第4章 饱和土与非饱和土的渗流-

图 4.2.1 非饱和介质稳态渗流的渗透系数实验曲线
由于 u f 代表孔隙流体压力，当介质完全饱和时 u f > 0 ；负 u f 值代表介质中的毛细吸 力。众所周知当 u f < 0 时，对于给定的毛细压力 − u f ，存在着确定界限内的饱和度。可以
采用*SORPTION（Material→create→other→pore fluid→sorption）选项定义这种界 限。实验表明，吸湿过程和排水过程的水分特征曲线是不同的，在同样的水头或压力下，排 水时的含水率要大于吸湿时的含水率，这种现象称为滞后现象，典型的曲线形式如下：
造成非饱和流分析较为困难的原因之一。
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如果令 β ＝0，即得到 Darcy 定律。可以看出，随着流速趋向于零的时候，Forchheimer
定律逼近于 Darcy 定律。对于三维情况，统一写成：
K = ksk
(4-15)
其中 ks (s) 为饱和度相关性系数，ks (1) = 1.0 时的 K 即为饱和渗透系数，对于各向同性 材料而言 K 为标量，但仍需写成二阶张量形式，即 K = KI 。
(4-11)
snv f 项为线性项，可视为是一维情况下 av 项的推广。
snv f (1 + β v f ⋅ v f ) 为二次项，可视为是一维情况下 bv2 项的推广。
H 为测压水头
H
=
P γ
+
z
=
uf gρ f
+z
∂H = ∂x
1 gρ f
( ∂u f ∂x
− ρ f g)
(4-12)
β 为速度系数。
流实验中得出的水力梯度与渗流速度之间的线性关系，即 Darcy 定律：
v = −KgradH = KJ
(4-7)
仅适用于单相不可压缩流体的一维流动，其中 H 为测压水头。把 Darcy 定律从一维推 广到三维是一种形式上的推广，并非完全符合逻辑上的自洽性，但这种形式上的推广得到某 些理论和实验的支持。从一维推广到三维的关键是对渗透系数 K 的理解，在一维实验中，K 是一个标量，但要推广到三维，各方向上的渗透系数可以不一样，即渗透速度 v 和水力梯 度 gradH 都可以是矢量，所以渗透系数必须是一个二阶张量。
度（假定为常量并沿着固定的方向）。
采用位移有限元法，用拉格朗日公式将虚功方程离散化得到固相材料有限元网格，同时 流体可以流经这些网格。因此，还需要流体满足连续性方程，使得在某时间增量内流入的流 体流量等于流体体积的增加速率。
3
∫ ∫ d ⎜⎛ ρ f
dt
⎜⎝ V
ρ
0 f
sn
dV
⎟⎞ ⎟⎠
=
−
S
ρf
∫ (σ′ − χ u f I) : δε dV = ∫ t ⋅ δvdS + ∫ f ⋅ δvdV + ∫ snρ f g ⋅ δvdV
V
S
V
V
(4-5)
def
式中 δε = sym(∂δv / ∂x) 为虚变形速率， σ′ 为柯西有效应力， δv 为虚速度场， t 为单
位面积的表面力，f 为单位体积的体积力（不含流体重量），ρ f 为流体密度， g 为重力加速
所以可写成。
对时间求导得
∫ ∫ ρ f (dV f + dVt ) = ρ f (n f + nt )dV
V
V
(4-16)
7
∫ ∫ [ ] d
dt
⎡ ⎢ ρf ⎣V
(n f
⎤ + nt )dV ⎥
⎦
= 1d V J dt
Jρ f
(n f
+ nt ) dV
引入 J 是考虑固体骨架可变形。
(4-17)
由于Vt 吸附在固体上，所以单位时间内从某个面 S 进入V 的流体体积与Vt 无关，只与
V f 有关，它为：
∫− ρ f n f n ⋅ v f dS V
其中 n 为 S 面的外法线矢量， v f 为从 S 面流入的平均流速
σ ij = σ i′j + χu f δ ij
(4-3)
通常 χ = χ(s)能够通过实验获得，典型的实验数据如下图：
2
图 4.1.2 χ 实验数据拟合曲线 因为这些实验数据很难测量，所以 ABAQUS 假定 χ = s。
有效应力原理是一种假设，它认为多孔介质的力学响应由流体与固体颗粒之间简单的体
