中考数学专题06 方程与不等式的实际运用【考点精讲】(解析版)

题型1：工程问题
【例1】（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米． 【分析】
根据题意列出方程求解即可． 【详解】
解：设甲工程队每天改造的道路长度是x 米， 列方程得：
， 解得：x =80． 80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米． 【例2】（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）30人；（2）39天 【分析】
（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可；
（2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可． 【详解】
400300
20
x x =-x x y y y 专题06 方程与不等式的实际运用
解：（1）设当前参加生产的工人有x 人，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为（万剂）． 设还需要生产y 天才能完成任务，
依题意得：， 解得：，（天） 答：该厂共需要39天才能完成任务．
．（2021·北京中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________． 【答案】2∶3 【分析】
设分配到生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得
，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【详解】
解：设分配到生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得：
，解得：，
∴分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），
1615
8(10)10x x
=
+30x =30x =168400.05÷÷=41540100.05760y ⨯+⨯⨯⨯=35y =35439+=,A B A a ()41a +B b ()23b +,A B A B A m B n m
n
1
2
A ()41253x x +=-+()()421233m n ++=++A ()41253x x +=-+2x =
∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料， ∵加工时间相同，
∴， 解得：， ∴
； 故答案为，．
题型2：行程问题
【例3】（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的
． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米． 【分析】
（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为
千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】
解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为
千米/分钟， A B A ()2m +B ()3n +()()421233m n ++=++1
2
m n =
12
m n =2:312
13
30
0.85x 13
30
x =⨯y x 13
30
x
由题意得：， 解得，
则（千米），（千米）， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米； （2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为
（千米）， 乙工程队每天对其施工的长度
（千米）， 设甲工程队后期每天施工千米， 则， 解得， 即，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【例4】（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析 【分析】
（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可． 【详解】
解：（1）设小刚跑步的平均速度为x 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x 米/分， 根据题意，得
， 解这个方程，得，
13
60164030
x x ⨯-=4x =16464⨯=1313
606041043030
x ⨯
=⨯⨯=7647
794010
⨯=+9649794010
⨯=+y 979
(4053)(64(5101010
y --+≥-+⨯1720
y ≥
0.85y ≥0.8518001800
4.51.6x x
+=150x =
经检验，是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分， 则小刚跑步所用时间为
（分）， 骑自行车所用时间为（分）， 在家取作业本和取自行车共用了3分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）． 因为，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
1
．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/h x ，则下列方程中正确的是（ ）
A ．
1010121.2x x -= B ．10100.21.2x x -= C ．1010121.2x x -= D ．
1010
0.21.2x x
-= 【答案】D 【分析】
根据题意可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：10100.21.2x x
-=； 故选D ．
题型3：历史文献问题
【例5】（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
2
3
，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ）
150x =1800
12150
=12 4.57.5-=127.5322.5++=22.520>
A．
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
B．
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
C．
250
2
50
3
x y
x x
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
D．
250
2
50
3
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
【答案】A
【分析】
根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：
1
50
2
2
50
3
x y
y x
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
故选：A．
【例6】（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）
A．
5
10330
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
5
31030
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
30
5
103
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
D．
30
5
310
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
【答案】A
【分析】
根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：
5 10330 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
故选：A．
1．（2021·湖南永州市·中考真题）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数､物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）
A ．9465x y y x -=⎧⎨-=⎩
B ．94
65x y x y -=⎧⎨-=⎩
C ．94
65y x y x -=⎧⎨-=⎩
D ．94
65y x x y -=⎧⎨-=⎩
【答案】A 【分析】
设组团人数为x 人，物价为y 元，根据等量关系“每人出9元，则多了4元；每人出6元，则少了5元”列出方程组即可． 【详解】
设组团人数为x 人，物价为y 元，由题意可得，
94
65x y y x -=⎧⎨
-=⎩
． 故选A ．
2．（2021·辽宁大连市·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x 人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x +14=8x 【分析】
设有牧童x 人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可． 【详解】
