2021-2022学年湖南省炎德英才名校联盟高二12月联考(数学)+答案解析(附后)

2021-2022学年湖南省炎德英才名校联盟高二12月联考(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，则集合A的元素有________个．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
2.若复数R，i为虚数单位是纯虚数，则实数的值为( )
A. 3
B.
C. 12
D.
3.设a，b为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的( )
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4.若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.2022年北京将携手张家口举办2022年冬奥会，将使北京成为在历史上首个承办夏奥会与冬奥会的城市，即“双奥之城”．赛会的志愿者报名十分踊跃，某小区有老陈，老欧，小胡，小熊，小刘五人积极报名，其中老陈和老欧都参与了2008年奥运会的志愿者工作．若要从五人中选三人参加培训，每人入选的
机会均等，则老陈和老欧至少有一人入选的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率，
分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.在正四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC、AB中点，则异面直线DP与CQ所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线上两点A、B满足为坐标原点，且A、B分别在对称轴的两侧，则直线AB过定点( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列关于统计或概率的命题，正确的是( )
A. 医院体检时抽取被检者血液进行分析，是抽样调查
B. 某班进行综合素质打分，由于班级获得了市优秀班级，每人综合素质都加了5分，则加分前后，全班得分的方差不变
C. 事件A、B互斥，则有
D. 事件A、B相互独立，则有
10.已知下面三条直线：，：，：，若三条直线不能围成三角形，则a的取值可以是( )
A. B. C. 0 D.
11.下列命题中是真命题的有
( )
A. 已知，则
B. 直线的方向向量可取
C. 平面内点P到直线l的距离，其中M为直线l上任意一点，为与直线l垂直的向量
D. 平面内在上的投影向量为
12.在棱长为2的正方体中，O为正方形ABCD的中心，P为棱上的动点，则下列说法正确的是
A. 点P为中点时，
B. 点P与点A重合时三棱锥外接球体积为
C.
当P点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上
D. 当P为中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知，，，则用“<”连接这三个数应为__________.
14.过点的直线分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A、B，则为原点面积的最小值为__________.
15.如下图1，星形线是众多美观的数学曲线中的一种，由于有四个尖端所以也称四尖内摆线，因其像夜空中光芒四射的星星而得名．它在第一象限的图象也可表示靠在y轴上一个线段在重力作用下扫
过的图形的包络曲线如图，星形线的参数方程可表示为为参数则消去参数，将其化
成的一般方程为____________.
16.函数的单调递增区间为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
药物临床试验一般分为四期，每期都会征集一定量的志愿者参与试验．无论研究者或是受试者，知晓试验
用药信息会对疗效安全性评价产生偏性评估．因此在临床试验中，盲法技术是为了避免主观因素对结果评
定的影响，即将志愿者分组为试验组和对照组，分别给予有有效成份的药物和无有效成份的安慰剂，最后
通过统计得到药物的客观效果．某药厂对一种新药进行二期试验，招募了100名志愿者参与，根据他们的年龄分布得到下面的频率分布直方图：
试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数．
、B、C是参与此次试验的志愿者，他们被随机分配至试验组和对照组．实验组人数多于对照组，若A、B两人恰有一人分配到实验组的概率为，求实验组的人数，及三人中至少有2人分配到实验组的概率．
18.本小题12分
在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
求角
若，，求a边上的高
19.本小题12分
当前我国快递行业发展规模、服务质量和发展能力稳步提升，充分发挥了在“打通大动脉，畅通微循环”
方面的先行作用．某快递公司在A县县城建立了两个配送中心P、Q，当快递目的地到P的距离小于或等
于到Q距离的时，由P中心使用电动三轮车配送，其余快递则由Q中心使用小面包车配送．已知配送中
心Q在配送中心P的正东方
试建立适当坐标系，研究配送中心P所负责派送的目的地所满足的条件．
经过PQ中点O有一条笔直的公路从东南方向通往西北方向，紧邻该公路两侧的住户中是否有住户是由配送中心P负责配送服务的？如果有，求该条公路上有多长距离，紧邻公路两侧的居民由配送中心P服务；如果没有，说明理由．
20.本小题12分
如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，侧棱PA垂直于底面，，点E满足
，且平面
求的值．
若，，在线段PB上是否存在点Q，使二面角的余弦值为？若存在，确定Q点的位置．若不存在，说明理由．
21.本小题12分
已知函数R
试讨论函数的单调性．
若，，对任意，总存在使得成立，求实数t
的取值范围．
22.本小题12分
已知双曲线C：交x轴于A、B两点，P是双曲线上异于A、B两点的任意一点，
直线PA、PB分别交y轴于点M、N，，且双曲线离心率为
求双曲线C的标准方程；
设直线l：与双曲线交于D、E两点，点Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点，若
，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的元素的确定，集合的表示方法，属基础题.