s e (u f ) 为排水作用即将发生的界限（ s& < 0 ）。ABAQUS 假定吸湿－排水关系各自独立存在并
是可逆的，在吸湿过程中可将界限写为
u
a f
(s)
，在排水过程中界限也可写为
u
e f
(s)
。并且
ABAQUS 假定在介质中总是有流体存在，即 s > 0 。
吸湿过程与排水过程之间的过渡，沿着扫描曲线变换，反之亦然。扫描曲线可由对应各
既符合实验数据所体现的关系，又可以与纳维－斯托克斯方程相协调，是至今为止较被
认可的非线性规律。Forchheimer 定律作为一个非线性的关系，从一维推广到三维是借助
了与达西定律类似的理由，其形式为：
snv f (1 + β
vf
⋅vf
)
=
−K ∂H ∂x
=
−KgradH
其中 snv f 是通过某一方向的单位面积的渗流速度，是标量。
流速，是线性关系，而 Forchheimer 定律是非线性定律，它具有更广泛的适用范围，Darcy
定律可以认为是 Forchheimer 定律的线性化特例。
为此有必要阐述 Darcy 定律和 Forchheimer 定律的关系，Darcy 定律是法国科学家
Darcy 在 1856 年为了解决法国 Dijon 城的给水问题时，用直立的均质砂柱进行的一维渗
非饱和渗流计算中也可以考虑其它的两种效应，即“凝胶”膨胀与吸湿膨胀，但这两种效 应通常用来模拟聚合物物体（例如纸巾）吸收水分的过程，而不是模拟土工材料吸收水分的 过程，因此在本章中暂不讨论。
4.1 非饱和土的有效应力
由于 ABAQUS 中的渗流场计算总是与应力计算耦合的，所以必须定义非饱和土有效应 力。在第二章中已介绍了基于 Biot 固结理论的饱和土的有效应力，但是，Biot 理论由于描 述的是在饱和线弹性（或粘弹性）多孔介质中的流动，应用于非饱和土则存在很大局限。因 为非饱和土中所涉及到的流体一般包括液体和气体，而且，土中固体骨架的变形也不一定是 弹性的，而是非线性的。
在 Darcy 定律时
k=υK g
(4-13)
在 Forchhermer 定律时
k=υ
1
K
g (1 + β v f ⋅ v f )
(4-14)
其中υ 为动力粘滞系数。
对于饱和土，渗透系数 K 和渗透率 k 可以视为常量，但对于非饱和土，由于液体与气
体并存，饱和度的大小，直接影响渗透的阻力，所以此时 K 或 k 是饱和度 s 的函数，这是
(4-2)
第二章中曾定义饱和土的有效应力为σ ij = σ i′j + pδ ij
这个定义只适合饱和土，非饱和土的有效应力应进行修正。考虑到多相材料中存在液体
压力与气压，所以液体压力 p 改为 u f 。
作用于一点的总应力σ ，假定是由流体的平均压应力 u f 乘以一个系数 χ ，与材料骨架
所承担的“有效应力” σ ′ 共同组成，其中 u f 被称为“孔隙压力”。
6
图 4.2.3 吸湿－排水情况下的水分特征曲线
土样从饱和到干燥或从干燥到饱和的水分特征曲线称为主线，从部分湿润开始排水或从 半干燥状态重新润湿时，水分特征曲线是顺着一些中间曲线由一条主线移到另一条主线，这 些中间曲线称为扫描曲线。
可将这种界限写为 s a ≤ s ≤ s e ，式中 s a (u f ) 为吸湿作用即将发生的界限（ s& > 0 ），
n = dVv dV
ABAQUS 通常使用孔隙比 e = (dVv dVg ) ，而不是孔隙率。孔隙比与孔隙率之间的转换关系
为：
e = n , n = e , 1−n = 1
1−n 1+e
1+ e
饱和度 s 定义为流体体积与孔隙体积之比：
(4-1)
s = dV f dVv
对于完全饱和介质 s ＝1，而对于完全干燥介质 s ＝0。
ABAQUS 能够求解多孔介质的饱和渗流，非饱和渗流及二者的混合问题（渗流自由面 的计算）。计算过程中可以考虑流体重力的作用，并能够求解流体的总孔隙压力或超孔隙压 力，渗透定律可采用达西定律或更广泛的非线性定律。在流体重力载荷不可忽略或较明显瞬 态毛细吸力较明显，即“湿化作用”不可忽略的问题中，需要求解总孔隙压力。
