云南省德宏州名族中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷文含解析

2014-2015学年云南省德宏州名族中学高三（上）第二次月考数学试
卷（文科）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题只有一项是符合题意，请将答案答在答题卡上．每小题5分，共60分）
1．若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=( )
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|x＜1}
C．{x|x＞3}
D．{x|1＜x＜2}
2．设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=( ) A．﹣
B．﹣
C．
D．
4．在等差数列{a n}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为( )
A．24
B．39
C．52
D．104
5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为( )
A．4和3
B．4和2
C．3和2
D．2和0
6．函数是( )
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的偶函数
7．已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=( )
A．
B．
C．2
D．4
8．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是( )
A．
B．
C．
D．
9．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[﹣1，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]
D．（﹣∞，﹣1）
10．设各项为正的等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则的值为( ) A．
B．
C．
D．2
11．定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f （3），b=f（1），c=﹣2f（﹣2），则( )
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞b＞c
12．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为( )
A．
B．
C．
D．不存在
二、填空题（本大题共有4个小题．每空5分，共20分）
13．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=__________．
14．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•=__________．15．对于任意的x∈R，不等式sin2x+msinx+≤0恒成立，则m的取值范围是__________．16．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是__________．
三、解答题（本大题共有6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知a，b，c是△ABC三边长且a2+b2﹣c2=ab，△ABC的面积．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求a，b的值．
18．已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．
19．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标．
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（2n+1）（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
21．函数f（x）=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
2014-2015学年云南省德宏州名族中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题只有一项是符合题意，请将答案答在答题卡上．每小题5分，共60分）
1．若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=( )
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|x＜1}
C．{x|x＞3}
D．{x|1＜x＜2}
考点：交集及其运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：解对数不等式求出N，再由两个集合的交集的定义求出M∩N．
解答：解：集合M={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}，
故M∩N={x|2＜x＜3}，
故选A．
点评：本题主要考查对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2．设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( ) A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
解答：解：∵集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，
∴“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，
“x∈M∩P”⇒“x∈M，或x∈P”，
∴“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
故选A．
点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=( ) A．﹣
B．﹣
C．
D．
考点：奇函数；函数的周期性．
专题：计算题．
分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，
故选：A．
点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
4．在等差数列{a n}中，有a6+a7+a8=12，则此数列的前13项之和为( )
A．24
B．39
C．52
D．104
考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质可得，a6+a7+a8=3a7可求a7，然后代入等差数列的求和公式
=13a7即可求解
解答：解：由等差数列的性质可得，a6+a7+a8=3a7=12，
∴a7=4
∴=13a7=52
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为( )
A．4和3
B．4和2
C．3和2
D．2和0
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y 最大，从而得到选项．
解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示
在坐标系中画出可行域
平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，
则目标函数z=2x+y的最小值为2．
经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，
则目标函数z=2x+y的最大值为：4．
故选B．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
6．函数是( )
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的偶函数
考点：三角函数中的恒等变换应用．
专题：常规题型；计算题；三角函数的图像与性质．
分析：利用函数的奇偶性的定义判断后，再利用升幂公式，将f（x）化为f（x）=2
﹣，利用余弦函数的性质与二次函数的性质即可求得答案．
解答：解：∵f（x）=cos2x+cosx，
f（﹣x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x）=cos2x+cosx=f（x），
∴f（x）=cos2x+cosx是偶函数；
又f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2﹣，
