大学物理下典型题

2 0
( R22
rb2 )
b
b1
b2
6 0
( 3 R22
rb2
2R13 ) rb
ra
b r
rb dr
由电荷守恒定律可知：
1
2
Q S
(1)
3 4 0 (2)
Q
σ1 S σ2 σ3 σ4
选一个两底分别在两个金属 板内而侧面垂直于板面的封
P
闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板
内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。
cos
q cos
E 4 0r 2 dq 4 0r 2
cos x , r
r
R2 x2
E
qx
40(R2
x2 )3/ 2
P
dE
dE//
x
dE
E
讨论
4 0
(1) (2)
qx
dq
(环 当R心q2 >处0x时，2，)3x/E=2 0沿，轴E=线0；指OR向远离x r轴线dE的P方d向EdE//，x
解：取导体板内很邻近O点的
O/点，直线在O/点产生的电场
dx
E1
d
4 0 x 2
4 0d
感应电荷在 O/ 点产生的电场
d
O/ O +λ 直线
导 体
x
板
E2
2 0
，由总电场 EO
E1
E2
0得
2 d
6 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和R2，
两极面间充满相对介电常数为 r 的电介质。求此电容
C 20 r L
ln( R2 / R1 )
7 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为ρ， 求其电场分布，并画出 E-d 曲线，d为垂直于壁面的 坐标，原点在厚壁的中心。
解: 根据电荷分布对壁的平分面的 面对称性，可知电场分布也具有这 种对称性。由此可选平分面与壁的 平分面重合的立方盒子为高斯面， 如图所示，高斯定理给出：
(2) 电场能量：W Q2 Q2(R2 R1)
2C 8 0 r R1R2
9 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm， R2=20.0cm，已知内球面的电势为1 60V，外球面的 电势为2 30V 。 (1) 求内外球面所带电量； (2)两个
球面之间何处电势为零。
解: (1)以q1和q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加
原理：
1
1
4 0
q1 R1
q2 R2
60
2
1
4 0
q1 q2 R2
30
联立可得 q1 6.7 1010 C q2 1.3109 C
(2)
由：1
1
4 0
q1 r
q2 R2
0
可得
r
q1 q2
R2
6.7 1010 1.3 109
20
10cm
O R1 R2
10.在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强
分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。
解: (1) 已知内球壳上带正电荷Q，则 两球壳中间的场强大小为 ：
E Q /(4 0 r r 2 )
r O R1
两球壳间电势差
R2
U12
R2 E
d r
R1
Q
4 0
(
1 R1
1 R2
)
Q( R2
R1 )
/(4 0 r
R1 R2
)
电容 C Q / U12 4 0 r R1R2 /(R2 R1 )
4 0
第一块金属板上的电荷守恒仍给出
1
2
Q S
I
EⅡ P
Ⅱ
III
由高斯定律仍可得 2 3 0
金属板内P点的场强为零，所以 1 2 3 0
联立求解可得： 1
0,
2
Q S
, 3
Q S
, 4
0
电场的分布为：
EⅠ=0，
EⅡ
Q
0S
方向向右
EIII=0
5 如图，求 O 点处感应电荷密度 σ 。
2 3 0 (3)
金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以
1 2 3 4 0 (4) 2 0 2 0 2 0 2 0
即：1 2 3 4 0
联立求解可得：
Q
σ1 S σ2 σ3 σ4
1
Q 2S
, 2
Q 2S
,
3
Q 2S
, 4
Q 2S
EⅠ
d d
D D
/ /
2 2
E
2S qint /
qint 2dS,
qint DS,
0
E
E
d D0
E-d 曲线如图
2 0
D
S d
o
d
E
D
2 0
D/2
D/2 O
d
D 2 0
8 两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为
R2，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个
球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳上
