北师大版八年级上册数学第一次月考试卷

北师大版八年级上册数学第一次月考试卷
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北师大版八年级上册数学第一次月考试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分）
1．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表
示成（）
A．（5，4） B．（4，5） C．（3，4） D．（4，3）
2的平方根是（）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
3．已知a=，b=，则=（）
A．2a B．ab C．a2b D．ab2
4．下列说法：
①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③=±4；④0.01是
0.1的平方根；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．
其中正确的说法是（）
A．0 B．1 C．3
D．5
5．如图所示，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠CAB=90°，AD⊥BC，那么
AD的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）
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A cm B．4 cm
C cm D．3 cm
7．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）
A．0.3，0.4，0.5 B．8，9，10 C．7，24，25 D．9，12，15
8．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）
A．45m B．40m C．50m D．56m
9．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）
A B． 2 C D．10﹣5
二．填空题（共10小题，每小题3分）
11．点P（3，﹣2）到y轴的距离为个单位．
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12．已知+|2x﹣y|=0，那么x﹣y=
13．已知x=，y=，则x2+y2﹣xy的值是
14．观察下表，按你发现的规律填空
a0.0121 1.2112112100
0.11 1.111110
已知=3.873，则的值为
15．若2a x+y b5与﹣3ab2x﹣y是同类项，则2x﹣5y的立方根是
16．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+2b|﹣|a﹣b|的结果为
17．已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则（a+b）2017=
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2= 19．若直角三角形的三边分别为a、a+b、a+2b，则的值为
20．如图所示，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是．（结
果用根号表示）
三．解答题（共10小题）
21．计算(每小题4分）
（1）2﹣﹣+（+1）2．
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（2）﹣×+（+）（﹣）．
22．计算(每小题4分）
（1）（2）（3+）（﹣2）+5﹣．
23．（5分）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n 的平方根．
24．（5分）已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．
25．（5分）如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长．
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26．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形
周长为32，求BC和CD的长度．
27．（6分）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．
28．（7分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B 的坐标为；
（2）图中格点△ABC的面积为；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
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29．（5分）如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．
30．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AC=4，CD=3，AD=5，AB=4．
（1）求证：∠C=90°；
（2）求BD的长．
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2017年04月11日dxzxshuxue的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016春?乌拉特前旗期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）
表示，那么你的位置可以表示成（）
A．（5，4） B．（4，5） C．（3，4） D．（4，3）
【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的
坐标．
【解答】解：如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．
故选D．
【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．
2．（2017?微山县模拟）的平方根是（）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】先化简=4，然后求4的平方根．
【解答】解：=4，
4的平方根是±2．
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故选：D．
【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．
3．（2017?河北一模）已知a=，b=，则=（）
A．2a B．ab C．a2b D．ab2
【分析】将18写成2×3×3，然后根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==××=a?b?b=ab2．
故选D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解因数．
4．（2017?枝江市模拟）下列说法：
①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③=±4；④0.01是
0.1的平方根；⑤42的平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．
其中正确的说法是（）
A．0 B．1 C．3
D．5
【分析】依据平方根、算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：①36的平方根是±6，故①错误；
②﹣9没有平方根，故②错误；
③=4，故③错误；
④0.1是0.01的平方根，故④错误；
⑤42的平方根是±4，故⑤错误；
⑥81的算术平方根是9．故⑥错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
5．（2017春?孝南区校级月考）如图所示，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠
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CAB=90°，AD⊥BC，那么AD的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
【分析】先根据AB=8，AC=6，∠CAB=90°，利用勾股定理可求BC，再根据S△ABC=AC?AB=BC?AD，可求AD．
【解答】解：如右图所示，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，∠CAB=90°，
∴BC===10，
又∵S△ABC=AC?AB=BC?AD，
∴6×8=10AD，
∴AD=4.8．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理．注意直角三角形面积的两种求法，等于两直角边乘积的一半，也等于斜边乘以斜边上高的积的一半．
6．（2017春?武昌区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）
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A cm B．4 cm C cm D．3 cm
【分析】先求出S A、S B、S C的值，再根据勾股定理的几何意义求出D的面积，从而求出正方形D的边长．
