甘肃省武威市第六中学高三数学下学期第六次诊断考试试题理(2021年整理)

甘肃省武威市第六中学2018届高三数学下学期第六次诊断考试试题理编辑整理：
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武威六中2017—2018学年度高三第六次诊断考试
数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上.
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题卡上完成,试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）
A ．12
B ．2
2
C ．2
D ．2
2.若集合{}
2
4,A x y x x ==-∈R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素之和为( )
A 。

0 B. 1 C 。

3 D 。

5
3。

我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺,重二斤，问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重四斤;在细的一端截下1尺，重2斤;问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ） A ．15斤
B ．14斤
C ．13斤
D ．12斤
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
5.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
,则23z x y =-的最小是（ ）
A ．7-
B ．6-
C ．5-
D ．3-
6.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ) A ．70种
B ．80种
C ．100种
D ．140种
7.设曲线ln(1)ax y e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=,则a =（ ） A. 0
B 。

1
C. 2
D 。

3
8.阅读右面的程序框图，运行相应的程序,若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
前10项和等
9.已知数列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-,则{}n a 的
于( ） A 。

()10613--- B.()101
139
-- C 。

()10313--
D 。

()1031+3-
10.已知甲、乙、丙三人中,一人是军人，一人是工人,一人是农民。

若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同;工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是( ) A 。

甲是工人，乙是农民，丙是军人 B 。

甲是农民，乙是军人,丙是工人 C.甲是农民，乙是工人，丙是军人 D 。

甲是军人，乙是工人，丙是农民
11.已知点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上，A,B 分别为双曲线的左右顶点，离心率为e ，
若ABP ∆为等腰三角形，且顶角为150，则2e = （ ）
A。

4+。

3
C.3 D 。

2 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-,当[]0,1x ∈时,()21f x x =-+，设函数
()()1
1132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪
⎝⎭
，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A ．2
B ．4
C 。

6
D ．8
第Ⅱ卷（非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13。

二项式52
)x
的展开式中x 的系数为 ；
14。

函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 ；
15。

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________；
16。

已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。

若该抛物线上存在点C ,使得ACB ∠为直角,则a
的取值范围为 ___ __.
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题12分）如图，在圆内接四边形ABCD 中，
8,5,7AB AD DB ===。

（Ⅰ)求BCD ∠的大小；
（Ⅱ）求BCD ∆面积的最大值。

18.（本小题12分）某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制。

已知
高三学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制,各等级划分标准见表.
为了解该校高三年级学生安全教育学习情况,从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统
计,按照组作出频率分
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分
布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀
的有3人.
（Ⅰ）求n 和频率分布直方图中的x 的
值；
（Ⅱ）
根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高三学
生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；
（Ⅲ）在选取的样本中,从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验
介绍，记ξ表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

x
0.01成绩（分）
19.（本小题12分)如图，在四棱锥P ABCD -中,PC ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形，
AB AD ⊥，//AB CD ,222AB AD CD ===,E 是PB 上的中点.
（Ⅰ）求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （Ⅱ）若二面角P AC E --
的余弦值为
PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
20.（本小题12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-,
离心率e =。

（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）已知点(),0P m ,过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴
平分MPN ∠ ，求m 的值．
21。

(本小题12分）已知函数()(ln )()f x x x ax a =-∈R ．
(Ⅰ)当0a =时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）设2()(1)g x ax a x a =--+，若对任意的(1,)x ∈+∞,都有()()0f x g x +>，求整数a 的最
大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号
22．（本题满分10分）［选修4-4：极坐标与参数方程］
在直角坐标系xOy 中,直线l 过点)2,1(-P ，倾斜角为
4
π。

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （Ⅰ）求直线l 的参数方程（设参数为t ）和曲线C 的普通方程; (Ⅱ）求
PB
PA 11+的值。

23．（本题满分10分）［选修4—5：不等式选讲]
已知函数()()1f x x m x m R =-++∈的最小值为4． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若()111
,,0,23323a b c a b c m a b c
∈+∞++=++≥,且，求证：．
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
A
A
B
B
A
D
C
C
D
B
B
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分，共20分。

13．—10 14．12- 15．
9π
2
16．[1,)+∞ 三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）在
中,由余弦定理得
,
解得， (4分）
注意到，
可得. (6分） （2）在
中，由余弦定理得
,
即 ,
∵，
∴，即。

（10分）
∴。

当且仅当，△BCD 为等腰三角形时等号成立，
即
面积的最大值为。

（12分）
18。

（1）由题意可知，样本容量5
500.0110
n =
=⨯，
10110(0.0040.010.0560.012)0.18x =-⨯+++=，
∴0.018x =。

