2022人教版数学《解一元二次方程(第课时)4》配套教案(精选)

解一元二次方程
第4课时
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x 2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x 2-
x=- 配方，得：x 2-
x+（）2=-+（）2
（x-
）2= x-
=±x 1=+==1 x 2=-
+== （2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；
（2）化二次项系数为1；
761
6
7671216712
71225144
71251251271275
12+5127127512-1
6
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1
，x 2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：
ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+
x=- 配方，得：x 2+
x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
∴≥0 直接开平方，得：x+=
即
∴x 1
，x 2
由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、
c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、
c 代入式子就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
b a
c a
b a 2b a
c a 2b a
2b a 22
44b ac
a -22
44b ac a
-2b
a
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x 1
，x 2
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3
×（-2）=49>0
x 1=2，x 2=-
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，
b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴
∴x 1x 2（3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P 42练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
(4)22--±==⨯57
6
±=1
3
=22
m x
+
你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x 1=，x 2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．
②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1
时，其一元一次方程的根为x=-．
五、归纳小结 本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．
211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩21020m m ⎧+=⎨-≠⎩1020
m m +=⎧⎨-≠⎩13
4
±=12
12
13
13
六、布置作业
1．教材复习巩固4． 2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（）．
A ．
B ．
C ．
D ．
2
x 2
=0的根是（）．
A
．x 1，x
2
B ．x 1=6
，x 2
C ．x 1，
x 2 D ．x 1=x 2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-
，x 1·x 2=；（2）求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时
元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A 表示）
（2根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？
b
a
c a
100
A
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．x=，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
三、1．x==a ±│b │
2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
∴x 1
，x 2
∴x 1+x 2==-，
x 1·
x 2=·=
（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0
原式
=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 2
2+cx 2
=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）·
=-A 2+ A
（2）依题意，得：（80-A ）·=15，A 1=30（舍去），A 2=50
第2课时 分式的乘方
一、教学目标：
1、理解分式乘方的运算法则
2、熟练地进行分式乘方的运算
2b a -±22
a 2
b b a -+b
a 2
b a -2b a -c
a
100A 11009
10
100
A
3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点
1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.
2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 计算下列各题：
（1）2)(b
a =⋅
b a b
a =（ ） (2) 3)(b
a =⋅
b a ⋅b a b
a =（ ） （3）4)(b
a =⋅
b a ⋅
b a b a b
a
⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出n
b
a )(（n 为正整数）的结果吗？
2、例题讲解
例5.计算(1) 332)2(a b - (2)4234223)()()(c a b
a c
b a
c ÷÷
[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 3、随堂练习
1．判断下列各式是否成立，并改正.
（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a
b -=
22
49a b -
（3）3)32(x
y -=3398x y （4）2
)3(b x x -=2
229b x x - 2．计算
(1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （2）3
2
223)2()3(x ay xy a -÷ （3）2
3322)(
)(z x z
y x -÷- （4))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (5)2
32)23()23()2(ay
x y x x y -÷-⋅- 4、小结
谈谈你的收获 5、布置作业 6、板书设计
四、教学反思：
第1课时 等腰三角形的性质
【知识与技能】
1.理解掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.
、发展形象思维.
【过程与方法】
、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.
2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.
【情感态度】
引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
等腰三角形的证明.
一、情境导入，初步认识
问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.
可按下列方法做出:
作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.
问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.
观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:
①∠B=∠C→两个底角相等.
②BD=CD→AD为底边BC上的中线.
③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.
∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.
指导学生用语言叙述上述性质.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:
“三线合一”).
教师指导对等腰三角形性质的证明.
1.证明等腰三角形底角的性质.
教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:
(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.
(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.
2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.
【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.
例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°
于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.
三、运用新知，深化理解
第1组练习:
1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.
3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
第2组练习:
1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )
2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )
A.80°
B.20°
C.80°和20°
D.80°或50°
2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.
4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.
【教学说明】
等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.
【答案】
第1组练习答案:
1.(1)72°;(2)30°
2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD
3.∠B=77°,∠C=38.5°
第2组练习答案:
3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=
4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.
4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.
四、师生互动，课堂小结
这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.
学生间可交流体会与收获.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。