【解答】解：∵S A=6×6=36cm2，
S B=5×5=25cm2，
S C=5×5=25cm2，
又∵S A+S B+S C+S D=10×10，
∴36+25+25+S D=100，
∴S D=14，
∴正方形D的边长为cm．．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．7．（2017春?广安月考）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的
是（）
A．0.3，0.4，0.5 B．8，9，10 C．7，24，25 D．9，12，15
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、82+92≠102，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8．（2017春?张掖月考）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）
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A．45m B．40m C．50m D．56m
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理
解图中直角三角形即可．
【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=32m，OB=24m，
∴AB==40m．．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9．（2016?荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
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【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2016?淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）
A B． 2 C D．10﹣5
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．
【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2=AB2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
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∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，
同理可得HE=2，
在RT△GHE中，GH===2，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2017春?海宁市校级月考）点P（3，﹣2）到y轴的距离为 3
个单位．
【分析】求得3的绝对值即为点P到y轴的距离．
【解答】解：∵|3|=3，
∴点P（3，﹣2）到y轴的距离为 3个单位，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
12．（2017?沭阳县一模）已知+|2x﹣y|=0，那么x﹣y= ﹣ 3 ．【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y的值，进而可求出x ﹣y的值．
【解答】解：∵+|2x﹣y|=0，
∴，
解得；
所以x﹣y=3﹣6=﹣3．
【点评】本题考查了初中范围内的两个非负数，转化为解方程的问题，这是考试中经常出现的题目类型．
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13．（2017?绵阳一模）已知x=，y=，则x2+y2﹣xy的值是
2 ．
【分析】先求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x=，y=，
∴x+y=+=，xy=×=1，
∴x2+y2﹣xy=（x+y）2﹣3xy=（）2﹣3×1=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求出值，完全平方公式等知识点，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
14．（2017春?孝南区校级月考）观察下表，按你发现的规律填空
a0.0121 1.2112112100
0.11 1.111110
已知=3.873，则的值为 387.3 ．
【分析】从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；
【解答】解：观察表格得：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点
就向左或向右移动n位；
被开方数15到150000小数点向右移动4位，所以其算术平方根的小数点向右移动2位，
即=387.3；
故答案为：387.3．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
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15．（2017春?启东市校级月考）若2a x+y b5与﹣3ab2x﹣y是同类项，则2x﹣5y的立方根是
【分析】依据同类项的定义可得到得到x、y的方程组，从而可求得x，y 的值，然后再求得代数式的值，最后利用立方根的性质求解即可．
【解答】解：∵2a x+y b5与﹣3ab2x﹣y是同类项，
∴x+y=1，2x﹣y=5．
解得：x=2，y=﹣1．
∴2x﹣5y=9．
∴2x﹣5y的立方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是同类项、立方根的定义，求得2x﹣5y的值是解题的关键．
16．（2017春?大丰市月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简
|a+2b|﹣|a﹣b|的结果为2a+b ．
【分析】根据数轴上点的位置，可得a与b的关系，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解：由a、b在数轴上的位置，得
a＜0＜b．
|a+2b|﹣|a﹣b|=a+2b﹣（b﹣a）=2a+b，
故答案为：2a+b．．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置得出a与b的关系是解题关键，又利用了绝对值的性质，整式的加减．
17．（2017春?滨州月考）已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则（a+b）2017= 1 ．
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【分析】先估算出5+的整数部分，然后可求得a的值，然后再估算出5﹣的整数部分，然后可求得b的值，最后代入计算即可．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3．
∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣．
∴a+b=﹣2+3﹣=1．
∴（a+b）2017=12017=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．
18．（2017春?广安月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2=
2 ．
【分析】已知∠C=90°，AB=10，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，可求得AC2+BC2，然后可求出AC2+BC2+AB2的值．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2=100，
则AC2+BC2+AB2=2AB2=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．（2017春?武昌区校级月考）若直角三角形的三边分别为a、a+b、a+2b，则的值为 3或﹣ 5 ．
【分析】分b＞0，根据已知条件判断a+2b是斜边，根据勾股定理得到a2+（a+b）
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2=（a+2b）2，整理得到a2﹣2ab﹣3b2=0，然后因式分解得出（a﹣3b）（a+b）=0，求出a﹣3b=0，进而求解即可；或b＜0，根据已知条件判断a是斜边，根据勾股定理得到（a+b）2+（a+2b）2=a2，整理得到a2+6ab+5b2=0，然后因式分解得出（a+5b）（a+b）=0，求出a+5b=0，进而求解即可．
【解答】解：当b＞0时，
∵一个直角三角形的三边为a，a+b，a+2b，且a＞0，b＞0，
∴a+2b＞a+b＞a，
根据勾股定理得a2+（a+b）2=（a+2b）2，
整理得，a2﹣2ab﹣3b2=0，
（a﹣3b）（a+b）=0，
∵a+b≠0，
∴a﹣3b=0，
∴=3．
当b＜0时，
∵一个直角三角形的三边为a，a+b，a+2b，且a＞0，b＜0，
∴a+2b＜a+b＜a，
根据勾股定理得（a+b）2+（a+2b）2=a2，
整理得a2+6ab+5b2=0，
（a+5b）（a+b）=0，
∵a+b≠0，
∴a+5b=0，
∴=﹣5．
故答案为3或﹣5．
