目标规划图解法
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间,两厂的单位运转成本当作它们的权系数.
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台,每天8h,每月25天 7台,每天16h,每月25天
P4:甲厂的超过作业时间全月不宜超过30h. P5:B药的销量必须完成1000单位. P6:两个工厂的超时工作时间总和要求限制,其限制
的比率依各厂每小时运转成本为准.
成本 18元 15元
该问题的目标规划模型:
Min Z P1d3 P2d4 P3(6d1 5d2 ) P4d11 P5d5 P6 (6d1 5d2 )
2
x1
4
x2
2.5x1 1.5x2
d1 d1 2400 d2 d2 2800
s.t.
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
ak1
x1
ck 2 x2
ckn xn bk
x1, x2 , , xn 0
1.决策变量与偏差变量 决策变量也称控制变量,用x1、x2、…、xn表示.
d
1
e1
y1
d
1
y1
e1
di ,di 表示第i个目标的实际值超出目标值
例2 某制药公司有甲、乙两个工厂,现要生产A、B 两种药品均需在两个工厂生产.A药品在甲厂加工2h,然后送到乙 厂检测包装2.5h才能成品,B药在甲厂加工4h,再到乙厂检测包装1.5h才能成品.A、B药在公司内的每月存贮费 分别为8元和15元.甲厂有12台制造机器,每台每天工作8h,每月正常工作25天,乙厂有7台检测包装机,每天每 台工作16h,每月正常工作25天,每台机器每小时运行成本:甲厂为18元,乙厂为15元,单位产品A销售利润为20 元,B为23元,依市场预测次月A、B销售量估计分别为1500单位和1000单位.
实际值+负偏差变量-正偏差变量=目标值 绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束,也称为系统约束,如资源、客观条件约束等,不能满足绝对 约束的解即为不可行解,因此也称为硬约束.
3.目标规划的目标函数(达成函数)
判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差 越小越好.
① 要求恰好达到目标值的 ② 要求不能超过目标值 ③ 要求超过目标值
l4
l2 C
d
1
d
3
o
F
l1
A
x1
E
D
图3-2 图解法示意图
由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)、(8,0)、(4.8 , 2.4), 故满意解可表示为:
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
2 x 1 x 2 140 (甲 资 源 )
x1
60 (乙 资 源 ) x 2 100 (丙 资 源 )
x 1 2 0
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
解:以产品 A、B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数,模型如下:
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2
500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
பைடு நூலகம்
x1
2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
x1
60 (乙 资 源)
x2 100 (丙资源)
x1 2 0
其中目标函数为总利润,x1,x2 为产品A、B产量。现有下列目标: 1、要求总利润必须超过 2500 元; 2、考虑产品受市场影响,为避免积压,A、B的生产量不超过 60 件和 100 件; 3、由于甲资源供应比较紧张,不要超过现有量140。 试建立目标规划模型,并用图解法求解。
第四章 目标规划
一、多目标规划解决的问题
1、有多个目标希望同时实现,目标之间可能相互 矛盾。
2、有一个目标函数,但由于资源条件的限制,约 束条件可能互不相容。
二、多目标规划基本概念
Max y1 c11x1 c12x2 c1nxn
Max
y2
c21x1
c22x2
c2nxn
Max ym cm1x1 cm2x2 cmnxn
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x 1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
所以,有下式: minZ=P3
d
2
max Z 30 x 1 12 x 2
x2
d
3
d
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
3 x1 10 x2 3000
x1 ,
x2
0
,
d
i
,
d
i
0, (i
1, 2, 3)
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
x2
d
3
d
3
200
9
.2
x1
4 x1
4
x2
d
4
( 可取一确定的非负实数),
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
x2
d
4
d
4
100
x1
2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
由上可知:若A、B的计划产量为60件和58.3件时,所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下,此解为非可行 解。为此,企业必须采取措施降低A、B产品对甲资源的消耗量,由原来的100%降至78.5%(140÷178.3= 0.785),才能使生产方案(60,58.3)成为可行方案。
例3:用图解法求解目标规划问题
MinZP1d1 P2d2 P3d3
5x1 10x2 60
x1 2x2
d1 d1 0
s.t 4x1 4x2 d2 d2 36
6x18x2 d3 d3 48
x1,x2 0, di,di 0, (i 1, 2,3)
(l1) (l2) (l3) (l4)
1(量2负34、、、包 ) 偏确在求转括 在 差定 目 满 到目 坐 变各 标 足 下标 标 量约 最 一约 平 值束 高 个束 面 增条 所 优 优和 上 大件 代 先 先绝 表 的的 表 等 等对 示 方可 的 级 级约 出 向行 边 目 的束 来 ;M 域 界 标 目, ;, 线 的 标i暂n即 上 解 ,不Z将 , ; 再考所用不虑5有箭破P正x1x约头坏d1负11束标所偏条出有2差1x件正较P0变22、高dx优22d先1等6P30级dd目31标的0前提下,求出该优先等级目标的解; s.t 4x1 4x2 d2 d2 36
