福建省2010年普通高中毕业班质量检查(数学理)

数 学 试 题（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）.本试卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．考生作答时，将答案答在试题卡上.请按照题号在答题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：
样本数据n x x x ,,,21 的标准差
锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -++-+-=
Sh V 3
1=
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
Sh V =
323
4
,4R V R S ππ==
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 1．已知复数),(1为虚数单位i R a i
i
a z ∈-+=，若z 是纯虚数，则实数a 等于 （ ）
A ．
2
1 B ．2
1- C ．1 D ．-1
2．已知向量b a b a b +-2,1003与若），＝（），，啊＝（
λ共线，则数数λ的值为 （ ）
A ．1
B ．-1
C ．
2
1
D ．2
1- 3．等比数列,10,5,}{4231=+=+a a a a a n 中则86a a +等于
（ ）
A ．80
B ．96
C ．160
D ．320
4．设λβα,,是三个互不重合的平面，m ，n 为两条不同的直线，给出下列命题：
①若;//,,//ααn m m n 则⊂ ②若;//,//,,//βαββαn n n 则⊄
③若;//,,λβαλαβ则⊥⊥ ④若.//,,,//βαβα则⊥⊥m n m n 其中真命题是
（ ）
A ．①和②
B ．①和③
C ．②和④
D ．③和④
5．有编号为1，2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是 （ ） 6．若集合"""1"},0)1)((|{},0|{2
φ≠><+-=<-=B A a x a x x B x x x A 是则的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．函数)()(],2
,2[,,sin )(βαπ
πβαf f x x x f <-∈=且若，则以下结论正确的是 （ ）
A ．βα>
B ．βα<
C ．||||βα<
D ．||||βα>
8．若直线)0,0(1>>=-b a b
y
a x 过圆02222=+-+y x y x 的圆心，则3a+
b 的最小值为
（ ）
A ．8
B ．324+
C ．34
D ．34+
9．今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量，当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合.那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是 （ ）
A ．丁、乙、甲、丙
B ．乙、丁、甲、丙
C ．丁、乙、丙、甲
D ．乙、丁、丙、甲 10．已知)(x f 是定义在[a 、b]上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：
①)(x f 的值域为G ，且];,[b a G ⊄
②对任意不同的.|||)()(|],,[,y x y f x f b a y x -<-∈都有 那么关于x 的方程],[)(b a x x f 在=上的根的情况是
（ ）
A ．没有实数根
B ．有且只有一个实数极
C ．恰有两个不同的实数根
D ．有无数个不同的实数根
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置. 11．已知⎰
++=e
dx x x a x 1
)1(ln ,1ln )'ln (则= .
12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c=2，b=2a ，且,4
1
cos =
C 则a= . 13．若x ，y 满足11,
4,4,
6--=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+x y z y x y x 则的最大值是 .
14．已知抛物线x y 42
=在焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点.若椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的右焦点与点F 重合，右顶点与A 、B 构成等腰直角感触形，则椭圆C 的
离心率为 .
15．考察等式：
r
n m n r
m r m n m r
m n m C C C C C c C =+++----0
1
1
（*）
其中.,,,*
m n r n m r N r m n -≤<≤∈且
某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品.现从中随机抽出r 件产品， 记事件=k A {取到的r 件产品中恰好有k 件次品}，
则r r
n
k r m
n k m A A A r k C C C A P ,,.,,1,0,)(10显然==--为互斥事件，且 Ω=r UA U A A 10（必然事件），因此)()()()(110r A P A P A P P +++=Ω= =
,010r
n
m
n r m r m n r m n m C C C C C C ----++ 所以,010r n m n m r m n m C C C C C =+--即等式（*）成立. 对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断： ①等式（*）成立； ②等式（*）不成立； ③证明正确； ④证明不正确.
试写出所有正确判断的序号 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）
已知函数.2
1
2cos 2sin 32sin )(2
-+=x x x x f （I ）求)(x f 的单调递增区间； （II ）将)(x f y =的图象向左平移
6
π
个单位，得到函数)(x g y =的图象.若)0)((>=x x g y 的图象与直线2
1
=
y 交点的横坐标由小到大依次是,,,,,21 n x x x 求数}{n x 的前2n 项的和.