当cosx=1时，f（x）取得最大值2；
当cosx=﹣时，f（x）取得最小值﹣；
故选：D．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查余弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=( )
A．
B．
C．2
D．4
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求||．
解答：解∵，，
∴2=（3，x），由⇒3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=，
∴或，∴||=，或
||=．
故选C．
点评：本题考查了运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，若，
，则⇔x1x2+y1y2=0．
8．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是( )
A．
B．
C．
D．
考点：正弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由于A、B中的函数的最小正周期都是=4π，故排除A、B；把代入C中的函
数，函数值取得最大值1，满足条件；
把代入D中的函数，函数值为﹣，不满足条件，排除D，从而得出结论．
解答：解：由于A、B中的函数的最小正周期都是=4π，故不满足条件，排除A、B．
把代入C中的函数，函数值取得最大值1，故此函数的图象关于直线对称，故满足
条件．
把代入D中的函数，函数值为﹣，没有取得最值，故不满足条件，排除D，
故选C．
点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的最小正周期，以及它的对称性，属于中档题．9．若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是( )
A．[﹣1，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]
D．（﹣∞，﹣1）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．
解答：解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，
故选C
点评：本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
10．设各项为正的等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则的值为( ) A．
B．
C．
D．2
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的方程，根据q不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意q的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的式子，把q的值代入即可求出值．
解答：解：由a3、a5、a6成等差数列，得到2a5=a3+a6，
则2a1q4=a1q2+a1q5，由a1≠0，q≠0，得到2q2=1+q3，
可化为：（q﹣1）（q2﹣q﹣1）=0，又q≠1，
∴q2﹣q﹣1=0，解得：q=或q=（小于0，不合题意，舍去），
则则===．
故选B．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．
11．定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f （3），b=f（1），c=﹣2f（﹣2），则( )
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞b＞c
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：先构造函数g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且g'（x）＜0恒成立，从而故g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，根据偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递增，即可比较a，b，c的大小．
解答：解：设g（x）=xf（x），依题意得g（x）是偶函数，
当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0，
即g'（x）＜0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，
则g（x）在（0，+∞）上递增，
又a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g（2），
故a＞c＞b．
故选A．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
12．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为( )
A．
B．
C．
D．不存在
考点：基本不等式．
专题：不等式．
分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．
解答：解：∵a7=a6+2a5，
∴a5q2=a5q+2a5，
∴q2﹣q﹣2=0，
∴q=2，
∵存在两项a m，a n使得，
∴a m a n=16a12，
∴q m+n﹣2=16=24，而q=2，
∴m+n﹣2=4，
∴m+n=6，
∴=（m+n）（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当m=2，n=4时等号成立，
∴的最小值为，
故选：A．
点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和
二、填空题（本大题共有4个小题．每空5分，共20分）
13．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．
考点：导数的运算．
分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．
解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，
所以f（1）+f′（1）=3
故答案为：3
点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．14．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2﹣）•=13．
考点：平面向量数量积的运算．
分析：根据向量与的夹角为120°，且||=2，||=5可得：（2﹣）•=22﹣
•=2×，得到答案．
解答：解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=5
∴（2﹣）•=22﹣•=2×
故答案为：13．
点评：本题主要考查向量数量积的运算法则．属基础题．
15．对于任意的x∈R，不等式sin2x+msinx+≤0恒成立，则m的取值范围是0＜m≤1．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用二次函数的单调性、正弦函数的单调性值域、不等式的解法即可得出．
解答：解：不等式sin2x+msinx+≤0化为．
对于任意的x∈R，不等式sin2x+msinx+≤0恒成立
⇔，或．
解得0＜m≤1或m∈∅．
∴m的取值范围是0＜m≤1．
故答案为：0＜m≤1．
点评：本题考查了二次函数的单调性、正弦函数的单调性值域、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
16．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．
解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，
又由lg2x+lg8y=lg2，
则x+3y=1，
进而由基本不等式的性质可得，
=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，
当且仅当x=3y时取等号，
故答案为：4．
点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．
三、解答题（本大题共有6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知a，b，c是△ABC三边长且a2+b2﹣c2=ab，△ABC的面积．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求a，b的值．
