2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.5 第1课时含解析

§4.5　简单的三角恒等变换考情考向分析　三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为C 级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))
tan(α－β)＝(T (α－β))tan α－tan β1＋tan αtan β
tan(α＋β)＝(T (α＋β))tan α＋tan β1－tan αtan β
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
tan 2α＝.2tan α1－tan 2α概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·(k ∈Z )时的特殊情形．π2
2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？
提示　先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k a 2＋b 2的形式，再结合图象研究函数的性质．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)(sin α2＋cos α2)
(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意tan α＋tan β1－tan αtan β角α，β都成立．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P109T6]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝ .
45(α＋π4)答案　－72
10
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos 2α35∴sin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)
3522(－45)2272103．[P111T2]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案　
2
2
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.22
4．[P117T1]tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .3答案　3
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
33∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
3333题组三　易错自纠
5．化简：
＝ .
1－2sin 40°cos 40°
cos 40°－1－sin 250°答案　1解析　因为sin 40°<cos 40°，
所以sin 40°－cos 40°<0.所以＝＝＝＝1.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°(sin 40°－cos 40°)2cos 40°－(cos 50°)2|sin 40°－cos 40°|cos 40°－|cos 50°|cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°
6．化简：＝ .2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2
答案　4sin α
解析　＝＝＝4sin α.2sin (π－α)＋sin 2αcos 2 α2
2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)4sin α(1＋cos α)1＋cos α7．已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝ .(0，π2)(θ－π4)210答案　－247
解析　方法一　sin ＝，得sin θ－cos θ＝，(*)(θ－π4)
21015θ∈，(*)平方得2sin θcos θ＝，(0，π2)
2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，754535∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.432tan θ1－tan 2θ247
方法二　∵θ∈且sin ＝，(0，π2)(θ－π4)
210∴cos ＝，(θ－π4)7210∴tan ＝＝，∴tan θ＝.(θ－π4)
17tan θ－11＋
tan θ43故tan 2θ＝＝－.2tan θ1－tan 2θ247第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一　和差公式的直接应用
1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为 ．
13π2
答案　－42
9
解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，13π2
所以cos α＝－＝－，1－sin 2α223
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.13(－223)
4292．已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)的值为 ．(α－π6)37(π6＋β)25答案　1
解析　∵tan ＝，tan ＝，(α－π6)37(π6＋β)
25∴tan(α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]
＝tan (α－π6)＋tan (π6
＋β)1－tan (α－π6)·tan (π6＋β)＝＝1.37＋251－37×25
3．(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝x ＋上的两点，则tan(α＋β)的值为
．32答案　－3
解析　由题意可得，点A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是单位圆与直线y ＝x ＋的交点，32由Error!解得Error!或Error!
∴cos α＝，sin α＝，－6＋246＋24∴tan α＝＝－2－.6＋24－6＋2
4
3同理tan β＝2－，
3∴tan(α＋β)＝＝＝－.tan α＋tan β1－tan αtan β(－2－3)＋(2－3)1－(－2－3)(2－3)
34．计算
的值为 ．sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°答案　1
2
解析　
＝sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°sin 70°sin 20°cos 310°＝＝＝.cos 20°sin 20°cos 50°12sin 40°sin 40°12
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二　和差公式的灵活应用
命题点1　角的变换
例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
5535
答案　25
25
解析　依题意得sin α＝＝，1－cos 2α255
因为sin(α＋β)＝<sin α且α＋β>α，35
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.(π2，π)
45于是cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.4555352552525
(2)设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为 ．
(α＋π6)45(2α＋π3)答案　24
25
解析　因为α为锐角，且cos ＝，(α＋π6)
45所以sin ＝ ＝，(α＋π6)1－cos 2(α＋π6)35所以sin ＝sin 2(2α＋π3)(α＋π6)
＝2sin cos ＝2××＝.(α＋π6)(α＋π6)35452425(3)(2019·如皋调研)已知cos α＝
，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ．5
5答案　－3
解析　∵cos α＝，α∈(－π，0)，
5
5∴sin α＝－，255
∴tan α＝－2，
故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝－3.1－(－2)1＋1×(－2)
