ch3二维图形生成技术(二次曲线)

若d<0, 则P1 为下一个象素，那么再下一个象素 的判别式为：
P1
d1 = F(xp + 2, yp - 0.5) 2 2 = (xp + 2) + (yp - 0.5) = d + 2xp +3 即d 的增量为 2xp +3.
-R
2
M P2
中点画圆法
若d>=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象 素的判别式为： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) 2 2 2 = (xp + 2) + (yp - 1.5) - R = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2） 即d 的增量为 2 (xp - yp) +5. P1 d的初值: d0 = F(1, R-0.5) M 2 2 = 1 + (R-0.5) - R P2 = 1.25 - R
圆的等面积正多边形逼近法

当用内接正多边形逼近圆时，其面积要 小于圆的面积；而当用圆的外切正多边 形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积。 为了使近似代替圆的正多边形和圆之间 在面积上相等，只有使该正多边形和圆 弧相交，称之为圆的等面积正多边形。
圆的等面积正多边形逼近法
步骤： 求多边形径 长，从而求 所有顶点坐 标值 由逼近误差 值，确定边 所对应的圆 心角α
程序如下（完全用整数实现）： MidpointCircle(r,color) Int r, color; { int x,y,d; x = 0; y = r; d = 1-r; putpixcel(x,y,color); while( x < y) { if (d <0) { d += 2*x+3; x++; } else { d += 2*(x-y)+5; x++ ; y--; } putpixcel(x,y,color); } }
第二章 二维图形生成技术
第二节 二次曲线
一、圆弧
1、中点算法
2、内接正多边形迫近法 3、等面积正多边形逼近法 4、生成圆弧的正负法 二、椭圆弧扫描转换
1、中点算法
第三章 二次曲线
圆是图形系统中常用的元素。我们将圆心定义为 ( xc , yc ) 。 圆的方程为： (x-xc)2＋(y-yc)2＝r2 所以圆为：距离中心位置 ( xc , yc )为给定值r的点集。 利用这个方程，我们可以沿x轴，从
Pi-i
Bresenham画圆算法
当di<0时->取Hi -> yi=yi-1，则 di+1 = di + 4xi-1 + 6
当di ≥ 0时->取Li -> yi=yi-1-1， 则di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10
易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0 =12 + y02 + 12 +(y0 - 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0= 3 - 2R
中点画圆法
为了进一步提高算法的效率，可以将上面的 算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改 成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。 使用e=d-0.25代替d e0=1-R

所以：初始化运算d0 = 1.25 – R 对应于 e 0= 1- R 判别式 d < 0 对应于 e < -0.25 又因为：e的初值e0为整数，运算过程中的分量也为整数， 故e始终为整数 所以： e < -0.25 等价于 e < 0
xc r
xc r 到
，以单位步长计算对应的y值，从而得
到圆周上每点的位置。
圆的扫描转换算法
下面仅以圆心在原点、半径R为 整数的圆为例，讨论圆的生成算法。 假设圆的方程为： X + Y = R
2 2 2
扫描转换圆弧
处理对象：圆心在原点的圆弧 圆的八对称性

圆弧扫描算法
X + Y = R 2 2 Y = Sqrt(R - X ) 在一定范围内，每给定一个 X值，可得一个Y值。
设圆的方程为F(x,y)=X + Y - R =0; 假设求得Pi的坐标为(xi,yi)； 则当Pi在圆内时-> F(xi,yi)<0 -> 向右-> 向圆外 Pi在圆外时-> F(xi,yi)>0 -> 向下-> 向圆内
2
2
2
生成圆弧的正负法
即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为： 当F(xi,yi) ≤0 取xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; 当F(xi,yi) ＞0 取xi+1 = xi， yi+1 = yi - 1; 这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使 F(xi,yi) 时正时负，故称正负法（课本逐点比 较法）。 快速计算的关键是F(xi,yi) 的计算，能否采用增 量算法？
生成圆弧的正负法


若F(xi,yi) 已知，计算F(xi+1,yi+1) 可分两种
情况： 1、F(xi,yi)≤0-> xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; 2 2 2 -> F(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) +(yi+1 ) -R 2 2 2 -> = (xi+1) + yi -R = F(xi,yi) +2xi +1 2、 F(xi,yi)＞0-> xi+1 = xi，yi+1 = yi -1; 2 2 2 -> F(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) +(yi+1 ) -R 2 2 2 -> = xi +(yi –1) -R = F(xi,yi) - 2yi +1 3、初始值：略
Bresenham画圆算法
使用Bresenham算法扫描转换圆时需要的步骤： Plot(x+k,y+h); Plot(-x+k,-y+h); Plot(y+k,x+h); Plot(-y+k,-x+h); Plot(-y+k,x+h); Plot(y+k,-x+h);
–4、根据圆的对称性，由当前坐标（x,y）绘制八个点