图解法解题步骤如下: 1、确定各约束条件的可行域,即将所有约束条件(包括目标约束和绝对约束,暂不考虑正负偏差变量)在坐标 平面上表示出来; 2、在目标约束所代表的边界线上,用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向;
3、求满足最高优先等级目标的解; 4、转到下一个优先等级的目标,在不破坏所有较高优先等级目标的前提下,求出该优先等级目标的解; 5、重复4,直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止; 6、确定最优解和满意解。
Yˆ33.730.516X
预测实例:已知时间序列{x(t)} = {x(1), x(2), …, x(18)}的 值为: 例5:已知某企业某项生产指标连续18个月的实际产量, 试根据表中前11个月的数据预计该指标后7个月的产量。
在预测过程中,希望越到近期预测值和实际值之间拟合的越好,即比较“重视”后面的数据。
d
4
3600
5
x2
d
5
d
5
2000
3 x1
10 x2
d
6
d
6
3000
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0,
( i 1 , 2 , , 6 )
例1 某市准备在下一年度预算中购置一批救护车,已知 每辆救护车购置价为20万元。救护车用于所属的两个郊 区县,各分配XA和XB台。A县救护站从接到电话到救护 车出动的响应时间为(40-3XA)min,B县响应的时间 为(50-4XB)min。该市确定如下优先级目标: P1:用于救护车购置费用不超过400万元; P2:A县的响应时间不超过5min; P3:B县的响应时间不超过5min。 建立目标规划。
x2
6x18x2 d3 d3 48
x1,x2 0, di,di 0, (i 1,2,3)
d
2
l3 B
l4
l2 C
d
1
d
3
o
F
l1
A
x1
E
D
图3-2 图解法示意图
(l1) (l2) (l3) (l4)
故C、D、E、F 内任意点都是该问题的最优解,可使目标函数:
min z =0
x2
d
2
l3 B
d
1
y1
e1
di 0,di 0表示第i个目标的实际值未达到目标值
y1
e1
di ,di 表示第i个目标的实际值恰好等于目
标值.并且无论发生哪种情况均有:
di di
2目标约束与绝对约束 通过确定各目标的目标值、引入偏差变量,把目标函数转化成约束方程,从而并入原约束条件中,我们称这类具
有机动余地的约束为目标约束.
MinZdidi
MinZ di
MinZ di
MinZ (did j )
i,j
4.优先因子与权系数
第一位要求达到的目标,赋予优先因子P1,在它实现的前提下再去解决次要目标.依次把第二位达到的目标赋予优 先因子P2 ……,并规定Pk » Pk+1
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标,则可分别赋予它们不同的权系数 根据目标的重要程度而给它们赋值,重要的目标,赋值较大,反之值就小.
8 x1 15 x2 x1
d3 d3 23000 d4 d4 1500
x2 d5 d5 1000
d1 d11 d11 30
x1, x2 0, di, di 0, (i 1, 2,3, 4,5,11)
二、目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题,但其操作简单,原理一目了然。同时,也有助于理解一般目标规划的 求解原理和过程。
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一、问题的提出
二、目标规划的基本概念 1. 决策变量与偏差变量 2. 目标约束与绝对约束 3. 目标规划的目标函数(达成函数) 4. 优先因子与权系数
三、目标规划在预测中的应用 十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》一书中,提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概
念,为相关论奠定了基础。其后,他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长做了测量,发现: 儿子身高(Y,英寸)与父亲身高(X,英寸)存在线性关系:
其中: , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况,即: 满足前面几级目标要求.
,在实际中并不多见,很多目标规划问题只能
mizn0
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 (利润)
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x 1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论:C(60 ,58.3)为所求的满意解。
将C(60 ,58.3)代入:
将 x1=60, x2 =58.3 带入约束条件,得 30×60+12×58.3=2499.6≈2500; 2×60+58.3=178.3 > 140; 1×60=60 1×58.3=58.3 < 100
作图:
x2
140 120 100 80 60 40 20
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
D
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台,每天8h,每1月2×258天×25=2400 7台,每天16h,每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序,以实现 次月的生产与销售目标,试确定A、B药生产多少,使目标达到最好。 P1:厂内的储存成本不超过23000元. P2:A销售量必须完成1500单位. P3:甲、乙两工厂的设备应全力运转,避免有空闲时
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台,每天8h,每月25天 7台,每天16h,每月25天
P4:甲厂的超过作业时间全月不宜超过30h. P5:B药的销量必须完成1000单位. P6:两个工厂的超时工作时间总和要求限制,其限制
的比率依各厂每小时运转成本为准.
