导数专题训练

导数专题训练
一.解答题(共30小題)
1.(2018* 德阳模拟)函数f (x) =ln (x+1).
(1)当xW ( - 1, 0)时，求证：f (x) <x< - f ( - x)；
(2)设函数g (x) =e x - f (x) - a (aGR),且g (x)有两个不同的零点x】，x2 (x)<x2),
①数a的取值围；②求证：Xi+x2>0.
2.(2018・达州模拟)函数f (x) =lnx - ax t g (x)二x■-(2a+l) x+ (a+1) lnx.
(1)当a=l时，求函数f (x)的极大值；
(2)当a$l时，求证：方程f (x) =g (x)有唯一实根.
3.(2018* 市模拟)函数f (x) =x - (a - 2) x-alnx (a^R).
(I )求函数产f (x)的单调区间；
(II )当时，证明：对任意的x>0, f (x) +e x>x2+x+2.
4.(2018* 一模)函数f (x)二e" - ax・
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当x>0时，f (x) >ax2+l,求a的取值围.
5.(2018-模拟)设M是满足以下条件的函数构成的集合：①方程f (x) -x=0有实数根;
②函数f (x)的导数f r (x)满足0<f‘(x) <1.
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(1)假设函数f〔X)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f (x) - x=o只有一个实根;
(2)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
(3)设函数f (x)为集合M中的元素，对于定义域中任意a, B，当丨a -2012 <1, B -2012 <1 时，证明:If ( a ) -f ( B ) I <2.
6.(2018* 模拟)函数f (x) =ax+lnx (aGR).
(I )假设a=2,求曲线y=f (x)在x=l处的切线方程；(][)求f (x)的单调区间；
(III)设g (x) =x'-2x+2,假设对任意(0, +8),均存在x2C|0, 1],使得f (xj < g (x2),求a的取值围.
7.(2018・模拟)函数f (x) =- lnx+2+ (a-l) x-2 (aWR).
(1)求f (x)的单调区间；
(2)假设a>0,求证：f (x) $ -.
8.(2018-铁东区校级一模)设函数f (x) = (2-x) e\
(1)求f(X)在x=0处的切线；
(2)当x$0时，f (x) Wax+2,求a的取值围・
9.(2018>江一模)函数f (x) =e x-2,其中e^2. 71828…是自然对数的底数.
(I )证明：当x>0 时，f (x) >x - 1 >lnx；
(II )设m为整数，函数g (x) =f (x) - lnx - m有两个零点，求m的最小值.
10.(2018・模拟)函数f (x) =e x,直线1 的方程为y二kx+b, (k$R, bER).
(1)假设直线1是曲线y=f (x)的切线，求证：f (x) $kx+b对任意xER成立;
(2)假设f (x) Mkx+b对任意xe[o, +8)恒成立，数k, b应满足的条件.
11・(2018>模拟)函数(其中a>0).
(1)求函数f(X)的极值；
(2)假设函数f (x)有两个零点x“ x2,求a的取值围，并证明(其中f r (x)是f (x)的导函数). 12.(2018* 株洲一模)函数f (x) =lnx+a (x - 1) " (a>0).
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)假设f (x)在区间(0, 1)有唯一的零点x。

，证明.
13.(2018< 一模)函数f (x)二+be：点\【(0, 1)在曲线y二f (x)上，且曲线在点M处的切线与直线2x-y=0垂直.
(1)求a, b的值；
(2)如果当xHO时，都有f (x) >+ke：求k的取值围.
14.(2018・模拟)aER,函数f (x) =ln (x+1) - x2+ax+2.
(1)假设函数f (x)在[1, +8)上为减函数，数a的取值围；
(2)令a=- 1, bGR,函数g (x) =b+2bx - x2.假设对任意( - 1, +~),总存在x2G [- 1, +8),使得f (xj =g (x2)成立，数b的取值围.
15.(2018* —模)函数f (x) =ax - e' (a£R).
(1)假设曲线产f (x)在x=l处的切线与y轴垂直，求y=f r (x)的最大值；
(2)假设对任意0Wxi<X2都有f &2)+X2 (2-21n2) <f (xj +x, (2-21n2),求a 的取值围.