解: 载流平面自身在其两侧产生的磁场为：
B1
B2
0 j
2
方向相反。
均匀外磁场 B0 在平面两侧方向相同。
由图， B1 B2
F
r
rj r
B1
B2
载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右侧方向相同。
B0 B1 B1 B0 B2 B2
B0
B1
2
B2
,
j B2 B1 0
考虑长dl，宽 ds 的电流元， dI jds
dB dt
S
A
B均匀
O
lB
L R2 L2 / 4 dB
2
dt
由于OA和OB两段沿径向，涡旋电场垂直于段元，这
两段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势。
dB/dt >0，则回路中电动势方向为逆时针，B端高。
方向沿x轴
dl
d
dI
x
dB
y
F
BI
0I 2 2R
方向沿y轴，是斥力
(2)另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上，以d表 示两直导线间的距离，则
0I 2 2R
0I 2 2d
d R / 2
13. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电 流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2 ，如图所示，求该载流平面单位面积所受磁场力的大小和方向。
l
SE dS E2 rl 0 0
q内
0
1
0
l
r2l R2l
lr 2
R2
0
在柱体外 (r > R)，取同样高斯面，
R O
E dS
E2 rl
0
0
q内
l
S
所以得电场分 布的矢量表达
E
r 0 2 0 R2 ,
rˆ,
0
rR
rR
2 0r
E OR r
3：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中a点和b点电势。
解：(1)在半圆柱面上沿母线取宽为dl
的窄条，其电流
dl
dI I dl I d R
它在轴线上一点产生的 磁感应强度:
d
dI
R
x
dB I
I
y
dB
0dI 2R
0 Id 2 2R
方向如图
由电流分布的对称性可知：
By 0
B Bx dBx dBsin
0
0 I 2R2
sind
0 I 2R
当q<0时，E 沿轴线指向环心；
(3)
当x>>R时，E
q
4 0
x2
即远离环心处的电场相当于一个点电荷
产生的电场。
思考 如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于 原来的一半？
2、求均匀带电无限长圆柱体 (λ, R) 的电场分布。
解：在柱体内 (r R), 选长为 l 的
同轴柱形高斯面，利用高斯定律
电场的分布为： 由 E 有 I
EⅡ Ⅱ
EⅢ III
在Ⅰ区，
EⅠ
Q
2 0 S
0
方向向左
Q
Q
E1 E2 20 2S 20 2S
在Ⅱ区，
EⅡ
Q
2 0 S
方向向右
在Ⅲ区，
EⅢ
Q
2 0 S
方向向右
12 34
（2）如果把第二块金属板接地， 其右表面上的电荷就会分散到地
σ1
Sσ2
σ3
σ4
球表面上，所以
度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角=30°，求
此段圆弧电流受的磁力。
解：在电流上任取电流元 Idl
b
F a Idl B
b
I(a dl ) B
Idl
I a
b
B
Iab B
F I ab Bsin I 2R B sin 30 IBR
方向
11. 如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角速
2π
0.1 0.1 0.1
18. 在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感强度为B 的均匀磁场，有一长为L的金属棒放在磁场中,设磁 场在增强，并且dB/dt已知，求金属棒中的感生电动 势，并指出哪端电势高。
解：由法拉第定律计算
设想一回路，如OABO，则该回路 的感应电动势大小为
i
dΦ dt
d ( BS ) dt
（一）电磁学 （二）相对论 （三）量子物理
共 23 题 共 3题 共 6题
共23题
1 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细
圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心 O的距离为x ，求P点的场强。
解：(1) 在圆环上任意取一线
dq
元dl，其带电量为dq R
(2)
dq
dE
4
0r 2
O
产生的电势为
R2
d
dq
4r 2dr
r 2dr
4 0rb 4 0rb 0rb
b1
d
rb R1