解：设有牧童x 人， 根据题意得：6x +14=8x ， 故答案是：6x +14=8x ．
3．（2021·湖北中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 【答案】20 【分析】
设绳索长x 尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得． 【详解】
解：设绳索长x 尺， 由题意得：552
x
x -=
+，
解得20x =， 即绳索长20尺， 故答案为：20． 题型4：数字问题
【例7】（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：
，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n ． 【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或 【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案． 【详解】
解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且为整数，
所以： 由“共生数”的定义可得：
3507m =372(50)+=⨯+4135m =452(13)+≠⨯+()3
n
F n =
()F n 531364372148n =3069.n =n ,a 2,a ,b ,c 1a ≤5,09,09,b c ≤≤≤≤,,a b c 32,c a b =+9b c +=18,b c +=()5+3=21+3=8,⨯ 5313∴()6+7=1324+3=14,≠⨯ 6437∴n ,a 2,a ,b ,c 1a ∴≤5,09,09,b c ≤≤≤≤,,a b c 1000100201020100,n a b a c a b c =+++=++()22,a c a b +=+32,c a b ∴=+1023102,n a b ∴=+
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去， 当时，则
当时， 此时： ，而不为偶数，舍去， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时，则 而则不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或
题型5：增长率问题
【例8】（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】
设年平均增长率为x ，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解． 【详解】
()34134,3
n
F n a b ∴=
=+ 0b c ∴+=9b c +=18,b c +=0,b c +=0,b c ==0,a =9b c +=339,a b +=3,a b ∴+=1a =2,7,b c ==1227,n =()1227
4093
F n ==4+0+9=132a =1,8,b c ==2148,n =()2148
716,3
F n ==7+1+6=143a =0,9,b c ==3069,n =()3069
1023,3
F n =
=1+0+2+3=618b c +=9,b c ==3318,a b +=3a
=-()F n 2148n =3069,n =()0.6310.68x +=()2
0.6310.68x +=()0.63120.68x +=()2
0.63120.68x +=()2
1x +
解：设年平均增长率为x ，由题意得：
，
故选：B ．
【例9】（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】
（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】
（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ， 由题意得：210(1)12.1x +=， 解得：110%x =，221
10
x =-
（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%． （2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人．
1．（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x ，则可列方程为________． 【答案】2300(1)363x += 【分析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程． 【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x ；
()2
0.6310.68x +=
第一年粮食的产量为：300（1+x ）；
第二年粮食的产量为：300（1+x ）（1+x ）＝300（1+x ）2； 依题意，可列方程：300（1+x ）2＝363； 故答案为：300（1+x ）2＝363．
2．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【分析】
根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】
设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得：
故选：C.
题型6：几何图形问题
【例10】如图，一幅长、宽的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．
求彩条的宽度．
【答案】水平彩条宽度为，竖直彩条的宽度为． 【解析】
解：设水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为， 由题意得：， 整理得：，
x ()2
500014050x +=()2
405015000x +=()2
500014050x -=()2405015000x -=()2
5000-x =405018cm 6cm 3
8
1cm 2cm xcm 2xcm 3
8622868
x x x x +⨯-⨯=⨯⨯21090x x -+=
解得：，或 （不合题意舍去）， ∴， ，
答：水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为．
1．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP 15）将于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举办．昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽20米的矩形场地上要开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，草坪面积为627平方米．设小道的宽为x 米，则可列方程为________．
【答案】（35−2x ）（20−x ）＝627 【详解】
解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35−2x ）米，宽为（20−x ）米， ∴可列方程为（35−2x ）（20−x ）＝627， 故答案为（35−2x ）（20−x ）＝627． 题型7：方案问题
【例11】某制纸厂生产A 型、B 型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m 3，乙原料成本为1元/kg ，其它相关数据如下表所示：
甲原料/m 3
乙原料/kg
售价/元 每百张A 型纸 1 2 4 每百张B 型纸
1.2
3
5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m 3、乙原料240kg ，则这两种规格的纸各多少百张？ （2）若该厂生产A 型纸a 百张，则生产这种A 型纸的利润是多少元（用含a 的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000
百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产
A 型纸的数量是
B 型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？ 【分析】（1）列方程组求解即可；
（2）用代数式表示售价和成本，利用利润＝售价﹣成本得出结果；
1x =9x =1x =22x =1cm 2cm
（3）设未知数，利用方程，求解即可．
【解答】解：（1）设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，x+1.2y=108
2x+3y=240，
解得，x=60 y=40，
答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；
（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，
答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；
（3）设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，
每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，