17．（本小题满分13分）
如图，21,l l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l
上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且PC=AC=a ，.2a PA =
（I ）证明：⊥PC 平面ABC ；
（II ）设平面MNC 与平面PBC 所成的角为)900(︒≤<︒θθ 现给出四个条件：
①;2
1
AB CM =
②;2a AB =
③CM AB ⊥ ④.AC BC ⊥
请从中再选择两上条件以确定θcos 的值，并求之.
18．（本小题满分13分）
某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作.比赛时每位运动员
自选一个系列完成，两个运作得分之和为该运动员的成绩.
假设每个运动员完全每个系列中的两个动作的得分是相互独立的.根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
表1：甲系列
表2：乙系列
现该运动员最后一个出场，之前其运动员的最高得分为115分.
（I ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率； （II ）若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望.ξE
19．（本小题满分13分）
已知中点在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C 过点)2
3
,
2(Q ，且点Q 在x 轴的射影恰为该双曲线的一个焦点F 1. （I ）求双曲线C 的方程；
（II ）命题：“过椭圆116
252
2=+y x 的一个焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线
段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则
||||FM AB 为定值，且定值是.3
10
”命题中涉及了这么几个要
素；给定的圆锥曲线E ，过该圆锥曲线焦点F 的弦AB ，AB 的垂直试类比上述命题，写出一个关
于双曲线C 的类似的正确命题，并加以证明：
（III ）试推广（II ）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不
必证明）.
20．（本小题满分14分）
已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1
,ln ,1,)(23x x a x c bx x x x f 的图象过坐标原点O ，且在点
))1(,1(--f 处的切线的斜率是-5.
（I ）求实数b 、c 的值；
（II ）求)(x f 在区间[-1，2]上的最大值；
（III ）对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点
的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按
所估的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （I ）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 如图，矩形OABC 的顶点O （0，0），A （-2，0），B （-2，-1），C （0，-1）.将矩形OABC 绕坐标原
点O 旋转180°得到矩形OA 1B 1C 1；再将矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形
OA 1B 2C 2，且点C 2的坐标为)1,3(，求将矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵.
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角会标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轻为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标
方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21,233（t 为参数），M 、N 分别为曲线C 、直
线l 上的动点，求|MN|的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知,1332,,,=++∈z y x R z y x 且求2
2
2
z y x ++的最小值.
参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法
与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，共50分. 1—5 CDCCB 6—10 ADBAB
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分. 11．c 12．1 13．3 14．
3
1
15．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质、等差数列等基础
知识，考查运算的求解能力，考查数形结合思想.满分13分. 解法一： （I ）2
12cos 2sin 32sin
)(2
-+=x x x x f x x x x cos 2
1sin 2321sin 232cos 1-=-+-=
…………2分 ).6
sin(π
-=x
…………4分
由,2
26
2
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k
)(3
223
2Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π得
…………6分
所以)(x f 的单调递增区间是).](3
22,3
2[Z k k k ∈+
-π
ππ
π …………7分 （II ）函数)6
sin()(π
-
=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位后， 得到函数x y sin =的图象， 即.sin )(x x g =
…………9分
若函数)0(sin )(>=x x x g 的图象与直线2
1
=
y 交点的横坐标由小到大依次是 ,,,,,21 n x x x 则由正弦曲线的对称性，周期性可知，
,2
)1(22,,222,222124321π
ππππ+-=++=+=+-n x x x x x x n n …………10分 所以n n x x x x 21221++++-
)()()(2124321n n x x x x x x ++++++=-
ππππ)34(95-++++=n
…………12分 .)2(]42
)
1(1[2ππn n n n n -=⋅⋅-+
⋅= …………13分
解法二： （I ）同解法一
（II ）若函数)0(sin )(>=x x x g 的图象与直线2
1
=
y 交点的横坐标由小到大依次是 .6
5,6
,,,,,2121ππ
=
=
x x x x x n 则 …………10分
由正弦曲线的周期性可知，
;)1(2,,4,21121513πππ-+=+=+=-n x x x x x x n .)1(2,,4,2222624πππ-+=+=+=n x x x x x x n
…………11分
所以)()(242123121221n n n n x x x x x x x x x x ++++++=+++--
])1(242[])1(242[21ππππππ-+++++-++++=n nx n nx π4)]1(21[)(21⋅-+++++=n x x n
…………12分
ππ42
)1(⋅-+
=n
n n .)12(2π-=n
…………13分
17．本小题主要考查直线与直线、直线与磁面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、
推理论证能力、运算求解能力.满分13分. 解：（I ）在PAC ∆中，
,2,a PA a AC PC ===
,222PA AC PC =+∴
AC PC ⊥∴
…………3分
21,l l 是两条互相垂直的异直线，点P 、C 在直线1l 上，
点A 、B 在直线2
l 上，
，
又A AB AC AB PC =⊥∴ , ⊥∴PC 平面ABC.