命题点2　三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0<θ<π)；(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)
2＋2cos θ(2)求值：－sin 10°.1＋cos 20°2sin 20°(1tan 5°－tan 5°)
解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，θ2π2θ2
∴＝＝2cos .2＋2cos θ4cos 2θ2θ2又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)
＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(
sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)
＝－2cos cos θ，θ2
故原式＝＝－cos θ.－2cos θ2cos θ2cos θ2
(2)原式＝－sin 10°2cos 210°2×2sin 10°cos 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)
＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°
＝－sin 10°·cos 10°2sin 10°cos 10°12sin 10°＝－2cos 10°＝cos 10°2sin 10°cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°
＝cos 10°－2(12
cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝＝.3sin 10°
2sin 10°32引申探究化简： (0<θ<π)．
(1＋sin θ－cos θ)(sin θ2－cos θ2)2－2cos θ解　∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，θ2π22－2cos θθ2
又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin 2θ2θ2θ2＝2sin ，θ2(sin θ2＋cos θ2)
∴原式＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)
2sin
θ2＝－cos θ.命题点3　公式的逆用与变形
例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
1312
答案　－5972
解析　∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，1312
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，1914
即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝，①19
sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝.②14
①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋
sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.13365972
(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．π3答案　－3312
解析　∵tan α－tan β＝
－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，sin αcos αsin βcos βsin (α－β)cos αcos βπ336又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，121236
那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.3312
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，α＋β2α－β2α＋β2α－β2＝－等．α－β2(α＋β2)(α2＋β)
跟踪训练　(1)计算：＝ .(用数字作答)cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°
答案　2解析　＝cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝＝＝.cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°2sin (10°＋30°)2·sin 40°
2(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
(0，π2)(0，π2)171114答案　3
2
解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，4375314
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.531417(－1114)43732(3)若sin x ＋cos x ＝，则tan ＝ .
323(x ＋7π6)答案　±24
解析　由sin x ＋cos x ＝，得2sin ＝，323(x ＋π6)
23即sin ＝，所以cos ＝±，(x ＋π6)13(x ＋π6)
223所以tan ＝±，(x ＋π6)
24即tan ＝tan ＝±.(x ＋7π6)(x ＋π6)
24
用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
例 (1)设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为 ．
(α＋π6)45(2α＋π12)答案　17250
解析　∵α为锐角且cos ＝>0，(α＋π6)
45∴α＋∈，∴sin ＝.π6(π6，π2)(α＋π6)
35∴sin ＝sin (2α＋π12)[2(α＋π6)－π4]
＝sin 2cos －cos 2sin (α＋π6)
π4(α＋π6)π4＝sin cos －2(α＋π6)(α＋π6)22
[2cos 2(α＋π6)－1]＝××－2354522
[2×(45)2－1]
＝－＝.12225725017250(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为
．答案　2
解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .
35(π2，π)cos 2α2sin (α＋π4)答案　－7
5
解析　＝cos 2α
2sin (α＋π4)cos 2α－sin 2α2(22sin α＋2
2cos α)
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，35(π2，π)
∴cos α＝－，∴原式＝－.4575
(4)已知cos ＝，则cos －sin 2＝ .
(π6－θ)33(5π6＋θ)(θ－π6)答案　－2－33
解析　由题意可知cos －sin 2(5π6＋θ)(θ－π6)＝－cos ＋cos 2－1＝－－.(π6－θ)(π6－θ)
3323
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ .
答案　1
2解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.12
2．已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝ .
13
答案　－3
5
解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，13
所以sin α＝，cos α＝－，101031010
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.1010(－31010)
353．若sin α＝，则sin －cos α＝ .45(α＋π4)22答案　22
5
解析　sin －cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.(α＋π4)
22π4π42245222254．已知sin 2α＝，则cos 2＝ .23(α＋π4)答案　1
6
解析　因为cos 2
＝(α＋π4)1＋cos 2(α＋π4
)2＝＝，1＋cos (2α＋
π2)21－sin 2α2
所以cos 2＝＝＝.(α＋π4)
1－sin 2α21－232165．已知α为锐角，若sin ＝，则cos ＝ .