【点评】此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了因式分解，注意分类思想的运用．
20．（2017春?孝南区校级月考）如图所示，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的
第19页（共26页）
一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是10cm ．（结果用根号表示）
【分析】要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，
其中AC=πR=10πcm，BC=20cm，
在Rt△ABC中，AB==10cm．．
故答案为：10cm．．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是理解要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，底面周长和高以及所走的路线构成一个直角三角形，然后再求线段的长．
三．解答题（共10小题）
21．（2016秋?雅安期末）计算
（1）2﹣﹣+（+1）2．
（2）﹣×+（+）（﹣）．
【分析】（1）先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式=2﹣2﹣2+2+2+1
=3；
第20页（共26页）
（2）原式=+1﹣+3﹣2
=2+1﹣2+1
=2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（2016秋?胶州市期末）计算
（1）
（2）（3+）（﹣2）+5﹣．
【分析】（1）计算时先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后进行约分；
（2）先去括号，再合并同类二次根式．
【解答】解：（1），
=，
=，
=﹣1；
（2）（3+）（﹣2）+5﹣，
=3﹣6+5﹣2+5×﹣2，
=3﹣2﹣2+﹣1，
=﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合计算，正确化简是解题的关键．
23．（2016秋?上蔡县校级期末）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．
第21页（共26页）
【分析】先根据2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5求出m和n 的值，再求出m+3n的值，由平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵2m+2的平方根是±4，
∴2m+2=16，解得：m=7；
∵3m+n+1的平方根是±5，
∴3m+n+1=25，即21+n+1=25，
解得：n=3，
∴m+3n=7+3×3=16，
∴m+3n的平方根为：±4．
【点评】本题考查的是平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
24．（2016春?潮州期末）已知：与互为相反数，求（x+y）
2016的平方根．
【分析】根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：由已知可得：+=0，
则，
解得，，
∴（x+y）2016=1，
∴（x+y）2016的平方根是±1．
【点评】本题考查的是非负数的性质、二元一次方程组的解法，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
25．（2017春?汇川区校级月考）如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长．
第22页（共26页）
【分析】因为BD=BC﹣CD，可以在Rt△CAD中，根据勾股定理先求出CD 的值．
【解答】解：∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，
∴CD==25
∴BD=BC﹣CD=32﹣25=7．
【点评】此题主要考查勾股定理的应用，找出BD=BC﹣CD是关键．26．（2016春?周口期末）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，
四边形周长为32，求BC和CD的长度．
【分析】如图，连接BD，构建等边△ABD、直角△CDB．利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度．
【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．
则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．
又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．
设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6
所以BC=10，CD=6．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知△CDB是解题关键．
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27．（2016春?江西期末）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD===9，
在Rt△ACD中，
CD===5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD===9．
在Rt△ACD中，CD===5
∴BC=9﹣5=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；
当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为
32．
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【点评】在解本题时应分两种情况进行讨论，在求解过程中应注意防止漏解．
28．（2016秋?常州期末）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B 的坐标为（0，0）；
（2）图中格点△ABC的面积为 5 ；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由已知点的坐标即可得出点B为坐标原点，即可得出结果；（2）图中格点△ABC的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结果；
（3）由勾股定理可得：AB2=25，BC2=20，AC2=5，得出BC2+AC2=AB2，由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】（1）解：∵点A（3，4）、C（4，2），
∴点B的坐标为（0，0）；
故答案为：（0，0）；
（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4﹣×4×2﹣×4×3﹣×2×1=5；
故答案为：5；
（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐标与图形性质；熟
练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
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29．（2016春?罗平县期末）如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．
【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．
【解答】解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，
AC2+DC2=122+92=152=AD2，
即AC2+DC2=AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，BC===16，
∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，
∴△ABD的面积=×7×12=42．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
30．（2016春?东莞市期末）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AC=4，
CD=3，AD=5，AB=4．
（1）求证：∠C=90°；
（2）求BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证∠C=90°；
（2）在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可
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求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC2+CD2=42+32=25，AD2=52=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C=90°；
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90°
∴BC===8，
∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．。