…………5分
（II ）方案一：选择②④可确定θcos 的大小.
,BC AC ⊥
且,,2a AC a ab ==
.a BC =∴
…………6分
以C 为坐标原点，CP CA CB ,,的方向为x 、y 、z 轴 正方向建立空间直角坐标系c —xyz ， …………7分 则C （0，0，0），B （a ，0，0），A （0，a ，0）， 又M 、N 分别是AB 、AP 的中点，
).2,2,0(),0,2,2(a a N a a M ∴
⊥CA 平面PBC ，
)0,,0(a CA =是平面PBC 的一个法向量. …………9分
设平面MNC 的法向量),,(z y x n =
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,022
,022,,y a x a z a y a N n 得
取x=1，得)1,1,1(-=n 为平面MNC 的一个法向量.
…………11分
.3
3
3,cos -
=-=
>=
<∴a
a CA n .3
3cos =
∴θ
…………13分
方案二：选择③④可确定θcos 的大小.
.,,AC BC a AC BC AB CM ⊥==∴⊥又
…………6分
下同方案一.
方案三：选择②③可确定θcos 的大小.
,,a AC BC AB CM ==∴⊥
又.,2AC BC a AB ⊥∴=
…………6分
下同方案一
.
（注：条件①与④等价，故选择①④不能确定θcos 的值.若选择①②可转化为选择②④解决；若选择①③可转化为选择③④解决，此略.）
18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析和
解决实际问题的能力，满分13分. 解：（I ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列…………1分 理由如下：
选择甲系列最高得分为,11514040100>=+可能获得第一名；
而选择乙系列最高得分为90+20=110<115，不可能获得第一名…………2分 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ， “该运动员完成D 动作得40分”为事件B ， 则.4
3)(,43)(==
B P A P 记“该运动员获得第一名”为事件
C 依题意得.4
3
43414343)()()(=⨯+⨯=
+=AB P AB P C P …………5分 ∴运动员获得第一名的概率为.4
3
…………6分
（注：若考生知识A 与是对立事件，直接写出4
3
)()(=
=B P C P ，同样给分） （II ）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，100，…………7分
则,1001101101)50(=⨯=
=ξP ,1009
109101)70(=⨯==ξP
,1009
101109)90(=⨯==ξP
.100
81
109109)110(=⨯==ξP
…………11分
ξ的分布列为
.104100
81110100990100970100150=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE …………13分 19．本小题主要考查直线、椭圆、双曲线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查
数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想，满分13分. 解法一：
（I ）依题意，可设双曲线C 的方程为).0,0(122
22>>=-b a b
y a x
由已知得，C 的一个焦点F 1（2，0）， 所以C 的另一个焦点F 2（-2，0） …………1分
由,32|)03
3()22()033(
)22(|||||||2222212=-+---++=-=QF OF a
…………3分
得,2,3==
c a 又所以,1222=-=a c b
所以双曲线C 的方程为.13
22
=-y x
…………4分
（II ）关于双曲线C 的类似命题为：过双曲线13
22
=-y x 的焦点F 1（2，0）作与x 轴不垂直的任意直
线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则
|
||
|1M F AB 为定值，且定值是.3
…………6分
证明如下：
由于l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为).2(:-=x k y
①当0≠k 时，由.031212)31(),2(,
13
22222
2=--+-⎪⎩
⎪⎨⎧-==-k x k x k x k y y x 得 依题意l 与C 有两个交点A 、B ， 所以.0,0312