（4分）
（2）不及格的概率为0。

1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件A ,∴3(A)10.10.999P =-=，故至少有1人成绩是及格以上等级的概率为
999
1000
；（8分） （3)原始成绩在80分以上的学生有(0.120.04)508+⨯=人，优秀等级的学生有3人， ∴ξ的取值可为0，1,2，3；
∴35385(0)28C P C ξ===，21533815
(1)28
C C P C ξ==，
12533815(2)56C C P C ξ===，
333819
(3)568
C P C ξ====， ∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
528 1528 1556 1
56 515151639
012328285656568
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==。

（12分）
19．19。

解：(Ⅰ)证明:∵PC ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,∴AC ⊥PC ， ∵AB=2，AD=CD=1,∴AC=BC=，
∴AC 2
+BC 2
=AB 2
,∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC=C ，∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC,∴平面EAC ⊥平面PBC ．……………………5分 （Ⅱ）如图,以C 为原点，取AB 中点F ，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系,则C （0，0,0），A （1,1，
0）,B(1，﹣1，0）．
设P(0，0，a ）（a ＞0），则E （，﹣，），… =（1,1，0），
=（0，0,a ），=（，﹣，），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC 的法向量．
设=（x ，y,z ）为面EAC 的法向量,则•=•
=0，
即
取x=a ，y=﹣a,z=﹣2，则=(a ，﹣a,﹣2)，
依题意，|cos ＜，＞｜===，则a=2．……………9分
于是=（2,﹣2,﹣2）,
=（1，1,﹣2）．
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=｜cos ＜,＞｜=
=
，
即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
．………………………12分
20．解:（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点（0，-1），离心率
2
2
， 所以，
2
2
=
a c ……………………2分 所以由，得22=a ……………………3分
所以椭圆
的标准方程是
……………………4分
（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是)1(-=x k y .
联立方程组 消去，得
显然
设点，
,
所以
,
……………………7分
因为轴平分，所以
.
所以
……………………9分
所以所以 所以 所以 所以 所以……………………11分 所以 因为， 所以……………………12分
21．1）当0a =时,()ln f x x x =，定义域为()0,+∞． ()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，可得1
e x =．·······2分
列表：
所以，函数()f x 的最小值为11
e e
f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．·······5分
（2)由题意()()0f x g x +>对任意的()1,x ∈+∞恒成立，
可得()ln 10x x a x a --+>对任意的()1,x ∈+∞恒成立．
即ln 1x x x
a x +<-对任意的()1,x ∈+∞恒成立．()*
记()ln 1x x x x x ϕ+=-，得()()22ln 1x x
x x ϕ--
'=-，·······6分
设()2ln t x x x =--
()t x 在()1,+∞是单调增函数， 又()31ln30t =-<，()42ln40t =->,且()t x 在[]3,4上的图象是不间断的，
所以，存在唯一的实数()03,4x ∈，使得()00t x =，·······8分
当01x x <<时,()0t x <，()0x ϕ'<，()x ϕ在()01,x 上递减;
当0x x >时，()0t x >，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,x +∞上递增．
所以当0x x =时，()x ϕ有极小值,即为最小值()00000ln 1x x x x x ϕ+=
-，·······10分
00ln 2x x =-,所以()000000ln 1x x x x x x ϕ+==-, 由()*知，0a x <，又()03,4x ∈，a ∈Z ,所以整数a 的最大值为3．·······12分
22。

解：（Ⅰ）∵直线l 过点)2,1(-P ,倾斜角为4
π ∴直线l 以t 为参数的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 222221（t 为参数)。

.。

.。

..。

..。

.。

3分
∵曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=
∴曲线C 的普通方程为4)2(22=+-y x 。

.。

.。

......。

.。

.。

.......。

.。

....。

.. (5)
（Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得01232=+-t t ...。

...。

...。

6分 设B A ,两点对应的参数为21,t t
∵点P 在曲线C 的左下方
∴21,t PB t PA ==..。

..。

.。

.。

....。

..。

.。

..。

.....。

..。

.。

.。

.。

.。

.8分 ∴2311112
12121=+=+=+t t t t t t PB PA 。

...。

..。

..。

....。

..。

..。

...。

.。

.。

.。

10
分
23.解：（Ⅰ)()1()(1)1f x x m x x m x m =-++≥--+=+， ………………3分 所以14m +=,解得5m =-或3m =. …………………………………5分 （Ⅱ）由题意,233a b c ++=。

于是1
1
1
1
1
1
1
(23)()23323a b c a b c a b c ++=++++ ……………………7分
12332(3)32323b a c
a
c
b
a b a c b c =++++++
1(333≥+=, ……………………9分 当且仅当23a b c ==时等号成立，即1a =，12b =，1
3c =时等号成立.
……………………10分。