第1节 绝对值不等式

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2.(2019·山东诊断)不等式|x+3|-|x-1|≥-2的解集为( C ) (A)(-2,+∞) (B)(0,+∞) (C)[-2,+∞) (D)[0,+∞)
解析:当x≤-3时,原不等式可化为-(x+3)-(1-x)≥-2,即-4≥-2,不成立; 当-3<x≤1时,原不等式可化为(x+3)-(1-x)≥-2,解得x≥-2,所以-2≤ x≤1; 当x>1,原不等式可化为(x+3)-(x-1)≥-2,即4≥-2成立,则x>1. 综上所述,原不等式的解集为[-2,+∞).故选C.
围是
.
解析:由题知,∃x∈R,|x-a|+|x-1|≤3⇔(|x-a|+|x-1|)min≤3,所以|a-1|≤3. 所以-2≤a≤4.故实数a的取值范围为[-2,4]. 答案:[-2,4]
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考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 |ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 【例1】 解下列不等式. (1)|2x-3|≤5;
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跟踪训练1:(1)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为
.
解析:(1)由于||x-2|-1|≤1, 即-1≤|x-2|-1≤1, 即|x-2|≤2, 所以-2≤x-2≤2, 所以0≤x≤4. 答案:(1)[0,4]
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(2)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为 .

x 4,x 1.
解:(1)f(x)=


3
x

2 , 1＜
x


3, 2


x

4 , x＞
3, 2
y=f(x)的图象如图所示.
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(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解: (2)由 f(x)的表达式及图象, 当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x= 1 或 x=5,
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跟踪训练2:(2019·洛阳模拟)解不等式:|2x+1|-|x-1|≤2.
解:当 x<- 1 时,-x-2≤2,解得-4≤x<- 1 ;
2
2
当- 1 ≤x≤1 时,3x≤2,解得- 1 ≤x≤ 2 ;
2
2
3
当 x>1 时,x≤0,此时 x 不存在.
所以原不等式的解集为[-4, 2 ]. 3
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【例2】 (2019·昆明模拟)已知函数f(x)=|2x-m|+m. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3},求实数m的值; (2)在(1)的条件下,求使f(x)≤a-f(-x)有解的实数a的取值范围.
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(2)解不等式f(x)≥x2-8x+15.
解: (2)因为|x-2|-|x-5|≥x2-8x+15, 所以当 x≤2 时,x2-8x+15≤-3,解得 x∈ . 当 2<x<5 时,x2-8x+15≤2x-7,解得 5- 3 ≤x<5; 当 x≥5 时,x2-8x+15≤3,解得 5≤x≤6, 综上所述,原不等式的解集为{x|5- 3 ≤x≤6}.
4.若|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为
.
解析:因为|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9, 所以当a<9时,不等式对x∈R均成立. 答案:(-∞,9)
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5.(2019·南宁模拟)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范
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3.(2017·河北质检)若关于
x
的不等式|ax-2|<3
的解集为
x

5 3
＜x＜ 13
,则
a=
.
解析:由题知-
5 3
和
1 3
是方程|ax-2|=3
的两根,即

1 3

a
5 3
a
2
2
3, 3,
解得
a=-3.
答案:-3
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2 所以原不等式的解集为{x|x<-1 或 x> 7 }.
2
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反思归纳 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)c>0,则|ax+b|≤c可转化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可转化为ax+b≥c或 ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可. (2)c<0,则|ax+b|≤c,根据几何意义可得解集为⌀;|ax+b|≥c的解集为R. (3)c=0,则|ax+b|≤c可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即可;|ax+ b|≥c的解集为R.
2 所以(|1-2x|-|2+2x|)max=3; 由 a2+2a>3,解得 a<-3 或 a>1, 即 a 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
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备选例题
【例1】 (2019·吉林模拟)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)求函数f(x)的值域;
解:(1)因为f(x)=|x-2|-|x-5|, 所以当x≤2时,f(x)=2-x-(5-x)=-3; 当2<x<5时,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7∈(-3,3); 当x≥5时,f(x)=x-2-(x-5)=3; 综上所述,函数f(x)的值域为[-3,3].
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考点三 已知不等式的解集求参数的取值范围 【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
3, x＜1, 解:(1)f(x)= 2x 1,1 x 2,
3, x＞2. 当 x<-1 时,f(x)≥1 无解. 当-1≤x≤2 时,由 f(x)≥1 得,2x-1≥1,解得 1≤x≤2. 当 x>2 时,由 f(x)≥1,解得 x>2. 所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}.
2பைடு நூலகம்
4
故 m 的取值范围为(-∞, 5 ]. 4
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反思归纳 (1)解含参数的绝对值不等式问题的两种方法 ①将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决. ②借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根据题目要求,求解参数的取值 范围. (2)不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ①分离参数法: 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题. ②更换主元法: 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主 元与参数互换,常可得到简捷的解法. ③数形结合法: 有的恒成立问题,可将其转化为函数或有几何背景的问题,通过画出函数图像或几何图形,可直观 解决问题.
知识梳理自测 考点专项突破
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知识梳理自测
知识梳理
把散落的知识连起来
1.绝对值不等式 (1)定理 如果a,b是实数,那么|a+b|≤ |a|+|b| ,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 _ 时,等号成立. (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. ②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. ③|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
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2.绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的方式转化为二次不等 式求解. (2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集
不等式 |x|<a |x|>a
a>0
{x| -a<x<a } {x| x>a或x<-a }
a=0
a<0