>∆≠-k
设),,(),,(2211y x B y x A
则,313
12,31122
2212221k
k x x k k x x -+-=--=+ ,314)4(2
2121k k
x x k y y --
=-+=+
所以线段AB 的中点P 的坐标为),312,316(2
22k k
k k ----
…………8分
AB 的垂直平分线MP 的方程为：).316(13122
2
2k k x k k k y -+=-+ 令y=0，解得,3182
2
k k x --
=
即),0,318(2
2
k
k M -- 所以.|
31|)
1(2|3182|||2
2221k k k k M F -+=-+= …………9分
又2212221221))(1()()(||x x k y y x x AB -+=-+-=
2122124)(1x x x x k --⋅+=
,|
31|)
1(32)31312(4)3112(12
2222222
k k k k k k k -+=-+----⋅+= 所以
.3|
||
|1=M F AB
…………10分
（注：若考生用左焦点进行叙述并证明，同样给分）
（III ）过圆锥曲线E 的焦点F 作与焦点的在的对称轴不垂直的任意直线l 交E 于A 、B 两点，线段AB 的
垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M ，
则
||||FM AB 为定值，定值是e
2
（共中e 为圆锥曲线E 的离心率）…………13分
解法二：
（I ）依题意，可设双曲线C 的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x …………1分
由已知可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-,
41)33(2222
2
22b a b a …………3分
解得⎪⎩⎪⎨⎧==,
1,322
b a
所以双曲线C 的方程为13
22
=-y x …………4分
（II ）（III ）同解法一.
20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、
数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分. 解法一：
（I ）当.23)(',12
b x x x f x ++-=<时
…………1分
依题意，得⎩⎨⎧-=+--=⎩⎨⎧-=-=,
523,
0,5)1(',0)0(b c f f 即
…………3分 解得b=c=0.
…………4分
（II ）由（I ）知，⎩
⎨⎧≥<+-=.1,ln ,
1,)(23x x a x x x x f
①当),3
2
(323)(',112--=+-=<≤-x x x x x f x 时 令.3
200)('=
==x x x f 或得 …………5分
x 变化时，)(),('x f x f 的变化如下表：
又,0)0(,27
)3(,2)1(==
=-f f f [)1,1)(-∴在x f 上的最大值为2.
…………6分
②当21≤≤x 时，.ln )(x a x f = 当;0)(,0≤≤x f a 时
当]2,1[)(,0在时x f a >上单调递增， )(x f 在[1，2]上的最大值为.2ln a …………8分
综上所述，
当)(,2ln 2
,22ln x f a a 时即≤
≤在[-1，2]上的最大值为2； 当)(,2
ln 2
,22ln x f a a 时即>>在[-1，2]上的最大值为.2ln a …………10分
（III ）假设曲线)(x f y =上存在两点P 、Q 满足题设要求，
则点P 、Q 只能在y 轴的两侧， 不妨设),0))((,(>t t f t P 则1),,(2
3
≠+-t t t t Q 显然
POQ ∆ 为直角三角形，
.0))((,0232=++-=⋅∴t t t f t OQ OP 即（1）
是否存在P 、Q 等价于方程（1）是否有解. 若,)(,102
3t t t f t -=<<则代入（1）式得，
,0))((23232=++-+-t t t t t
即012
4
=+-t t ，而此方程无实数解 ， 因此.1>t
…………11分
,ln )(t a t f =∴代入（1）式得， ,0))(ln (232=++-t t t a t
即
t t a
ln )1(1
+=（*） …………12分
考察函数),1(ln )1()(≥+=x x x x h 则,011
ln )('>++
=x
x x h [)+∞∴,1)(在x h 上单调递增，
,0)1()(,1=>∴>h t h t
当∞→+∞→)(,t h t 时，
)(t h ∴的取值范围是),0(+∞
,0>∴a 对于方程（*）总有解，即方程（1）总有解.