0rb
r 2dr
3 0
(rb2
R13 rb
)
a
O R1
r
当球壳半径r > rb时，其产生的电势为 d dq 4r 2dr rdr 4 0r 4 0r 0
b2
d
R2 rb
0
rdr
sin R
r
B
l
0 4
IRdl r3
0 4
IR r3
2R
0
2
IR2 r3
B
0
2
IR 2 (R2 x2 )32
方向: + x
dB
dB
Idl
方向：右手定则
x = 0 圆心处
B 0I
2R
x >> R
B
0
2
IR 2 x3
x
dB//
dB
θ
xθ
rdB
OR
Idl
15. 半径为R的圆片上均匀带电，面密度为 ，该圆片以匀角速度 绕它的轴线旋转，求圆片中心 O 处的磁感应强度的大小。
(3) 将 dE 分解为 dE// dE cos
r
x
P dE//
dE
x dE
dE dE sin
(4) 积分求解:
由于对称性 E dE 0
E E//
dE//
dq
4 0r 2
cos
E E//
dE//
dq
4 0r
2
cos
dq R
r
在积分过程中，r和 cos 保持 O
x
不变，可以提到积分号外，即
度ω绕中心轴转动，圆盘电荷面ຫໍສະໝຸດ Baidu度为σ。求它的磁矩、
所受的磁力矩以及磁矩的势能。
ω
解：取半径为r的环状面元，圆盘转动 时，它相当于一个载流圆环，其电流：
S R
B
dI 2rdr rdr
r
2 磁矩：dm r 2dI r 3dr
dr
圆盘磁矩： m
dm
R
r
3dr
R4
0
4
受的力矩：M mBsin mB R4B M
解：取薄球壳，半径为r，厚为 dr，可视为均匀带电球面， 其带电量为
dq 4r 2dr
R2
a
O R1
r
ra
b r
rb dr
对a点，此带电球面产生的电势为
d
dq
4r 2dr
rdr
4 0r 4 0r 0
a
d
R2 R1 0
rdr
2 0
( R22
R12 )
对b点，当球壳半径r < rb时，其
向右平动，求当d=10cm时线圈中的感应电动势。
解： 直导线产生的磁感强度为 B 0 I
v
2x
ε1
NB1 Lv
μ0 INLv 2πd
方向如图
I
1 L
2
ε2
μ0 NILv 2π( d a
)
方向如图
a
i
1
2
0 NILv 2
1 d
d
1 a
d
方向顺时针
1103 0.2 2 4π 107 5.0 1 1 2 103 V
器带有电量Q时所储存的电能。
解：两极面间的电场 E Q
R2
R1
2 0 rrL
在电场中取体积元 dV (2rL)dr
则在 dV 中的电场能量为：
L εr +Q –Q
dW 0 r E 2dV
2
W dW 1 Q2
R2 dr
2 2 0 r L R1 r
1 Q2 ln R2 1 Q2
2 2 0 r L R1 2 C
解：柱外：r >R
I
B dl Bdl B2 r 0I
L
L
B外
0 2
I r
L
柱内：r <R
B dl Bdl
B2
r 0I内
B
L
L r2
0 R2 I
B
B内
0r 2R2
I
OR
r
L
17. 长直导线中通有电流I=5A，另一矩形线圈共
1103匝，宽a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s的速度
解: 取 r 处 dr 宽度的圆环，其以作圆周运动 ，相当于一圆电流 dI，dI 的大小为：
dI 2rdr rdr
O
2
此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为：
dB 0dI 0dr
2r
2
整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为：
B R 0dr 0 R
02
4
16：求无限长均匀载流圆柱体 ( I, R )的磁场。
方向向上
4 m
B
磁矩的势能为
Wm m B 0
12.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴 线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱 面上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力；(2) 若将另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相 同的电流I)代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应 放在何处？
其在外磁场中受的磁场力 dF dIdl B0 j ds dl B0
载流平面单位面积所受的磁场力
F
jB0
B22 B12
20
14：圆电流（I，R）轴线上的磁场。
解:
dB
0 4
Idl rˆ r2
,
dB
0 4
Idl r2 ,
由对称性 B 0 B dB//
dB// dB sin