4 二次函数的应用

第二章 二次函数
(2)七月份汛期来临, 河水水位上涨. 假设水位比AB所在直线高 出1.96 m, 这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面 厚度的情况下, 一条高出水面4.6 m的游船能否顺利通过大桥 (忽略船宽的影响)？
第二章 二次函数
解 (1)以AB所在直线为x轴, 直线OC为y轴, 建立平面直角坐标系, 如图2-4-10所示. 设抛物线的函数表达式为y=ax2+c. 由题意, 得B(50, 0), C(0, 25)两点在抛物线上,
解 (1)已知其中一块绿化区的长为x m, 则出口的宽为(100-2x)m, ∴一块绿化区的宽为 ×[80-(100-2x)]=(x-10)m, ∴y=50×4x(x-10)+60×[100×80-4x(x-10)] =200x2-2000x+480 000-240x2+2400x =-40x2+400x+480 000, 即y=-40x2+400x+480 000(20≤x≤25).
第二章 二次函数
题型五 二次函数与一次函数的综合应用题
例题5 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果, 他俩商定： 张经理的采购价y(单位：元 / 吨)与采购量x(单位：吨)之间的函 数关系如图2-4-12中的折线ABC所示(不包含端点A, 但包含端点C). (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨, 那么张经理的采购量为多少时, 老王在这 次买卖中所获得的利润w最大？最大利润 是多少？
第二章 二次函数
解 (1)y=60- (0≤x≤600, 且x是10的整数倍).
(2)z=(200+x)(60- )=- x2 +40x+12 000. (0≤x≤600, 且x是10的整数倍). (3)w=(200+x)(60- )- 20(60- )
第二章 二次函数
=- x2+42x+10 800=- (x-210)2+15 210
第二章 二次函数
4 二次函数的应用
第二章 二次函数
考场对接
题型一 利用二次函数解决最大面积问题
例题1 [ 安徽中考] 为节省材料, 某水产养 殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边, 用总长为80 m的围网在水库中围成了如图24-8所示的①②③三块矩形区域, 而且这三 块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m, 矩形区域ABCD的面积为y m2.
第二章 二次函数
锦囊妙计
应用二次函数解决面积最大问题的步骤 (1)分析题中的变量与常量, 设自变量, 并用自变量表示其他 未知量； (2)根据几何图形的面积公式建立函数模型； (3)结合函数图像及性质, 考虑实际问题中自变量的取值范围, 求出面积的最大值.
第二章 二次函数
题型二 利用二次函数解决最大利润问题
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You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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第二章 二次函数
(2)求该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数表达式； (3)求该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数表达式, 并求当每个房间的定价为每天多少元时, w有最大值, 最大利润 是多少.
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.721.9.7Tuesday, September 07, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。00:05:1900:05:1900:059/7/2021 12:05:19 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.700:05:1900:05Sep-217-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。00:05:1900:05:1900:05Tuesday, September 07, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.721.9.700:05:1900:05:19September 7, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二上午12时5分19秒00:05:1921.9.7 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午12时5分21.9.700:05September 7, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月7日星期二12时5分19秒00:05:197 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午12时5分19秒上午12时5分00:05:1921.9.7
第二章 二次函数
例题6 随着地铁和共享单车的发展, “地铁+单车”已成为很多 市民出行的选择, 小李从文化宫站出发, 先乘坐地铁, 准备在离 家较近的A, B, C, D,E中的某一站出地铁, 再骑共享单车回家, 设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位：千米), 乘坐地铁 的时间y1(单位：分)是关于x的一次函数, 其关系如下表：
(0≤x≤600, 且x是10的整数倍). 当x=210时, w有最大值. 此时, 200+x=410, 故当每个房间每天的定价为410元时, w有最大值, 最大利润是15 210元.
第二章 二次函数
锦囊妙计
二次函数与价格调整、利润最大问题 (1)价格调整分涨价和降价. (2)利润=每件利润×销售量. (3)商品价格上涨, 销售量会随之下降；商品价格下降, 销售量 会随之增加. 两种情况都会导致利润的变化
第二章 二次函数
(1)求y与x之间的函数表达式, 并注明自变量x的取值范围； (2)当x为何值时, y有最大值？最大值是多少？
第二章 二次函数
解 (1)∵三块矩形区域的面积相等, ∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍,∴AE=2BE. 设BE=CF=a, 则AE=HG=DF=2a. ∵DF+CF+HG+AE+BE+EF+BC=80,∴8a+2x=80, ∴a=- x+10, 3a=- x+30,∴y=(- x+30)x=- x2+30x. ∵- x+10＞0,∴x＜40,故y=- x2+30x(0＜x＜40). (2)∵y=- x2+30x=- (x-20)2+300, 且- ＜0, ∴当x=20时, y有最大值, 最大值是300.
例题2 某宾馆客房部有60个房间供游客居住, 当每个房间每天 的定价为200元时, 房间可以住满；当每个房间每天的定价每增 加10元时, 就会有1个房间空闲. 对有游客入住的房间, 宾馆需 对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价 增加x元. (1)求房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数表达式；
第二章 二次函数
解 (1)当0<x≤20时, y=8000.