(α－π6)13(α－π3)答案　26＋16
解析　由于α为锐角，且sin ＝，(α－π6)
13则cos ＝，(α－π6)
223
则cos ＝cos (α－π3)[(α－π6)－π6]
＝cos cos ＋sin sin (α－π6)
π6(α－π6)π6＝×＋×＝.22332131226＋166．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为 ．
1313(0，π2)答案　23
27
解析　因为α∈，所以2α∈(0，π)，(0，π2)
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－，1379
所以sin 2α＝＝，1－cos 22α429
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，(0，π2)
所以sin(α＋β)＝＝，1－cos 2(α＋β)223
所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝.(－79)(－13)
42922323277．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝，则a ，b ，c 2
21－tan 239°1＋tan 239°
的大小关系是
．答案　a >c >b
解析　a ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b ＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°2
22222
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c ＝＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，cos 239°－sin 239°
cos 239°sin 239°＋cos 239°
cos 239°
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a >c >b .
8.的值是 ．
2cos 10°－sin 20°sin 70°答案　3
解析　原式＝
2cos (30°－20°)－sin 20°
sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°
sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°
39.＝ .sin 10°1－3tan 10°
答案　
1
4解析　＝sin 10°1－3tan 10°sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝＝＝.2sin 10°cos 10°
4(12cos 10°－32sin 10°)
sin 20°4sin (30°－10°)1410．(2018·江苏省海安高级中学月考)已知α为三角形内角，sin α＋cos α＝，则cos 2α33
＝ .
答案　－
5
3
解析　由已知得2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝－1＝－，1323
又α为三角形内角，
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝＝，1－(－23)
153∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝－
.5311．化简：
·＝ .2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)sin αcos αcos 2α－sin 2α答案　
1
2解析　原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α
＝··sin (90°－2α)cos (90°－2α)12sin 2αcos 2α
＝
··＝.cos 2αsin 2α12sin 2αcos 2α1212．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin ＝ .
35(β＋5π4)答案　72
10
解析　依题意可将已知条件变形为
sin [(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.3535
又β是第三象限角，所以cos β＝－.45
所以sin ＝－sin (β＋5π4)(β＋π4)
＝－sin βcos －cos βsin π4π4
＝×＋×＝.352245227210
13．若α∈，且3cos 2α＝sin ，则sin 2α的值为 ．
(π2，π)(π4－α)答案　－1718
解析　由3cos 2α＝sin
可得(π4－α)3(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，
2
2又由α∈可知，cos α－sin α≠0，(π2，π)
于是3(cos α＋sin α)＝，22
所以1＋2sin αcos α＝，118
故sin 2α＝2sin αcos α＝－1＝－.1181718
14．(2018·江苏省五校联考)已知sin ＝，则sin ＋sin 2＝ .
(2x ＋π5)33(4π5－2x )(3π10－2x )答案　2＋33
解析　由条件得sin ＝sin (4π5－2x )[π－(4π5－2x )]＝sin ＝，(2x ＋π5)
33又sin 2＝cos 2(3π10－2x )[π2－(
3π10－2x )]＝cos 2＝1－sin 2＝，(2x ＋π5)(2x ＋π5)
23∴sin ＋sin 2＝＋＝.(4π5－2x )(
3π10－2x )33233＋23
15．化简：·＝ .(3cos 10°－1sin 170°)cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°答案　－43
解析　原式＝
·＝·3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°1＋tan 15°1－tan 15°2sin (10°－30°)12sin 20°tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
316．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝ .(π2，π)α2α26235答案　4－33
10
解析　由sin ＋cos ＝，平方可得sin α＝.α2α26212
∵α∈，(π2，π)
∴cos α＝－.
3
2又∵－<α－β<，sin(α－β)＝－，π2π235
∴cos(α－β)＝.45
故sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.1245(－32)(－35)4－3310。