渗透系数 K 也称为水力传导系数，它具有速度的量纲，它表征了多孔介质输送流体的 能力，K 不仅仅取决于岩土介质本身的性质（如粒度成分，颗粒排列，充填状态，裂隙性质 和发育程度），而且与渗透流体的物理性质（重度、粘滞性）有关，所以还有必要再提出一 个物理量 k，k 仅仅取决于岩土介质本身的性质，而与流体的性质无关，称为渗透率，在一 维情况下两者的关系为：
本章要统一考虑饱和土与非饱和土的渗流计算，所以要从非饱和土出发重新定义有效应
力，把多孔介质视为多相材料。设一个基本体积 dV 由固体材料颗粒体积 dVg 与孔隙体积 dVv 构成，流体体积 dV f 呈饱和或非饱和状态充填于孔隙体积中。
1
图 4.1.1 多孔介质各组成部分示意图
介质的孔隙率 n 为孔隙体积与总体积之比：
饱和度的 du f ds 单值连线近似表示。如果孔隙流体压力超过实际数据所容许的范围时，饱
和度被视为可以改变的状态变量。
对 于 参 考 构 形 V0 而 言 ， 当 前 构 形 V 的 表 面 积 为 S 。 渗 流 体 由 两 部 分 组 成 ， 即
V = V f + Vt ，其中V f 为自由渗流体，Vt 为结合水，考虑到各部分流体的密度可以改变，
积弹性关系，以及材料骨架的力学行为共同构成，视有效应力为总应力和孔隙应力的函数，
所以它也是应变历史与温度的函数，但有效应力原理成立的前提是孔隙压力的变化与总应力 的变化具有相同的应力路径和相同的应变率。
第三章所述的岩土介质的本构模型都可以用来模拟孔隙材料的材料骨架。假定固相材料 与流体有相同的体积应变率，则应变率可分解如下
dε
=
(dε
vol g
+
dε
vol f
)I
+
dε el
+
dε pl
(4-4)
式中
dε
vol g
与
dε
vol f
分别为固相材料和流体的体积应变率，dε
el

与
dε
pl
分别为固体骨架的
弹性和塑性应变率。
4.2 饱和土与非饱和土的渗流-应力耦合分析
固相材料的应力平衡可以由虚功原理表示，某体积域在 t 时刻当前构形的虚功原理为：
ρ
0 f
sn n ⋅ v f dS
(4-6)
式中 v f 为渗流速度，即流体相对于固体的速度， n 为 S 面外法线方向，方程采用流体
的参照密度
ρ
0 f
进行无量纲化。
渗流连续性方程采用后向欧拉法近似积分，并将孔隙压力视为变量进行有限元离散。孔
隙流体的渗流行为遵循 Darcy 定律或 Forchheimer 定律。Darcy 定律一般适用于低渗流
第 4 章 饱和土与非饱和土的渗流-应力耦合分析
地球表面很大一部分处于干旱或半干旱地带，因此，工程中遇到的土大多数处于非饱和 状态，湿陷性黄土、膨胀土、热带残积土和人工填土等都是典型的非饱和土。非饱和土是固 -液-汽三相复合介质，其工程性质十分复杂，是 20 世纪 90 年代以来国际学术界关注的热 点之一。在一系列的工程问题中，涉及到有效应力、变形、水运动、堤坝渗流变形、油气开 采、煤层内瓦斯渗流、地基的蒸发固结和降雨入渗的滑坡等问题，这些问题一般都必须考虑 水、气两相流体流动和固相变形之间的相互作用。因而，研究非饱和土的流-固耦合问题具 有重大理论和实际意义。
实验数据表明，在非饱和介质的稳态渗流中渗透系数随着饱和度 s3 的变化而变化。因
此，ABAQUS 的缺省设置为 ks = s3 。可以采用*PERMEABILITY（Material → create
→other →pore fluid →permeability）选项定义不同的 ks (s) 行为模式。
K
=
⎡ ⎢
K
xx
⎢K yx
K xy K yy
K
xz
⎤ ⎥
K yz ⎥
⎢⎣K zx K zy K zz ⎥⎦
推广到三维后的 Darcy 定律展开后变为：
(4-8)
vx
=
−K xx
∂H ∂x
− K xy
∂H ∂y
− K xz
∂H ∂z
vy
=
−K yx
∂H ∂x
− K yy
∂H ∂y
− K yz
∂H ∂z
(4-9)
vz
=
−K zx
∂H ∂x
− K zy
∂H ∂y
− K zz
∂H ∂z
当雷诺数大于 1～10 之间的某个值时，Darcy 定律就不再适用，而应当采用非线性的 Forchheimer 定律。从大量的一维实验的结果可以看到，若水力梯度与渗流速度之间写成：
4
J = av + bv2
(4-10)