由已知可得是12的正约数，进一步分析即可.
【解答】
解：因为，则为12的正约数，
所以，2，3，4，6，12，则，3，2，1，，
故，则集合A中有6个元素.
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的基本概念及复数相等，同时考查复数运算，属于基础题．由已知设R，，化简由复数相等的条件即可求解.【解答】
解：由题意令，，
即，
由复数相等知：，
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题.
分别证得充分性和必要性，进而作出判断即可.
【解答】
解：因为，，，所以，充分性成立；
因为，，，所以，必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的夹角和数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题.
由题意，得且、不共线，得且，即可求出t的范围.【解答】
解：与夹角为锐角，则且与不同向，
又，，
所以，即，
由，共线得t，得，
故
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.
直接利用古典概型概率计算求解即可.
【解答】
解：从五人中选三人参加培训，易知共有种情况，
其中老陈和老欧至少有一人入选有种情况，
所以老陈和老欧至少有一人入选的概率为
故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆、双曲线的几何性质，求圆锥曲线的离心率，是基础题.
由题意求得a，c关系式，再由离心率计算公式求解即可.
【解答】
解：设公共焦点为，则，
则，即，，
所以，，
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题.
设，，，正四面体ABCD的棱长为1，设异面直线DP与CQ所成角为，由题意得，，由，结合正四面体的性质，即可得.
【解答】
解：如图，设，，，正四面体ABCD的棱长为1，
设异面直线DP与CQ所成角为，则，
，
所以
，
，
，
故
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量数量积，考查抛物线中的定点问题，是中档题.
由已知设，，进而得直线AB方程，由向量数量积可求得
，即可求解.
【解答】
解：由题意设，，则，
：，即，
又，解得舍，或，
则直线方程为，所以直线过定点
故选
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查统计和概率性质，属于基础题.
运用抽样调查定义，方差概念，事件互斥、相互独立的概念，逐项判断即可.
【解答】
解：抽血体检，由于医院是随机抽取，故为抽样调查，故A正确；
由于每人都加了5分，平均分也增加了5分，从而个人得分与平均分之差没有改变，由方差公式方差不变，故B正确；
A，B互斥，等价于，不可推出，故C错误；
A，B相互独立，则有，不可推出，故D错误.
故选
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线平行的判定及直线交点坐标的求法，属于基础题.
由三线共点或有两条直线平行就不能构成三角形，即可解答.
【解答】
解：当时，
当时，，符合题意，A正确，
当时，，符合题意，B正确，
当三线交于一点时，由得，
代入中，解得，符合题意，所以D正确，
当时，三直线中，没有平行的情况，也不交于一点，能围成三角形，不合题意，
故选
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，投影向量平面向量和直线的方向向量平面，属于中档题.利用向量的加减，数乘运算，直线的方向向量，点到直线的距离以及投影向量逐一分析求解即可.
【解答】解：A、由已知得，因此，
所以，故A正确;
B、直线的方向向量是或，不是，故B不正确;
C、平面内P到直线l的距离与不一定相等，
其中M为直线l上任意一点，为与直线l垂直的向量，故C不正确;
D、平面内在上的投影向量为，故D正确.
故选：
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，圆的有关轨迹问题的应用，
根据已知及简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，圆的有关轨迹问题的计算，可知哪几个正确.【解答】
解：对于A，PO为的中位线，故，又平面，故平面，则
，故A正确；
对于B，P与A重合时，三棱锥的外接球即正方体外接球，故，故B错误；
对于C，过的中心且垂直于平面，故以为底的三棱锥，球心在上，故C 正确；
对于D，在平面和平面上轨迹是以P为圆心，2为半径，圆心角为的两段弧，在平面
和平面ABCD上，轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，故，故D正确.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数与对数的比较大小，属于基础题.
利用1和0作为中间量，可以得到a，b，c的大小关系.
【解答】
解：由指数函数对数函数图像性质可得，
，，，故
故答案为：
14.【答案】6
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，三角形面积公式的应用，属于基础题.
设直线的截距式方程可得，利用基本不等式得，即可求出为原点面积的最小值.
【解答】
解：设直线为，
可知，当且仅当，时取“=”，
即，
，
故为原点面积的最小值为
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题.
利用同角三角函数基本关系消去参数即可求解.
【解答】
解：为参数，
所以，
所以，
即
16.【答案】也正确
【解析】【分析】
本题考查复合函数单调性，辅助角公式，三角函数的性质，属于基础题.
先用辅助角公式化简对数函数的真数部分，再通过复合函数单调性找单调增区间.