成本 18元 15元
该问题的目标规划模型:
Min Z P1d3 P2d4 P3(6d1 5d2 ) P4d11 P5d5 P6 (6d1 5d2 )
2
x1
4
x2
2.5x1 1.5x2
d1 d1 2400 d2 d2 2800
s.t.
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
ak1
x1
ck 2 x2
ckn xn bk
x1, x2 , , xn 0
1.决策变量与偏差变量 决策变量也称控制变量,用x1、x2、…、xn表示.
d
1
e1
y1
d
1
y1
e1
di ,di 表示第i个目标的实际值超出目标值
例2 某制药公司有甲、乙两个工厂,现要生产A、B 两种药品均需在两个工厂生产.A药品在甲厂加工2h,然后送到乙 厂检测包装2.5h才能成品,B药在甲厂加工4h,再到乙厂检测包装1.5h才能成品.A、B药在公司内的每月存贮费 分别为8元和15元.甲厂有12台制造机器,每台每天工作8h,每月正常工作25天,乙厂有7台检测包装机,每天每 台工作16h,每月正常工作25天,每台机器每小时运行成本:甲厂为18元,乙厂为15元,单位产品A销售利润为20 元,B为23元,依市场预测次月A、B销售量估计分别为1500单位和1000单位.
实际值+负偏差变量-正偏差变量=目标值 绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束,也称为系统约束,如资源、客观条件约束等,不能满足绝对 约束的解即为不可行解,因此也称为硬约束.
3.目标规划的目标函数(达成函数)
判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差 越小越好.
① 要求恰好达到目标值的 ② 要求不能超过目标值 ③ 要求超过目标值
l4
l2 C
d
1
d
3
o
F
l1
A
x1
E
D
图3-2 图解法示意图
由于C、D、E、F 坐标分别为(6, 3)、(9, 0)、(8,0)、(4.8 , 2.4), 故满意解可表示为:
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
2 x 1 x 2 140 (甲 资 源 )
x1
60 (乙 资 源 ) x 2 100 (丙 资 源 )
x 1 2 0
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
解:以产品 A、B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数,模型如下:
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2
500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
பைடு நூலகம்
x1
2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
x1
60 (乙 资 源)
x2 100 (丙资源)
x1 2 0
其中目标函数为总利润,x1,x2 为产品A、B产量。现有下列目标: 1、要求总利润必须超过 2500 元; 2、考虑产品受市场影响,为避免积压,A、B的生产量不超过 60 件和 100 件; 3、由于甲资源供应比较紧张,不要超过现有量140。 试建立目标规划模型,并用图解法求解。
第四章 目标规划
一、多目标规划解决的问题
1、有多个目标希望同时实现,目标之间可能相互 矛盾。
2、有一个目标函数,但由于资源条件的限制,约 束条件可能互不相容。
二、多目标规划基本概念
Max y1 c11x1 c12x2 c1nxn
Max
y2
c21x1
c22x2
c2nxn
Max ym cm1x1 cm2x2 cmnxn
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x 1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
所以,有下式: minZ=P3
d
2
max Z 30 x 1 12 x 2
x2
d
3
d
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
3 x1 10 x2 3000
x1 ,
x2
0
,
d
i
,
d
i
0, (i
1, 2, 3)
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
x2
d
3
d
3
200
9
.2
x1
4 x1
4
x2
d
4
( 可取一确定的非负实数),
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
x2
d
4
d
4
100
x1
2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
由上可知:若A、B的计划产量为60件和58.3件时,所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下,此解为非可行 解。为此,企业必须采取措施降低A、B产品对甲资源的消耗量,由原来的100%降至78.5%(140÷178.3= 0.785),才能使生产方案(60,58.3)成为可行方案。
例3:用图解法求解目标规划问题
MinZP1d1 P2d2 P3d3
5x1 10x2 60
x1 2x2
d1 d1 0
s.t 4x1 4x2 d2 d2 36
6x18x2 d3 d3 48
x1,x2 0, di,di 0, (i 1, 2,3)
(l1) (l2) (l3) (l4)
1(量2负34、、、包 ) 偏确在求转括 在 差定 目 满 到目 坐 变各 标 足 下标 标 量约 最 一约 平 值束 高 个束 面 增条 所 优 优和 上 大件 代 先 先绝 表 的的 表 等 等对 示 方可 的 级 级约 出 向行 边 目 的束 来 ;M 域 界 标 目, ;, 线 的 标i暂n即 上 解 ,不Z将 , ; 再考所用不虑5有箭破P正x1x约头坏d1负11束标所偏条出有2差1x件正较P0变22、高dx优22d先1等6P30级dd目31标的0前提下,求出该优先等级目标的解; s.t 4x1 4x2 d2 d2 36
