X2 6.500000 0.000000
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。 前面的例子。
450 300 100% 33.33% c1: 300→450 占允许增加量的百分比 = 450 500 400 100% 33.33% c2: 500→400 占允许增加量的百分比 = 300 总和 = 66.67% < 100%，故最优解 (2, 6) 没有改变。
如果 c1: 300→525 ， c2: 500→350 ，总和 = 100% < 100%。 c1: 300→150 ， c2: 500→250 ，总和 > 100% ，最优解也未变。
最优解(2,6)
0 c1 750
最优解不变
c1 0 ( Z 0 x1 500x2 )
此时有无穷组解
c1 300 ( Z 300x1 500x2 )
可行域
c1 750 ( Z 750x1 500x2 )
此时有无穷组解
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2车间可用工时由原来的12小 时增加到13小时，最优解如何变化呢？ 总利润增加了 3750 – 3600 = 150(元)
3x1 + 2x2 ≤18 x1, x2 ≥0
已经求得最优解：x*1 = 2, x*2 = 6。此时总利润最大，最优 目标值为：z* = 3600（元）
灵敏度分析的内容
现在要考虑发生下面的变化时，最优解是否会 改变？对总利润又会产生怎样的影响？
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 如果门的单位利润由原来的300元提升到500元 如果门和窗的单位利润都发生变化 如果车间 2 的可用工时增加 1 个小时 如果同时改变多个车间的可用工时 如果车间 2 更新生产工艺，缩短制造时间 工厂考虑增加一种新产品 如果又要求增加用电限制
提出问题:
•当线性规划问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得 的最优解会有什么变化； •这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解不 会变化。
灵敏度分析的内容
再看线性规划模型： Max Z = 300x1+ 500x2 x1 ≤4 （车间1） （车间2） （车间3） （非负）
s.t.
2 x2 ≤12
Row 2 3
Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 30000.00 10000.00 20000.00 100.0000 200.0000 25.00000
练习二 1. 某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品 A，B，C。问：