{x|x≠0}
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(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解: (2)由 f(x)≥x2-x+m 得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤
|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-(|x|- 3 )2+ 5 ≤ 5 . 2 44
且当 x= 3 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= 5 ,
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第十三篇 不等式选讲(选修4—5) 第1节 绝对值不等式
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考纲展示 1.理解绝对值的几何意义,并 了解下列不等式成立的几何意 义及取等号的条件:①|a+b|≤ |a|+|b|(a,b∈R);②|a-b|≤ |a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解 以下类型的不等式:|ax+b|≤c; |ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.
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1.不等式|x2-2|<2的解集是(
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
双基自测
D)
(C)(-1,0)∪(0,1)
(D)(-2,0)∪(0,2)
解析:由|x2-2|<2得-2<x2-2<2, 即0<x2<4,所以-2<x<0或0<x<2, 故解集为(-2,0)∪(0,2).故选D.
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跟踪训练3:(2019·鄂豫晋冀陕五省联考)已知函数f(x)=|1-2x|-|1+x|. (1)解不等式f(x)≥4;
解:(1)f(x)≥4
可化为|2x-1|-|x+1|≥4,等价于
2x 1 x＜ 1

x

1

4,
或
2x 1 x 1 4, 2x 1 x 1 4,
解析: (2)由|3x-b|<4,得 b 4 <x< b 4 ,
3
3
即
0 b 3＜b
3 3
4 ＜1, 4 4,
解得
5<b<7.
答案:(2)(5,7)
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考点二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 【例2】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象;
R
②|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|≤c⇔ -c≤ax+(cb>≤0)c, |ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或(ac>x+0b)≤. -c
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3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)不等式的解法 (1)零点分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞, a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列 出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的 距离之和大于c的点的集合. (3)图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解.

1
x

1 2
或

x＞
1 2
,
解得 x≤-2 或 x≥6,
所以不等式 f(x)≥4 的解集为(-∞,-2]∪[6,+∞).
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(2)若关于x的不等式a2+2a+|1+x|>f(x)恒成立,求实数a的取值范围.
解: (2)a2+2a+|1+x|>f(x)恒成立⇔a2+2a>(|1-2x|-|2+2x|)max. 因为|1-2x|-|2+2x|≤|1-2x+2+2x|=3(当 x≤-1 或 x≥ 1 时取等号),
解:(1)因为|2x-3|≤5, 所以-5≤2x-3≤5, 所以-2≤2x≤8, 所以-1≤x≤4, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.
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(2)|5-4x|>9.
解: (2)因为|5-4x|>9, 所以 5-4x>9 或 5-4x<-9, 所以 4x<-4 或 4x>14, 所以 x<-1 或 x> 7 ,
3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1 的解集为{x|x< 1 或 x>5}.
3 所以|f(x)|>1 的解集为{x|x< 1 或 1<x<3 或 x>5}.
3
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反思归纳 解含两个或多个绝对值符号的不等式,利用零点分段讨论法求解 时,要注意以下三个方面:一是准确去掉绝对值符号;二是求得不等式的解后, 要检验该解是否满足x的取值范围;三是将各区间上的解集求并集.