正弦定理习题及答案

正弦定理习题及答案
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B＝2，sin A＝，则b的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：　由正弦定理得b＝＝＝4.
答案：　B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
解析：　∵sin2A＝sin2B＋sin2C.
∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2
∴△ABC是直角三角形．
答案：　C
3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于( )
A. B．2
C. D．3
解析：　∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，
∴a＝＝＝3.
答案：　D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )
A．b＝10，A＝45°，B＝70° B．a＝60，c＝48，B＝100°
C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45°
解析：　D中，b sin A＝8，a＝14，所以b sin A<a<b，所以三角形有两个解．故选D.
答案：　D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．
解析：　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，
∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，
设＝＝＝k，
则a＝k sin A＝k，b＝k sin B＝k，c＝k sin C＝.
∴a∶b∶c＝2∶∶1.
答案：　2∶∶1
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b ＝2，A＝60°，则tan B＝________.
解析：　由正弦定理得sin B＝＝×＝，
根据题意，得b<a，
故B<A＝60°，因此B为锐角．
cos B＝＝.
故tan B＝＝.
答案：　
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝，b＝2，求B.
(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝2，求B.
解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝，
解得sin B＝
∵b>a，∴B>A.
∴B＝45°或135°.
(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝，
解得sin B＝，
∵b<a，∴B<A.
∴B＝45°.
8．在△ABC中，若sin B＝＝，且B为锐角，试判断△ABC的形状．解析：　∵sin B＝，且B为锐角，
∴B＝45°.
∵＝.
∴由正弦定理得＝，
又∵A＋C＝135°，
∴sin(135°－C)＝sin C，
整理得cos C＝0.
∴C＝90°，A＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
☆☆☆
9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别
为a，b，c，且a cos A＝b cos B，求的取值范围．
解析：　∵a cos A＝b cos B，
∴sin A cos A＝sin B cos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
∴A＝B或A＋B＝.
如果A＝B，则a＝b不符合题意，
∴A＋B＝.
∴＝＝sin A＋sin B＝sin A＋cos A
＝sin(A＋)，
∵a≠b，C＝，
∴A∈且A≠，
∴∈(1，)．。