10章 含有耦合电感的电路

jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
φ11
i1
φ 21
1‘
*
i1
1
2‘ _
u21
*
+
i2
2
L1
N1
L2
N2
φ11
i1Leabharlann φ 211’ 1 i1 M L2 i2
*
2 u2
i1
1
2’ _
u21
*
+
i2
2
u1 1’
ψ1= L1 i1 + M i2 ψ2= M i1 + L2 i2
2’
L1
四、互感电压
1 u1 1’ i1 M L2 i2 2 u2 2’
•
•
•
U = [ R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )] I
R1
L1-M u1 R2 L2-M u2
u
U = [ R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )] I
•
•
电 I为 流
•
•
•
U I= R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
u M R2 u2 L2
Z2 = R2 + jω( L2 + M )
而
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 + 2 M )
R1
L1+M u1 R2 L2+M u2
u
顺向串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1
R1
R2 u2 L2
L1+M u1 R2 L2+M u2
二、并联
(支路 3=±M(同侧取“＋”,异侧取“－”) 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 异侧取“ 支路 异侧取 (支路 1’=L1 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路1)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与 (支路 2’=L2 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路2)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与
三、同名端
1、同名端的引入 、 ψ1= L1i1±Mi2 ψ2=±Mi1+L2i2 ± M前的±号是说明磁耦合中互感作用的两种可能性。 前的±号是说明磁耦合中互感作用的两种可能性。 前的 “+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称为 号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致， 号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致 互感的“增助”作用； 互感的“增助”作用； 号则相反， “-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。 号则相反 表示互感的“削弱”作用。 为了便于反映“增助” 为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表 削弱” 示，采用同名端标记方法。 采用同名端标记方法。
(支路 1’=L1 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路1)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与 (支路 2’=L2 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路2)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与
•
•
I3
•
1
I1
jω M
•
I3
1 -jωM
•
•
•
U
jω L1
R1 0
I2
jω L2
R2
•
1、同侧并联 、
•
I3
•
1
I1
jω M
•
1 jωM × 1
•
I3
I2
•
•
U
jω L1
R1 0
jω L2
R2
•
jω(L1-M)
I1
I2 jω(L2-M)
R2
U
R1 0 去耦等效电路
支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 异侧取“ 支路 异侧取 2、异侧并联 (支路 3=±M(同侧取“＋”,异侧取“－”) 、
第十章 含有耦合电感的电路
§10.1 互感 10.1 §10.2 含有耦合电感电路的计算 10.2 §10.5 理想变压器 10.5
§10.1 互感 10.1
一、互感
L1
N1
L2
N2
φ11
i1 i1
φ 21
1‘
1
2‘ _
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
φ11
i1 i1 i2
φ 21
1‘
1
2‘ _
1、自感磁通链 、 线圈1中的电流产生的磁通在穿越自身的线圈时 线圈 中的电流产生的磁通在穿越自身的线圈时 所产生的磁通链， 所产生的磁通链， 设为ψ 11 。 2、互感磁通链 、 ψ 11 中的一部分或全部交链线圈 时产生的磁通链， 中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁通链 时产生的磁通链， 设为ψ 21 。
dψ 1 d i1 d i2 u1 = = L1 ±M dt dt dt
dψ 2 d i1 d i2 u2 = = ±M + L2 dt dt dt
dψ 1 d i1 d i2 u1 = = L1 ±M dt dt dt
dψ 2 d i1 d i2 u2 = = ±M + L2 dt dt dt
u 22 d i2 = L2 dt d i1 =M dt
2、同名端 、 对两个有耦合的线圈各取一个端子， 对两个有耦合的线圈各取一个端子 ， 并用相同 的符号标记，这一对端子称为“同名端” 的符号标记 ， 这一对端子称为 “ 同名端 ” 。 当一对 施感电流从同名端流进(或流出 各自的线圈时， 互 施感电流从同名端流进 或流出)各自的线圈时 ， 或流出 各自的线圈时 感起增助作用。 感起增助作用。
1
u21
M u12 i2
d i2 u12 = − M dt
§10.2 含有耦合电感电路的计算 10.2
一、两个互感线圈的串联 1、反向串联 、
R1 u1 u M L1
R2 u2 L2
di di u1 = R1i + ( L1 − M ) dt dt di = R1i + ( L1 − M ) dt
u
Z = R1 + R2 + j ω ( L1 + L2 + 2 M )
二、并联
1、同侧并联 、
•
I3
•
1