当20<x≤40时, 设线段BC满足的函数表达式为 y=kx+b,
由函数图像可知, 点B的坐标为(20, 8000), 点C的坐标为(40, 4000), 将这两点的坐标代入函数表达式, 得 所以y=-200x+12 000.
第二章 二次函数
∴投资46.9万元能完成这项工程任务, 有以下三种工程方案：
工程方案一：一块矩形绿化区的长为23 m, 宽为13 m；
工程方案二：一块矩形绿化区的长为24 m, 宽百度文库14 m；
工程方案三：一块矩形绿化区的长为25 m, 宽为15 m.
第二章 二次函数
锦囊妙计
最佳方案问题 解决方案设计问题的关键是根据方案要求,求出方案划分的关键数 据, 从这一数据出发分类设计.
第二章 二次函数
(1)求y1关于x的函数表达式； (2)若小李骑单车的时间y2(单位：分)与x满足关系式y2=ax2+bx+78, 且此函数图像的对称轴为直线x=11, 当小李选择在C站出地铁时, 还需骑共享单车18分钟才能到家, 试求y2与x的函数表达式； (3)试求小李应选择在哪一站出地铁, 才能使他从文化宫回到家所 需的总时间最短？并求出最短时间(其他环节时间忽略不计).
第二章 二次函数
解 (1)设y1关于x的函数表达式为y1=kx+b, 将(8, 18), (9, 20)代入,得解得∴y1=2x+2. 将其他几组数值代入y1=2x+2, 均成立, 故y1关于x的函数表达式为y1=2x+2.
(2)由题意得 ∴y2= x2-11x+78.
解得
第二章 二次函数
(3)设小李从文化宫回到家所需的总时间为y分钟, 则y=y1+y2=2x+2+ x2-11x+78= x2-9x+80= (x-9)2+39.5. ∵a= >0, ∴当x=9时, y有最小值, y最小值=39.5, 故小李应选择在B站出地铁, 才能使他从文化 宫回到家所需的总时间最短, 最短时间为39.5分钟.
∴该游船能顺利通过大桥.
第二章 二次函数
锦囊妙计
用二次函数解决拱桥类问题的一般步骤 (1)恰当地建立平面直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出函数表达式； (4)代入已知条件或点的坐标, 求出函数表达式； (5)利用函数表达式求解.
第二章 二次函数
题型四 利用二次函数解决最佳方案问题
第二章 二次函数
题型三 利用二次函数解决拱桥类问题
例题3 徒骇河大桥桥体造型新颖,气势恢宏,两条拱肋如长虹卧 波, 极具时代气息. 大桥为中承式悬索拱桥,大桥的主拱肋ACB 是抛物线的一部分(如图2-4-9), 跨径AB为100 m,拱高OC为25 m, 抛物线顶点C到桥面的距离为17 m. (1)请建立适当的平面直角坐标系, 求该抛物线的函数表达式.
第二章 二次函数
(2)能完成这项工程任务.
当y=469 000时, -40x2+400x+480 000=469 000,即x2-10x-275=0,
解这个方程, 得x=
=5±
.
负值不符合题意, 舍去.取正值得x=5+
≈22.32.
∴当y≤469 000时, 满足条件的x的正整数值为23, 24, 25,
(2)当0<x≤20时, 老王获得的利润w=(8000-2800)x=5200x. 因为k=5200＞0,所以w随x的增大而增大,
所以当x=20时, w最大值=104 000. 此时老王获得的最大利润为104 000元. 当20<x≤40时, 老王所获得的利润w=(-200x+12 000-2800)x=-200(x246x)=-200(x-23)2 +105 800.所以当x=23时, w最大值=105 800. 此时老王获得的最大利润为105 800元.因为105 800>104 000, 所以当张 经理的采购量为23吨时, 老王在这次买卖中所获得的利润w最 大, 最大利润是105 800元.
第二章 二次函数
(1)设其中一块绿化区的长为x(单位：m), 写出工程总造价y(单位： 元)与x(单位：m)之间的函数表达式(写出x的取值范围). (2)如果小区投资46.9万元, 那么能否完成这项工程任务？若能, 请写出x为整数的所有工程方案；若不能, 请说明理由(参考数据：
≈1.732).
第二章 二次函数
例题4 某小区计划将一块长100 m、宽80 m的 空地建成花园广场, 设计图案如图2-4-11所示. 在这个图案中, 阴影区域为绿化区(四块绿化 区是全等的矩形), 空白区域为活动区, 且四 周出口一样宽, 宽度不小于50 m, 不大于60 m, 预计活动区每平方米的造价为60元, 绿化区每 平方米的造价为50元.
∴该抛物线的函数表达式是y=-
x2+25(建立的平面直角坐标系不同, 得
到的抛物线的函数表达式就不同).
第二章 二次函数
(2)当水位比AB所在直线高出1.96 m时,
将y=1.96代入函数表达式y=-
x2+25, 得
解得x=±48, 48×2=96(m).故位于水面上的拱肋的跨径是96 m. 根据题意, 游船的最高点到桥面的距离为 (25-17)-(1.96+4.6)=1.44(m),