Plot(-x+k,y+h); Plot(x+k,-y+h);
5、跳到步骤2
算法 三：正负划分性

圆弧的正负划分性
F ( x, y) x 2 y 2 R2 0
圆弧外的点：F(X，Y)＞0 圆弧上的点：F(X，Y)=0 圆弧内的点：F(X，Y)＜0
生成圆弧的正负法
原理：（只考虑第一象限）
P1 M P2
2 2 2
中点画圆法
有如下结论：
F（M）< 0 －>M在圆内－> 取P1
F（M）>= 0 －>M在圆外－> 取P2
为此，可采用如下判别式：
P1 M P2
中点画圆法
d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) 2 2 2 =(xp + 1) + (yp - 0.5) - R
中点画圆法
MidpointCircle(int r, int color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; putpixel(x,y,color); while(x<y){ if(d<0){ d+ = 2*x+3; x++ } else{d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; } putpixel(x,y,color); } }
xi =Rcos i ; yi =Rsin i
圆的内接正多边形逼近法
内接正n边形代替圆
计算多边形各顶点的递推公式
Xi+1
=
Rcos( Rsin
a+ i)
Yi +1 Xi+1
=
(a+ i) - sin a cosa Xi Yi
cos a sin a
Yi +1
因为: a是常数， sin a， cosa只在开始时计算一 次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法， 外加直线段的中点算法的计算量。
二、椭圆的扫描转换

椭圆方程：
b2x2+a2y2-a2b2=0
椭圆的扫描转换

F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分 上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点。 椭圆上一点处的法向： N(x,y) = (F)' x i + (F)' y j = 2b2 x i + 2a2 y j

2 2 2
y
当X取整数时，Y须取整。
缺点：浮点运算，开方， 取整，不均匀。
x
• 两种直接离散方法： 离散点:
利用隐函数方程 2 y 2 R 2 x ( xi , yi R 2 xi2 ) 取整 xi，yi ,r ) （
离散角度:
x R cos 利用参数方程 y R sin (round( R cos i ), round( R sin i ))
算法 一：中点画圆法
利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。
P（Xp ，Yp ）
P1 M
P2
P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象 素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1， Yp -1)。
中点画圆法
构造函数：F（X，Y）=X + Y - R ；则 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圆上； F（X，Y）< 0 （X，Y）在圆内； F（X，Y）> 0 （X，Y）在圆外。 设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5)

在上半部分,法向量的y分量大 在下半部分,法向量的x分量大 法向量 两分量相等 M1 上半部分 下半部分 M2


生成圆弧的多边形逼近法
? 圆的内接正多边形迫近法 ? 圆的等面积正多边形迫近法
圆的内接正多边形逼近法

思想：当一个正多边形的边数足够多时，该多 边形可以和圆无限接近。即
lim ( 边正内接多边形） 圆 n


因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形 代替圆。 设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi), Pi的幅角为i , 每一条边对应的圆心角为a，则有
中点画圆法

上述算法能否再改进呢？
注意到d的增量是x,y的线性函数， 每当x递增1，则d的增量递增Δx=2 每当y递减1，则d的增量递增Δy=2 Δx初始值=3；Δy初始值=-2r+2 思考题：怎样实现算法？

算法 二： Bresenham画圆算法
现在从A点开始向右下方逐点来寻找 弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已 选中的一个表示圆弧上的点，根 据弧AB的走向，下一个点应该从 Hi或者Li中选择。显然应选离AB最 近的点作为显示弧AB的点。 假设圆的半径为R，显然，当 xhi2 + yhi2 -R2 ≥ R2 - (xli2 + yli2)时，应该取Li。否则取Hi。 令di = xhi2 + yhi2 + xli2 + yli2 - 2R2 显然，当di ≥0 时 应该取Li。否则取Hi。
• 开根，三角函数运算，计算量大，不可 取。
角度DDA法
x = x0 + Rcos y = y0 + Rsin dx =- Rsind dy = Rcosd xn+1 =x n + dx y n+1 =y n + dy xn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )d y n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d 显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方 式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。 但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。
Pi-1
Hi B
A
Li
应取Hi还是取Li
Bresenham画圆算法
剩下的问题是如何快速的计算di。设图中Pi-1的坐标为 (xi-1,yi-1)，则Hi和Li的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 ) di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2 =2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 - 2R2 =2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3
Pi-1
Hi B Li
A
应取Hi还是取Li
Bresenham画圆算法

使用Bresenham算法扫描转换圆时需要的步骤：
–1、赋初值：y＝半径；（h，k）＝圆心坐标；
x＝0；d＝3－2r；
–2、测试整个圆是否扫描转换完毕。如果x>y，
则程序结束。
–3、计算下一个象素的位置。

如果d<0，则d＝4x＋6，x＝x+1; 如果d>＝0，则d＝4（x－y）＋10， x＝x＋1，y＝y＋1。