图解法解题步骤如下: 1、确定各约束条件的可行域,即将所有约束条件(包括目标约束和绝对约束,暂不考虑正负偏差变量)在坐标 平面上表示出来; 2、在目标约束所代表的边界线上,用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向;
3、求满足最高优先等级目标的解; 4、转到下一个优先等级的目标,在不破坏所有较高优先等级目标的前提下,求出该优先等级目标的解; 5、重复4,直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止; 6、确定最优解和满意解。
Yˆ33.730.516X
预测实例:已知时间序列{x(t)} = {x(1), x(2), …, x(18)}的 值为: 例5:已知某企业某项生产指标连续18个月的实际产量, 试根据表中前11个月的数据预计该指标后7个月的产量。
在预测过程中,希望越到近期预测值和实际值之间拟合的越好,即比较“重视”后面的数据。
d
4
3600
5
x2
d
5
d
5
2000
3 x1
10 x2
d
6
d
6
3000
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0,
( i 1 , 2 , , 6 )
例1 某市准备在下一年度预算中购置一批救护车,已知 每辆救护车购置价为20万元。救护车用于所属的两个郊 区县,各分配XA和XB台。A县救护站从接到电话到救护 车出动的响应时间为(40-3XA)min,B县响应的时间 为(50-4XB)min。该市确定如下优先级目标: P1:用于救护车购置费用不超过400万元; P2:A县的响应时间不超过5min; P3:B县的响应时间不超过5min。 建立目标规划。
x2
6x18x2 d3 d3 48
x1,x2 0, di,di 0, (i 1,2,3)
d
2
l3 B
l4
l2 C
d
1
d
3
o
F
l1
A
x1
E
D
图3-2 图解法示意图
(l1) (l2) (l3) (l4)
故C、D、E、F 内任意点都是该问题的最优解,可使目标函数:
min z =0
x2
d
2
l3 B
d
1
y1
e1
di 0,di 0表示第i个目标的实际值未达到目标值
y1
e1
di ,di 表示第i个目标的实际值恰好等于目
标值.并且无论发生哪种情况均有:
di di
2目标约束与绝对约束 通过确定各目标的目标值、引入偏差变量,把目标函数转化成约束方程,从而并入原约束条件中,我们称这类具
有机动余地的约束为目标约束.
MinZdidi
MinZ di
MinZ di
MinZ (did j )
i,j
4.优先因子与权系数
第一位要求达到的目标,赋予优先因子P1,在它实现的前提下再去解决次要目标.依次把第二位达到的目标赋予优 先因子P2 ……,并规定Pk » Pk+1
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标,则可分别赋予它们不同的权系数 根据目标的重要程度而给它们赋值,重要的目标,赋值较大,反之值就小.
8 x1 15 x2 x1
d3 d3 23000 d4 d4 1500
x2 d5 d5 1000
d1 d11 d11 30
x1, x2 0, di, di 0, (i 1, 2,3, 4,5,11)
二、目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题,但其操作简单,原理一目了然。同时,也有助于理解一般目标规划的 求解原理和过程。
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一、问题的提出
二、目标规划的基本概念 1. 决策变量与偏差变量 2. 目标约束与绝对约束 3. 目标规划的目标函数(达成函数) 4. 优先因子与权系数
三、目标规划在预测中的应用 十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》一书中,提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概
念,为相关论奠定了基础。其后,他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长做了测量,发现: 儿子身高(Y,英寸)与父亲身高(X,英寸)存在线性关系:
其中: , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况,即: 满足前面几级目标要求.
,在实际中并不多见,很多目标规划问题只能
mizn0
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 (利润)
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x 1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论:C(60 ,58.3)为所求的满意解。
将C(60 ,58.3)代入:
将 x1=60, x2 =58.3 带入约束条件,得 30×60+12×58.3=2499.6≈2500; 2×60+58.3=178.3 > 140; 1×60=60 1×58.3=58.3 < 100
作图:
x2
140 120 100 80 60 40 20
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
D
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
x1 x1
1
2
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台,每天8h,每1月2×258天×25=2400 7台,每天16h,每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序,以实现 次月的生产与销售目标,试确定A、B药生产多少,使目标达到最好。 P1:厂内的储存成本不超过23000元. P2:A销售量必须完成1500单位. P3:甲、乙两工厂的设备应全力运转,避免有空闲时