因此对任意给定的正实数a ，
曲线)(x f y =上总存在两点P 、Q 使得POQ ∆是以点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. …………14分
解法二： （I ）（II ）同解法一.
（III ）假设曲线)(x f y =上存在两点P 、Q 满足题设要求，
则点P 、Q 只能在y 轴的两则. 不妨设),,(),0)(,(12111y x Q x y x P > 则.1,,011221≠-==+x x x x x 显然即 设直线OQ 的方程为),0(>=k kx y
则直线OQ 的方程为,1x k
y -= 若,101<<x
由,,
,
1212
131112x x k x x y kx y +-=⎩⎨⎧+-==得 由,1)(,1)(,
,112122
222322
22=+∴=-⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=x x k x x k x x y x k
y 得 ,012141=+-∴x x 而此方程无实数解，
故.11>x
…………11分
由,ln ,
ln 11,11
11x a kx kx y x a y =⎩⎨
⎧==得
由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=,
,122222
21x x y x k y 得,1)(22
2=-x x k
所以;1)(12
1=+x x k
.ln )1(1,ln 1)(121132
2x x a
x a kx x x k +==+∴得
…………12分
下同解法一.
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数结合思想、分类与整合思想.满分
7分. 解法一：
设矩阵M 对应的变换将矩形OABC 变为矩形OA 1B 1C 1，
则⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=10
01M …………2分
设矩阵N 对应的变换将矩形OA 1B 1C 1变为平行四边形OA 1B 2C 2. 可设矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=101k N （0>k ）. 因为点C 2的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛10101),1,3(k 所以=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1031,3,13N k 所以解得 …………5分
将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为NM ，
'103110011031⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=NM 因此将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---1031 …………7分
解法二：
因为矩形OA 1B 1C 1是矩形OABC 绕原点O 旋转180°得到的， 所以)1,0(),1,2(),0,2(111C B A
…………2分
又矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换得到平行四边形OA 1B 2C 2， 且C 2的坐标为)1,3(， 所以点B 2的坐标为)1,23(+
…………4分
设将矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛d c b a ， 则,123121310⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d c b a 所以⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧-==-=-=.1,0,3,1d c b a 因此所求矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1031 …………7分
（2）（本小题满分7分）选修4—4；坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解
能力，考查数形结合思想、归化与转化思想，满分7分. 解：化极坐标方程为θρcos 4=为直角坐标方程042
2
=-+x y x ，
所以曲线C 是以（2，0）为圆心，2为半径的圆.
…………2分
化参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=t y t x 21,233（t 为参数）为普通方程.033=+-y x
…………4分
圆心到直线l 的距离,2
53
1|32|=
++=d …………6分
所以|MN|的最小值为
.2
1225=-
…………7分
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力.满分7分. 解法一：
由柯西不等式得：
).)(332()332(2222222z y x z y x ++++≤++
…………3分
,1332=++z y x
,22
1
222≥
++∴z y x
…………5分 当且仅当22
3
,111,332=
====z y x z y x 即时，等号成立， …………6分 222z y x ++∴的最小值为.221
…………7分
解法二：
,222yz z y ≥+
…………1分
≥++++=++∴222
2222
2
2
2
z y z y x z y x
.2
)(222
222
z y x yz z y x ++=+++
…………3分
又已知,3
21x
z y -=
+ 2
2222)3
21(21x x z y x -+≥++∴
…………4分
18
119)111(22181422)21(181222
2
+-
=
+-=-+=x x x x x …………5分
.22
1119181=⨯≥ 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧
==z
y x ,
111时等号成立.
…………6分
把,1332,11
1
=++==
z y x z y x 代入
可得,223,111
===
z y x 即当22
3
,11
1
=
==z y x 时， 222z y x ++取得最小值.22
1
…………7分。