每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，
①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，
解得m＝3000，则2m＝6000，
即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；
②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，
解得m＝5000，则2m＝10000，
即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；
因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．
【例12】雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆）400 500 600 （1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【分析】（1）根据需要丙型车的辆数＝（需要运送物质的总重量﹣甲型汽车运送货物的总重量﹣丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，根据一次正好
运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10＝4（辆）．
故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，
依题意，得：5x+8y=120
400x+500y=8200，
解得：x=8
y=10．
答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，依题意，得：5m+8n+10（14﹣m﹣n）＝120，
∴n＝10−5
2 m．
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，
∴m=0
n=10或
m=2
n=5或
m=4
n=0，
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4＝7400（元）；
方案2所需运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10＝7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，
∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
1．（2021·四川泸州市·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】
（1）设1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A 货车m 辆，则安排B 货车n 辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m ，n 均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】
解：（1）1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，
根据题意可得：，
解得：，
答：1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A 型车m 辆，B 型车n 辆， 依题意得：20m +15n =190，即， 又∵m ，n 均为正整数，
∴或或， ∴共有3种运输方案，
方案1：安排A 型车8辆，B 型车2辆； 方案2：安排A 型车5辆，B 型车6辆； 方案3：安排A 型车2辆，B 型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案2所需费用：5005+4006=4900(元)； 方案3所需费用：5002+40010=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000，
∴安排A 型车8辆，B 型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 题型8：利润问题
【例13】（2021·黑龙江绥化市·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖
329054160x y x y +=⎧⎨+=⎩20
15x y =⎧⎨=⎩
3834
n
m -=82m n =⎧⎨=⎩56m n =⎧⎨=⎩210m n =⎧⎨=⎩
⨯⨯⨯⨯⨯⨯A B A B ,A B A B
品数量的
，则在购买方案中最少费用是_____元． 【答案】330 【分析】
设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A ，B 的二元一次方程组，在设购买A 种奖品m 个，则购买B 种奖品(20-m )个，根据购买A 种奖品的数量不少于B 种奖品数量的
，即可得出关于m 的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】
解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元， 依题意，得：，
解得： ∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．
设购买A 种奖品m 个，则购买B 种奖品 个，根据题意得到不等式： m ≥
(20-m )，解得：m ≥，
∴
≤m ≤20， 设总费用为W ，根据题意得： W =20m +15(20-m )=5m +300， ∵k =5>0，
∴W 随m 的减小而减小， ∴当m =6时，W 有最小值， ∴W =5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元． 故答案为：330．
【例14】（2021·山东威海市·中考真题）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
2
5
B B 2
5
24100
52130x y x y +=⎧⎨
+=⎩
2015x y =⎧⎨
=⎩
(20)m -25
40740
7
（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？ 【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元． 【分析】
（1）设第一次每件的进价为x 元，则第二次进价为（1+20%）x ，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解． 【详解】
解：（1）设第一次每件的进价为x 元，则第二次进价为（1+20%）x ，
根据题意得：，解得：x =50， 经检验：x =50是方程的解，且符合题意， 答：第一次每件的进价为50元；
（2）（元）， 答：两次的总利润为1700元．
1．（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）
甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 【分析】
（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】
解：（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意得：
()
30003000
1200%1x x +-=()706000120%5030003000170050⎛⎫⨯- ⎪ ⎪+⨯⎝
=⎭+
， 整理得：x 2-18x +45=0， 解得：x =15或x =3（舍去），
经检验，x =15是原分式方程的解，符合实际， ∴x -5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得： w =（15-a ）（100+20a ）=-20a 2+200a +1500=-20（a -5）2+2000， ∵a =-20，
当a =5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 题型9：一般问题
【例15】（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架．根据题意可列出的方程组是（
）
A ．()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
B ．()()111.3122x x y y x y ⎧
=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
C ．()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
D ．()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
【答案】D 【分析】
分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】
设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴()1
112
x x y =
++ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架
900400
1005
x x +=-。