考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用cosC=，求角C；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式及余弦定理，可求a，b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面积S=，
∴=10，
∴ab=40①，
∵c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=49，
∴a+b=13②，
由①②，解得a=8，b=5或a=5，b=8．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积公式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．
18．已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：计算题．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x﹣）+1，由f（x）=，求得sin（x﹣）=，可得得cos（x﹣）=．再由cosx=cos[（x﹣）+]计算求得结果．
（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c﹣ a 可得2sinAcosB≥sinA，故cosB≥，B∈（0，]，由此求得 f（B）的取值范围．
解答：解：（1）函数f（x）=+1=sin cos﹣cos2+1=﹣+1=sin（x ﹣）+．
∵f（x）=，∴sin（x﹣）=．
又∵x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，故 cos（x﹣）=．
∴cosx=cos[（x﹣）+]=cos（x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin=．
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c﹣a，可得2sinBcosA≤2sinC﹣sinA，
∴2sinBcosA≤2sin（A+B）﹣sinA，
∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）﹣sinA，2sinAcosB≥sinA，
∴cosB≥，∴B∈（0，]．
∴sin（B﹣）∈（﹣，0]，即 f（B）=sin（B﹣）+，∴f（B）∈（0，]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19．已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标．
（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于2，待定系数法求出的坐标．（2）由+2与2﹣垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值，再利用夹角θ的范围，求出此角的大小．
解答：解：（1）设
∵∥且||=2
∴，
∴x=±2
∴=（2，4）或=（﹣2，﹣4）
（2）∵（+2）⊥（2﹣）
∴（+2）•（2﹣）=0
∴22+3•﹣22=0
∴2||2+3||•||cosθ﹣2||2=0
∴2×5+3××cosθ﹣2×=0
∴cosθ=﹣1
∴θ=π+2kπ
∵θ∈[0，π]
∴θ=π
点评：本题考查平面上2个向量平行、垂直的条件，以及利用2个向量的数量积求2个向量的夹角．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣n
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=（2n+1）（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等比关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）根据题中已知条件S n=2a n﹣n，得出n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣（n﹣1）此两式作差整理即可得到入a n+1所满足的关系，从而可求出数列{a n+1}的通项公式得到所求；
（2）根据数列{b n}的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵S n=2a n﹣n
当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1
当n≥2时，S n=2a n﹣n ①
S n﹣1=2a n﹣1﹣n+1 ②
①﹣②得a n=2a n﹣1+1即a n+1=2（a n﹣1+1）
∵a1+1=2≠0∴a n﹣1+1≠0
∴
∴{a n+1}是以首项为2，公比为2的等比数列
a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1
（2）b n=（2n+1）•2n T n=3•2+5•22+7•23+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，
2T n=3•22+5•23+7•24+…+（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1，
∴﹣T n=6+2（22+23+24+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1，
∴T n=2+（2n﹣1）•2n+1．
点评：本题主要考查了利用构造法求数列的通项，以及利用错位相消法求数列的前n项和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
21．函数f（x）=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（1）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可．
（2）对于[﹣2，2]区间内的任意x恒成立，同样考虑二次函数的最值问题，按区间与对称轴的关系分三种情况讨，最后结合图象即可解决问题．
解答：解：（1）∵x∈R时，有x2+ax+3﹣a≥0恒成立，
须△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即a2+4a﹣12≤0，所以﹣6≤a≤2．
（2）当x∈[﹣2，2]时，设g（x）=x2+ax+3﹣a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即﹣6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
当﹣≤﹣2时，g（x）≥0，即即⇔
解之得a∈Φ．
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
﹣≥﹣2时，g（x）≥0，即即⇔⇔﹣
7≤a≤﹣6
综合①②③得a∈[﹣7，2]．
点评：本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，注意（1）、（2）两问的不同点，都是利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题的．
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．
（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a﹣1），
从而求得a的取值范围．
（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，得到，
解出实数b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，所以，，所以，a=1．
所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，
解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．
所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，
所以，即可．则．由解得．
所以，a的取值范围是．
（Ⅲ）依题得，则．
由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，
解得．所以，b的取值范围是．
点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．。