I1
jω M
•
•
U
jω L1
R1 0
I2
去耦方法： 如果耦合电感的2条 去耦方法 ： 如果耦合电感的 条 支路各有一端与第3支路形成一 支路各有一端与第 支路形成一 个仅含3条支路的共同结点 条支路的共同结点， 个仅含 条支路的共同结点 ， 则 可用3条无耦合的电感支路等效 可用 条无耦合的电感支路等效 替代， 条支路的等效电感分别 替代 ， 3条支路的等效电感分别 为
L1-M u1 R2 L2-M u2
u
每一条耦合电感支路的阻抗和电路的输入阻抗分别为： 每一条耦合电感支路的阻抗和电路的输入阻抗分别为：
Z1 = R1 + jω ( L1 − M )
Z 2 = R2 + jω ( L2 − M )
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1-M u1 R2 L2-M u2
u
对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为 对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为 相量形式
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
•
U 1 = [ R1 + jω ( L1 − M )] I
•
•
U 2 = [ R2 + jω ( L2 − M )] I
选取原则可简明地表述如下： 选取原则可简明地表述如下： 可简明地表述如下 如果互感电压 “ +”极性端子与产生它的电流 极性端子与产生它的电流 流进的端子为一对同名端， 流进的端子为一对同名端，互感电压前应取 “+ ” 号， 反之取 “-”号。 L2 号 L1 M d i1 u 21 = M dt i
L1 N1 L2 N2
φ11
i1 i1 i2
φ 21
1‘
1
2‘ _
u21
+
2
这就是彼此耦合的情况。 这就是彼此耦合的情况。 耦合的情况
L1 N1 L2 N2
φ11
i1 i1 i2
φ 21
1‘
1
2‘ _
u21
+
2
耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感 磁通链两部分的代数和，如线圈1 磁通链两部分的代数和，如线圈 和2 中的磁通链 分别为 ψ 1和ψ 2 ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22 则有 ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
上式中M 称为互感系数，简称互感 互感。 上式中 12和M21称为互感系数，简称互感。 互感用符号M表示 单位为H。 表示， 互感用符号 表示，单位为 。 可以证明， 可以证明，M12=M21， 所以当只有两个线圈有耦合时，可以略去M的下标 的下标， 所以当只有两个线圈有耦合时，可以略去 的下标， 即可令M=M12=M21 即可令
自感电压 互感电压
d i1 u11 = L1 dt d i2 u12 = M dt
u 21
是变动电流i 中产生的互感电压， 说明 u12是变动电流 2在L1中产生的互感电压， u21是变动电流 1在L2中产生的互感电压。 是变动电流i 中产生的互感电压。 所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压 叠加的结果。 叠加的结果。 互感电压前的“ 或 互感电压前的“+”或“-”号的正确选取是写 号的正确选取是写 出耦合电感端电压的关键， 出耦合电感端电压的关键，
ψ1= L1i1±Mi2 ψ2=±Mi1+L2i2 ±
L1
如果两个耦合的电感L1和 L2中有变动的电流， 各电感 中有变动的电流， 如果两个耦合的电感 中的磁通链将随电流变动而变动。 中的磁通链将随电流变动而变动。 的电压和电流分别为u 设 L1 和 L2 的电压和电流分别为 1 、 i1 和 u2 、 i2 ， 且都取 关联参考方向，互感为M，则有： 关联参考方向，互感为 ，则有：
•
K j7.5
•
3 j6 j12.5
•
I
+
5 -
U
当开关闭合时
去耦方法：如果耦合电感的2条支路各有一端与第 支路 条支路各有一端与第3支路 去耦方法：如果耦合电感的 条支路各有一端与第 形成一个仅含3条支路的共同结点 则可用3条无耦合的 条支路的共同结点， 形成一个仅含 条支路的共同结点，则可用 条无耦合的 电感支路等效替代， 条支路的等效电感分别为 电感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为 (支路 3=±M(同侧取“＋”,异侧取“－”) 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 异侧取“ 支路 异侧取 (支路 1’=L1 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路1)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与 (支路 2’=L2 m M，M前所取符号与 3中的相反 支路2)L 前所取符号与L 支路 ， 前所取符号与
u21
+
2
磁通(链 符号中双下标的含义 符号中双下标的含义： 磁通 链)符号中双下标的含义： 个下标表示该磁通(链 所在线圈的编号 所在线圈的编号， 第1个下标表示该磁通 链)所在线圈的编号， 个下标表示该磁通 个下标表示产生该磁通(链 的施感电流所在 第2个下标表示产生该磁通 链)的施感电流所在 个下标表示产生该磁通 线圈的编号。 线圈的编号。 同样线圈2中的电流 也产生自感磁通链ψ 同样线圈 中的电流i2也产生自感磁通链 22和 中的电流 互感磁通链ψ 图中未标出 图中未标出) 互感磁通链 12 (图中未标出
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时， 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一 各向同性的线性磁介质时 种磁通链都与产生它的施感电流成正比， 种磁通链都与产生它的施感电流成正比， 即有自感磁通链： 即有自感磁通链： ψ 11 = L1i1 互感磁通链
ψ 22 = L2i2
ψ 12 = M 12i2 ψ 21 = M 21i1
I1
•
I2
jω(L1+M) R1 0
jω(L2+M) R2
U
去耦等效电路
打开和闭合时的电流。 例：电压U=50V，求当开关 打开和闭合时的电流。 电压 ，求当开关K打开和闭合时的电流
K j7.5
•
3 j6 j12.5
•
I
+
5 -
U
•
解：当开关打开时, 两个耦合电感是顺向串联 当开关打开时
U I= R1 + R2 + jω ( L1 + L2 + 2 M ) 50∠0° = = 1.52∠ − 75.96°A 3 + 5 + j(7.5 + 12.5 + 12)