16・(2018-武侯区校级模拟)函数f (x) =ke x - x2(其中kGR, e是自然对数的底数)
(1)假设k=2,当(0, +8)时，试比拟f (x)与2的大小；
(2)假设函数f (x)有两个极值点xi, x2 (X1<x2),求k的取值围，并证明：0<f (xj <
1.
17.(2018・模拟)函数f (x) = - ax+alnx (a>0)・
(I )讨论f (x)的单调性
(II)当沪1时，假设方程f (x) =+m 有两个相异实根Xi, x2,且x,<x2，证明: X I X22<2.
18.(2017秋・期末)设函数f (x) =x+lnx-.
(1)讨论函数f(X)的单词性；
(2)当a=l时，记g (x) =xf (x),是否存在整数t,使得关于x的不等式t^g (x)有解？假设存在，请求出t的最小值；假设不存在，请说明理由.
19・(2017秋・西城区期末)函数f (x) =x2lnx-2x.
(I )求曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程；
(II)求证：存在唯一的(1, 2),使得曲线y二f (x)在点(Xo, f(Xo))处的切线的斜
率为f (2) -f (1)仃II)比拟f (1.01)与-2.01的大小，并加以证明.
20. (2017秋・南开区期末)设函数f (x) =x2-2x+alnx (aSR)
(1)当a=2时，求函数f (x)在点(1, f (1))处的切线方程;
(2)假设函数f (x)存在两个极值点X】，x2 (xi<x2)
①数a的围；②证明：•
21・(2017秋・期末)设函数,曲线y二f (x)在x二0处的切线1方程为y二kx+b,且k^b.
(1)求m的取值围；(2)当x$-2时，f (x) $0,求m的最大值.
22.(2017秋・期末)函数f (x) =e x- lnx (x>0)的最小值为m.
(1)设g (x) =f f (x),求证：g (x)在(0, +8)上单调递增；
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(2)求证:m>2； (3)求函数h (x) =e x - e n lnx的最小值.
23.(2017 秋・滨州期末)函数f (x) = (x-1) e x+ax2.
(1)讨论f (x)的单调性；(2)假设函数f (x)有两个零点，求a的取值围.
24.(2017秋・七台河期末)函数.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)对任意的，X H x2G[l, 2],恒有，求正实数X的取值围.
25.(2017 秋・XX 月考)函数f (x) =x - 1 - alnx (a<0).
(1)讨论f(X)的单调性；
(2)假设对任意x“ x2e (0, 1],且X1#x2,都有，数a的取值围.
26・(2017秋・黄冈期末)f (x) = QH0,且a为常数).
(1)求f(X)的单调区间；
(2)假设a=,在区间(1, +8),存在xi, x2,且x.^x2时，使不等式If (x.) -f (x2) k lnXi - lnx2成立，求k
的取值围.
27・(2017秋・期末)函数.
(1)当沪1时，求曲线y=f (x)在(e, f (e))处的切线方程;
(2)当x>0且xHl,不等式恒成立，数Q的值.
28・(2017・长汀县)函数
(I )假设直线x=t (t>0)与曲线y=f (x)和y=g (x)分别交于A, B两点，且曲线y二f (x)在点A处的切线与y二g (x)在点B处的切线相互平行，求a的取值围；(II)设，证明:(其中n>l, ne=2. 71828…是自然对数的底数)
29.(2017・新课标1【[)函数f (x) =x- 1 -alnx.
(1)假设f (x) $0,求a的值；
(2)设m为整数，且对于任意正整数n, (1+) (1 + )…(1 + ) <叫求m的最小值.
30.(2017・一模)函数f (x) =alnx - ax - 3 (a^R).
(I )求函数f (x)的单调区间；
(H)假设函数y=f (x)的图象在点(2, f (2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t e[l, 2],函数g (x) =x3+x2 (f r (x) +)在区间(t, 3)上总不是单调函数，求m的取值围；
(III)求证：XXX —X< (n^2, neN4).。