【解答】
解：根据函数定义域得，
，
①，
因为在定义域上是单调递减，则由复合函数单调性可知，即求的单调递减区间，
根据①得，时，函数值为正数，且函数单调递减，解得，是函数的单调递增区间.
故答案为：Z也正确
17.【答案】解：由题知岁年龄组的频率为
，
故该组100名志愿者的平均年龄
岁，
由频率分布直方图知前三组频率之和为，第四组为，
故第75百分位数应在第四组，设为x，
则，得岁，
故第75百分位数为
由题知A、B、C三人被分配到实验组的概率相同，设为，
则分配到对照组的概率为，
用A、B、C分别表示三人分配到实验组，、、分别表示三人分配到对照组．表示A、B两人恰有1人分配到实验组，三人分组相互独立，
则，
解得，
故试验组人数为人
表示三人中至少有两人分配到实验组，
【解析】本题主要考查了用样本估计百分位数，频率分布直方图，古典概型，以及相互独立事件的计算与
应用，属于中档题.
先求出岁年龄组的频率，再根据平均数及第75百分位数的公式，求解即可；
由题知A、B、C三人被分配到实验组的概率相同，设为，由已知求出，即可求出实验组的人数，及三人中至少有2人分配到实验组的概率．
18.【答案】解：由题知，，
由正弦定理得，
即，
又，且，
即，，
故；
由余弦定理得：
，
即，
又，
即
【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.
根据已知及正弦定理可得，进而求解A；
根据已知条件及余弦定理，可求得a值，根据三角形面积公式的计算，求出a边上的高
19.【答案】解：以PQ中点O为原点，PQ为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设快递目的地为M，M的坐标为
，
即，
整理得：
即当目的地在以为圆心，半径为4的圆上或圆内部时，为P配运中心所负责的区域，
由题知，公路所在直线的方程为由知，，圆心为，半径为
直线到圆心距离，故直线与圆相交.
所求弦长
故有紧临公路的住户由P中心负责配送服务.
【解析】本题主要考查直线和圆的方程的实际应用，考查圆的标准方程，直线与圆位置关系，考查分析推理能力，属于中档题.
以PQ中点O为原点，PQ为x轴建立平面直角坐标系，可得即可判断出所满足条件.
由题知，公路所在直线的方程为，由知直线与圆相交，求得弦长，即为所求距离.
20.【答案】解：，即E为PD中点，
证明如下：连接BD交AC于O，连接EO，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以O为BD中点，
因为E为PD中点，
所以EO为中位线．
即，
又平面ACE，平面ACE，
所以平面AEC，
故E为PD中点，即，
以A为原点，AC、AB、AP为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面AEC的法向量为，
则即
令，得
设，
则，
设平面QAC的法向量为，
则即
令得，
，即
化简得：，
解得或，
当时，不合题意，
故
故Q在线段PB上靠近点P的三等分点处.
【解析】本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求二面角的应用，属于中档题，根据已知及线面平行的判定的计算，可知平面AEC，求出的值；
根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的夹加减运算及数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的计算，求出的值.
21.【答案】解：函数定义域为，，
，
所以为奇函数，
则函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
当时，
若，二次函数在上单调递减，上单调递增.
由对称性知，在上单调递减，在上单调递增.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
若，二次函数在上单调递增，
由对称性知，在R上单调递增.
综合可得：当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增.
由可得，时，，
在上单调递减，在上单调递增.
又在上单调递增.
①当时，要使对任意，总存在使得成立，
即
即，解得，
则；
②当时，考虑
解得，即
即当时，成立，满足条件.
当时，，即，不满足题意.
则，
综上实数t的取值范围为
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论思想，题目较难.
由已知可判断为奇函数，得函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，当时，分类讨论a的取值范围，结合函数的单调性与奇偶性的关系，进行求解即可；
由可得，时，，在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增，分情况讨论函数的最值，求解即可.
22.【答案】解：由题意及双曲线的对称性，设点，，，则
：，可得点，
：，可得点，
故，
又，即，
代入得，
因为，，所以，，
故双曲线C的标准方程是；
由题意知，点，设，，
设线段DE中点坐标为，
联立，可得，
由，可得①
则，，
则，
将代入直线l的方程可得，
由，可得，
即，
即，
则②
由①②可得：或，
综上所述：实数m的取值范围是或
【解析】本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系及其应用、向量数量积的坐标运算，属较难题．
由题意及双曲线的对称性，设点、、，分别求出直线PA、PB的方程可得点
M、N的坐标，进而求出关于a、b的表达式，由、、，即可求出a、b的值，从而得到双曲线C的标准方程；
设点、，线段DE中点坐标为，联立双曲线与直线l的方程消去y，利用韦达定理可得、，由可得，结合即可求出实数m的取值范围．。