考研数学分必背公式大全

全国硕士研究生统一入学考试
数学公式大全
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰
⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=
±⋅±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x
x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-==+=
-=
----11ln
21)1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x
x
x x x x
·倍角公式：
·半角公式：
αα
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆=
=''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
定积分的近似计算：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
⎰⎰--==⋅=⋅=b
a
b a dt t f a b dx x f a b y k r
m
m k F A
p F s
F W )(1)(1
,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：
空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u
⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
302),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c
z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，
，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F
v u G F J v u y x G v u y x F v
u v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩
⎨⎧== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==⎪⎩
⎪⎨
⎧====-'+-'+-''-=
'-='-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：
上的投影。

在是单位向量。

方向上的
，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f
l j i e e y x f l
f j y
f i x f y x f y x p y x f z l x y f
x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=
ϕϕϕϕ
ϕ
多元函数的极值及其求法：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面
柱面坐标和球面坐标：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1,1,1
sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
曲线积分：
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)
()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。

注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。

上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
,()
,(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
曲面积分：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；
，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++- 级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=⎪⎩
⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n
幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m 欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix
ix ix
ix ix
e e x e e x x i x e 或 三角级数：。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞
=∞
= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑⎰
∑⎰⎰⎰∑+=
==
======+-+-=++++=
+++=
+++⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
012413121164
1312112461412185
1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
2
2222
2222
2
222
221
0 π
π
π
ππ
π
π
π
πππππππ
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=====++=⎰⎰∑--∞=l
l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x
n x f l a l
l
x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos
)(12)sin cos (2)(10 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。

，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ 一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+⎰
+⎰=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
线性代数部分
1、行列式
1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、ij A 和ij a 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
4. 设n 行列式D ：
将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2
1(1)
n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2
2(1)n n D D -=-；
将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；
将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2
(1)
n n -⨯ -；
③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2
(1)n n -⨯ -；
⑤、拉普拉斯展开式：
A O A C A
B C
B O B
==、
(1)m n C
A O
A A
B B O
B C
==-
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n
n
k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
7. 证明0A =的方法：
①、A A =-； ②、反证法；
③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A 是n 阶可逆矩阵：
⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；
⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；
⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；
⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；
⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；
3.
1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***
111()()()T T T
AB B A AB B A AB B A ---===
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
若12
s A A A A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，则： Ⅰ、12
s A A A A =；
Ⅱ、1111
2
1s A A A A ----⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
； ②、1
11A O A O O B O B ---⎛⎫
⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（主对角分块） ③、1
11O A O B B O A O ---⎛⎫
⎛⎫
= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B O
B -----⎛⎫
-⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（拉普拉斯） ⑤、1111
1A O A O C B B CA B -----⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n
E O
F O
O ⨯⎛⎫
=
⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若(,)(,)r
A E E X ，则A 可逆，且1X A -=；
②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c
A B E A B - ~ ；
③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r
A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、12
n ⎛⎫
⎪
⎪Λ= ⎪ ⎪⎝
⎭
λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i
λ乘A 的各列元素；
③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1
111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且1
1(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：1
11
11(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
5. 矩阵秩的基本性质：
①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；
②、()()T r A r A =； ③、若A
B ，则()()r A r B =；
④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）
⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、()()r A r B n +≤
⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如101001a c b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：0111
1110
()n
n
n
n m n m
m
n n n n
m m n m
n
n
n
n
n
n m a b C a C a b C a
b C
a b
C b C a b -----=+=++++
++=∑；
注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；
Ⅱ、0(1)(1)!
1123!()!
--+==
==-m n n n n n n n m n C C C m m n m
Ⅲ、组合的性质：111
10
2---+-===+==∑n
m
n m m
m m r n
r r n
n
n n n
n
n n r C C C
C C
C
rC nC ；
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：*()()1
()10()1
n
r A n r A r A n r A n = ⎧⎪
==-⎨⎪<-⎩
； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)A
A
AX X A A A A X X λλ
λ
- == ⇒ =
；
③、*1A A A -=、1
*n A A
-=
8. 关于A 矩阵秩的描述：
①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）
②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：
①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；
②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：
①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：
①、1111221121122222
1122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；
②、111211121
22
22212
n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
=⇔= ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）
③、()12
12
n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）
⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,
,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；
m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,
,T T
T
m βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)
4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)
5.
n 维向量线性相关的几何意义：
①、α线性相关
⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；
③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；
若12,,,s ααα线性无关，则121,,
,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：
若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；
向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示
AX B ⇔=有解；
()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）
向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）
8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12
l A P P P =；
①、矩阵行等价：~r
A B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c
A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：
①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；
②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：
①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；
②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；
②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）
1212(,,
,)(,,
,)r s b b b a a a K =（B AK =）
其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相
关性）
（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）
注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关
⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）
⇔1212(,,
,)0s s x x
x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
有非零解，即0Ax =有非零解；
⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；
16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111
P 题33结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：
①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,
)0
T i j i j a a i j n i j
=⎧==⎨
≠⎩；
②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a
11b a =；
1222111[,]
[,]
b a b a b b b =-
121121112211[,][,]
[,]
[,][,]
[,]
r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=-
---
;
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；
⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；
②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：
A ⇔的正惯性指数为n ；
A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0； 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)
概率论与数理统计部分
1．随机事件及其概率
吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( A
B A A A A
A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i n i i A A 11===
n
i i n i i A A 1
1=== 2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P -=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
)()()(B P A P B A P +≤⋃
)()1()()()()(211
1111n n n
n
k j i k j i n j i j i n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．
条件概率
()=A B P )()
(A P AB P
乘法公式
())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式
∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()()( 4．随机变量及其分布
分布函数计算
)
()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B
若P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-
*Possion 定理
0lim >=∞
→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C k
k n n k n k n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP
,2,1,0,!)(===-k k e k X P k
λλ
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a
b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩
⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞-=--x e x f x 22
2)(21)(σμσπ
⎰∞---=x
t t e x F d 21
)(222)(σμσπ
*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x
t d 21)(22
π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰
⎰∞-∞-=x y dvdu v u f y x F ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数
⎰⎰∞-+∞∞
-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞
-=dv v x f x f X ),()( ⎰
⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(
⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1),(G y x A y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121
),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰⎰
+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞
-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )
()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )
()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞
==1)(k k k p x X E
⎰+∞
∞-=dx x xf X E )()( 随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩)(k
X E
X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E
X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -
X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()
l k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--)()())())((( X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2)
)()()(22X E X E X D -=
协方差
()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -= ())()()(2
1Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ 简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，希望能与大家多交流。